Представление числовой информации в информационных системах

Реферат Курсовая работа: количество листов - , количество рисунков - 3, количество таблиц – 2, количество формул и уравнений – 36, количество программ – 1, источников – 18. СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ, ДЕСЯТИЧНАЯ, ДВОИЧНАЯ, ВОСЬМЕРИЧНАЯ, ШЕСНАДЦАТИРИЧНАЯ, ДРОБНАЯ, РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ, РЕЗУЛЬТАТ ПРОГРАММЫ. ПОГРЕШНОСТИ
Результатом моего курсового проекта является разработанная мною программа, с помощью которой можно переводить из десятеричной системы счисления в восьмеричную (с использованием двоичной системы счисления) на языке Pascal, и изучение теоретического материала по теме «Представление числовой информации в информационных системах».
СОДЕРЖАНИЕ: 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ В ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ 1.1 Перевод числовой информации из одной позиционной системы в другую 1.2 Формы представления числовой информации 1.3 Погрешности представления числовой информации 2. Список используемой литературы
1. Представление числовой информации в информационных системах.
Выбор системы счисления для представления
числовой информации Система счисления — совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками или символами. Наиболее известна десятичная система счисления, в которой для записи чисел используются цифры 0, 1, ., 9. Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество. Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать: q возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин; q единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина); q простоту оперирования числами. Все системы представления чисел делят на позиционные и непозиционные. Самый простой способ записи чисел может быть описан выражением
где AD — запись числа А в системе счисления D; Di — символы системы, образующие базу D = {D1, D2, ., Dk}. По этому принципу построены непозиционные системы счисления. Непозиционная система счисления — система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе. Принципы построения таких, систем не сложны. Для их образования используют в основном операции сложения и вычитания. Например, система с одним символом (палочкой) встречалась у многих народов. Для изображения какого-то числа в этой системе нужно записать количество палочек, равное данному числу. Эта система неэффективна, так как запись числа получается длинной. Другим примером непозиционной системы счисления является римская система, использующая набор следующих символов: I, X, V, L, С, D, М и т. д. В этой системе существует отклонение от правила независимости значения цифры от положения в числе. В числах LХ и ХL символ Х принимает два различных значения: +10 — в первом случае и -10 — во втором. В общем случае системы счисления можно построить по следующему принципу: (1) где АB — запись числа А в системе счисления с основанием Bi; аi — цифра (символ) системы счисления с основанием Bi; Bi — база, или основание системы. Если предположить, что Bi = qi то с учетом (1) Bi = qiBi-1 (2) Позиционная система счисления — система, удовлетворяющая равенству (2). Естественная позиционная система счисления имеет место, если q — целое положительное число. В позиционной системе счисления значение цифры определяется ее положением в числе: один и тот же знак принимает различное значение. Например, в десятичном числе 222 первая цифра справа означает две еди­ницы, соседняя с ней — два десятка, а левая — две сотни. Любая позиционная система счисления характеризуется основанием. Основание (базис) q естественной позиционной системы счисления — количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе. Возможно бесчисленное множество позиционных систем, так как, приняв за основание любое число, можно образовать новую систему. Напри­мер, запись числа в шестнадцатеричной системе может проводиться с помощью следующих знаков (цифр): 0, 1, ., 9, А, В, С, D, Е, F (вместо А, ., F можно записать любые другие символы, например, Для позиционной системы счисления справедливо равенство (3) или где Aq—произволь­ное число, записанное в системе счисления с основанием q; п + 1, т — количество целых и дробных разрядов. На практике используют сокращенную запись чисел:
В восьмеричной системе счисления числа изображают с помощью цифр 0,1, .,7. Например, 124,5378 =1 82 + 2·81 + 4·80 + 5·8-1 + 3·8-2 + 7·8-3. В двоичной системе счисления используют цифры 0, 1. Например, 1001,11012 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 + 1·2-1 + 1·2-2 + 0·2-3 + 1·2-4. Для записи чисел в троичной системе берут цифры 0,1,2. Например, 21223 = 2·33 + 1·32 + 2·31 + 2·30. В таблице 1 приведены эквиваленты десятичных цифр в различных системах счисления. Таблица 3.1
Десятичная цифра
Эквиваленты в других системах счисления
q = 2
q = 3
q = 5
q = 8
q = 16
0
0000
000
00
00
0
1
0001
001
01
01
1
2
0010
002
02
02
2
3
0011
010
03
03
3
4
0100
011
04
04
4
5
0101
012
10
05
5
6
0110
020
11
06
6
7
0111
021
12
07
7
8
1000
022
13
10
8
9
1001
100
14
11
9
10
1010
101
20
12
A
11
1011
102
21
13
B
12
1100
110
22
14
C
13
1101
111
23
15
D
14
1110
112
24
16
E
15
1111
120
30
17
F Для любой позиционной системы счисления справедливо, что основа­ние изображается символом 10 в своей системе, т. е. любое число можно записать в виде (4) В ЭВМ используют в основном позиционные системы счисления. В дальнейшем для простоты изложения будем употреблять термин «система счисления», имея в виду позиционные системы.
Вес разряда рi, числа в позиционной системе счисления выражается соотношением (5) где i — номер разряда при отсчете справа налево. Если разряд имеет вес рi = 10k, то следующий старший разряд будет иметь вес рi+1 = 10k+1, а соседний младший разряд — вес рi-1 = 10k-1. Такая взаимосвязь разрядов приводит к необходимости передачи информации между ними. Если в данном разряде накопилось значение единиц, равное или большее q, то должна происходить передача единицы в соседний старший разряд. При сложении такие передачи информации называют переносами, а при вычитании — заемами. Передача переносов или заемов происходит последовательно от разряда к разряду. Длина числа (ДЧ) — количество позиций (или разрядов) в записи числа [14]. В техническом аспекте длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки (ДРС). Для разных систем счисления характерна разная длина разрядной сетки, необходимая для записи одного и того же числа. Например, 96 = 1208 = 101203 = 11000002. Здесь одно и то же число, записанное в разных базисах, имеет разную длину разрядной сетки. Чем меньше основание системы, тем больше длина числа. Если длина разрядной сетки задана, то это ограничивает максимальное (или минимальное) по абсолютному значению число, которое может быть записано. Пусть длина разрядной сетки равна любому положительному числу, например п. Тогда Аqmax = qn - 1; Аqmin = - (qn – 1). Диапазон представления (ДП) чисел в заданной системе счисления — интервал числовой оси, заключенный между максимальным и минимальным числами, представленными длиной разрядной сетки: Аqmax ≥ ДП ≥ Аqmin . (6) Правильный выбор системы счисления — важный практический вопрос, поскольку от его решения зависят такие технические характеристики проектируемой ЭВМ, как скорость вычислений, объем памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций. При выборе системы счисления для ЭВМ необходимо учитывать следующее: основание системы счисления определяет количество устойчивых состояний, которые должен иметь функциональный элемент, выбранный для изображения разрядов числа; длина числа существенно зависит от основания системы счисления; система счисления должна обеспечить простые алгоритмы выполнения арифметических и логических операций. Десятичная система, столь привычная в повседневной жизни, не является наилучшей с точки зрения ее технической реализации в ЭВМ. Известные в настоящее время элементы, обладающие десятью устойчивыми состояниями (элементы на основе сегнетокерамики, декатроны и др.), имеют невысокую скорость переключения, а следовательно, не могут обеспечить соответствующее быстродействие машины. Подавляющее большинство компонентов электронных схем, применяемых для построения ВМ, — двухпозиционные. С этой точки зрения для ЭВМ наиболее подходит двоичная система счисления. Но рационально ли использование этой системы с точки зрения затрат оборудования? Для ответа на этот вопрос введем показатель экономичности системы С — произведение основания системы на длину разрядной сетки, выбранную для записи чисел в этой системе: С = qN, (7) где q — основание системы счисления; N— количество разрядов. Если принять, что каждый разряд числа представлен не одним элементом с q устойчивыми состояниями, а q элементами, каждый из которых имеет одно устойчивое состояние, то показатель экономичности укажет словное количество оборудования, которое необходимо затратить на представление чисел в этой системе. Максимальное число, которое можно изобразить в системе с основанием q, Аqmax = qN – 1.(8) Из (8) можно найти требуемую длину разрядной сетки: (9) Тогда для любой системы счисления . Представим, что величина q принимает любые значения (целочисленные и дробные), т. е. является непрерывной величиной. Это необходимо для того, чтобы рассматривать величину С как функцию от величины q. Данное допущение не является строгим, однако позволяет получить интересный вывод: если за единицу измерения оборудования принят условный элемент с одним устойчивым состоянием, то для сравнения двух систем счисления можно ввести относительный показатель экономичности (10) позволяющий сравнить любую систему счисления с двоичной. Если функция F непрерывна, то, как видно из приведенного ниже соотношения, она имеет минимум.
q 2 3 4 6 8 10
F 1,000 0,946 1,000 1,148 1,333 1,505 На рис. 1 представлена зависимость величины F от основания системы счисления q. Нижняя точка графика соответствует минимуму функции F, определяемому из условия dF/dt = 0, что соответствует значению q = е. Следовательно, с точки зрения мини­мальных затрат условного оборудования, наиболее экономичной является система счисления с основанием, равным е ≈ 2,72.

Рис. 1. Зависимость относительного
показателя экономичности
от основания системы счисления Используя (10), можно доказать, что троичная система счисления экономичнее двоичной. В подавляющем большинстве ЭВМ используют двоичную систему счисления, однако для ЭВМ это связа­но с преодолением дополнительных трудностей, возникающих при переводе входной информации в двоичную систему счисления и двоичной информации в выходную информацию.
1.1 Перевод числовой информации из одной позиционной
системы в другую В процессе преобразования информации в цифровом автомате возникает необходимость перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Это обусловлено тем, что в качестве внутреннего алфавита наиболее целесообразно использовать двоичный алфавит с символами 0 и 1. Первым два символа для кодирования информации применил известный философ XVII в. Ф. Бэкон, который использовал символы 0, 1. Рассмотрим задачу перевода чисел в общей постановке. В соответствии с (3) числа в разных системах счисления можно пред­ставить следующим образом: (11) В общем виде задачу перевода числа из системы счисления с основанием q1 в систему счисления с основанием q2 можно представить как задачу определения коэффициентов bi нового ряда, изображающего число в системе с основанием q2. Решить эту задачу можно подбором коэффициентов bi. Основная трудность при этом заключается в выборе максимальной степени, которая еще содержится в числе Аq1 . Все действия должны выполняться по правилам q1 -арифметики, т. е. по правилам исходной системы счисления.
После нахождения максимальной степени основания проверяют «вхождение» в заданное число всех степеней нового основания, меньших максимального. Каждая из отмеченных степеней может «входить» в ряд не более q2 -1 раз, так как для любого коэффициента ряда накладывается ограничение:
(12) Пример 1. Перевести десятичное число А = 96 в троичную систему счисления (q2 = 3). Решение. 96=0·35 + 1·34 + 0·33 + 1·32 + 2·31 + 0·30 = 101203. Ответ: a3 =10120. Здесь и в дальнейшем при записи десятичных чисел индекс опускается. Рассмотренный в примере 1 прием может быть использован только при ручном переводе. Для реализации машинных алгоритмов перевода применяют следующие методы. Перевод целых чисел делением на основание q2 новой системы счисления. Целое число Аq2 в системе с основанием q2 записывается в виде
Переписав это выражение по схеме Горнера, получим (13) Правую часть выражения (13) разделим на величину основания q2. В результате определим первый остаток b0 и целую часть . Разделив целую часть на q2, найдем второй остаток b1. Повторяя процесс деления k + 1 раз, получим последнее целое частное bk которое, по условию, меньше основания системы q2 и является старшей цифрой числа, представленного в системе с основанием q2. Пример 2. Перевести десятичное число А = 98 в двоичную систему счисления (q2 = 2). Решение.
98
2 98 0
b0
- 98
49
2 49 1
b1
b0 = 0
- 48
24
2 24 0
b2
b1 = 1
- 24
12
2 12 0
b3
b2 = 0
- 12
6
2 6 0
b4
b3 = 0
- 6
3
2 3 1
b5
b4 = 0
- 2
1
b6 = 1 1 1
b6
b5 = 1 Ответ: А2 = 1100010. Пример 3. Перевести двоичное число А2 = 1101001 в десятичную систему счисления (q2 = 10 ). Основание q2 изображается в двоичной системе эквивалентом q2 = 10102. Решение. 1101001 1010 - 1010 1010 1010 001100 - 1010 0001 b2 = 0001 - 1010 b1 = 0000 b0 = 0101 Ответ: на основании таблицы 1 можно записать: b0 = 01012 = 5; b1 = 00002 = 0; b2 = 00012 = 1; A = 105. Этот способ применяют только для перевода целых чисел. Перевод правильных дробей умножением на основание q2 новой системы счисления. Пусть исходное число, записанное в системе счисле­ния с основанием q1 имеет вид
Тогда в новой системе с основанием q2 это число будет изображено как 0, b-1, ., bs, или Переписав это выражение по схеме Горнера, получим (14) Если правую часть выражения (14) умножить на q2, то получится новая неправильная дробь, в целой части которой будет число b-1. Умно­жив затем оставшуюся дробную часть на величину основания q2, получим дробь, в целой части которой будет b-2, и т. д. Повторяя процесс умноже­ния s раз, найдем все s цифр числа в новой системе счисления. При этом все действия должны выполняться по правилам q1 -арифметики, и следователь­но, в целой части получающихся дробей будут проявляться эквиваленты цифр новой системы счисления, записанные в исходной системе счисления.
Пример 4. Перевести десятичную дробь А = 0,625 в двоичную систему счисления (q2 = 2 ). Решение. 0,
×
625 2 b-1 = 1,
× 250 2 b-2 = 0,
× 500 2 b-3 = 1,
× 000 2 b-4 = 0. 000 Ответ: А2 = 0,10102. Пример 5. Перевести двоичную дробь А2 = 0,11012 в десятичную систему счисления (q2 = 10102). Решение. 0,
×
1101 1010 b-1 = 8 1000,
×
0010 1010 b-2 = 1 0001,
×
0100 1010 b-3 = 2 0010,
×
1000 1010 b-4 = 5 0101.
0000 Ответ: A10 = 0,812510. При переводе правильных дробей из одной системы счисления в другую можно получить дробь в виде бесконечного или расходящегося ряда. Процесс перевода можно закончить, если появится дробная часть, имеющая во всех разрядах нули, или будет достигнута заданная точность перевода (получено требуемое количество разрядов результата). Последнее означает, что при переводе дроби необходимо указать количество разрядов числа в новой системе счисления. Естественно, что при этом возникает погрешность перевода чисел, которую надо оценивать. Для перевода неправильных дробей из одной системы счисления в другую необходим раздельный перевод целой и дробной частей по правилам, описанным выше. Полученные результаты записывают в виде новой дроби в системе с основанием q2. Пример 6. Перевести десятичную дробь А = 98,625 в двоичную систему счисления (q2 = 2). Решение. Результаты перевода соответственно целой и дробной частей возьмем из примеров 2 и 4. Ответ: A2 = 1100010,1010. Табличный метод перевода. В простейшем виде табличный метод заключается в следующем: имеется таблица всех чисел одной системы с соответствующими эквивалентами из другой системы; задача перевода сводится к нахождению соответствующей строки таблицы и выбору из нее эквивалента. Такая таблица очень громоздка и требует большой емкости памяти для хранения. Другой вид табличного метода заключается в том, что имеются таблицы эквивалентов в каждой системе только для цифр этих систем и степеней основания (положительных и отрицательных); задача перевода сводится к тому, что в выражение ряда (3) для исходной системы счисления надо подставить эквиваленты из новой системы для всех цифр и степеней основания и произвести соответствующие действия (умножения и сложения) по правилам q2 -арифметики. Полученный результат этих действий будет изображать число в новой системе счисления. Пример 7. Перевести десятичное число А = 113 в двоичную систему счисления, используя следующее соотношение эквивалентов и степени основания: Десятичное число 100 101 102 Двоичный эквивалент . 0001 1010 1100110 Решение. Подставив значения двоичных эквивалентов десятичных цифр и степеней -oснования в (11), получим A=113=1·102+1·101+3·100=0001·1100100+0001·1010+0011·0001=11100012. Ответ: 11100012. Пример 8. Перевести двоичное число А2 = 11001,1 в десятичную систему счисления: Двоичное число 0,1 00001 00010 Десятичный эквивалент . 2-1=0,5 20 = 1 21= 2 Двоичное число 00100 01000 10000 Десятичный эквивалент . 22 = 4 23 = 8 24 = 16 Решение. А = 1·16+1·8+0·4+0·2+1·1+1·0,5 = 25,5. Ответ: А = 25,5. Использование промежуточной системы счисления. Этот метод применяют при переводе из десятичной системы в двоичную и наоборот. В качестве промежуточной системы счисления можно использовать, например, восьмеричную систему. Рассмотрим примеры, в которых перевод одного и того же числа в разные системы счисления осуществляется методом деления на основание новой системы. Запись будем вести в столбик, где справа от вертикальной черты записываются остатки деления на каждом шаге, а слева — целая часть частного. Пример 9. Перевести десятичное число А =121 в двоичную систему счисления, используя в качестве промежуточной восьмеричную систему счисления.
q2 = 2
121
1
60
0
30
0
15
1
7
1
3
1
1
1
7 шагов Решение.
q2 = 8
121
1
15
7
1
1
3 шага Ответ: А = 121 = 1718 = 11110012. Сравнивая эти примеры, видим, что при переводе числа из десятичной системы в восьмеричную требуется в два с лишним раза меньше шагов, чем при переводе в двоичную систему. Если при этом учесть, что восьмеричная система связана с двоичной соотношением 8k = (23)k, то перевод из восьмеричной системы в двоичную и наоборот можно осуществить простой заменой восьмеричных цифр их двоичными эквивалентами. Триада — двоичный эквивалент восьмеричных цифр.
Пример 10. Перевести двоичное число А2 = 1011,0111 в восьмеричную систему счисления. Решение. Исходное число условно разбиваем на триады справа налево для целых чисел и слева направо для правильной дроби. Затем заменяем каждую триаду в соответствии с нижеприведенным соответствием.
Восьмеричная цифра 0 1 2 3 4 5 6 7 Двоичный эквивалент 000 001 010 011 100 101 110 111
A2 = 001 011,011 100.
A8 = 1 3,3 4. Ответ: А8 = 13,34. В качестве промежуточных систем счисления целесообразно использовать системы с основанием q = 2k. При этом существенно упрощается преобразование информации из системы счисления с основанием q = 2k в двоичную систему и наоборот. Преобразование фактически сводится к тому, что символы первоначальной информации, заданной в системе с основанием q = 2k, заменяются соответствующими двоичными эквивалентами (см. табл. 1). Представление десятичных чисел в таком виде называется десятично-двоичным. Обратное преобразование из двоичной системы в систему с основанием q = 2k сводится к тому, что двоичный код разбивается на группы по k двоичных разрядов в каждой (начиная от младших разрядов для целых чисел или с первого разряда после запятой для правильных дробей); эти группы (диады, триады, тетрады (табл.2) и т. д.) заменяются соответствующими символами исходной системы счисления. Таблица 2
Десятичное число
Двоичный эквивалент для q = 24
Десятичное число
Двоичный эквивалент для q = 24
Десятичное число
Двоичный эквивалент для q = 24
0
0000
6
0110
11
1011
1
0001
7
0111
12
1100
2
0010
8
1000
13
1101
3
0011
9
1001
14
1110
4
0100
10
1010
15
1111
5
0101 Системы счисления с основанием q = 2k широко используют для записи программ решения задач, а также для ускорения выполнения арифметических операций. (разновидности систем счисления: с другими символами - (1, -1); избыточная - (0, 1, -1); с отрицательным основанием –(q 1.2 Формы представления числовой информации Число 0,028 можно записать так: 28·10-3, или 0,03 (с округлением), или 2,8·10-2 и т. д. Разнообразие форм в записи одного числа может послужить причиной затруднений для работы цифрового автомата. Во избежание этого нужно либо создать специальные алгоритмы распознавания числа, либо указывать каждый раз форму его записи. Второй путь проще. Существуют две формы записи чисел: естественная и нормальная. При естественной форме число записывается в естественном натуральном виде, например 12560 — целое число; 0,003572 — правильная дробь; 4,89760 — неправильная дробь. При нормальной форме запись одного числа может принимать разный вид в зависимости от ограничений, накладываемых на ее форму. Например, число 12560 может быть записано так: 12560 = 1,256 · 104 = 0,1256 · 105 = 125600 · 10-1 и т. д. Автоматное (машинное) изображение числа— представление числа А в разрядной сетке цифрового автомата. Условно обозначим автоматное изображение числа символом [А]. Тогда справедливо соотношение: А = [А]КA, где КA — коэффициент, величина которого зависит от формы представления числа в автомате. Представление чисел с фиксированной запятой (точкой). Естественная форма представления числа в цифровом автомате характеризуется тем, что положение его разрядов в автоматном изображении остается всегда постоянным независимо от величины самого числа. Существует также другое название этой формы записи чисел — представление чисел с фиксированной запятой (точкой). Чтобы упростить функционирование цифрового автомата, необходимо ограничить входную информацию какой-то одной областью чисел (на вход автомата желательно подавать либо целые числа, либо правильные дроби, либо любые числа), что позволит определить значения масштабного коэффициента КA. Например, если на вход цифрового автомата поступают только правильные дроби, то , (19) где [A]ф — машинное изображение числа для формы представления с фиксированной запятой. Тогда число А будет представлено в виде А = [A]фKA. Величина масштабного коэффициента КA, удовлетворяющего условию (19), определяет тот факт, что в машинном изображении запятая всегда стоит после целой части дроби, т. е. перед ее старшим разрядом. Следовательно, можно хранить только дробную часть числа (цифровую часть), а в разряде целой части писать дополнительную информацию. Так как числа бывают положительные и отрицательные, то формат (разрядная сетка) автоматного изображения разбивается на знаковую часть и поле числа (рис.2, а). В знаковую часть записывается информация о знаке. Примем, что знак положительного числа «+» изображается символом 0, а знак отрицательного числа «-» изображается символом 1.

Рис. 2. Представление чисел в форме
с фиксированной запятой Если на вход цифрового автомата поступают целые числа, например, как в ЕС ЭВМ, то в разрядной сетке (в формате машинного изображения) один разряд отводится под знак числа, а последующие разряды образуют поле числа. Диапазон представимых чисел в этом случае от - (2n -1) до + (2n -1), где п — количество разрядов без знаковой части.
Задачу выбора масштабного коэффициента КA усложняет необходимость сохранять соответствие разрядов всех чисел, которыми оперирует цифровой автомат. Пусть имеется цифровой автомат с разрядной сеткой длиной 12 двоичных разрядов (рис. 2, а). Надо определить масштабный коэффициент для чисел A1 = - 1011,01111102 и A2 = 0,1100011012.
Для того чтобы выполнить условие (19), необходимо число, большее по абсолютному значению, записать в виде А1 = -0,10110111110 · 24. Отсюда [A1]ф = 1,10110111110, что соответствует величине масштабного коэффициента = 24. Число А2 должно войти в разрядную сетку автомата с сохранением соответствия разрядов, т. е.. Следовательно, А2 = +0,0000110001101·24 или [А2]ф = 0,00001100011 (рис. 2, б, в). Из примера видно, что представление чисел в форме с фиксированной запятой может привести к погрешности представления. Так, для числа А2 абсолютная погрешность представления оценивается величиной части числа, не уместившейся в разрядную сетку, т. е. величиной 0,0000000000001·24. В некоторых случаях очень малые числа представляются в машине изображением, называемым машинным нулем. Следовательно, ошибка представления зависит от правильности выбора масштабных коэффициентов. Вычисление последних должно проводиться таким образом, чтобы исключить возможность появления в процессе функционирования автомата чисел, машинные изображения которых не удовлетворяют условию (19). Если в результате операции появится число, по абсолютному значению большее единицы, то возникает переполнение разрядной сетки автомата, что нарушает нормальное функционирование цифрового автомата. Представление чисел в форме с плавающей запятой. В нормальной форме (20) где тA —мантисса числа А; рA —порядок числа А. Как видно из ранее изложенного, такое представление чисел не однозначно; для определенности обычно вводят некоторые ограничения. Наиболее распространено и удобно для представления в ЭВМ ограничение вида , (21) где q — основание системы счисления. Нормализованная форма представления чисел — форма представления чисел, для которой справедливо условие (21). Поскольку в этом случае абсолютное значение мантиссы лежит в пределах от q-1 до 1 – q-n, где п — количество разрядов для изображения мантиссы без знака, положение разрядов числа в его автоматном изображении не постоянно. Поэтому такую форму представления чисел называют также формой представления с плавающей запятой. Формат машинного изображения числа с плавающей запятой должен содержать знаковые части и поля для мантиссы и порядка (рис. 3, а). Выделяются специальные разряды для изображения знака числа (мантиссы) и знака порядка или характеристики (рис. 3, а, б). Кодирование знаков остается таким же, как было с фиксированной запятой. Рассмотрим пример записи чисел в форме с плавающей запятой. Пусть в разрядную сетку цифрового автомата (рис. 3) необходимо записать двоичные числа A1 = -10110,11112 и А2 = +0,0001100101112. Прежде всего эти числа необходимо записать в нормальной форме (рис. 3, в, г). Порядок чисел выбирают таким образом, чтобы для них выполнялось условие (21), т. е. A1 = -0,101101111·25 и А2 = +0,110010111·2-3, он должен быть записан в двоичной системе счисления. Так как система счисления для заданного автомата остается постоянной, то нет необходимости указывать ее основание, достаточно лишь представить показатель степени.

Рис. 3. Представление чисел в форме с плавающей запятой Поскольку для изображения порядка выделено пять цифровых разрядов и один разряд для знака, их машинные изображения и машинные изображения их мантисс соответственно
[] = 000101; [].= 00011;
[] = 1,101101111; [] = 0,110010111.
1.3 Погрешности представления числовой информации Представление числовой информации в цифровом автомате, как правило, влечет за собой появление погрешностей (ошибок), величина которых зависит от формы представления чисел и от длины разрядной сетки автомата. Абсолютная погрешность представления — разность между истинным значением входной величины А и ее значением, полученным из машинного изображения Ам, т. е. Δ[А] = А – Ам. Относительная погрешность представления — величина . (30) Входные величины независимо от количества значащих цифр могут содержать грубые ошибки, возникающие из-за опечаток, ошибочных отсчетов показаний каких-либо приборов, некорректной постановки задачи или отсутствия более полной и точной информации. Например, часто принимают π = 3,14. Однако эта величина может быть получена с более высокой точностью. Если принять, что точное значение π = 3,14139265, то абсолютная погрешность равна Δ[π] = 0,00159265. Часто некоторая величина в одной системе счисления имеет конечное значение, а в другой системе счисления становится бесконечной величиной, например, дробь 1/10 имеет конечное десятичное представление, но, будучи переведена в двоичную систему счисления, становится бесконечной дробью 0,00011000110011 . . Следовательно, при переводе чисел из одной системы счисления в другую неизбежно возникают погрешности, оценить которые нетрудно, если известны истинные значения входных чисел. В соответствии с (19) числа изображаются в машине в виде Аq = [А]КA, где масштабный коэффициент КA выбирают так, чтобы абсолютное значение машинного изображения числа А в системе счисления с основанием q = 2 было всегда меньше 1: Аq =КA [а-1q-1 + а-2q-2 + . + а-пq-n +…]. Так как длина разрядной сетки автомата равна п двоичных разрядов после запятой, абсолютная погрешность перевода десятичной информации в систему с основанием q будет (31) Если q = 2 , то при аi = 1 максимальное значение этой погрешности (32) Из (32) следует, что максимальная погрешность перевода десятичной информации в двоичную не будет превышать единицы младшего разряда разрядной сетки автомата. Минимальная погрешность перевода равна нулю. Усредненная абсолютная погрешность перевода чисел в двоичную систему счисления Δ[A] = (0 + 2-n)/2 = 0,5·2-n. Для представления чисел в форме с фиксированной запятой абсолютное значение машинного изображения числа
(33) Следовательно, относительные погрешности представления для минимального значения числа . Для ЭВМ, как правило, п = 16 .64, поэтому 1>>2-n, откуда
Аналогично, для максимального значения: (34) Из (34) видно, что погрешности представления малых чисел в форме с фиксированной запятой могут быть очень значительными. Для представления чисел в форме с плавающей запятой абсолютное значение мантиссы (35) Погрешность (32) — погрешность мантиссы. Для нахождения погрешности представления числа в форме с плавающей запятой величину этой погрешности надо умножить на величину порядка числа рA: (36) где п — количество разрядов для представления мантиссы числа. Из (36) следует, что относительная точность представления чисел в форме с плавающей запятой почти не зависит от величины числа. Литература: 1. СИП КубГТУ 4.2.6-2004. Система менеджмента и качества. Учебно-организационная деятельность. Курсовое проектирование. Краснодар: Тип. КубГТУ, 2004. 2. Васильев П.П. Турбо Паскаль в примерах и задачах: освой самостоятельно: Учеб. пособие.- М.: Финансы и статистика, 2002.– 496 с. 3. Голицина О.Л., Попов И.И. Основы алгоритмизации и программирования: Учеб. пособие.– М.: ФОРУМ: ИНФА-М, 2002.– 432 с. 4. Иванова Г.С. Основы программирования: Учебник для вузов.– 2-е изд., перераб. и доп.–М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.– 416 с. 5. Кнут, Дональд, Эрвин. Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы, 2-е изд.: пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2002.– 720 с. 6. Кнут, Дональд, Эрвин. Искусство программирования, том 2. Получисленные алгоритм, 2-е изд.: пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003.– 832 с. 7. Кнут, Дональд, Эрвин. Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск, 2-е изд.: пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003.– 832 с. 8. Немнюгин С.А. Turbo Pascal. Программирование на зыке высокого уровня: Учебник для вузов. 2-е изд. – СПб.: Питер, 2003.-544 с. 9. Немнюгин С.А. Turbo Pascal. Практикум. 2- изд. / СПб.: Питер, 2003.- 268 с. 10. Окулов С.М. Программирование в алгоритмах / С.М. Окулов.– М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002.– 341 с. 11. Окулов С.М. Основы программирования.– М.: ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002.– 424 с. 12. Павловская Т.А. Паскаль. Программирование на языке высокого уровня: Учебник для вузов. СПб.: Питер, 2003.–393 с. 13. Программирование. Методические указания к курсовой работе для студентов всех форм обучения специальности 220400 – Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем / Кубан. гос. технол. ун-т. Сост. М.П. Малыхина М.П., Л.Н. Миклашевская. Краснодар: Изд-во КубГТУ, 1998.– 28 с. 14. Программирование на языке Паскаль: Задачник / под ред. Усковой О.Ф. –СПб.: Питер 2003.– 336 с. 15. Сухарев М. Turbo Pascal 7.0, теория и практика программирования.– СПб: Наука и техника, 2003.–576 с. 16. Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0. Начальный курс. Учебное пособие. – М.: Нолидж, 1997.– 616 с. 17. Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0. Практика программирования. Учебное пособие. Издание 7-е, переработанное. М.: Нолидж, издатель Молгачева С.В., 2001.– 416 с. 18. Федоренко Ю. Алгоритмы и программы на Turbo Pascal / Учебный курс.– СПб: Питер, 2001.- 240 с.