Инверсия и ее применение

Введение
 
В геометрии основную рольиграют различные преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения игомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразованийявляется сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямыепреобразуются в прямые, а окружности – в окружности. Инверсия представляетсобой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые ужемогут переходить в окружности и наоборот. Такой подход позволяет дать вприменении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения.Это, прежде всего, относится к задачам на построение и к теории пучковокружностей.
Следует отметить, чторассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения инверсиисвязано с привлечением разнообразных, большей частью довольно искусственныхпостроений, носящих частный характер.
Кроме указанныхприложений, инверсия применяется также в пограничных вопросах элементарнойгеометрии и так называемой высшей геометрии.
В данной работе ирассматривается преобразование, называемое инверсией. Применение преобразованияинверсии при решении задач на построение и доказательство позволяет решить рядзадач, которые трудно решить с помощью других методов решения подобных задач.
Впервые стали изучать этопреобразование в 30-х годах прошлого века.
Способ решения задач,который рассматривается в данной работе, называется методом инверсии, илиметодом обратных радиусов, или методом обращения.
Этот метод являетсямощнейшим среди методов решения задач на построение, которые могут сыгратьсерьезную роль в математической подготовке школьника, ведь ни один вид задач недает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы илогических навыков учащихся как геометрические задачи на построение.
Дана дипломная работапосвящена преобразованию инверсии и ее применению в решении задач напостроение. Для удобства изложения материал разбит на две главы.
В первой главе подробноизучается преобразование инверсии: рассматриваются основные свойства инверсии.Во второй главе рассматривается применение инверсии к решению задач напостроение, отдельно рассматривается задача Аполлония и вспомогательные задачи,применяемые к решению этой задачи.
В конце второй главы вработе представлено приложение, в котором предложено решение некоторых задач,решаемых с помощью инверсии.
Работа включает в себятакже введение, заключение и список используемой литературы.

1. Инверсия какпреобразование плоскости
1.1 Определениеинверсии. Построение инверсных точек.
Пусть на плоскости дананекоторая окружность щ (О, R)(рис. 1)
/>
Рис. 1
Пусть, далее, Р –произвольная точка плоскости, отличная от точки О. Сопоставим ей точку Рґ,которая удовлетворяла бы двум условиям:
1)                точка Рґ лежит налуче ОР;
2)                ОР />ОРґ = R2.
Такую точку Рґ мыназываем инверсной или обратной точке Р относительно окружности щ. Окружность щназывается базисной окружностью инверсии, ее центр – центром инверсии, а радиус– радиусом инверсии.
Преобразование, прикотором каждой точке некоторой фигуры ставится в соответствие инверсная ейточка, называется инверсией, а фигура, образованная всеми точками, инверснымиточками данной фигуры, называется инверсной по отношению к данной фигуре.Обратимвнимание на то, что при R = 1 ОРґ= 1/ОР, так что елиточка Р инверсна точке Рґ, то расстояния ОР и ОРґ являются взаимно обратнымичислами. С этим связано то, что точку Рґ называют обратной точке Р, арассматриваемое преобразование называется преобразованием обратных радиусов(расстояний), или же обращением.
Рассмотрим построениеинверсных точек:
1 случай.
Если точка Р Є (О, Р ), тоРґ= Р (совпадают).
2 случай.
Пусть точка Р внебазисной окружности.
Построение.
1.     щ(О, R) и Р – данная точка.
2.     РК– касательная к окружности щ. К Є щ.
3.     КРґ┴ОР,Рґ Є ОР, Рґ — инверсна точке Р. (рис 2).
/>
Рис. 2.
Доказательство.
Рассмотримподобные треугольники ОРК и ОКРґ. Из подобия следует: />= /> илиОР />ОРґ = R2.
Точка Рґ Є ОР(по построению).
3 случай.
Точка Р –внутри базисной окружности. Тогда построение выполняем в обратом порядке.
Построение.
1.     щ(О, R) и Р – данная точка.
2.     РК┴ОР, К Є щ.
3.     КР– касательная к окружности./>
1.2Свойства инверсии
Прежде, чемрассмотреть свойства инверсии, установим одну простую лемму, которая играетсущественную роль при изучении свойств инверсии.
Лемма. Пустьинверсия ц переводит точки А и В соответственно в точки Аґ и Вґ(предполагается, что точки А и В отличны от точки О и бесконечно удаленнойточки и, кроме того, точки О, А, В не лежат на одном луче с началом в точке О).Тогда треугольники ОАВ и ОАґВґ подобны и ∟ОАВ= ∟ОВґАґ, ∟ОВА= ∟ОАґВґ.
Доказательство:У треугольников ОАВ и ОАґВґ (рис.3) имеется общий угол, а стороны, заключающиеэтот угол, пропорциональны. Действительно, так как ОА/>ОАґ = ОВ/>ОВґ = r2, то /> = />. Отсюда следует, что треугольники ОАВ и ОАґВґподобны.
/>
Рис 3.
Но так какпротив пропорциональных сторон в подобных тре6угольниках лежат равные углы, тоиз соотношения /> = /> следует равенство соответствующихуглов: ∟ОАВ= ∟ОВґАґ, ∟ОВА= ∟ОАґВґ.
Леммадоказана.
Теорема 1.Инверсия ц переводит любую прямую, проходящую через центр инверсии, саму насебя, т. е. прямая, проходящая через центр инверсии, есть инвариантная фигура.
Доказательствоэтой теоремы непосредственно вытекает из определения инверсии.
Теорема 2.Инверсия ц преобразует прямую, не проходящую через центр инверсии О, вокружность, проходящую через точку О.
Доказательство:Пусть l – прямая, не проходящая через центр инверсии –точку О. Опустим из точки О перпендикуляр на прямую l,и пусть он пересекает l в точке М (рис 4). Пусть Мґобраз точки М относительно инверсии ц. Точка Мґ, очевидно, лежит на луче ОМ. Напрямой l рассмотрим произвольную точку X, отличную от бесконечно удаленной точки О ∞. Пусть Xґ — образ Х относительно инверсии ц. Тогда по лемме 1 имеем ∟ОXґМґ = ∟ОМХ = />. Поэтому точка Xґ лежит наокружности К, построенной на отрезке ОМґ как на диаметре. Так как точка Х взятана прямой l произвольно, то образ прямой l при инверсии ц представляет собой совокупность точек l′, расположенную на окружности К.

/>
Рис. 4
Докажемтеперь, что множество точек l′ совпадает сокружностью К. прежде всего отметим, что точка О принадлежит множеству l′. Это вытекает из того, что прямая lпроходит через бесконечно удаленную точку О ∞, а эту точку инверсия цпереводит в точку О. Пусть теперь Y – произвольнаяточка окружности К. Луч ОY пересекает прямую l в некоторой точке Z. Так как точки Y и Z лежат на одном луче ОZ, то нам нужно лишь проверить, что выполняется соотношение ОY = />. Попостроению треугольники ОYМґ и ОМZ(рис 4) подобны. Поэтому /> = />. Отсюда ОY= /> = />. Итак, доказано, что точка Y есть образ точки Z при инверсии ц.
Теоремадоказана.
Построение,проведенное в доказательстве теоремы 2, дает способ построения образа заданнойпрямой относительно инверсии ц с помощью циркуля и линейки. Из центра инверсии– точки О – опускаем перпендикуляр ОМ (рис 4) на прямую l.Строим точку Мґ, являющуюся образом точки М (при этом приходится строитьотрезок длиной, равной r2/ОМ). Образ прямой l относительно инверсии – окружность lґ- строится на отрезке ОМґ как на диаметре.
Теорема 3.Инверсия ц преобразует окружность, проходящую через центр инверсии О, в прямую,не проходящую через точку О.
Доказательствоэтой теоремы вытекает из доказательства теоремы 2.
Теорема 4.Инверсия ц преобразует окружность, не проходящую через центр инверсии О, внекоторую окружность, также не проходящую через центр инверсии.
Доказательство:пусть К – окружность, не проходящая через центр инверсии О. Через точку О проведемпрямую g так, чтобы она пересекала окружность К подиаметру АВ (рис 5).
/>
Рис 5.
Пусть Аґ и Вґ- образы точек А и В относительно инверсии ц, Х – произвольная точка окружностиК и Хґ — ее образ.
По лемме 1треугольники ОХА и ОХґАґ подобны и потому ∟ОАґХґ = ∟ОХА; аналогичнотреугольники ОХВ и ОХґВґ подобны и, следовательно, ∟ОВґХґ = ∟ОХВ.
Так как ∟АґХґВґ= ∟ОВґХґ — ∟ОАґХґ = ∟ОХВ — ∟ОХА = ∟АХВ = />, то отсюда вытекает, что отрезокАґВґ из точки Хґ виден под углом /> и, стало быть, точка Хґ лежит на окружности S, построенной на отрезке АґВґ как на диаметре. Посколькуточка Х на окружности К была выбрана произвольно, то Кґ — образ окружности Кпри инверсии ц – расположен на окружности S. Пусть Y – произвольная точка окружности S иZ – точка на луче ОY такая, чтоОZ = />.Очевидно, что точка Z переводится инверсией ц в точку Y. Далее, из соотношений
ОА />ОАґ = r2
ОВ />ОВґ = r2
ОZ />OY = r2
и леммы 1вытекает, что ∟AZB = ∟OZB- ∟OZA = ∟OB′Y — ∟OA′Y=∟A′YB′ = />.
Следовательно,что точка Z лежит на окружности К. отсюда вытекает, чтофигуры S и Кґ совпадают. Так как по построению концыдиаметра окружности К – точки А, В – отличны от точки О, то окружность Кґ непроходит через точку О.
Построения,приведенные выше, дают возможность строить образ окружностей при инверсии спомощью циркуля и линейки. Рассмотрим этот вопрос более подробно.
а) Окружностьне проходит через центр инверсии. В этом случае проводим из точки О луч,который пересекает окружность К по диаметру АВ, для точек А и В строим ихобразы Аґ и Вґ. окружность Кґ — образ окружности К относительно инверсии ц –есть окружность, построенная на отрезке АґВґ как на диаметре (рис. 6).
/>
Рис. 6

б) ОкружностьК проходит через центр инверсии. В этом случае согласно теореме 3 образ К естьпрямая Кґ. из точки О проводим луч ОА (рис 7), который пересекает К по диаметруОА. Для точки А строим ее образ – точку Аґ. Прямая, проходящая через точку Аґперпендикулярно лучу ОА, и есть искомая прямая Кґ
Построениепрямой Кґ значительно упрощается в двух случаях:
1)                если окружность К пересекает окружность инверсии в двух точках В и С, топрямая Кґ совпадает с прямой ВС (рис. 8);
2)                если К касается окружности инверсии, то Кґ есть касательная к окружностиинверсии в точке касания К с окружностью инверсии (рис. 9).
/>
Рис. 7
/>
Рис. 8

/>
Рис. 9
Рассмотримтеперь вопрос о характере изменения углов между кривыми под действием инверсииц. Как известно, углом между кривыми L1 и L2 в точке их пересечения называется наименьший извертикальных углов между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке.Можно доказать, что при инверсии углы между кривыми сохраняются. Ниже этопредложение доказывается для окружностей и прямых.
Теорема 5.При инверсии ц угол между прямыми равен углу между их образами.
Доказательство.Здесь могут представиться 3 случая:
1)                прямые l1 и l2 проходятчерез центр инверсии ц;
2)                одна из прямых l1 и l2 проходитчерез центр инверсии;
3)                ни l1 и l2 не проходятчерез центр инверсии.
В первомслучае утверждение теоремы очевидно. Рассмотрим случаи 2) и 3). В случае 2)(рис. 10) будем считать для определенности, что прямая l1проходит через центр инверсии — точку О. Тогда инверсия ц переводит прямую l1 саму в себя, т.е. образ прямой l1совпадает с этой прямой. Прямая l2 не проходит черезцентр инверсии и потому переводится инверсией в некоторую окружность lґ2, проходящую через точку О. Касательная tк окружности lґ2 в точке О параллельно прямой l2.
/>
Рис. 10
Относительновзаимного расположения прямых l1 и l2могут представиться 2 возможности:
а) прямые l1 и l2 параллельны;
б) l1 и l2 пересекаются в некоторойточке А.
Если l1 и l2 параллельны, то угол междуними, очевидно, равен 0. Но прямая l1 проходит черезточку О и параллельна l2. Поэтому она необходимо будетсовпадать с касательной t к окружности lґ2 в точке О. Отсюда следует, что угол между lґ1 и lґ2 равен 0 и, следовательно,утверждение теоремы в случае а) доказана.
Пусть теперь l1 и l2 не параллельны и А – точка ихпересечения. Обозначим через б наименьший из вертикальных углов между l1 = lґ1 и прямой l2или, что то же, прямой t. Точка А при инверсиипереходит в некоторую точку Аґ, в которой прямая lґ1пересекается с окружностью lґ2. Но прямая lґ1 или, что то же, прямая ОАґ составляет с касательной tґ в точке Аґ к окружности lґ2 такиеже вертикальные углы, что и с касательной t. Отсюданемедленно следует, что угол между l1 и l2 в точке Аґ равен б… случай 2) полностью доказан.

/>
Рис. 11
Третий случай(рис. 11) доказывается аналогичными рассуждениями. Заметим только, что еслипрямые l1 и l2 параллельны, тосоответствующие окружности lґ1 и lґ2имеют в точке О общую касательную и составляют между собой нулевой угол. Отсюдаугол между lґ1 и lґ2 равен углумежду l1 и l2. Если же прямые l1 и l2 пересекаются, то, как видноиз рис. 11, угол между окружностями lґ1 и lґ2 в точке О равен углу между прямыми l1и l2, т. к. касательные t1 и t2 к этим окружностям в точке О параллельны прямым l1 и l2. Отсюда и вытекаетутверждение теоремы.
Рассмотримеще две теоремы без доказательства.
Теорема 6.Угол между окружностями равен углу между образами этих окружностей относительноинверсии.
Теорема 7.Угол между окружностью и прямой равен углу между образами этих фигуротносительно инверсии.
1.3 Леммаоб антипараллельных прямых
Сначаларассмотрим вспомогательное понятие.
Пустьнекоторая прямая a пересекает обе стороны некоторогоугла (k, l) (рис. 12). Впересечении с какой–либо из сторон угла, например k,эта прямая образует четыре угла, из которых только один лежит внутритреугольника, отсекаемого прямой от угла (k, l).
/>
/>Рис. 12
В дальнейшем,когда речь будет идти об угле между прямой и стороной угла, мы будем иметь ввиду именно этот угол.
Пусть теперьдве прямые (рис. 13) пересекают стороны угла, причем одна из них образует содной из сторон угла такой же угол, какой вторая прямая образует с другойстороной угла (на рис. 13) ∟1 = ∟2.
/>
Рис. 13
Легко понять,что когда и первая прямая образует со второй стороной угла такой же угол, какойобразует вторая прямая с первой стороной угла ∟3 = ∟4.
Определение.Две прямые, пересекающие стороны некоторого угла, называются антипараллельнымиотносительно этого угла, если одна из них образует с одной из его сторон такойже угол, какой образует другая прямая с другой его стороной.
Антипараллельнымиявляются прямые a и b нарисунке 13, прямые с и d на рисунке 14, где с ┴ k и d ┴l.
Антипараллельныепрямые, вообще говоря, не параллельны. Исключение составляет только случай,когда обе прямые перпендикулярны к биссектрисе данного угла (рис. 15).
/>
Рис. 14
/>
Рис. 15
Теорема(лемма об антипараллельных прямых). Прямая, соединяющая две точки плоскости, ипрямая, соединяющая две инверсные им точки, антипараллельны относительно угла свершиной в центре инверсии и сторонами, проходящими через данные точки.
Доказательство.Пусть щ (О, R) базисная окружность, точки Аґ и Вґ (рис.16) инверсны соответственно точкам А и В. Тогда ОА />ОАґ = ОВ />ОВґ = R2, так что /> = />. Кроме того, в треугольниках АОВ и ВґОАґ угол Ообщий. Следовательно, ∆АОВ подобен ∆ ВґОАґ и, значит, ∟ОВА = ∟ОА′В′.
Такимобразом, прямые АВ и А′В′ антипараллельны относительно угла АОВ,что и требовалось доказать.
Если (рис.16) каким-либо образом построены две соответственные в инверсии точки А и А′,то доказанная лемма дает простой прием построения образа произвольной точки В(не лежащей на прямой ОА): соединить В с А и провести прямую А′В′так, чтобы ∟ОА′В′ = ∟ОВА.
/>
Рис. 16
1.4 Степеньточки относительно окружности
Понятиестепени точки относительно окружности играет существенную роль и являетсяаналогом понятия расстояния от точки до прямой.
Степеньюточки М относительно окружности К называется число
s = d2 – r2 ,
где d – расстояние точки М от центра О окружности К, а r – радиус этой окружности. Если точка М лежит внутриокружности К, то d МВ.
/>
Рис. 17
Если точка Млежит на окружности К, то d = rи, следовательно, степень точки М равна нулю. Наконец, если точка М лежит внеокружности К, то d > r и s = d2 – r2представляет собой квадрат длины касательной к окружности К, проведенной източки М (рис. 18).
/>
Рис. 18

Пусть теперьданы две окружности К1 и К2. Геометрическое место точек, степени которыхотносительно окружностей К1 и К2 равны, называют радикальной осью окружностейК1 и К2.
1.5 Инверсияокружностей, проходящих и не проходящих через центр инверсии
Путьнекоторая окружность г проходит через центр инверсии – точку О. При инверсиивсе точки окружности г, за исключением точки О, преобразуются в какие-то другиеточки. Какую фигуру образуют эти точки?
Теорема. Приинверсии окружность, проходящая через центр инверсии, преобразуется в прямую.Эта прямая перпендикулярна к линии центров данной окружности и базиснойокружности.
Доказательство.Пусть щ (О, R) – базисная окружность инверсии, г (О1, R1) – данная окружность, проходящая через О. Проведем прямуюО О1. Пусть она пересечет окружность г в точке А (рис. 19).
/>
Рис. 19
Обозначим черезАґ точку, инверсную точке А. Выберем на окружности г произвольную точку Р ипостроим ей инверсную точку Рґ. соединим Р с А, Рґ с Аґ. В силу леммы обантипараллельных прямых ∟ОАґРґ = ∟ОРА. Но ∟ОРА = 90˚,как опирающийся на диаметр окружности г. Поэтому ∟ОАґРґ тоже равен 90˚,т. е. точка Р′ лежит на прямой, проходящей через точку А′ иперпендикулярной к прямой ОА′. Обозначим прямую Р′А′ через а.Мы показали, что каждая точка окружности г преобразуется в точку прямой а. Нетрудно показать, что и обратно: каждая точка прямой а инверсна некоторой точкеокружности г. Следовательно, окружность г преобразуется при инверсии в прямуюа, что и требовалось доказать.
Израссмотренной теоремы вытекает способ построения прямой, инверсной даннойокружности, если последняя проходит через центр инверсии: 1) строим прямую ОО1,проходящую через центр инверсии и центр данной окружности; 2) отмечаем точку Апересечения этой прямой с данной окружностью (А ≠ О); 3) строим точку А′,инверсную точке А, и 4) через точку А′ проводим прямую а,перпендикулярную прямой ОО1. Полученная прямая а искомая.
В том случае,когда базисная окружность пересекает данную окружность г, построениеупрощается: прямой, инверсной окружности г, является прямая, определяемая двумяточками пересечения окружности г с базисной окружностью (рис. 20).
Еслиокружность г касается базисной окружности щ, то г преобразуется в общуюкасательную этих окружностей.
Если двеокружности касаются в центре инверсии, то они преобразуются при инверсии в парупараллельных прямых.
/>
Рис. 20

Теорема. Приинверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, преобразуется вокружность.
Доказательство.Пусть щ (О, r) – базисная окружность (рис. 21), г (О1, r1) – данная окружность. Проведем прямую ОО1 и отметим точкиА и В ее пересечения с окружностью г. Пусть Аґ и Вґ — инверсные им точки.Обозначим через Р произвольную точку окружности г, через Рґ — инверсную ейточку. Соединим Р с А и В, Рґ с Аґ и Вґ. из леммы об антипараллельных прямыхвытекает, что ∟1′ = ∟1, ∟2′ = ∟2. Но ∟1+ ∟2 = 90є. Поэтому ∟1ґ + ∟2ґ = 90є. Следовательно, ∟АґРґВґ= 90є. Таким образом, из точки Рґ отрезок АґВґ виден под прямым углом. Значит,точка Рґ лежит на окружности с диаметром АґВґ. Обозначим эту окружность черезгґ. Мы доказали, что каждая точка окружности г при инверсии преобразуется вточку окружности гґ.
/>
Рис. 21
По ходудоказательства теоремы выясняется следующий способ построения окружности,инверсной данной окружности (если последняя не проходит через центр инверсии):1) проводим прямую через центр инверсии О и центр О1 данной окружности г; 2)отмечаем точки А и В пересечения этой прямой с окружностью гґ; 3) строиминверсные точки Аґ и Вґ; 4) строим окружность гґ на отрезке АґВґ как надиаметре. Окружность гґ искомая.

1.6 Преобразованиепрямой при инверсии
При инверсиипрямая, проходящая через центр инверсии, преобразуется сама в себя. Как обстоитдело с прямой, не проходящей через центр инверсии?
Теорема. Приинверсии прямая, не проходящая через центр инверсии, преобразуется вокружность, проходящую через центр инверсии.
Доказательство.Пусть щ (О, r) – базисная окружность (рис. 22), а –данная прямая. Опустим из точки О перпендикуляр ОА на прямую а. Пусть Аґ — точка, инверсная точке А, а г – окружность, имеющая диаметром ОАґ.
/>
Рис. 22
При инверсииокружность г преобразуется в прямую а (по теореме из пункта 1.5). в силусвойства взаимности прямая а преобразуется в окружность г.
Заметим, чтопо ходу доказательства мы выяснили способ построения окружности, инверснойданной прямой.
1.7Инвариантные окружности. Сохранение углов при инверсии
При инверсиибазисная окружность преобразуется в себя. Но существуют и другие окружности,обладающие таким свойством.
Вспомнимнекоторые определения.
Углом междудвумя линиями в точке их пересечения Т называется угол между касательными кэтим линиям, проведенным в точке Т.
Двеокружности называются ортогональными, если они пересекаются под прямым углом.Если две окружности ортогональны, то их радиусы, проведенные в точкупересечения, перпендикулярны между собой, и наоборот.
/>
Рис. 23
Отсюдавытекает способ построения окружностей, ортогональных данной окружности щ вданной точке Т. для этого достаточно на касательной t кокружности щ в точке Т выбрать произвольную точку О1 и построить окружность щ1(О1, О1Т), которая и будет искомой (рис. 23).
Теорема. Длятого чтобы окружность, отличная от базисной окружности, преобразовалась приинверсии в себя, необходимо и достаточно, чтобы она была ортогональна базиснойокружности.
Доказательство.1) Достаточность. Пусть окружность г (О1, r1) (рис. 24)ортогональна базисной окружности щ (О, r). Докажем, чтоокружность г преобразуется в себя.
/>
Рис. 24
Пусть Р –произвольная точка окружности г. Проведем прямую ОР. Она пересечет окружность геще в некоторой точке Р1 (если прямая ОР касается окружности г, то за Р1 примемточку Р).
Так какокружность г ортогональна окружности щ, то радиус ОТ, соединяющий центринверсии с точкой пересечения окружностей, касается окружности г. Поэтому ОР />ОР1 = ОТ2 = r2,так что точка Р1 инверсна точке Р. Итак, при инверсии относительно окружности щкаждая точка Р окружности г преобразуется в точку Р1, также лежащую наокружности г.
Принимая вовнимание свойство взаимности инверсных точек, можно заключить также, что иобратно: каждая точка окружности г служит образом некоторой точки этой жеокружности. Таким образом, окружность г преобразуется в себя.
2)Необходимость. Пусть окружность г, отличная от базисной окружности инверсии,преобразуется в себя. Докажем, что г – окружность, ортогональная базисной. Таккак окружность г отлична от окружности щ, то она содержит точку Р, не лежащуюна щ. Пусть точка Р1 инверсна точке Р (рис. 24); тогда одна из двух точек Р иР1 находится вне, а другая внутри окружности щ. Следовательно, окружность гпересекает окружность щ. Обозначим через Т одну из точек их пересечения.Покажем, что ОТ – касательная к окружности г. Это можно установить способом «отпротивного». Допустим, что, помимо точки Т, прямая ОТ встречает окружность геще в точке Т1. Заметим, что точки Р и Р1 расположены по одну сторону от точкиО, так что точка О расположена вне окружности г. В силу известного свойствасекущих, проведенных из одной и той же точки к окружности, ОТ />ОТ1 = ОР />ОР1 = r2. И так как ОТ = r, то и ОТ1 = r. Следовательно, точкаТ1 должна совпасть с точкой Т, вопреки допущению. Итак, ОТ – касательная кокружности г. Следовательно, окружности щ и г ортогональны.
Теорема. Еслиокружность проходит через две взаимно инверсные точки, то при инверсии онапреобразуется в себя.
Доказательство.Пусть окружность г проходит через точки Р и Рґ, инверсные относительноокружности щ (О, r). Тогда ОР />ОРґ = r2. Ясно, что точка Овне окружности г. Пусть Q – произвольная точка на окружностиг (рис. 25).
/>
Рис.25
Проведем лучОQ, и пусть он встречает окружность г в точках Q и Qґ (в случае касания луча ОQ с окружностью г Qґ≡ Q), тогда ОQ />OQґ = OP />OPґ = r2,т. е. точка Qґ инверсна точке Q.Итак, если какая-либо точка лежит на окружности г, то инверсная ей точка такжележит на этой окружности. Отсюда заключаем, что при инверсии окружность гпреобразуется в себя.
Следствие.Окружность, проходящая через две взаимно инверсные точки, ортогональна кбазисной окружности инверсии. Все окружности, проходящие через две взаимноинверсные точки, образуют эллиптический пучок, состоящий из окружностей,ортогональных базисной окружности инверсии.
Пусть черезточку М проходят две линии г1 и г2. предположим, что существует единственнаякасательная к каждой из этих линий в точке М. пусть при инверсии точка мпреобразуется в точку М′, а линии г1 и г2 соответственно в линии г1′и г2′. Оказывается, что угол между линиями г1′ и г2′ в точкеМ′ равен углу между линиями г1 и г2 в точке М.
Лемма. Еслипри инверсии относительно окружности щ (О, r) точка М ипроходящая через нее линия г преобразуется в точку М′ и линию г′,то линии г и г′ в этих точках образуют с прямой ОМ равные углы.
/>
Рис. 26
Доказательство.Пусть Р (рис. 26) – произвольная точка на линии г, Р′ — ей инверснаяточка; тогда Р′ лежит на г′.
Соединим М сР, М′ с Р′. В силу леммы об антипараллельных прямых ∟ММ′Р′= ∟МРО или ∟ММ′Р′ = ∟М′МР — ∟МОР…(1).
Пусть принеограниченном приближении точки Р вдоль линии г к точке М секущая МР стремитсяк положению МА, так что МА — касательная к линии г в точке М. Пусть ∟М′МА= ц. Тогда
lim ∟М′МР = ц.
P → M
В то жевремя, когда Р стремится к М вдоль линии г, угол МОР стремится к нулю. Поэтому,в силу равенства (1), угол ММ′Р′ также стремится к определенномупределу, равному ц. Таким образом, когда Р стремится к М вдоль линии г (и,следовательно, Р′ стремится к М′ на линии г′), секущая М′Р′стремится к некоторому предельному положению М′А′. А′М′- касательная к г′ в точке М′ (по определению касательной). Мывидим, что ∟ММ′А′ = ц. Лемма доказана.
Теорема. Еслидве линии г1 и г2 и точка их пересечения М преобразуются в некоторой инверсиисоответственно в линии г1′ и г2′ и точку М′, то угол между линиямиг1 и г2 в точке М равен углу между линиями г1′ и г2′ в точке М′.
/>
Рис. 27
Доказательство.Пусть а1 и а2 – касательные к г1 и г2 в точке М, а1′ и а2′ — касательныек г′1 и г′2 в точке М′ (рис. 27).
Будемпредполагать, что ни одна из прямых а1 и а2 не совпадают с прямой ОМ, где О –центр инверсии; в противном случае доказательство только упрощается. Прямой ММ′плоскость разбивается на две полуплоскости. Выберем в одной из них на каждойпрямой а1, а2 и а′1, а′2 по одной точке: А1 и А2; А1′ и А2′.В силу леммы
∟М′МА1= ∟ ММ′А1′ (2)
∟М′МА2= ∟ ММ′А2′ (2′).
Пусть дляопределенности ∟М′МА2
Следствие.Если две линии касаются в некоторой точке, отличной от центра инверсии, то приинверсии они преобразуются в две линии, которые касаются в соответственнойточке.
1.8 Инверсияи осевая симметрия.
Можноустановить далеко идущую аналогию в свойствах инверсии и осевой симметрии. Дляэтого напомним некоторые свойства инверсии.
1.     Инверсиясохраняет угол пресечения двух линий, меняя при этом его ориентацию.
2.     Прямая,ортогональная базисной окружности, преобразуется в себя.
3.     Базиснаяокружность преобразуется в себя.
4.     Всякаяокружность, ортогональная базисной, преобразуется в себя.
5.     Всякаяокружность или прямая преобразуется в окружность или прямую.
6.     Дветочки тогда и только тогда инверсны относительно некоторой базисной окружности,если они являются вершинами пучка окружностей, ортогональных к базисной.
Если в этихпредложениях слово «инверсия» заменить словами «осевая симметрия», выражение«базисная окружность» — через «ось симметрии» и «инверсные точки» — через«симметричные точки», то получим свойства осевой симметрии.
Покажем, чтов известном смысле осевую симметрию можно рассматривать как предельный случайинверсии. Пусть базисная окружность инверсии щ (О, r)проходит через точку А (рис. 28), так что ОА = r.Обозначим через а касательную к окружности щ в точке А.

/>
Рис. 28
Пусть, деле,Р – некоторая данная точка, Рґ — инверсная ей точка относительно окружности щ. Представимсебе, что центр инверсии неограниченно удаляется от точки А вдоль луча Ао, такчто радиус инверсии ОА неограниченно возрастает.
В известномсмысле можно говорить, что при этом окружность щ (О, r)неограниченно приближается к прямой а, «вырождается» в эту прямую. Оказывается,что при этом точка Рґ будет перемещаться по плоскости, неограниченноприближаясь к точке Р1, симметричной с точкой Р относительно прямой А. Докажемэто.
Дляопределенности положим, что точка Р и точка О лежат по разные стороны от прямойа (рис. 28). Опустим из точки Р перпендикуляр РN напрямую а и перпендикуляр РL на прямую ОА. Пусть РN = р, РL = m.Из точки Рґ, инверсной точке Р относительно окружности щ (О, r),также опустим перпендикуляры РґF и РґК на прямые а иОА. Нам нужно показать, что РґF→ р и РґК→ m, если r →∞. Действительно,
РґF = КА = r — ОРґ />Cosб = r – /> /> Cosб = r – /> =
= r — /> = />. Но
tgб = />, ипоэтому
Sin2б = /> = /> = /> = />.
Следовательно,PґF = /> = />.
Отсюда видно,что РґF → р, когда r → ∞. С другой стороны,РґК = = ОРґ />Sinб = />= /> = />.
Отсюда ясно,что РґК→ m, когда r→∞.
Изложенныездесь изображения показывают, что целесообразно расширить понятие об инверсиитак, чтобы можно было рассматривать осевую симметрию как специальный случайинверсии. Для этого условимся называть «окружностью в широком смысле слова»любую окружность и любую прямую. Тогда можно оба преобразования – инверсию исимметрию относительно прямой – объединить в одно понятие с помощью следующегоопределения. Точка Рґ называется обратной точке Р (или сопряженной точке Р) относительноокружности (в широком смысле) щ, если точки Р и Рґ являются вершинами пучкаокружностей ортогональных к щ. Такое преобразование, при котором каждой точке Рсопоставляется сопряженная ей точка Рґ относительно окружности (в широкомсмысле) щ, назовем отражением от окружности щ. В том случае, когда щ являетсяокружностью в узком (обычном) смысле, наше преобразование представляет инверсиюотносительно щ. Если же щ – прямая, то рассматриваемое преобразование являетсясимметрией относительно этой прямой.

1.9 Инверсор
Существуют приборы спомощью которых можно без всяких вычислений и без привлечения обычныхинструментов геометрических построений вычертить линию, инверсную любой даннойлинии.
Впервые инверсор былпредложен французским капитаном Поселье в 1864 году. Этот прибор получилизвестность только через семь лет, когда он был зависимо от Поселье изобретенпетербургским студентом Липкиным, видимо, под влиянием идей П. Л. Чебышева.
«Клетка Поселье», какпринято называть этот инверсор, состоит из шести стержней, связанных шарнирами(рис. 29). Четыре из них составляют ромб PAQB. Остальные два стержня равны между собой, но каждыйиз них длиннее стороны ромба PAQB.
Обозначим РА через а, ОАчерез l, а разность l2 – a2через R2. Предположим, что точка О закрепленана плоскости. Тогда при любом положении точки Р на плоскости точка Q будет ей инверсна относительноокружности щ (О, R). В самом деле:1) Р и Q лежат на одном луче, исходящем източки О, и 2) ОР />ОQ = (ОС — РС) />(ОС + РС) = ОС2 – РС2 = (l2 – АС2) – (а2 – АС2) = l2 – а2 = R2.
/>
Рис. 29

Когда точка описываеткакую-нибудь линию г, точка Qописывает инверсную ей линию гґ. В частности, когда Р описывает окружность, проходящуючерез точку О, точка Q опишет прямую.Таким образом, инверсор Поселье позволяет преобразовать вращательное движение впрямолинейное. Если нужно преобразовать в инверсии окружность радиуса r, то к инверсору в точке Р шарнирноприсоединяется стержень МР длины r.Если точки О и М закреплены неподвижно так, что стержни ОА и ОВ могут вращатьсяоколо точки О, а стержень МР — около точки М (рис. 30), то точка Р опишет дугунекоторой окружности, а точка Q –дугу инверсной ей окружности или прямолинейный отрезок (в случае, если ОМ =МР).
/>
Рис. 30
Инверсор Гарта. Пустьчетыре стержня связаны шарнирно так, как указано на рисунке 31. узлы А, В, С и D являются здесь вершинами равнобочной трапеции, причем АВ = СD = d, АD = СВ= l. Пусть О, Р, и Q три точки на этих стержнях, причем /> = /> = />.В таком случае точки О, Р и Qлежат на одной прямой, параллельной основанию трапеции АСDВ. Предположим, что точка Озакреплена на плоскости, а четыре стержня как-то расположены на этой плоскости.Оказывается, что при любом расположении механизма произведение ОР />ОQ постоянно.

/>
Рис. 31
Покажем это. Обозначим />через с1, /> через с2; отсюда /> = с1, /> = с2. Поэтому ОР /> ОQ = с1/>с2 />ВD />АС.
Опустим из В и D перпендикулярны ВВ1 и DD1 на АС.
Тогда АС />ВD = АС />В1D1 = (AD1 + D1C) /> (AD1 — AB1) = (AD1 +D1C) />(AD1 – D1C) = AD12 – D1C2 = (AD2 – D1D2) –(CD2 – DD12) = AD2 – CD2 = l2 – d2.
Поэтому ОР />ОQ = с1 />с2 />( l2 – d2). Обозначим с1 />с2 />( l2 – d2) через r2.тогда ОР />ОQ = r2, так чтобы точки Р и Q инверсны относительно окружности щ(О,r). Когда точка Р опишет какую-либолинию, точка Q опишет инверсную ей линию. Вчастности, если точка Р будет перемещаться по окружности, проходящей черезточку О, инверсная ей точка Qбудет перемещаться по прямой.
Для удобства инверсногопреобразования окружности, проходящей через центр инверсии, присоединяют кчетырем рассмотренным стержням еще один стержень МР, который шарнирно связан состержнем АD в точке Р и может вращаться околонеподвижной точки М, причем МР = МО. Расположение стержней в механизме видно изрисунка 32.

/>
Рис. 32

2. Инверсия и ееприменение
 
2.1 Решение задач напостроение методом инверсии
Сущность метода инверсиизаключается в следующем.
Наряду с данными иискомыми фигурами рассматриваем фигуры, инверсные им или их частям. Иногдаэтого оказывается уже достаточно для нахождения таких связей между искомыми иданными, которые нужны для решения задачи. В большинстве случаев решение задачисводится к построению фигуры, инверсной искомой, в предположении, что ужепостроена фигура, инверсная данной. Эта последняя задача, при удачном выборебазисной окружности, может оказаться проще данной задачи. Построив фигуру,инверсную искомой, затем строят искомую фигуру. Метод инверсии дает возможностьрешить ряд наиболее трудных конструктивных задач элементарной геометрии.
Недостатком этого методаявляется его громоздкость, связанная с необходимостью выполнить большое числопостроений.
Рассмотрим несколькопримеров.
Пример 1. Через дведанные точки А и В провести окружность, ортогональную данной окружности щ (О,r) (рис. 33).
Анализ. Если примемокружность щ за базисную окружность, то при инверсии искомая окружность гпреобразуется в себя, а точки А и В перейдут в точки Аґ и Вґ на этойокружности. Но окружность г вполне определяется, если известны три точки наней, например А, В и Аґ. Отсюда вытекает построение.
Построение.
1)    Строим точку Аґ, инверсную точке Аотносительно окружности щ.
2)    Строим окружность г, проходящую черезточки А, В и Аґ. Г – искомая окружность.
Доказательство.Доказательство вытекает из анализа и построения.

/>
Рис. 33
Исследование. Если точкаА лежит на окружности щ, то точка Аґ совпадает с точкой А и указанный путьрешения непригоден. В этом случае нужно провести аналогичное построениеотносительно точки В. если обе точки А и В лежат на окружности щ, то построениеможно выполнить так: через А и В проводим касательные к окружности щ и отмечаемточку их пересечения О1. О1 – центр искомой окружности.
Эти построениянепригодны, если точки А, В и О расположены на одной прямой. Если при этомточки А и В не инверсны, то задача не имеет решения. Если же точки А и Винверсны относительно окружности щ, то задача имеет бесконечное множестворешений: любая окружность, проходящая через точки А и В, ортогональна окружностищ.
Пример 2. Даны: точка О идве не проходящие через нее прямые a и b. Провести через точку О такой луч,чтобы произведение его отрезков от точки О до точек пересечения с даннымипрямыми было равно квадрату данного отрезка.
Анализ. Пусть О – даннаяточка, а и b – данные прямые, ОАВ – искомый луч,так что ОА />ОВ = r2, где r – данный отрезок (рис. 34).

/>
Рис. 34
Инверсия относительноокружности щ (О, r) переведет точкуА в точку В, а прямую а – в некоторую окружность аґ, проходящую через точку В.таким образом, В ≡ аґ*b.
Построение. Строимпоследовательно:
1)    Окружность щ (О, r);
2)    Образ аґ прямой а в инверсииотносительно щ;
3)    Точку В ≡ аґ*b;
4)    Луч ОВ, который и удовлетворяетусловию задачи.
Доказательство. Пусть А ≡ОВ />а. Тогда А – прообразточки В в инверсии относительно щ (О, r), так как прямая а – прообраз окружности аґ. Следовательно, поопределению инверсии, ОА />ОВ= r2.
Исследование. Возможныследующие случаи:
1)    окружность аґ пересекает прямую b; два решения;
2)    окружность аґ касается прямой b; одно решение;
3)    окружность аґ не имеет общих точек спрямой b; решений нет.
Так как искомая точка Вобязательно соответственна точке А в инверсии относительно щ (О, r), то точка В должна быть общейточкой прямой b и окружности аґ. Отсюда следует, чтодругих решений, кроме найденных, задача не может иметь.
Пример 3. Построитьокружность, касательную к данной окружности г и проходящую через две данныеточки А и В вне данной окружности.
Анализ. Пусть б (рис. 35)– искомая окружность. Желательно преобразовать фигуру так, чтобы окружность б(или окружность г) преобразовалась в прямую.
/>
Рис. 35
С этой целью примем точкуВ за центр инверсии, а отрезок ВА – за радиус инверсии. Тогда окружность гпреобразуется в некоторую окружность гґ, точка А преобразуется в себя, искомаяокружность б – в прямую бґ. Прямая бґ должна пройти через точку А, а такжекасаться окружности гґ, так как окружность б касается окружности г (рис. 36).Таким образом, задача сводится к построению касательной из построенной точки(Аґ) к построенной окружности (гґ).
Построение. Строим последовательно:
1)    Окружность щ с центром в точке Врадиуса ВА;
2)    Окружность гґ, инверсную окружности готносительно окружности щ;
3)    Прямую бґ, проходящую через точку А икасающуюся окружности гґ;
4)    Окружность б, инверсную прямой бґ относительноокружности щ. Окружность б искомая.

/>
Рис. 36
Доказательство. Прямая бґкасается окружности гґ, поэтому соответствующая ей окружность б касаетсясоответственной окружности г. Прямая бґ проходит через точку А, и поэтомуокружность б проходит через ту же точку; во всех случаях, когда прямая бґ непроходит через центр инверсии, то есть через точку В.
Исследование. Из четырехшагов построения шаги 1) и 2) всегда выполнимы, притом однозначно. Рассмотримпостроение 3).
Проведение касательной кокружности гґ через точку А зависит от расположения точки А относительноокружности гґ. Можно допустить три предположения: а) точка А на окружности гґ;б) точка А внутри окружности гґ; в) точка А вне окружности гґ.
Случай а) невозможен, таккак из Аґ Є гґ следовало бы А Є г, что противоречит условию задачи.
Докажем, что случай б)также невозможен. Применим для этого доказательство «от противного». Допустим,что точка А располагается внутри окружности гґ (рис. 37). Так как точка В, поусловию, вне г, то В также вне гґ (это следует из способа построения окружностигґ). Поэтому луч ВАґ встретит окружность гґ в двух точках, причем одна из нихвнутри окружности щ, а другая вне ее. Обозначим внутреннюю точку пересечения черезРґ, а внешнюю – через Qґ.При инверсии точки Рґ, Qґ иАґ преобразуются в точки Р, Q и А,причем Q внутри щ, Р вне щ, А на щ, так что Алежит между Р и Q. Окружность гґ,проходящая через Рґ и Qґ,перейдет в окружность г, проходящую через Р и Q. И так как точка А принадлежит хорде РQ окружности г, то А внутри г, вопрекиусловию задачи.
Таким образом, возможенлишь случай в), то есть А вне гґ. Поэтому из точки А всегда можно провести двекасательные к окружности гґ.
Перейдем к четвертомушагу. При инверсии прямая бґ преобразуется в окружность лишь в том случае,когда эта прямая не проходит через центр инверсии. Если же прямая бґ проходитчерез точку В, то прямая ВА касательная к окружности бґ. Но при инверсии прямаяВА преобразуется в себя, а окружность гґ — в окружность г. Следовательно, еслипрямая бґ проходит через точку В, то окружность г касается прямой ВА (инаоборот). В этом последнем случае прямая бґ инвертируется в прямую. Такимобразом, приходим к следующему выводу: при данном способе построения мыполучаем единственное решение, если прямая АВ касается окружности г, и дварешения во всяком другом случае.
/>
Рис.37
Решая задачу каким-либоиным способом, мы не получим новых решений. В самом деле, если бы задача имелаболее одного решения в случае, когда АВ касается г, или более двух решений влюбом ином случае, то после инверсии относительно окружности щ оказалось бы,что через точку Аґ (Аґ ≡ А) проходило бы не менее трех касательных к окружностигґ, что невозможно.
Заметим, что даннуюзадачу можно решить, принимая за центр инверсии точку на данной окружности г.При этом задача сводится к следующей: построить окружность, касающуюся даннойпрямой и проходящую через две данные точки. Эта задача может быть решена безпривлечения метода инверсии.
2.2 Задача Аполлония
Методом инверсии можетбыть решена в общем случае задача Аполлония о касании окружностей:
Построить окружность,касающуюся трех данных окружностей.
Эта задача впервые быларешена известным греческим геометром Аполлонием Пергским в III в. до н. э. в сочинении, которое донас не дошло, но о котором упоминают некоторые древние математики (например,Папп). Способ, с помощью которого решил эту задачу Аполлоний, неизвестен. Многиезадачи из числа рассматриваемых в школьном курсе геометрии представляют частныеили предельные случаи задачи Аполлония. Частные случаи возникают приспециальном расположении данных окружностей, предельные – когда все илинекоторые из данных окружностей вырождаются в точки (радиус окружностейнеограниченно уменьшается) или прямые (радиус неограниченно возрастает).
Прежде, чем решить задачуАполлония в общем случае, рассмотрим некоторые частные и предельные случаи.
Задача 1. Построитьокружность, проходящую через три данные точки.
Решение общеизвестно.
Задача 2. Построитьокружность, касающуюся трех данных прямых. Решение этой задачи такжеобщеизвестно. Она может иметь до четырех решений.
Задача 3. Построитьокружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных параллельныхпрямых.
Анализ. Пусть дана точкаР и и две параллельные прямые а и b. Обозначим расстояние между данными прямыми через d. Тогда радиус искомой окружностидолжен быть равен d/2. задачасводится к построению центра окружности, который должен удовлетворять двумусловиям: 1) он должен быть одинаково удален от прямых а и b; 2) он должен отстоять от точки Р нарасстоянии d/2. отсюда вытекает построение.
Построение.
1.     АВ ┴ b, А Є а;
2.     С Є АВ, АС = СВ;
3.     с – прямая, С Є с, с ║а, с ║b;
4.     щ (Р, d/2);
5.     О1 = щ ∩ с;
6.     щ1 (О1, О1Р) – искомая.
/>
Рис. 38
Доказательство.Окружность щ1 касается прямых а и b, так как расстояния ее центра О1 от этих прямых одинаковы и равны d/2. эта окружность проходит черезточку Р по построению.
Исследование. Возможнытри случая.
1. Точка р расположенамежду данными прямыми а и b.Указанный способ построения дает два решения: щ1 (О1, О1Р) и щ2 (О2, О2Р).Других решения нет, ибо если бы существовали три окружности, удовлетворяющиеусловиям задачи, то их центры О1, О2 и О3 должны были бы лежать на одной прямойс. С другой стороння, мы должны были бы иметь О1Р = О2Р = О3Р = АС, то естьточки О1, О2 и О3 должны были бы лежать на одной окружности (Р, АС), так чтовозникает противоречие.
2. Точка Р — на одной изпрямых а или b. Задача имеет одно решение.
3. Точка Р – вне полосы,ограниченной прямыми а и b.Задача не имеет решений.
Задача 4. Построитьокружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.
Эта задача может бытьрешена методом инверсии, если за центр инверсии принять одну из данных точек, аее расстояние до данной прямой принять за радиус инверсии. Она может бытьрешена и без инверсии.
Задача 5. Построитьокружность, касающуюся данной окружности и проходящую через две данные точки.Эта задача решена в предыдущем пункте в предположении, что данные точкирасположены вне данной окружности. В других случаях решение аналогично или ещепроще.
Задача 6. построитьокружность, касающуюся трех данных окружностей, проходящих через одну общуюточку Р.
Если принять общую точкутрех данных окружностей г1, г2 и г3 за центр инверсии, то эти окружностипреобразуются в три прямые. Таким образом, задача сводится к построениюокружности, касающейся трех построенных прямых. Искомая окружность – образ этойокружности в данной инверсии.
Переходим к решениюзадачи Аполлония в общем случае, причем остановимся лишь на основных моментахэтого решения, не вникая в отдельные его детали.
Решение, которое мыдадим, основано на предварительном решении двух вспомогательных задач(представляющих предельный и частный случаи общей задачи).
1-я вспомогательнаязадача: построить окружность, касающуюся двух параллельных прямых и даннойокружности.
Задача обычно решаетсяметодом геометрических мест. Пусть а и b – данные прямые, г (О, r) – данная окружность (рис. 39).
/>
Рис. 39
Из произвольной точки Ана прямой а опускаем перпендикуляр АВ на прямую b. Через середину С отрезка АВ проводим прямую с параллельноа. строим окружность д (О, r +АС) (или радиуса │r — АС│).Отмечаем точку пересечения этой окружности с прямой с; это и будет центрискомой окружности.
Эта задача может иметь дочетырех различных решений.
2-я вспомогательнаязадача: построить окружность, касающуюся трех данных окружностей, если две изних взаимно касаются.
Эта задача решаетсяметодом инверсии. Пусть г1, г2 и г3 – данные окружности, причем г1 и г2касаются в точке Т (рис. 40).

/>
Рис. 40
Примем точку Т за центринверсии, а за радиус инверсии – произвольный отрезок (удобно избрать его так,чтобы базисная окружность щ пересекла окружности г1 и г2). При инверсииокружности г1 и г2 преобразуются в пару параллельных прямых гґ1 и гґ2, аокружность г3 – в некоторую окружность (или прямую) гґ3. построить окружностьгґ, касающуюся прямых гґ1 и гґ2 и линии гґ3, мы умеем (см. 1-ю вспомогательнуюзадачу). При инверсии этой окружности она преобразуется в окружность (илипрямую) г, которая будет касаться трех данных окружностей г1, г2 и г3.
Решение задачи Аполлонияв общем случае сводится к этой 2-й вспомогательной задаче. Мы воспользуемся дляэтого приемом, иногда называемым «методом расширения».
Для определенностирассмотрим тот случай, когда каждая из трех данных окружностей расположена внедвух других (рис. 41).

/>
Рис. 41
В других случаях решениепроводится аналогично.
Пусть г1 (О1, r1), г2 (О2, r2) и г3 (О3, r3)–данные окружности. Пусть, далее, прямая О1О2 пересекает окружность г1 в точкахА1 и Аґ1, а окружность г2 – в точках А2 и Аґ2. из четырех отрезков А1А2,Аґ1Аґ2, Аґ1А2 и А1Аґ2 выберем кратчайший. Пусть это будет отрезок А1А2.обозначим через Т его середину. Увеличим радиусы всех данных окружностей наотрезок А1Т, то есть построим окружности гґ1 (О1, r1 + А1Т), гґ2 (О2, r2 + А1Т), гґ3 (О3, r3 +А1Т). из них окружности г1 и гґ2 касаются в точке Т. мы можем теперь построитьокружность гґ, касающуюся трех окружностей гґ1, гґ2 и гґ3 (см. 2-ю вспомогательнуюзадачу). Обозначим центр окружности гґ через О, а радиус — через rґ. Если затем построитьконцентрическую ей окружность г (О, rґ + А1Т), то эта последняя будет касаться трех данных окружностей.
Число всех возможныхрешений задачи Аполлония зависит от взаимного расположения данных окружностей.Приведем без доказательства несколько примеров.
1. Если окружность г2расположена внутри окружности г1, а окружность г3 вне окружности г1 (рис. 42),то задача Аполлония вовсе не имеет решения. Это относится в частности, и кслучаю, когда все три данные окружности концентрические.
2. Если две окружности г1и г2 касаются, а третья окружность г3 пересекает их в точке их касания, тозадача Аполлония имеет два решения Г1 и Г2 (рис. 43).
3. Если каждая из данныхокружностей расположена вне двух других, причем касательная к каждым двум изданных окружностей не имеет обшей точки с третей окружностью, то задача имеетвосемь решений (рис. 44).
4. Если три данныеокружности попарно касаются в одной точке, то можно провести бесконечно многоокружностей, касающихся каждой из данных (рис. 45).
/>
Рис. 42

/>
Рис. 43
/>
Рис. 44

/>
Рис. 45
Полное исследованиепоказывает, что если задача Аполлония имеет лишь конечное число решений, то ихне более восьми.
Приложение.
Рассмотримнекоторые задачи, для решения которых используется понятие и метод инверсии.
Задача 1. Данквадрат, две вершины которого лежат на окружности инверсии, а третья – в центреинверсии. Построить фигуру, ему инверсную.
Анализ. Пустьщ (О, R) – базисная окружность, ОАВС – данный квадрат.Точка А Є щ, точка С Є щ. При инверсии точка А переходит в точку Аґ, точка С –в Сґ, точка В – в Вґ, а ОС переходит в прямую ОL∞,ОА – в ОК∞, АВ переходит в дугу m, СВ переходит вдугу n. Таким образом, фигура определяется как СґnВґmАґВ, которая является инверсиейквадрата ОАВС.
/>
Рис. 1

Построение.(рис. 1).
1.                щ (О, R) базисная окружность;
2.                В → Вґ, А ≡ Аґ, С ≡ Сґ;
3.                СВ → СnВґ;
4.                АВ → АґmВґ;
5.                СґnВґmАґВ – искомаяфигура.
Доказательство.Доказательство следует из анализа и построения.
Исследование.Задача всегда имеет решение и притом единственное.
Задача 2. Данквадрат, однв вершина которого совпадает с центром инверсии, а противоположнаявершина лежит на окружности инверсии. Построить фигуру, ему инверсную.
Анализ. Пустьщ (О, R) – базисная окружность, ОАВС – данный квадрат,В Є щ. При инверсии точка В переходит в точку Вґ, В ≡ Вґ, точка Апереходит в точку Аґ, Аґ /> l, В /> l, точка С переходит в точку Сґ, Сґ /> l. АВ переходит в дугу АґmB окружности щ1 (А, ОА), ВС переходит при инверсии в дугу СґnВ окружности щ2 (С, ОС). ОА – часть луча, поэтому приинверсии ОА преобразуется во внешнюю его часть АґК∞, а ОС – в СґL∞. Таким образом, инверсная фигура определяется как К∞АґmВґnСґL∞.
Построение.(рис. 2)
1.                щ (О, R) – базисная окружность;
2.                В ≡ Вґ, А ≡ Аґ, С ≡ Сґ, В /> l, Аґ /> l, Сґ /> l;
3.                АВ → АґmBґ;
4.                ОС → ВґnCґ;
5.                ОА → АґК∞;
6.                ОС → СґL∞;
7.                К∞АґmВґnСґL∞ — искомая фигура.
Доказательство.Доказательство следует из анализа.

/>
Рис. 2
Исследование.Задача всегда имеет решение и притом единственное.
Задача 3.Построить фигуру, инверсную окружности, концентрической базисной.
Анализ. Пустьщ (О, Р) – базисная окружность инверсии, щ1 (О1, R1) –данная окружность. Так как окружность щ (О, R1) не проходитчерез центр инверсии, то преобразуется в окружность. Для построения искомойокружности надо найти точки Аґ и Вґ — инверсные точкам А и В, где А и В –диаметрально противоположные точки, а отрезок АґВґ — являются диаметром искомойокружности.
Построение.
1.     щ(О, Р) базисная окружность, щ1 (О1, R1) – даннаяокружность, причем R1 ≠ R2;
2.     О/> m –произвольная прямая;
3.     А= m />щ1, В = m />щ2;
4.     ТочкаАґ — инверсна точке А, Вґ — Инверсна точке В;
5.     щ1ґ(О, />) – искомая окружность(рис 3).
Доказательствоследует из анализа.

/>
Рис 3
Исследование.Задача всегда имеет единственное решение.
Задача 4.Точка описывает хорду базисной окружности, отличную от диаметра. Построитьлинию, которую описывает инверсная точка.
Анализ. Пустьщ (О, Р) – базисная окружность инверсии, АВ – хорда, причем О />АВ. Точка М описывает хорду АВ.
Заметим, чтоА = Аґ, В = Вґ. Прямая АВ не проходит через центр О, значит преобразуется вокружность щ1, которая проходит через центр.
Но так какдана не вся прямая, а только хорда АВ, то она преобразуется в дугу относительноокружности щ1 (концы дуг А и В), причем, во внешнюю дугу относительноокружности щ (О, Р), так как данная точка М расположена внутри окружности щ (О,Р).
Построение.
1.                щ (О, Р), АВ – данная хорда;
2.                щ1 – окружность, которая проходит через точки О, А, В;
3.                />АmВ– внешняя относительно щ, которая является искомой фигурой (рис. 4).

/>
Рис 4
Доказательствоследует из анализа.
Исследование.Задача всегда имеет единственное решение.
Задача 5.Найти такую точку, чтобы касательные, проведенные из нее к двум даннымокружностям были равны ее расстоянию от данной точки.
Анализ. щ1(О1, R1), щ2 (О2, R2) – данныеокружности. Пусть точка А – искомая, тогда АК = АМ = АN.АК – касательная к щ1, АМ – касательная к щ2, то есть точка А />а12 – радикальная ось окружности щ1 и щ2 иА />а20 – радикальная ось щ2 иточки N, отсюда следует, что А = а12 /> а20.
Построение.
1.                щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2)– данные окружности, N – данная точка;
2.                а12 – радикальная ось щ1 и щ2;
3.                а20 – радикальная ось щ2 и N;
4.                А = а12 /> а20, А –искомая точка (рис. 5).
/>
Рис. 5
Доказательство.Точка А – радикальный центр щ1, щ2 и N.
Исследование.
1.                Если щ1 и щ2 — концентрические, то задача не имеет решения.
2.                Если N внутри щ1 (О1, R1)или щ2 (О2, R2), то решений нет.
3.                Если радкальные оси параллельны, то решений нет.
4.                Если радикальные оси совпадают, то задача имеет бесконечное множестворешений.
Задача 6.Построить фигуру, инверсную сектору базисной окружности.
Анализ. Пустьщ (О, R) – данная базисная окружность, АmВО – данный сектор.
При инверсииточка А переходит в точку Аґ, часть луча ОА переходит во внешнюю его часть АґК∞.дуга АmВ при инверсии преобразуется в себя.
Точка Впреобразуется в точку Вґ. ОВ преоюразуется в ВґL∞.Таким образом сектор базисной окружности АmВОпреобразуется в фигуру, определяемую внешней частью луча, АґК∞, ВґL∞ и дугой АґmВґ.
Построение.
1.                щ (О, R) – базисная окружность;
2.                А ≡ Аґ, В ≡ Вґ;
3.                ОА → АґК∞;
4.                ОВ → ВL∞;
5.                />АmВ→ />АґmВґ;
6.                К∞АґmВґL∞ — искомая фигура (рис. 6).
Доказательство.Доказательство следует из анализа и построения.
Исследование.Задача имеет всегда решение и притом единственное.
/>
Рис. 6
Задача 7.Даны две окружности, касающиеся друг друга в точке А. приняв точку А за полюсинверсии построить фигуру, инверсную двум окружностям.
Анализ. Пустьщ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) –данные окружности, щ (А, R) — базисная окружность. В =щ />щ2, С = щ />щ2, D = щ />щ1, К = щ />щ1. при инверсии точки В, С, D и К преобразуются в себя, так как они принадлежат щ (А, R). Так как окружности щ1 и щ2 проходят через центр базиснойокружности, то они преобразуются в прямые: l1 />B, l1 /> C, l2 />D, l2/> К.
Построение.
1.   щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности,щ1 /> щ2 = А, щ (А, R) — базисная окружность;
2.   В = В =щ />щ2, В → Вґ;
С = С = щ />щ2, С → Сґ;
3. D = щ />щ1, D → Dґ;
К = К = щ />щ1, К → Кґ;
4. l1 /> Вґ, l1 />Сґ, l2 /> Dґ, l2 /> Кґ, l1 и l2 – искомые прямые (рис 7).
/>
Рис. 7
Доказательство.Доказательствоследует из анализа и построения.
Исследование.Задача имеет единственное решение.
Задача 8.через данную точку А провести окружность, ортоганальную двум даннымокружностям.
Анализ. щ1(О1, R1), щ2 (О2, R2) – данныеокружности, точка А — данная точка.
Примем щ1 и щ2за базисные, тогда точка А при инверсии преобразуется в точку Аґ, Аґ />О1А, и А преобразуется Аґґ, Аґґ/>О2А.
А, Аґ, Аґґ />щ (О, ОА), щ – искомаяокружность.
Построение.
1.     щ1(О1, R1), щ2 (О2, R2) – данныеокружности, А – данная точка;
2.     А→ Аґ, Аґ/>О1А;
3.     А→ Аґґ, Аґґ/>О2А;
4.     А,Аґ, Аґґ />щ (О, ОА);
щ (О, ОА) –искомая окружность (рис. 8).

/>
Рис. 8
Доказательство.Окружность, проходящая через три взаимноинверсные точки, ортоганальна двумданным окружностям. А, Аґ, Аґґ — взаимноинверсные точки.
Исследование.Задача имеет единственное решение.
Задача 9.Зная радиус инверсии, расстояние двух точек А иВ от центра инверсии ирасстояние АВ, вычислить расстояние между точками Аґ и Вґ, соответственноинверсными точкам А и В.
Анализ. щ (О,R) – базисная окружность, А и В – данные точки. ОА = а, ОВ = b, АС = с. При инверсии точка А преобразуется в точку Аґ, Впреобразуется в Вґ.
Из подобиятреуголиников ОАВ и ОАґВґ следует, что />, АґВґ = />; ОАґ/>ОА = R2; ОАґ = />, АґВґ = /> (рис. 9).
/>
Рис. 9

Доказательство.Доказательство следует из свойств взаимноинверсных точек А и Аґ, В и Вґ иподобия />ОАВ и />ОАґВґ.
Исследование.Задача имеет единственное решение.
Задача 10.Даны окружность щ1 (О1, R1) и прямая l.Построить окружность инверсии щ (О, R), относительнокоторой щ1 (О1, R1) и прямая lбыли бы взаимноинверсны.
Анализ. щ1(О1, R1) – данная окружность, l– данная прямая. m – произвольная прямая, m />l. А />m, А />l.
При инверсииточка А преобразуется в точку Аґ, Аґ/>щ1, Аґ = щ1 /> m. l ║lґ, lґ/> m, lґ/>А. О = m /> щ1, В = щ2 (О2, />) /> lґ.
ОВ – радиусискомой окружности инверсии.
Построение.
1.     щ1(О1, R1) – данная окружность, l– данная прямая;
2.     m />l, m– произвольная прямая, m /> l = А, m />щ1 = О;
3.     l ║lґ, lґ /> m, Аґ />lґ;
4.     щ2(О2, />);
5.     В= щ2 />lґ;
6.     щ(О, ОВ) – искомая окружность (рис. 10).
/>
Рис. 10

Доказательство.Так как по условию щ1 (О1, R1) и прямая l взаимноинверсны, то щ1 (О1, R1)проходит через центр окружности инверсии, значит взяв произвольную точку А />l, мыдолжны построить касательную к искомой окружности в точке В. АґВ />О1Аґ, О1А, Аґ принадлежит одной прямой m.
Исследование.Задача имеет единственное решение.
Задача 11.Дана окружность щ (О, R) и />АВС, где А, В, С />щ. Построить фигуру, инверсную вписанномутреугольнику АВС.
Анализ. />АВС – данный треугольник, А, В, С/>щ (О, R).При инверсии точки, принадлежащие базисной окружности преобразуется в себя, тоесть А ≡ Аґ, В ≡ Вґ, С ≡ Сґ. Прямая, не проходящая черезцентр инверсии преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии, тоесть АВ преобразуется в дугу АmВ окружности г1, ВСпреобразуется в дугу ВnС окружности г2, АСпреобразуется в дугу АkС окружности г3. таким образом />АВС преобразуется при инверсии втри дуги.
Построение.
1.     щ(О, R) – базисная окружность, /> АВС, А, В, С />щ;
2.     А≡ Аґ, В ≡ Вґ, С ≡ Сґ;
3.     АВ→ АmВ, АmВ />г1 (О, R1),
ВС → ВnС, ВnС /> г2 (О, R2),
АС → АkС, АkС /> г3 (О, R3);
4.     АґmВґnCґkAґ — искомая фигура (рис 11).
Доказательство.
Доказательство следует изанализа.
Исследование.
Задача всегда имеетрешение и притом единственное.

/>
Рис 11
Задача 12. Даны точка О идве не проходящие через нее прямые а и b. Провести через точку О такой луч, чтобы произведение егоотрезков от точки О до точек пересечения с данными прямыми было равно квадратуданного отрезка.
Анализ. Пусть точка О –данная точка, а и b – данные прямые,ОВ — искомый луч, такой что ОА/>ОВ= r2, где r – данный отрезок.
Инверсия относительно окружностищ (О, r) переведет точку А в точку В, апрямую а – в некоторую окружность г, проходящую через точку В. Таким образом, В≡ г />b.
Построение.
1.       щ (О,r) – базисная окружность;
2.       а → г;
3.       В ≡ г /> b;
4.       ОВ – искомый луч(рис 12).

/>
Доказательство.
Пусть А = ОВ /> а, тогда А – прообраз точки В винверсии относительно щ (О, r),так как прямая а – прообраз окружности г, то по определению инверсии ОА/>ОВ = r2.
Исследование.
1.       Если г /> b, то задача имеет два решения;
2.       Если окружность гкасается b, то задача имеет одно решение;
3.       Если г непересекается с b, то решений нет./>

Заключение
Геометрические построениямогут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Задачи напостроение, решаемые с помощью инверсии обычно не допускают стандартногоподхода к ним и формального восприятия их учащимися. Такие задачи удобны длязакрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курсагеометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащиеся приобретаютмного полезных чертежных навыков.
В данной работе было рассмотренопонятие инверсии как метода, с помощью которого решаются некоторые задачи напостроение, рассмотрены основные свойства и теоремы, на которые опираетсяданный метод. Также в дипломной работе рассмотрена задача Аполлония, решениекоторой и является основой метода инверсии, приведены примеры решения задач напостроение с помощью инверсии. В приложении дипломной работы представленырешения некоторых более сложных задач.
Данная тема, на мой взгляд, подходитк проведению факультативных занятий по геометрии в 8 классе, т. к. в 7 классебыли изучены основные моменты планиметрии, которые необходимо знать для решениязадач на построение, но при этом следует для начала провести курс по изучениютемы инверсии. Это имеет место, так как в это время лучше всего нужно развиватьмыслительную деятельность учеников, учить ребят доказывать, размышлять,развивать основные навыки, необходимые для дальнейшего лучшего усвоениягеометрии. Но это важно еще и потому, что на решение таких задач в курсепланиметрии практически нет времени.
Геометрические построенияв настоящее время не связаны непосредственно с наиболее актуальными проблемамиматематики. Но в процессе изучения усваиваются понятия и приобретаютсянекоторые навыки, имеющие значения и за пределами этого вопроса. Одним изшироко распространенных в современной математике понятий является понятиеалгоритма. Изучение геометрических построений является хорошим средствомподготовки к усвоению этого понятия. Действительно, цель решения каждойгеометрической задачи как раз и состоит в получении некоторого алгоритма.Разрешимость геометрической задачи на построение понимается именно какалгоритмическая разрешимость. Весьма поучительно рассмотрение задач, связанныхс доказательством невозможности выполнения какого-либо построения даннымисредствами, так как вопросы разрешимости той или иной задачи при тех или иныхдопущениях встречающихся в самых различных разделах математики. Геометрическиепостроения играют также особую роль, как средство доказательства существованиягеометрической фигуры обладающей указанными свойствами. Геометрическиепостроения составляют также теоретическую основу практической графики.

Список используемойлитературы
1.      А. Адлер, Теория геометрическихпостроений, М., Учпедгиз, 1940;
2.      Б. И. Аргунов, М. Б. Балк,Геометрические построения на плоскости, изд. 2, Учпедгиз, 1957;
3.      Н. Ф. Четверухин, Методыгеометрических построений, М., Учпедгиз, 1952;
4.      Б. И. Аргунов, М. Б. Балк,Элементарная геометрия, М., Просвещение, 1966;
5.      А. В. Погорелов, Геометрия, изд.2,М., Наука, 1984;
6.      И. Я. Бакельман, Инверсия;
7.      С. Л. Певзнер, Инверсия и ееприложения, Хабаровск, 1988;
8.      И. М. Яглом, Геометрическиепреобразования, Т.П.М., Гостехиздат, 1956;
9.      Д. И. Перепелкин, Курс элементарнойгеометрии, И.Г.М., Гостехиздат, 1948;
10. Б.В. Кутузов, Геометрия. Пособие для учительских ипедагогических институтов, М., Учпедгиз, 1950;
11. П. С. Моденов, А. С. Пархоменко, Геометрическиепреобразования, М., изд. ПГУ, 1961;
12. И. И. Александров, Сборник геометрических задач на построение,М., Учпедгиз, 1957;
13. В.В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин, задачи по стереометрии,М., Наука, 1989;
14. Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом, Избранныезадачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия) ч. 2, М.,Учпедгиз, 1958;
15. Л. С. Атанасян, Т. Б. Гуревич и др., Сборник задач поэлементарной геометрии, М., Учпедгиз, 1958.