План.
1. Сопряженный оператор.
2. Сопряженная однородная задача.
3. Условия разрешимости.
Сопряженный оператор.
Обозначим через [pic] дифференциальный оператор второго порядка, т.е.
[pic] (1)
где [pic] представляют собой непрерывные функции в промежутке [pic]. Если
[pic] и [pic]- дважды непрерывно дифференцируемые на [pic]функции, то
имеем:
[pic] (2)
Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям
дает:
[pic] (3)
Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в
правой части (3) через [pic], т.е. [pic] (4)
При этом соотношение (3) перепишется так:
[pic] (5)
Оператор [pic] называется сопряженным по отношению к оператору [pic].
Умножая соотношение (4) на [pic] и интегрируя полученный результат по
частям, по отношению к оператору [pic]. Таким образом, операторы [pic] и
[pic] взаимно сопряжены.
Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:
[pic](6)
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:
[pic](7)
Если же [pic], то оператор [pic] и дифференциальное уравнение [pic]будем
называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу,
что [pic] тогда и только, когда:
[pic]
Таким образом, оператор [pic] будем самосопряженным тогда и только тогда,
когда [pic].
При этом:
[pic]
Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в
самосопряженную форму, умножив на функцию [pic].
Дифференцируя соотношение (5) по [pic], получаем так называемую формулу
Лагранжа:
[pic] (8)
Правая часть этой формулы может быть записана как:
[pic] (9)
где
[pic] [pic] [pic] (10)
Отметим, что:
[pic] и следовательно, матрица [pic]-невырожденная. Подстановка выражения
(9) в соотношение (8) дает:
[pic](11)
Сопряженная однородная задача.
Введем следующее невырожденное линейное преобразование [pic] в вектор
[pic]:
[pic][pic](12),
где
[pic] [pic]
Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным
множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном
ненулевом векторе [pic]две последние строки матрицы А можно выбрать так,
чтобы придать любые требуемые значения компонентам[pic]. Это замечание
используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных
условий. Поскольку [pic], мы можем обратить преобразование (12) и получить:
[pic].
При этом (11) можно переписать как:
[pic]
или
[pic] (13),
где [pic] (14)
Билинейная форма [pic] в соотношении (13) называется каноническим
представлением билинейной формы в правой части тождества (11).
Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в
соотношении (13)
[pic]и [pic]и получим:
[pic] (15)
Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны
равенствам:
[pic] (16)
[pic] (17)
С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:
[pic] (18)
При ненулевом векторе [pic] последние две строки матрицы А могут быть
выбраны так, чтобы компоненты [pic] и [pic] принимали любые требуемые
значения, лишь бы [pic] и [pic]не обращались в нуль одновременно. В
частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия [pic]. При этом
из соотношения (11) следует, что [pic]. Аналогичным образом, нижние строки
матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства [pic]. При этом из
соотношения (11) вытекает, что [pic]. Таким образом, задача, сопряженная
задаче [pic](19)
имеет вид:
[pic] (20)
где [pic] и [pic] связаны с компонентами [pic] вектора [pic] соотношением
(14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда,
когда [pic]и каждая из двух компонент [pic] и [pic] является линейной
комбинацией [pic] и [pic], т.е. [pic]пропорциональна [pic].
Один из определителей:
[pic]
матриц-блоков
[pic]
должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти
результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе,
предположим. что [pic]. Далее, выберем такие [pic]и [pic], чтобы строки
матрицы А были линейно независимы.
Например, положим [pic]и [pic].
При этом матрица А примет вид:
[pic] (21).
Из формулы (19) следует, что [pic].
Тогда
[pic] (22)
Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):
[pic]Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:
[pic] (22)
[pic] (23)
Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы
[pic] и чтобы каждая из компонент [pic] и [pic] являлась линейной
комбинацией [pic] и [pic]. Как указывалось выше, [pic] тогда и только
тогда, когда [pic]. При этом условия (21) и (20) принимают вид:
[pic] (24)
Разрешая равенства относительно [pic] и [pic] при [pic] и заменяя [pic] на
[pic], получаем:
[pic] (25)
Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда
и только тогда, когда:
[pic] (26)
Краевая задача при [pic] самосопряжена тогда и только тогда, когда
выполнены соотношения (24) и равенство [pic].
Условие разрешимости.
Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной
задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:
[pic] (27)
[pic],
тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:
[pic] (27)
Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем
связь [pic] и [pic] с вектором [pic], описываемую формулой (14а) т.е.:
[pic] (28)
При этом соотношение (27) принимает вид:
[pic]
Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-
либо два из граничных значений через два других.