Основы линейной алгебры на примере балансовой модели

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры. ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление конечный продукт

, а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции первый столбец таблицы 1 и как ее потребитель первая строка таблицы 1 . Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление

средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе. Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk. Таблица 1 потребление итого на конечный валовый отрас. внутре продукт

выпуск производ. уi хi 1 2 k n потребление отрас. е хik 1 х11 х12 х1k х1n е х1k у1 х1 2 х21 х22 х2k х2n е х2k у2 х2 i хi1 xi2 xik xin е xik yi xi n xn1 xn2 xnk xnn е xnk yn xn итого произв. затраты е хi1 е xi2 е xik е xin в k-ю отрасль Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами х1 - х11 х12 х1n у1 х2 - х21 х22 х2n у2 1 xn - xn1 xn2 xnn yn Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса

за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период. Будем снабжать штрихом хik , yi и т.д. данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства 1 должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде. Будем называть совокупность значений y1 , y2 yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным

вектором у у1 , у2 yn , 2 а совокупность значений x1 , x2 xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей вектор-планом x x1 , x2 xn . 3 Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами 1 . Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk. Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений xik aik i ,

k 1 , 2 n . xk Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е что xik xik aik const 4 xk xk

Исходя из этого предложения имеем xik aikxk , 5 т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство 5 называют условием линейности прямых затрат. Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле 4 , используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу a11 a12 a1k a1n a21 a22 a2k a2n

A . ai1 ai2 aik ain an1 an2 ank ann которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А 0 и называют такую матрицу неотрицательной. Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения xik aik xk во все уравнения системы 1 , получим линейную балансовую модель x1 - a11x1 a12x2 a1nxn y1 x2 - a21x1 a22x2 a2nxn y2 6 xn - an1x1 an2x2 annxn yn , характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1 Система уравнений 6 может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений Ех - Ах У , или окончательно Е - А х У , 6 где Е единичная матрица n-го порядка и 1-a11 -a12 -a1n

E - A -a21 1-a22 -a2n -an1 -an2 1-ann Уравнения 6 содержат 2n переменных xi и yi . Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы 6 найти остальные n - переменных. Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У y1 , y2 yn и определять необходимый для его производства вектор-план Х х1 , х2 , хn . Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из

двух производственных отраслей табл.2 отрас Потребление Итого Конечный Валовый затрат продукт выпуск отрас 400 Итого затрат 575 в k-ю 375 200 отрасль 575 Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл.2 Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат 100 160 275 40 а11 0.2 а12 0.4 а21 0.55 а22 0.1 500 400 500 400 Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих

клеток. Теперь может быть записана балансовая модель 6 , соответствующая данным табл.2 х1 - 0.2х1 - 0.4х2 у1 х2 - 0.55х1 - 0.1х2 у2 Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д. Так, например, задавшись у1240 и у285, получим х1500 и х2400, задавшись у1480 и у2170, получим х11000 и х2800 и т.д.

РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ. Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения 6 . Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У 0 неотрицательного решения х 0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения 6 допустимым решением.

Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя. Так, например, если 0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение 6 А , то Е - А 0.6 0.9 -0.6 0.1 запишется в виде 0.1 -0.8 х1 у1 или в развернутой форме -0.6 0.1 х2 у2 0.1х1 - 0.8х2 у1 a -0.6х1 0.1х2 у2 Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение -0.5х1 - 0.7х2 у1 у2, которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у1 0 и

у2 0 кроме х1х20 при у1у20 . Наконец уравнение вообще может не иметь решений система 6 несовместная или иметь бесчисленное множество решений система 6 неопределенная . Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос. Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х 0, удовлетворяющий неравенству Е - А х 0, т.е. если уравнение 6 имеет неотрицательное решение x 0, хотя бы для одного

У 0, то оно имеет для любого У 0 единственное неотрицательное решение. При этом оказывается, что обратная матрица Е - А будет обязательно неотрицательной. Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство Е -А х У, где вектор-план х и ассортиментный вектор У определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом

У 0. Таким образом, уравнение 6 имеет одно неотрицательное решение x 0. На основании теоремы заключаем, что уравнение 6 всегда имеет допустимый план и матрица Е - А имеет обратную матрицу. Обозначив обратную матрицу Е - А -1 через S sik , запишем решение уравнения 6 в виде х SУ 7 Если будет задан вектор конечный продукт У и вычислена матрица

S E - A -1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х. Решение 7 можно представить в развернутой форме x1 S11y1 S12y2 S1nyn x2 S21y1 S22y2 S2nyn 8 xn Sn1y1 Sn2y2 Snnyn ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ЗАТРАТЫ. Выясним экономический смысл элементов Sik матрицы S. Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е.

1 0 У1 0 Подставляя этот вектор в равенство 7 , получим 1 S11 0 S21 х S S1 0 Sn1 0 1 задавшись ассортиментным вектором У2 0 , получим 0 0 S12 1 S22 х S S2 0 Sn2 Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, составит 0 S1k S2k х S 1 Sk , 9 Snk 0 т.е. k-й столбец матрицы

S. Из равенства 9 вытекает следующее Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1S1k, во 2-й х2S2k и т.д в i-й отрасли выпустить xiSik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xnSnk единиц продукции. Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S1k, S2k Sik Snk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы k-го продукта.

Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k aik ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве aik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли a1k ,

2-й отрасли a2k и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли ai1, ai2, и т.д Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2 Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли k2 и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли х21 затрачивается продукции 1-й отрасли

a120.4 и 2-й отрасли a220.1. Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х10.410040 Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама а110.2 , и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать х1400.24048. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли

х148 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у10 и у21 см п.2 0.8х1 - 0.4х2 0 -0.55х1 0.9х2 1 Решив эту систему, получим х10.8 и х21.5.

Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х10.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а120.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли почему они и были названы прямые затраты , то S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые а12 , так и косвенные

затраты, реализуемые через другие в данном случае через 1-ю же отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a120.8-0.40.4 Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а120.4 при х21, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.

Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые aik , так и косвенные Sik - aik затраты. Очевидно, что всегда Sik aik. Если необходимо выпустить уk единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы 8 x1 S1kyk, x2 S2kyk xn Snkyk , что можно записать короче в виде x

Skyk 10 Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортимент- у1 ным вектором У , то валовый выпуск k-й отрасли xk, необходимый для его уn обеспечения, определится на основании равенств 10 как скалярное произведение столбца Sk на вектор У, т.е. xk Sk1y1 Sk2y2 Sknyn Sky , 11 а весь вектор-план х найдется из формулы 7 как произведение матрицы S на вектор У. Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат

S, можно по формулам 7 11 рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У. Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх Dх1, Dх2 Dхn вызовет заданное изменение ассортиментного продукта DУ Dу1, Dу2 Dуn по формуле Dх SDУ , 12 Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой

табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат 0.2 0.4 А 0.55 0.1 Следовательно, 1 -0.2 -0.4 0.8 -0.4 Е - А -0.55 1 -0.1 -0.55 0.9 Определитель этой матрицы 0.8 -0.4 D E - A 0.5 -0.55 0.9 Построим присоединенную матрицу Е - А . Имеем 0.9 0.4 Е - А , 0.55 0.8 откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов

полных затрат, будет следующей 1 0.9 0.4 1.8 0.8 S Е - А -1 0.5 0.55 0.8 1.1 1.6 Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S110.8 и S211.5. Сравнивая с прямыми затратами а110.2 и а210.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1.8-0.21.6 и 1.1-0.550.55. Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство

единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S120.8 и S221.5, откуда косвенные затраты составят 0.8-0.40.4 и 1.6-0.11.5. Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц 2-й отраслей. Тогда необходимый валовый выпуск х х1 найдется из равенства 7 х2 1.8 0.8 480 1000 х SУ 1.1 1.6 170 800 . ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА, КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ

И Т.Д. Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n1-я, n2-я и т.д. дополнительные строки. Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через xn1,k, и затраты капиталовложений через xn2,k где k 1, 2 n . Подобно тому как вводились прямые затраты aik, xn1,k введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an1,k , и xk xn2,k капиталовложений an2,k , представляющих собой расход

соответствующего xk ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу т.е. дописав их в виде дополнительных строк , получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат a11 a12 a1k a1n a21 a22 a2k a2n основная часть матрицы А ai1 ai2 aik ain an1 an2 ank ann an1,1 an1,2 an1,k an1,n an2,1 an2,2 an2,k an2,n дополнительные строки При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы структурная матрица

А . Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки. Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т.е. 1 У 0 0 . Для этого требуется валовый выпуск продукции S11 S21 x S1 Sn1 Подсчитаем необходимые при этом затраты труда

Sn1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12 S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an1,1S11, во 2-ю an1,2S21 и т.д наконец в n-ю отрасль an1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят Sn1,1 an1,1S11 an1,2S21 an1,nSn1 an1S1 , т.е. равны скалярному произведению

n1 -й строки расширенной матрицы А, которую обозначим an1, на 1-й столбец матрицы S. Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят Sn1,k an1Sk 13 Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений Sn2,k an2Sk 14

Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов Sn1,k и Sn2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат S11 S12 S1k S1n матрица коэффициентов S21 S22 S2k S2n полных внутрипроизводст. затрат S Si1 Si2 Sik Sin 15 Sn1 Sn2 Snk Snn Sn1,1 Sn1,2 Sn1,k Sn1,n дополнительные строки Sn2,1 Sn2,2 Sn2,k Sn2,n

Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х для чего используется матрица S , но и необходимые суммарные затраты труда xn1, капиталовложений xn2 и т.д обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У. Очевидно, xn1 Sn1,1y1 Sn1,2y2 Sn1,nyn , 16 xn2 Sn2,1y1 Sn2,2y2 Sn2,nyn , т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых

для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S вектор У. Наконец, объединяя формулу 7 с формулами 16 , приходим к следующей компактной форме x1 x2 x xn SУ 17 xn1 xn2 Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда xn1,k в тыс. человеко-часов и капиталовложений xn2,k в тыс. руб которые

записаны в табл.3 Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную матрицу 0.2 0.4 А 0.55 0.1 0.5 0.2 1.5 2.0 Таблица 3 отраслей потребление итого конечный валовый затрат продукт выпуск отраслей 1 2 1 100 160 260 240 500 2 275 40 315 85 400 труд 250 80 330 капиталовложе- 750 800 1550 ния Обратная матрица S E - A -1 была уже подсчитана в предыдущем пункте. На основании 13 рассчитаем коэффициенты полных затрат труда

Sn1,kS3,k S31 a3S1 0.5 1.8 0.2 1.1 1.12 S32 a3S2 0.5 0.8 0.2 1.6 0.72 и капиталовложений Sn2,k S4,k S41 a4S1 1.5 1.8 2.0 1.1 4.9 S42 a4S2 1.5 0.8 2.0 1.6 4.4 . Таким образом, расширенная матрица S коэффициентов полных затрат примет вид 1.8 0.8 S 1.1 1.6 1.12 0.72 4.9 4.4 Если задаться на планируемый период прежним ассортиментным вектором У 240 , то рассчитав по формулам 16 суммарные затраты труда xn1 и 85 капиталовложений xn2, получили

бы xn1 x3 1,12 240 0.72 85 268.8 61.2 330 тыс. чел ч. и xn2 xn 4.9 240 4.4 85 1176 374 1550 тыс.руб что совпадает с исходными данными табл.3. Однако в отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям 250 и 80 или 750 и 800 , здесь они распределены по видам конечной продукции на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2 соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374. При любом новом значении ассортиментного вектора

У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы 17 . Так, пусть задан ассортиментный вектор У 480 . Тогда 170 х1 1.8 0.8 1000 х х2 1.1 1.6 480 800 х3 1.12 0.72 170 600 х4 4.9 4.4 3100 Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей х11000 и х2800, при суммарных затратах

труда х3660 тыс. чел ч. и при затратах капиталовложений х43100 тыс.руб. Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях. Задача В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции,

стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел ч. Таблица Нормы расхода Обозначения Стоимость I II III Сырье I 1.4 2.4 0.8 a4 5 Сырье II 0.6 1.6 a5 12 Сырье III 2.0 1.8 2.2 a6 2 Трудоемкость 10 20 20 а7 12 Определить а суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы б коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда

на единицу конечной продукции каждого цеха в расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам г производственные затраты по цехам в руб. и на всю производственную программу завода д производственные затраты на единицу конечной продукции. Решение а Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на вектор х, т.е. 235 а4х 1.4 2.4 0.8 186 1088 397 Аналогично можно получить расход сырья

II и т.д. Все это удобно записать в виде произведения 1.4 2.4 0.8 235 1088 Сырье I 0 0.6 1.6 186 746 Сырье II 2.0 1.8 2.2 397 1678 Топливо 0.1 0.2 0.2 1409 Человеко-часов. б Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха у11 найдем из выражения 1.4S11 2.4S21 0.8S31. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного

продукта получим из произведения матрицы I II III 1.4 2.4 0.8 1.04 0.21 0.02 1.97 2.92 1.36 Сырье I 0 0.6 1.6 0.21 1.05 0.13 0.17 0.84 2.09 Сырье II 2.0 1.8 2.2 0.03 0.13 1.26 2.53 2.60 5.23 Топливо 10 20 20 15.2 24.8 28.0 Труд Таким образом, например, для изготовления у11 необходимо затратить 1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53 единиц топлива и 15.2 чел ч. в

Расход сырья, топлива и т.д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов I II III Сырье I 330 440 318 Сырье II 0 111 635 Топливо 470 335 873 Труд 2350 3720 7940 г Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения слева строки стоимостей 5 12 2 1.2 на последнюю матрицу 330 440 318 0 111 635

I II III 5 12 2 1.2 470 335 873 5410 8666 20484 2350 3720 7940 д Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п.б на строку цен 1.97 2.92 1.36 0.17 0.84 2.09 I II III 5 12 2 1.2 2.53 2.60 5.23 35.3 59.6 75.7 15.2 24.8 28.0 Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции

I, II и III цехов соответственно составляют 35.3 руб 59.6 руб 75.7 руб.