Реферат на тему:
Диференціальні рівняння першого порядку,
розв’язані відносно похідної
1. Поняття диференціального рівняння, його порядок.
Означення 2.1. Рівняння вигляду
/>(2.1)
називається диференціальним рівнянням (наявність похідних тут обов’язкова).
Означення 2.2. Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння (2.1) називається порядком диференціального рівняння.
Означення 2.3. Функція />називається розв’язком (або інтегралом) диференціального рівняння (2.1), якщо вона n-раз неперервно диференційовна на деякому інтервалі />і задовільняє диференціальному рівнянню (2.1) />.
Приклад 2.1. /> — диференціальне рівняння другого порядку.
При />диференціальне рівняння (2.1) називається диференціальним рівнянням першого порядку і позначається
/>. (2.2)
Диференціальне рівняння (2.2) називається розв’язаним відносно похідної, якщо його можна представити у вигляді
/>. (2.3)
Припускаємо, що />однозначна і неперервна в деякій області D змінних x,y. Цю область називають областю визначення диференціального рівняння (2.3).
Якщо в деякій області функція />перетворюється в />, то розглядають диференціальне рівняння
/>.
Множину таких точок, а також тих, в яких />не визначена, але може бути довизначена до неперервності, будемо приєднувати до області визначення диференціального рівняння (2.3).
Поряд з (2.3) будемо розглядати еквівалентне диференціальне рівняння, записане в диференціалах
/>(2.4)
або в більш загальному виді
/>(2.5)
Інколи розглядатимемо диференціальне рівняння в симетричній формі
/>(2.6)
Функції />будемо вважати неперервними в деякій області.
Означення 2.4. Розв’язком диференціального рівняння (2.3) в інтервалі І назвемо функцію />, визначену і неперервно диференційовну на І, яка не виходить з області означення функції />і яка перетворює диференціальне рівняння (2.3) в тотожність />, тобто
/>
Розв’язок />називається розв’язком, записаним в явній формі (вигляді).
Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називається інтегруванням.
Не завжди можна отримати розв’язок в явному вигляді.
Означення 2.5. Будемо говорити, що рівняння
/>(2.7)
визначає в неявній формі розв’язок диференціального рівняння (2.3), якщо воно визначає />, яка є розв’язком диференціального рівняння (2.3).
При цьому на розв’язках диференціального рівняння (2.3) виконується
/>. (2.8)
Означення 2.6 Будемо говорити, що співвідношення
/>(1.9)
визначають розв’язок диференціального рівняння (2.3) в параметричній формі на інтервалі />, якщо
/>. (2.10)
Задача Коші.
Розглянемо диференціальне рівняння (2.3). Задача Коші заключається в тому, щоб серед всіх розв’язків диференціального рівняння (2.3) знайти такий />, який проходить через задану точку
/>(2.11)
Тут /> — початкове значення незалежної змінної, /> — функції.
Розв’язати задачу Коші з геометричної точки зору означає (рис. 2.1): знайти серед усіх інтегральних кривих диференціального рівняння (2.3) ту, яка проходить через задану точку />.
/>
/>
У0
Рис. 2.1.
Означення 2.7. Будемо говорити, що задача Коші (2.3), (2.11) має єдиний розв’язок, якщо />число h>0, що на відрізку />визначений розв’язок />такий, що />і не існує другого розв’язку, визначеного в цьому ж інтервалі />і не співпадаючого з розв’язком />хоча б в одній точці інтервалу />, відмінній від точки />.
Якщо задача Коші (2.3), (2.11) має не один розв’язок або ж зовсім його не має, то говорять, що в точці />порушується єдиність розв’язку задачі Коші.
При постановці задачі Коші ми припускаємо, що /> — обмежені числа, а диференціальне рівняння (2.3) в точці />задає деякий напрямок поля, який не паралельний осі ОУ.
Якщо права частина диференціального рівняння (2.3) в точці М приймає нескінченне значення, необхідно розглянути диференціальне рівняння (2.3) і з
у
найти розв’язок />(рис. 2.2)
/>
М
--PAGE_BREAK--Рис. 2.2
Якщо ж в точці М права частина диференціального рівняння (2.3) має невизначеність, наприклад, типу />, тоді звичайна постановка задачі Коші не має смислу, так як через точку М не проходить жодна інтегральна крива. В цьому випадку задача Коші ставиться так: знайти розв’язок />(або />), який примикає до точки М.
В деяких випадках треба шукати розв’язок />, який задовольняє умовам />при />при />і т.д.
Теорема Пікара. (без доведення) Припустимо, що функція />в диференціальному рівнянні (2.3) визначена і неперервна в обмеженій області
/>
і, отже, вона є обмеженою
/>(2.12)
функція />має обмежену частинну похідну по у на D
/>. (2.13)
При цих умовах задача Коші (2.3), (2.11) має єдиний неперервно-диференційовний розв’язок в інтервалі
/>(2.14
Зауваження 2.1. В сформульованій теоремі умову (2.13) можна послабити (замінити) на те, щоб функція />по змінній у задовольняла умові Ліпшіца, тобто
/>. (2.15)
Тут L>0 — найменша константа яка задовольняє (2.15) і називається константою Ліпшіца .
Теорема Пеано. (про існування розв’язку). Якщо функція />є неперервною на D, то через кожну точку />проходить, по крайній мірі, одна інтегральна крива.
Якщо функція диференційовна і задовольняє (2.13), то вона задовольняє умові Ліпшіца, з L=K.
Функція може зодовольняти умові Ліпшіца, але не бути диференційовною і, отже, не буде задовольняти (2.13). Наприклад, />.
Поняття загального розв’язку, форми його запису.
На прикладах можна переконатися, що диференціальне рівняння (2.3) має нескінченну множину розв’язків, яка залежить від деякого параметру с
/>(2.16)
Це сімейство і називається загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3). При кожному с (2.16) дає інтегральну криву.
Для розв’язування задачі Коші (2.3), (2.11) параметр с можна знайти з рівняння />.
Дамо точне визначення загального розв’язку. Припустимо, що на D виконуються умови теореми Пікара.
Означення 2.8. Функцію
/>(2.17)
визначену в деякій області змінних х і с, і яка має неперервну частинну похідну по х будемо називати загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо рівняння (2.17) можна розвязати відносно с в області D
/>(2.18)
і функція (2.17) є розв’язком диференціального рівняння (2.3) при всіх значеннях довільної сталої с, які визначаються формулою (2.18) коли />.
Суть означення 2.8 в наступному. Припустимо, що задано сімейство кривих F на області D, яке залежить від одного параметра С. Якщо будь-яка крива із F є інтегральною кривою диференціального рівняння (2.3) і всі криві із F в сукупності покривають D, то F є розв’язком диференціального рівняння (2.3) в області D (рис. 2.3).
/>
продолжение
--PAGE_BREAK--Рис. 2.3
Для розв’язування задачі Коші константу С
можна знайти згідно
/>. (2.18)
Інколи в формулі (2.17) рольС грає у, тоді говорять, що розв’язок представлений у формі Коші
/>. (2.19)
Приклад 2.2. Знайти розв’язок диференціального рівняння
/>
у формі Коші. Загальний розв’язок />В указаній області виконуються умови теореми Пікара. Звідки
/> — розв’язок в формі Коші.
В більшості випадків при інтегруванні диференціального рівняння (2.3) ми отримуємо загальний розв’язок в неявній формі
/>(або />, (2.20)
який називається загальним інтегралом диференціального рівняння (2.3).
Означення 2.9. Будемо називати співвідношення (2.20) загальним розв’язком в неявній формі або загальним інтегралом в області D, якщо співвідношенням (2.20) визначається загальний розв’язок (2.17) диференціального рівняння (2.3) в області D.
З означення випливає, що (2.18) — загальний інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D.
Інколи при інтегруванні отримуємо сімейство інтегральних кривих, залежне від С, в параметричній формі.
/>(2.21)
Таке сімейство інтегральних кривих будемо називати загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3) в параметричній формі.
Якщо в (2.21) виключити t, то отримаємо загальний розв’язок в неявній або явній формі.
Частинні і особливі розв’язки. Знаходження кривих, підозрілих на особливість розв’язку, по диференціальному рівнянню
Означення 2.10. Розв’язок, який складається з точок єдиності розв’язку задачі Коші називається частинним і його можна отримати з загального при фіксованому С.
Розв’язок задачі Коші, який задовольняє теоремі Пікара, є частинний розв’язок.
Означення 2.11. Розв’язок, в кожній точці якого порушується єдиність розв’язку задачі Коші, будемо називати особливим.
Геометрично особливому розв’язку відповідають інтегральні криві, які не містяться в загальному розв’язку. Тому особливий розв’язок не може існувати всередині області D існування загального розв’язку. Його не можна отримати з формули загального розв’язку ні при яких числових значеннях С, включаючи />. Його можна отримати з загального розв’язку лиш при />.
Існують ні частинні ні особливі розв’язки. Їх можна отримати шляхом склеювання кусків частинних і особливих розв’язків.
y
/>
Рис. 2.4
Приклад 2.3. Знайти особливий розв’язок диференціального рівняння
/>,
/>.
Отримали загальний розв’язок в області />, в якій виконуються умови теореми Пікара. Але розв’язком буде />, який ми отримуємо при />. Він не міститься в загальному розв’язку при жодному фіксованому С. Отже, згідно означення /> — особливий розв’язок.
Якщо />неперервна на D, то умови підозрілі на особливий розв’язок: необмеженість похідної />. Знайшовши таку криву в подальшому треба переконатися :
вона являється інтегральною кривою;
перевірити, що в кожній її точці порушується єдиність розв’язку.
В прикладі 2.2. />при />. Поскільки /> — розв’язок і через нього проходять інтегральні криві з загального розв’язку, то /> — особливий розв’язок.
Приклад 2.4. Розглянемо диференціальне рівняння
/>
при />. Але />не є розв’язком диференціального рівняння, тому і не є особливим розв’язком.
Припустимо, що диференціальне рівняння має однопараметричне сімейство інтегральних кривих />. Тоді, якщо це сімейство має обвідну, тобто лінію, яка в кожній точці дотикається сімейства і ні на якому участку не співпадає ні з одною кривою сімейства. Ця обвідна і буде особливим розв’язком. Дійсно через довільну її точку проходить по крайній мірі два розв’язки: обвідна і сам розв’язок.
Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.
Нехай
/>(2.22)
загальний розв’язок загального диференціального рівняння (2.3) в області D, в якій виконуються умови теореми Пікара. Тоді на D рівняння (2.22) можна розв’язати відносно С
/>. (2.23)
Функція />приймає постійні значення на довільному частинному розв’язку з D, причому значення постійної визначається частинним розв’язком
/>. (2.24)
Означення 2.12. (перше означення інтегралу) Функція />, визначена на D і яка не зводиться до константи, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо на довільному частинному розв’язку з D, ця функція приймає постійні значення.
Припустимо, що /> — диференційовна функція. Тоді на довільному частинному розв’язку
/>(2.25)
або
/>(2.26)
При цьому />на D так як в противному />. А це означає, що поле диференціального рівняння (2.3) в відповідній точці не задано.
Означення 2.13. (друге означення інтегралу). Функція />, визначена і неперервна з частинними похідними в області D і така, що />в області D, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо повний її диференціал, взятий в силу диференціального рівняння (2.3), тотожньо дорівнює нулю в області D.
З (2.26) випливає, що
/>(2.27)
Функція, яка є інтегралом в смислі означення 2.12 буде інтегралом і в смислі означення 2.13. Навпаки не завжди так.
Якщо диференціальне рівняння (2.3) має один інтеграл, то воно має безліч інтегралів.
Теорема 2.1. (про загальний вигляд інтегралу) Якщо />інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D і функція />диференційовна в D, а /> — довільна функція визначена і неперервно-диференційовна в області зміни функції />коли />, то
/>(2.28)
є інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D.
Доведення.
/>,
причому />в області D. Маємо
/>(2.29)
З (2.29) випливає, що /> — інтеграл диференціального рівняння (2.3) згідно означення.
Теорема 2.2. (про залежність двох інтегралів) Нехай />два інтеграли диференціального рівняння (2.3). Тоді існує неперервно диференційовна функція F, що
/>. (2.30)
Доведення. Поскільки />інтеграли, то
/>(2.31)
З (2.31) випливає, що
/>. (2.32)
Формально (2.32) можна отримати визначаючи dy з одного рівняння системи (2.31) і підставляючи в друге рівняння. З функціонального аналізу відомо, що з умови (2.32) витікає (2.30).