/>/>1. Элементы вариационногоисчисления/>/> 1.1 Понятие функционала и оператора
В курсе высшей математики вводилось понятиефункции. Если некоторому числу x из области D ставится в соответствие по определенному правилу или законучисло y,то говорят, что задана функция y = f(x). Область D называют областью определения функции f(x).
Если же функции y(x) ставится в соответствиепо определенному правилу или закону число J, то говорят, что заданфункционал J= J(y). Примером функционаламожет быть определенный интеграл от функции y(x) или от некотороговыражения, зависящего от y(x),
/>
/>
Если теперь функции y(x) ставится в соответствиепо определенному правилу или закону вновь функция z(x), то говорят, что заданоператор z= L(y), или z = Ly.
Примерами дифференциальных операторов могутслужить:
/>
Дадим более строгое определение функционала.Пусть A –множество элементов произвольной природы, и пусть каждому элементу u є A приведено в соответствиеодно и только одно число J(u). В этом случае говорят, что на множестве A задан функционал J. Множество A называется областьюопределения функционала J и обозначается через D(J); число J(u) называется значениемфункционала Jна элементе u.Функционал Jназывается вещественным, если все его значения вещественны. Функционал J называется линейным,если его область определения есть линейное множество и если
J (αu + βv) = αJ(u)+ βJ(v)./>1.2Задачи, приводящие к экстремуму функционала
Рис. 1.1
/> Задача о брахистохроне
Зарождение вариационного исчисления относятобычно к 1696 г., когда И. Бернулли поставил так называемую задачу обрахистохроне: точки А (0,0) и В (а, b) расположены в вертикальной плоскости (xy) (рис. 1). Каковадолжна быть кривая, лежащая в плоскости (xy) и соединяющая точки А иВ, чтобы материальная точка, двигаясь без трения, скатывалась по этой кривой източки А в точку В в кратчайшее время?
Искомая кривая и быланазвана брахистохроной.
Пустьуравнение кривой АВ есть y = u(x).Рассмотрим некоторый момент времени t, и пустьв этот момент движущаяся точка находится на расстоянии y от оси x. Тогда />, где v– скорость движущейся точки, g– ускорение силы тяжести. В то же время
/>
Отсюда
/>.
Обозначим через Т время, в течение которогоматериальная точка достигает точки В. Интегрируя, находим
/> (1.1)
Задача сводится к следующему: надо найти функциюy = u(x), удовлетворяющую условию
u(0) = 0; u(а) = b (1.2)
и сообщающую интегралу (1.1) наименьшее значение.Условия (1.2) означают, что искомая кривая должна проходить через заданныеточки А и В. Такого типа условия принято называть граничными, иликраевыми, так как они относятся к концам промежутка, на котором должна бытьопределена искомая функция.
Примером применения кривой в виде брахистохроныслужит образующая цилиндрических поверхностей, используемых на детскихплощадках, в аттракционах для спуска с возвышения, на трамплинах./>Задачао наибольшей площади
Сформулируемэту задачу так: среди всех плоских кривых, имеющих данную длину /> иоканчивающихся в точках А (а, 0) и В (b, 0),найти кривую, ограничивающую вместе с отрезком [а, b] оси xобласть с наибольшей площадью.
Пусть уравнение кривой будет y = u(x). Задачазаключается в том, чтобы найти функцию u(x), удовлетворяющую краевым условиям
u(а) = u(b) = 0 (1.3)
и тождеству
/> (1.4)
и сообщающую интегралу
/> (1.5)
наибольшее значение.
Общим для рассмотренных задач является то, чтокаждый раз ищется функция, удовлетворяющая тем или иным поставленным условиям исообщающая экстремальное значение заданному функционалу.
Приведенные здесь задачи относятся к ветвиматематического анализа, называемой вариационным исчислением.
/>1.3Постановка задачи вариационного исчисления
Задача вариационного исчисления состоит вследующем: дан функционал J с областью определения D(J); требуется найтиэлемент u0 є D(J), сообщающий функционалу либо минимальное значение
/>, (1.6)
либо максимальное значение
/>. (1.7)
Задача о максимуме функционала J тождественна сзадачей о минимуме функционала – J, поэтому в дальнейшем будем рассматриватьтолько задачу о минимуме функционала J.
В приведенной общей формулировке задачувариационного исчисления решить вряд ли возможно, поэтому наложим на функционалJ некоторые ограничения.
Будем считать, что D(J) есть часть некоторогопространства Х. Чтобы сформулировать дальнейшие ограничения, введемпонятие линейного многообразия. Пусть М – линейное множество элементовпространства Х и ū – некоторый фиксированный элемент этого пространства.Линейным многообразием в пространстве Х назовем совокупность элементов, каждыйиз которых можно представить в виде
u = ū + η, ηєМ. (1.8)
Если ūєМ, то, очевидно, так определенноелинейное многообразие совпадает с М.
Требование1. Область определения D(J)функционала J есть линейноемногообразие.
Будем считать также, что пространство Хбесконечномерно. Тогда в Х линейное множество М также бесконечномерно и,следовательно, из него можно выделить конечномерное подпространство.
Требование2. Если η пробегаетлюбое конечномерное подпространство, содержащееся в М, то на этомподпространстве функционал J(u) = J (ū +η) непрерывно дифференцируемдостаточное число раз.
Введем понятие об абсолютном и относительномминимуме функционала. Функционал J достигает на элементе u0 є D(J) абсолютногоминимума, если неравенство
J(u0) = J(u) (1.9)
Справедливо для любого элемента u є D(J).Тот же функционал достигает на элементе u0 относительного минимума, еслинеравенство (9) справедливо для элементов u є D(J), достаточно близких к u0.
Абсолютный минимум называют еще сильнымминимумом, а относительный – слабым.
Существует аналогия между нахождением минимумафункции и минимума функционала. При нахождении минимума функции перваяпроизводная функции приравнивается к нулю и находится точка, подозрительная наэкстремум. Затем с помощью второй производной проверяется достаточное условиеэкстремума. При нахождении минимума функционала находится первая вариацияфункционала и приравнивается к нулю. В результате получаем необходимое условиеэкстремума функционала. Для проверки достаточного условия экстремумафункционала находится вторая вариация функционала./>1.4Первая вариация и градиент функционала
Будем рассматривать функционал J, подчиненныйтребованиям 1, 2. Возьмем произвольный элемент u є D(J) и произвольный элемент ηє М. Обозначим через α произвольное вещественное число. Нетрудновидеть, что элемент
u + αη є D(J). (1.10)
Составим выражение J (u + αη). В силутребования 2 J (u + αη) есть непрерывно дифференцируемая функция от α.Вычислим ее производную и возьмем значение этой производной при α = 0
/>. (1.11)
В результате получим число, которое можнорассматривать как значение функционала (11), зависящего от двух элементов u и η.
Определение.Функционал
/>
называется первой вариацией функционала J наэлементе u и обозначается символом δJ (u, η):
/>. (1.12)
При этом разность двух функций u є D(J) и u1 єD(J) называют вариацией функции u и обозначают δu = u(х) – u1 (х).
Пример. Найтипервую вариацию функционала
/> (1.13)
область определения которого D(J) состоит изфункций, удовлетворяющих следующим условиям: u/>С(1) [a, b] и
u(а) = А, u(b) = В, (1.14)
где А и В-заданные постоянные. Условия (14)означают, что кривые у = u(х), где u/>D(J), проходят через двефиксированные точки (а, А) и (b, В).
Несложно показать, что функционал (13)удовлетворяет оговоренным выше двум требованиям, кроме того, он удовлетворяеттребованию 3.
Требование3. Вариация δJ (u, η) – нетолько однородный, но и аддитивный функционал от η.
Составим вариацию функционала (1.13)
/> (1.15)
Можно показать, что интеграл:
/> (1.16)
есть ограниченный функционал от η, при этомсчитаем, что η(х) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям:
η(а) = η(b) = 0. (1.17)
В этом случае интеграл (1.16) можно взять по частям
/>/>
Таким образом, интеграл (1.15) можно записать ввиде
/>. (1.18)
Здесь u + αη – u = αη = δuu можно записать
/> (1.19)
Вариацию δJ (u, η) можно записатьв виде
δJ (u, η) = (Рu, η). (1.20)
Определение. ОператорР, определенный формулой (1.20), называется градиентом функционала J(u) иобозначается символом
Р = grad J.
Если u/>D(Р), то вариацию функционала J(u)можно записать в виде
δJ (u, η) = (grad J(u), η) (1.21)
Здесь взяли α = 1, чтобы не загромождатьзапись. В выражении (1.18)
/>./>1.5Необходимое условие минимума функционала
Пусть функционал J достигает на некоторомэлементе u0относительного минимума. Возьмем произвольный элемент η/>М ипроизвольное вещественное число α. По определению относительного минимумапри достаточно малых значениях α
J(u0+ αη)/>J(u0) (1.22)
Это неравенство означает, что функция однойвещественной переменной α, равная J(u0+ αη), имеетпри α0= 0 относительный минимум. Но тогда необходимо
/>
или, что то же
δJ(u0, η) = 0 (1.23)
Если функционал в некоторой точке достигаетминимума, то в этой точке первая вариация функционала равна нулю. В этомзаключается необходимое условие экстремума функционала./>1.6Уравнение Эйлера. Связь между вариационной и краевой задачами
Рассмотрим основную лемму вариационногоисчисления.
ЛеммаЛагранжа.
Пусть f (х, у) – функция, непрерывная в области Dс контуром Г. Если
/>η (х, у) dxdy = 0 (1.24)
для любой функции η (х, у), непрерывной вобласти D вместе со своими частнымы производными до n-го порядка включительнои обращающейся в нуль на границе Г (η (х, у)|Г = 0), то
f (х, у) = 0.
Для примера, рассмотренного в 1.4, было полученов точке минимума функционала (1.13) условие
/> (1.25)
Исходя из леммы Лагранжа, можем записать
/>. (1.26)
Если условие (1.25)записать в виде
/>,
то очевидно, что δu (вариация искомой функции)– функция неравная нулю на отрезке (а, b), поэтому должно выполняться условие(1.26).
Уравнение (1.26) можно еще записать в виде
/>
Уравнение (1.26) называют уравнением Эйлера. Еслипредположить существование непрерывной второй производной от u(х), то уравнение(1.26) можно записать в виде
/>.
Таким образом, условие минимума функционала(1.13) при условии (1.14) приводит к краевой задаче для уравнения Эйлера (1.26)при тех же условиях (1.14), т.е. Существует тесная связь между вариационнойзадачей о минимуме функционала и краевой задачей для уравнения Эйлера для этогофункционала.
Решения уравнения Эйлера (1.26), удовлетворяющиеусловиям (1.14) называют экстремалями функционала (1.13)./>1.7Пути решения вариационных задач
Один из путей решения вариационной задачи, т.е.задачи нахождения минимума некоторого функционала J(u) при заданных краевыхусловиях, состоит в сведении этой задачи к краевой задаче для дифференциальногоуравнения при тех же краевых условиях, которое является уравнением Эйлера дляэтого функционала, с последующим решением этой задачи.
Второй путь решения вариационной задачи состоит вприменении вариационных методов, которые позволяют приближенно найти функцию u0,дающую минимум функционалу J(u), и удовлетворяющую заданным краевым условиям.
Рассмотрим несколько примеров решения задачвариационного исчисления, основанных на нахождении уравнений Эйлера споследующим их решением.
Пример 1.
Найти функцию у = u(х), удовлетворяющую условию
u(0) = u(1) = 0 (1.27)
и дающую минимум функционалу
/> (1.28)
Будем считать, что функция u(х) непрерывна иимеет непрерывные производные до второго порядка включительно.
Уравнение Эйлера для функционала (28) будет иметьвид
/> (1.29)
Таким образом, получили краевую задачу длялинейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.Общее решение уравнения (1.29) будет иметь вид
/>.
Для нахождения произвольных постоянных с1и с2 воспользуемся краевыми условиями (1.27). В результате получим
/>
Откуда/>
Следовательно, функция, дающая минимумфункционалу (1.28) при условии (1.27), будет иметь вид
/>. (1.30)
Пример 2.
В качестве второго примера рассмотрим задачу обрахистохроне.
Как было показано ранее (см. 1.2.1), задачасостоит в том, чтобы найти функцию у = u(х), удовлетворяющую условиям:
u(0) = 0, u(а) = b
и сообщающую минимум функционалу
/>.
В этом случае
/>. (1.31)
Функция (31) при u = 0 терпит разрыв. Путемнесложных рассуждений показывается, что все-таки можно воспользоватьсяуравнением Эйлера в виде (1.26).
Уравнение (1.26) приводится к виду
/> (1.32)
Отсюда
/>.
Положим/>. Тогда />.
Дифференцируяэто выражение, получим />. Замена /> даетдифференциальное уравнение относительно />
/>
Далее
/>.
Положив/>, получим
/>.
Таким образом, если решение задачи обрахистохроне имеет решение, то это решение есть циклоида./>1.8Вторая вариация функционала. Достаточное условие минимума функционала
Рассмотримфункцию /> от вещественнойпеременной />, считая /> и />фиксированными.
Эту функцию разложим в ряд Тейлора:
/> (1.34)
где R1 – остаточный член ряда.
Выражение
/>
называется второй вариацией функционала J наэлементе u.
Разложение (1.34) можно записать в виде
/>. (1.36)
Пустьфункционал J достигает минимума,относительного или абсолютного на элементе u0. Тогда />, иформула (1.36) дает
/>. (1.37)
Изэтого соотношения вытекает достаточное условие того, что элемент u0,удовлетворяющий уравнению Эйлера (экстремаль), сообщает функционалу минимальноезначение. Для абсолютного минимума это условие имеет вид (учитывая, что />
/> (1.38)
дляотносительного минимума оно состоит в том, что неравенство (1.38) выполняется,когда элемент /> достаточно мал по норме.
Условие(1.38) в конкретных задачах трудно проверить, потому что величина /> обычнонеизвестна, и непосредственно им, как правило, воспользоваться не удается.
Поэтому для проверки достаточного условияэкстремума функционала пользуются более простыми условиями.
Запишем вторую вариацию для функционала (1.13)
/>
пользуясь определением второй вариации (1.35)
/>,
где/>.
Таккак />, то, предполагая наличиесоответствующих производных у Ф, интегрируя по частям и принимая во внимание,что />, получим
/>, (1.39)
где/>.
Считаем,что необходимое условие экстремума выполнено, т.е. /> и дляопределенности будем говорить о минимуме функционала (1.13). Функция />, какфункция переменной /> при />должнаиметь минимум, следовательно, необходимым условием минимума является тот факт,чтобы /> при любом выборе />. Можнопоказать, что отсюда непосредственно вытекает, что вдоль экстремали должноиметь место равенство />.
Условие
/>
называют условием Лежандра.
Более сильное условие
/>
называют усиленным условием Лежандра.
Рассмотриминтеграл, входящий в формулу (1.39), заменяя букву /> буквой />, получим
/>.
Уравнение Эйлера для этого интеграла будет иметьвид
/>, (1.40)
причем,/>в этом уравнении естькоэффициент при /> и в силу условия />, деля обечасти уравнения на R, получимуравнение вида
/>
с непрерывными в [a, b] коэффициентами p(x) и q(x). Уравнение (1.40)называют уравнением Якоби.
Пусть/> — решение уравнения(1.40), удовлетворяющее начальным условиям
/>.
Существеннымдля дальнейшего будет тот факт, имеет ли решение /> корнивнутри промежутка [a, b]. Оказывается,что если такие корни имеются, то исследуемая экстремаль не может давать минимумфункционалу (1.13).
Если/>при a при />, тоговорят, что экстремаль u(x)удовлетворяет усиленному условию Якоби. Следует заметить, что коэффициенты S и R уравнения(1.40) зависят от экстремали u(x) и,следовательно, высказанные выше условия являются условиями, накладываемыми наэкстремаль u(x).
Имеет место следующая теорема. Усиленные условияЛежандра и Якоби достаточны для того, чтобы экстремаль давала слабый (местный)экстремум функционалу (1.13).
Можнопоказать, что если выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби и, кроме того, /> положительнодля всякого конечного p внекоторой области, содержащей экстремаль u(x) внутри,то эта экстремаль дает сильный (абсолютный) минимум.
Пример. Докажем, что экстремаль (1.30) (см Пример1 в 1.8) дает функционалу (1.28) сильный минимум. Из (1.28) имеем
/>,/>, />,/>
Уравнение (1.40) принимает вид
/>
егорешение при условии />, /> имеет вид
/>.
Функция/> на отрезке /> удовлетворяетусиленному условию Якоби, так как на этом отрезке она положительна. Так как /> то и усиленное условиеЛежандра выполняется. Следовательно, экстремаль (1.30) даёт функционалу (1.28)сильный (абсолютный) минимум./>1.9Изопериметрическая задача
Изопериметрическаязадача ставится следующим образом: Даны функционалы />ипостоянные />; среди элементов областиопределения D(J)функционала J, удовлетворяющего уравнениям
/> (1.41)
требуется найти элемент, доставляющий функционалуJ наименьшее значение.
Считается, что область
/>
не пуста.
Частным случаем изопериметрической задачиявляется задача о наибольшей площади, поставленная в 2.2.
Здесь n=1.
/> (1.42)
За D(J) можнопринять множество тех функций из С [a, b], которыеобращаются в нуль при x=a и x=b (условие3), а за /> – множество функций изС[1] [a, b],удовлетворяющих тем же условиям (1.3). Очевидно /> пересечение />не пусто. Будем считать,что функционалы />удовлетворяюттребованиям 1,2,3. Пересечение линейных многообразий само есть линейноемногообразие, поэтому существует элемент /> и линейное многообразие /> такое, что любой элемент/> имеет вид />.
Будемсчитать, что множество /> плотно в рассматриваемомпространстве.
Справедлива теорема, принадлежащая Эйлеру иизвестная под названием правила множителей для изопериметрической задачи.
ТеоремаЭйлера: Пусть элемент /> решаетизопериметрическую задачу. Если существуют такие элементы />, что определитель
/> (1.43)
отличенот нуля, то найдутся такие постоянные />, что
/> (1.44)
Рассмотренная теорема дает только необходимоеусловие минимума для изопериметрической задачи.
Техника решения изопериметрической задачи такова:составляя функционал
/>, (1.45)
где/> – неизвестныепостоянные, и составляем для этого функционала уравнение Эйлера. Оно содержит вкачестве неизвестных элемент u0 ипостоянные />. Эти неизвестныеопределяются из уравнения Эйлера (1.41) и изопериметрических равенств (1.41).
Вкачестве примера рассмотрим задачу о наибольшей площади (см. 2.2). Всоответствии с теоремой Эйлера введем постоянный множитель /> исоставим функционал
/>
Уравнение Эйлера для функционала Э примет вид
/>
Интегрирование дает
/>.
Отсюда
/>.
Интегрируяеще раз, придем к уравнению окружности радиуса />
/>. (1.46)
Такимобразом, если решение существует, то это – дуга окружности. Для определения еерадиуса /> и центра /> имеем триуравнения
/> Рис. 1.2.
/>.
Пусть/> будет угол, под которымвиден отрезок AB из центра окружности (рис. 2):
/>.
Дляопределения /> имеем уравнение
/>,
решениекоторого всегда возможно при указанном выше условии. Подставляя условия (1.3) вуравнение (1.46) находим />. Найдя /> изуравнения (1.46) найдем />./>1.10Минимизирующая последовательность
Пусть J-произвольный ограниченный снизу функционал. Вэтом случае существует нижняя грань его значений
/>.
Последовательность/> элементов из D(J) называетсяминимизирующей для функционала J, еслисуществует предел J(un), равный m.
Теорема 1: Функционал, ограниченный снизу, имеетпо крайней мере одну минимизирующую последовательность.
Изопределения нижней грани следует, что: 1) для любого элемента /> справедливоравенство />; 2) для любого /> существуеттакой элемент /> из D(J), что />. Положим /> иобозначим />. Тогда />, откуда следует, что />.
Теорема2: Пусть D(J) – линейноемногообразие некоторого банахова пространства X. Еслифункционал J непрерывен в D(J) исуществует предел минимизирующей последовательности />, тоэлемент />сообщает функционалу Jминимальное значение.
Доказательство вытекает из непрерывностифункционала
/>.
Теоремы 1, 2 создают возможность решать задачу оминимуме функционала, минуя уравнение Эйлера. Для этого надо прежде всегопогрузить множество D(J)в такое банахово пространство X, в котором функционал J был бы непрерывен. Далее следуетпостроить минимизирующую последовательность. Если она сходится, то ее пределрешает вариационную задачу.
На этом построены численные вариационные методы(см 15) и обоснование их сходимости./>1.11Функционал от функций, нескольких независимых переменных
Рассмотримконечную область /> в m-мерномЕвклидовом пространстве. Будем считать, что граница Г области /> состоитиз конечного числа кусочно-гладких (m-1) – мерныхповерхностей.
Рассмотрим функционал
/> (1.47)
приусловии />, где g(x) – заданнаянепрерывная функция на поверхности Г. Считаем, что выполнены требования 1,2, 3.
Найдем первую вариацию функционала (1.47)
/> (1.48)
Здесь обозначено
/>.
Пустьфункция /> такова, что существуютобобщенные производные
/>.
Тогда имеем
/>
и, следовательно
/> (1.49)
В этом случае уравнение Эйлера для функционала(1.47) принимает вид
/>, /> (1.50)
и называется уравнением Остроградского.
Пример.
Найти уравнение Эйлера для функционала
/>
прикраевом условии />.
Пустьфункция /> подчиняется всемоговоренным выше условиям, тогда уравнение (1.50) принимает вид
/>. (1.51)/>1.12Функционал от функций, имеющих производные высших порядков
Рассмотрим функционал вида
/>. (1.52)
Будемсчитать, что функция /> определена в области
/>
и в этой области k раз непрерывнодифференцируема.
Функционал(1.52) зададим на функциях />, удовлетворяющих краевымусловиям
/> (1.53)
гдеAi, Bi– заданные постоянные. Возьмем функцию /> в виде />, чтобыудовлетворялись требования 1,2,3 и составим функционал
/>
/> (1.54)
Пустьфункция такова, что /> имеет обобщеннуюпроизводную j-го порядка, тогда
/>
и, следовательно,
/> (1.55)
Откуда получим уравнение Эйлера
/> (1.56)
с краевыми условиями (1.53).
Сказанное выше переносится на случай функциимногих независимых переменных. Для функционала
/> (1.57)
при краевых условиях
/> (1.58)
где /> – нормаль к Г.
Уравнение Остроградского будет иметь вид
/> (1.59)
Это уравнение должно решаться при краевыхусловиях (1.58)
Пример.
Выражениеполной энергии деформации жесткой пластинки (плиты) при малых перемещениях,находящейся под действием поперечной нагрузки />,представляет собой функционал вида
/> (1.60)
гдеW (x, y) – прогибпластинки; />;
/> E, /> – механическиехарактеристики материала пластинки; h– толщина пластинки.
Функция W (x, y) является непрерывной функцией, имеющую непрерывную производнуюдо четвертого порядка включительно и все требования 1,2,3 будут выполнены.
При шарнирно-неподвижном закреплении краевпластинки должны выполняться условия
При x=0, x=a
/> (1.61)
При y=0, y=b
/> (1.62)
Получим уравнение Эйлера(Остроградского) дляфункционала (1.60) при краевых условиях (1.61), (1.62). Так как
/>
то уравнение Остроградского принимает вид
/> (1.63)
При этом
/>
/>
Поставив эти выражения в (1.63), получим уравнениеОстроградского для функционала (1.60)
/>. (1.64)
Уравнение (1.64) являетсяуравнением равновесия рассматриваемой пластины и должно решаться при граничныхусловиях (1.61), (1.62)./>1.13Функционалы, зависящие от нескольких функций
Рассмотрим функционал
/> (1.65)
Зададимего на парах /> функций из /> (непрерывныхвместе со своей первой производной), удовлетворяющих краевым условиям
/> (1.66)
где/> – постоянные. Множествотаких пар обозначим через D(J). Каждуютакую пару будем называть вектором. За /> и /> возьмемфункции из />, удовлетворяющиеусловиям
/>
Множествовекторов />, очевидно линейное, и D(J) естьлинейное многообразие. Таким образом функционал (1.65) удовлетворяеттребованиям 1,2,3.
Строим две функции, близкие к u(x) и v(x):
/> и />.
Подставивих в функционал (1.65), получим функцию /> от/> и />.Найдем частные производные от /> по /> и/> при />:
/>
/>
Первая вариация функционала (1.65) выражаетсяформулой
/>
где/>.
Откуда получаем уравнения Эйлера для функционала(1.65) в виде системы двух дифференциальных уравнений
/>; /> (1.67)
Эти уравнения должны решаться при краевыхусловиях (1.66).
/>/>2. Вариационные задачи с подвижнымиграницами
/>2.1Простейшая задача с подвижными границами
В гл. 1 при исследовании функционала
/>
предополагается, чтограничные точки /> заданы.
Предположим теперь, чтоодна или обе граничные точки могут перемещаться, тогда класс допустимых кривыхрасширяется. Поэтому, если на какой-нибудь кривой /> достигаетсяэкстремум в задаче с подвижными граничными точками, то экстремум тем болеедостигается по отношению к более узкому классу кривых, имеющих общие граничныеточки с кривой />, и,следовательно, должно быть выполнено основное, необходимое для достиженияэкстремума в задаче с неподвижными границами условие – функция /> должна быть решениемуравнения Эйлера:
/>.
Итак, кривые />, на которых реализуетсяэкстремум в задаче с подвижными границами, должны быть экстремалями.
Общее решение уравнения Эйлера содержит двепроизвольные постоянные, для определения которых необходимо иметь два условия.В задаче с неподвижными граничными точками такими условиями были
/>,/>.
В задаче с подвижнымиграницами одно или оба эти условия отсутствуют и недостающие условия дляопределения произвольных постоянных общего решения уравнения Эйлера должны бытьполучены из основного необходимого условия экстремума />, так как в задаче сподвижными границами экстремум достигается лишь на решениях /> уравнения Эйлера, то вдальнейшем можно рассматривать значение функционала лишь на функциях этогосемейства. При этом функционал /> превращаетсяв функцию параметров /> и /> и пределов интегрирования />, />, а вариация функционаласовпадает с дифференциалом этой функции. Для упрощения будем считать, что однаиз этих точек, например />,закреплена, а другая /> можетперемещаться и переходить в точку />, или,как обычно обозначают в вариационном исчислении, />.
Допустимые кривые /> и /> будем считать близкими,если модули вариаций /> и /> малы и малы модулиприращений /> и />.
Экстремали, проходящиечерез точку />, образуют пучок экстремалей />. Функционал /> на кривых этого пучкапревращается в функцию /> и />. Если кривые пучка непересекаются, то этот функционал можно рассматривать как однозначную функцию /> и /> (рис. 3.1).
/>2.2Условие трансверсальности
/>
Вычислим вариациюфункционала /> на экстремалях пучка /> при перемещенииграничной точки из положения /> в положение />. Так как функционал /> на кривых пучкапревратился в функцию /> и />, то его вариациясовпадает с дифференциалом этой функции. Выделим из приращения />главную линейную поотношению к /> и /> часть:
/> (3.1)
Первое слагаемое правой части преобразует спомощью теоремы о среднем значении:
/>, где />.
В силу непрерывностифункции /> будем иметь:
/>/>,
где /> при />, />.
Итак,
/>.
Второе слагаемое (3.1)преобразуем путем разложения подинтегральной функции по формуле Тейлора
/>
где /> является бесконечномалой более высокого порядка, чем /> или />. В свою очередь линейнаячасть
/>
может быть преобразованапутем интегрирования по частям второго слагаемого подинтегральной функции квиду
/>.
Значение функционалаберется лишь на экстремалях, следовательно
/>. Так как граничная точка /> закреплена, то />. Следовательно,
/>.
Итак, окончательно имеем:
/>
/>
где приближенныеравенства также справедливы с точностью до членов порядка выше первогоотносительно /> и />.
Таким образом
/>
Основное необходимоеусловие экстремума /> приобретает вид
/> (3.2)
Если вариации /> и /> независимы, то получаем
/> и />
Однако чаще всеговариации /> и /> бывают зависимы. Пусть,например, правая граничная точка /> можетперемещаться по некоторой кривой
/>
Тогда /> и условие (3.2) принимаетвид
/>
или, так как /> изменяется произвольно, то
/>. (3.3)
Это условие устанавливаетзависимость между угловыми коэффициентами /> и/> в граничной точке. Ононазывается условием трансверсальности.
Условие трансверсальностисовместно с условием /> позволяетопределить одну или несколько экстремалей пучка />,на которых может достигаться экстремум.
Пример. Найти условиетрансверсальности для функционалов вида
/>
Условие трансверсальности(3.3) имеет в данном случае вид
/>
или
/>
Полагая, что /> в граничной точке, получим
/>
или
/>.
Условие трансверсальностив данном случае свелось к условию ортогональности.
/>2.3Задача с подвижными границами для функционалов от нескольких функций
Если при исследовании наэкстремум функционала
/> (3.4)
одна из граничных точек,например /> перемещается (/>, />), а другая, />, неподвижна, то экстремумможет достигаться лишь на интегральных кривых системы уравнений Эйлера
/>, />/> (3.5)
Общее решение системыуравнений Эйлера содержит четыре произвольные постоянные. Зная координатыграничной точки />, которую считаемнеподвижной, можно исключить две произвольные постоянные. Для определения двухдругих произвольных постоянных необходимо иметь еще два уравнения, которыемогут быть получены из условия />, приусловии, что функционал задается лишь на решениях системы уравнений Эйлера(3.5). При этом функционал />превращается в функциюкоординат /> точки />и вариация функционалапревращается в дифференциал этой функции. Если экстремали пучка с центром вточке /> не пересекаются, то этафункция будет однозначной.
Вычисление вариации /> проводится аналогичнотому, как это делалось в 3.2:
/>
Применяя теорему осреднем значении к первому интегралу и учитывая непрерывность функции />, выделив главную линейнуючасть с помощью формулы Тейлора во втором интеграле и используя равенства(3.5), получим
/> (3.6)
Откуда, учитываязависимость />, />, />, получим
/>, /> и />.
Если граничная точка /> может перемещаться понекоторой кривой />, />, то
/>, />, и условие /> (3.6)
переходит в условие(считая /> произвольным).
/> (3.7)
Это условие носитназвание условия трансверсальности в задаче об исследовании на экстремумфункционала (3.4).
Условие (3.7) совместно суравнениями />, /> дает недостающиеуравнения для определения произвольных постоянных в общем решении системыуравнений Эйлера.
Если граничная точка /> может перемещаться понекоторой поверхности />, то />, причем вариации /> и /> произвольны.Следовательно, условие (3.6) в силу независимости /> и/> дает
/>,
/> (3.8)
Если рассматриватьфункционал
/>,
то в случае однойподвижной точки /> в этой точке
/>
Пример. Найти условиетрансверсальности для функционала
/>,
если />.
Условия трансверсальности(3.8) в данном случае имеют вид
/> и /> при /> или /> при /> т.е. являются условиямипараллельности вектора касательной /> к искомой экстремали вточке /> и вектора нормали /> к поверхности /> в той же точке.Следовательно, усливие трансверсальности становится в данном случае условиемортоганальности экстремали к поверхности />.Примеры
1. Найти экстремальфункционала /> при заданных краевыхусловиях на концах отрезка />.Считается, что />.
Пример 1.
/>, />, />.
Решение:
Вычислим первую вариациюфункционала />
/>.
После преобразованияэтого функционала получим
/>.
Произвольные функции /> и удовлетворяют условию />.
В точке /> предполагаемогоэкстремума функционала /> должно выполняться необходимоеусловие />, поэтому уравнение Эйлера будет иметь вид
/>
Это уравнение приводитсяк виду
/>
и должно решаться приусловии />, />.
Имеем
/>, />, />, />;
/>, />,
/>, />, />.
/>
откуда />, />.
Таким образом, получаемрешение />.
Исследовать функционал />, заданный на отрезке />, на экстремум. Призаданных краевых условиях считается, что />.
Пример 2.
/>, />, />.
Решение. Найдем первуювариацию функционала />
/>
Необходимое условиеэкстремума функционала в точке /> даётуравнение Эйлера
/>.
Это уравнение при краевыхусловиях />, /> дает решение
/>.
Так как в данном примере
/>, то
/>, />, />, />
и усиленное условиеЛежандра
/> выполняется.
Уравнение Эйлера дляинтеграла (1.39) (см. 1.8.) будет иметь вид (после замены /> на />)
/>
или
/>
Откуда
/>, />.
Для нахождения />, /> имеем условия />, />.
Откуда
/>, />.
Проверим условие Якоби.Решение /> на интервале /> положительно.Следовательно, усиленное условие Якоби выполняется. Отсюда делаем заключение,что экстремаль /> дает функционалу
/>
сильный (абсолютный)минимум.
Список используемойлитературы
1. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационноеисчисление. М.: Наука. 1961.
2. Коршунов Ю.М.,«Математические основы кибернетики», Москва, 1987 г.;
3. Таха Х., «Введение висследование операций», Москва, 1985 г.;
4. Д. Сю., А. Мейер,«Современная теория автоматического управления и её применение»,Машиностроение, 1972 г.;