Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы

Общая методика преподавания математики рассматривает такие вопросы, как цели обучения, математические понятия и предложения, теоремы и их доказательство, задачи и их решение, методы и формы обучения, урок по математике и др. (12)

2.2. Образовательный курс алгебры и начал анализа

2.2.1. Цели обучения математике

Цели обучения математике в общеобразовательной школе определяются её ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.

Исторически сложились две стороны назначения математического образования: практическая, связанная с созданием и применением инструментария, необходимого человеку в его продуктивной деятельности, и интеллектуальная, связанная с мышлением человека, с овладением определенным методом познания и преобразованием действительности с помощью математических методов.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что её предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использование современной техники, восприятие различного рода информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность.

Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека. В школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин. Всё больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики. Т.о. расширяется круг школьников, для которых математика становится профессионально значимым предметом.

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе математической деятельности в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе решения задач – основной учебной деятельности на уроках математики – развиваются творческая и прикладная стороны мышления. Использование в математике наряду с естественным нескольких математических языков дает возможность развивать у учащихся точную, экономную и информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые (в частности, символические, графические) средства.

Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Необходимым компонентом общей культуры в её современном толковании является общее знакомство с методами познания действительности, что включает понимание диалектической взаимосвязи математики и действительности, представление о предмете и методе математики, об особенностях применения математики для решения научных и прикладных задач. Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений. Изучение математики развивает воображение, пространственные представления. История развития математического знания дает возможность пополнить запас историко-научных знаний школьников, сформировать у них представления о математике как части общечеловеческой культуры. Знакомство с основными историческими вехами возникновения и развития математической науки, судьбами великих открытий, именами людей, творивших науку, должно войти в интеллектуальный багаж каждого культурного человека.

Роль математической подготовки в общем образовании современного человека ставит следующие цели обучения математике в школе:

• овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;
• интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе;
• формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности;
• формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для общественного прогресса.

2.2.2. Организация учебно-воспитательного процесса

Образовательные и воспитательные задачи обучения математике должны решаться комплексно с учетом возрастных особенностей учащихся, специфики математики как науки и учебного предмета, определяющей её роль и место в общей системе школьного обучения и воспитания. Учителю предоставляется право самостоятельного выбора методических путей и приёмов решения этих задач.

Принципиальным положением организации школьного математического образования в основной школе становится уровневая дифференциация обучения. Это означает, что, осваивая общий курс, одни школьники в своих результатах ограничиваются уровнем обязательной подготовки, другие в соответствии со своими склонностями и способностями достигают более высоких рубежей. При этом достижение уровня обязательной подготовки становится непременной обязанностью ученика в его учебной работе. В тоже время каждый имеет право самостоятельно решить, ограничиться этим уровнем или же продвигаться дальше. Именно на этом пути осуществляются гуманистические начала в обучении математике.

В организации учебно-воспитательного процесса важную роль играют задачи. В обучении математике они являются и целью, и средством обучения и математического развития школьников. При планировании уроков следует иметь в виду, что теоретический материал осознаётся и усваивается преимущественно в процессе решения задач. Организуя решение задач, целесообразно шире использовать дифференцированный подход к учащимся: уровень трудности задач, предлагаемых слабым учащимся, должен определяться требованиями программы; учащимся, уже достигшим этого уровня, целесообразно давать более сложные задачи. Дифференциация требований к учащимся на основе достижения всеми обязательного уровня подготовки способствует разгрузке школьников, обеспечивает их посильной работой и формирует у них положительное отношение к учёбе.

Следует всемерно способствовать удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к математике. Развитие интереса к математике является важнейшей целью учителя.

Важным условием правильной организации учебно-воспитательного процесса является выбор учителем рациональной системы методов и приемов обучения, её оптимизация с учетом возраста учащихся, уровня их математической подготовки, развитие общеучебных умений, специфики решаемых образовательных и воспитательных задач. В зависимости от указанных факторов учителю необходимо реализовать сбалансированное сочетание традиционных и новых методов обучения, оптимизировать применение объяснительно - иллюстративных и эвристических методов, использование технических средств. Критерием успешной работы учителя должно служить качество математической подготовки школьников, выполнение поставленных образовательных и воспитательных задач, а не формальное использование какого-то метода, приема, формы или средства обучения.

Учебный процесс необходимо ориентировать на рациональное сочетание устных и письменных видов работы как при изучении теории, так и при решении задач. Внимание учителя должно быть направлено на развитие речи учащихся, формирование у них навыков умственного труда – планирование своей работы, поиск рациональных путей её выполнения, критическую оценку результатов.

2.2.3. Структура курса

Цель изучения курса алгебры и начал анализа в X-XI классах – систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие политехнического и прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций, подготовка необходимого аппарата для изучения геометрии и физики.

Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов, относящихся к началам анализа, выявлением их практической значимости. При изучении вопросов анализа широко используются наглядные соображения. Уровень строгости изложения определяется с учетом общеобразовательной направленности изучения начал анализа и согласуется с уровнем строгости приложений изучаемого материала в смежных дисциплинах. Характерной особенностью курса являются систематизация и обобщение знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в курсе алгебры, что осуществляется как при изучении нового материала, так и при проведении обобщающего повторения.

Учащиеся систематически изучают тригонометрические, показательную и логарифмическую функции и их свойства, тождественные преобразования тригонометрических, показательных и логарифмических выражений и их применение к решению соответствующих уравнений и неравенств, знакомятся с основными понятиями, утверждениями, аппаратом математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи (22).

2.3. Логика темы “Комплексные числа”

2.3.1. Объяснительная записка

Тема “Комплексные числа” развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе.

Изучение этой темы преследует следующие основные цели:

1. повышение математической культуры учащихся;
2. углубление представлений о понятии числа;
3. дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.

Следует отметить важное прикладное значение данной темы ввиду обилия приложения изучаемых понятий как внутри самой математики, так и в различных областях физики, техники и других наук, использующих математический аппарат.

После изучения темы “Комплексные числа” ребята должны иметь четкое представление о комплексных числах: знать алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Учащиеся должны уметь производить над комплексными числами операции: сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечение корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую.

Тему “Комплексные числа” благоприятнее всего вводить в 10 классе в I ом полугодии, когда сформировано представление о действительном числе и пройден курс тригонометрии.

Исходя из объема, трудности материала; а также из основных принципов дидактики, психологических и возрастных особенностей учащихся предлагаем:

2.3.2. Почасовое планирование

Комплексные числа (14 ч).

§ 1 Развитие понятия числа, комплексные числа,

алгебраическая форма, действия над комплексными

числами, заданными алгебраически. Комплексная

плоскость. Геометрическая интерпретация комплексных

чисел, их суммы и разности. 3 ч

§ 2 Действия над комплексными числами, заданными

в алгебраической форме. Решение задач. 2 ч

§ 3 Тригонометрическая форма комплексного числа.

Переход от алгебраической формы к тригонометрической

и обратно. 2 ч

§ 4 Действия над комплексными числами, заданными

в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Извлечение корней из комплексных чисел. 3 ч

§ 5 Решение упражнений. Комплексные корни многочлена. 3 ч

§ 6 Зачет или дифференцированная проверочная работа. 1 ч

2.3.3. Тематическое планирование

Тема “Комплексные числа” содержит шесть параграфов. Ниже мы описываем каждый их них не углубляясь в теоретическую часть, она дана в приложении 2. Сначала формулируются цели данного блока, основные знания и умения. Далее даются методические рекомендации и план занятий каждого блока.

§1 Развитие понятия числа, комплексные числа, алгебраическая форма, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, их суммы и разности.

Обучающая цель: Расширить понятие числа; ввести понятие комплексного числа и действий над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Воспитательная цель: Прививать интерес к математике. Кратко познакомить учащихся с историей развития комплексных чисел. Комплексные числа, а также функции комплексного переменного широко применяются в электротехнике, теории упругости, гидродинамике, картографии, аэродинамике, ядерной физике, в теории автоматического регулирования и т.д.

Основные знания и умения. Знать: определения комплексного числа, мнимой единицы, модуля комплексного числа; формулировки основных соотношений; алгебраическую форму комплексного числа; определение сопряженных и противоположных чисел; действия над комплексными числами: сложение, умножение, вычитание, деление, геометрическую интерпретацию комплексных чисел, суммы и разности комплексных чисел. Уметь: выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; строить комплексные числа на плоскости, строить их сумму и разность.

Методические рекомендации.

Вид занятий. Усвоение новых знаний.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Необходимо показать практическую и теоретическую значимость изучаемого материала. Тема “Комплексные числа” – одна из ведущих прикладных тем курса математики для техникумов электрорадиоспециализации, её содержание углубляется в общетехнических предметах, например в теоретических основах электротехники, основах радиотехники и др.

Последовательность изложения нового материала.

1. Комплексные числа. Основные понятия и определения. Основные соглашения.
2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
4. Геометрическая интерпретация суммы и разности комплексных чисел.

План занятий.

Повторение опорных знаний учащихся. Повторить с учащимися известные им сведения о числовых множествах.

Более подробно следует остановиться на причинах появления новых числовых множеств.

Изучение нового материала. Необходимо сделать замечание: комплексные числа не сравнимы между собой по величине, т.к. точки, им соответствующие, не лежат на одной оси. Не имеет смысла вопрос, какое из двух комплексных чисел больше или меньше. Может идти речь только о том, у какого из двух комплексных чисел больше модуль, комплексные числа сравнимы только по модулю.

Обобщение и систематизация знаний. Необходимо отметить, что сумма, разность, произведение и частное комплексное число есть также комплексное число. Действия сложения и умножения комплексных чисел подчиняются тем же законам, что и действительные числа, т.е. обладают коммутативностью, ассоциативностью и дистрибутивностью:

а) z₁ + z₂ = z₂ + z₁; z₁z₂ = z₂z₁;

б) (z₁ +z₂) + z₃ = z₁ +(z₂ +z₃); (z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃);

в) z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃.

Множество действительных чисел является подмножеством комплексных чисел, т.е. RÌ C.

Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Система упражнений предлагается.

Подведение итогов занятия.

Домашнее задание.

§2 Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Решение задач.

Обучающая цель: Научить выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Воспитательная цель: В процессе решения упражнений воспитывать у учащихся сознательное отношение к процессу обучения, к овладению практическими умениями и навыками. При этом необходимо обращать внимание на воспитание продуктивного мышления и развития интереса к предмету.

Основные знания и умения. Уметь: выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; строить комплексные числа на плоскости, строить их сумму и разность с помощью векторов.

Методические рекомендации.

Вид занятия. Формирование умений и навыков.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Опираясь на знания и первичные умения, полученные на предыдущих занятиях, обратить внимание учащихся на характер упражнений, на постепенное усложнение заданий, на связь с пройденными ранее темами.

План занятий.

Проверка домашнего задания. Провести комбинированный опрос. Фронтальный опрос провести по вопросам. Индивидуальный опрос полезно провести по карточкам.

Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Решить примеры.

Творческое применение ЗУН.

Самостоятельное применение ЗУН. Провести самостоятельную работу в 2 – 6 вариантах.

Подведение итогов занятия.

Домашнее задание.

§3 Тригонометрическая форма комплексного числа. Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.

Обучающая цель: Дать понятие о тригонометрической форме комплексного числа, выработать у учащихся навыки перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.

Воспитательная цель: Обратить внимание учащихся, что умение правильно воспринимать, анализировать, сопоставить полученные знания с изученным ранее материалом, активно осмысливать и запоминать новую информацию – важнейшая черта будущего специалиста.

Основные знания и умения. Знать: определения аргумента комплексного числа; тригонометрической формы комплексного числа. Уметь: переходить от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.

Методические рекомендации.

Вид занятия. Усвоение новых знаний.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Нужно обратить внимание учащихся, что помимо алгебраической формы комплексного числа существуют ещё и другие его формы, где одной из характеристик комплексного числа является его модуль, который уже знаком учащимся, но пока не использовался в алгебраической форме. На данных занятиях будет рассмотрена тригонометрическая форма комплексного числа, которая во многих случаях оказывается более удобной, чем алгебраическая.

Последовательность изложения нового материала.

1. Тригонометрическая форма комплексного числа.

2. Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.

План занятий.

Повторение опорных знаний учащихся. Повторить с учащимися алгебраическую форму комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного числа и основные соотношения, связанные с ним.

Изучение нового материала. Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из одной формы в другую.

Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Выполнить упражнения.

Обобщение и систематизация знаний. Отметить равенство двух комплексных чисел в тригонометрической форме: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное 2π. Рассмотреть сопряженные комплексные числа, записанные в тригонометрической форме.

Предложить учащимся ответить на вопросы:

1. Могут ли модулем комплексного числа одновременно быть числа r и –r?
2. Могут ли аргументом комплексного числа одновременно быть углы j и –j ?

Самостоятельное применение ЗУН. Провести проверочную работу в 2 – 6 вариантах.

Подведение итогов занятия.

Домашнее задание.

§4 Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел.

Обучающая цель: Научить учащихся выполнять действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

Воспитательная цель: Воспитывать положительное отношение к процессу обучения, развивать интерес к математике.

Основные знания и умения. Знать: правила действий над комплексными числами в тригонометрической форме. Уметь: выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Методические рекомендации.

Вид занятия. Усвоение новых знаний.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Тригонометрическая форма комплексного числа оказывается более удобной при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня из комплексного числа. Кроме того, она позволяет рассмотреть некоторые частные случаи, важные для прикладных вопросов.

Последовательность изложения нового материала.

1. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме (умножение, деление, возведение в степень, извлечение из корня).

2. Решение упражнений.

План занятий.

Проверка домашнего задания. Провести фронтальный опрос по вопросам.

Повторение опорных знаний учащихся. Повторить формулы тригонометрии.

Изложение нового материала. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме рассмотреть в следующем порядке: умножение, деление, возведение в степень, извлечение из корня; ввести соответствующие формулы сформулировать правила действий. Решить примеры.

Обобщение и систематизация знаний. Следует обратить внимание учащихся, что сложение и вычитание комплексных чисел легко выполняются в алгебраической форме, а умножение, возведение в степень, деление и извлечение из корня рациональнее выполнять в тригонометрической форме.

Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Выполнить действия.

Самостоятельное применение ЗУН. Провести самостоятельную работу с выборочной проверкой.

Подведение итогов занятия.

Домашнее задание.

§5 Решение упражнений. Комплексные корни многочлена.

Обучающая цель: Научить учащихся применять все формы комплексного числа при решении упражнений.

Воспитательная цель: Прививать интерес к математике. При подготовке и проведении самостоятельной и, впоследствии, зачетной работы необходимо показать роль личной ответственности каждого учащегося за качество выполненной работы, роль систематической работы в классе и дома по углублению и повышению прочности знаний, для формирования умений и навыков.

Методические рекомендации.

Вид занятия. Комбинированное.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Овладение умениями и навыками вычислений над комплексными числами является основным мотивом. Знакомство с комплексными числами имеет цель продолжать и развивать такие содержательно-методические линии, как линия развития понятия числа, линия математической логики и др. Для качественного выполнения зачетной работы необходимо повторить основные теоретические и практические положения темы.

План занятий.

Проверка домашнего задания. Провести комбинированный опрос. У доски отвечают четыре человека по карточкам – заданиям, а остальные решают упражнения, аналогичные домашним.

Повторение опорных знаний учащихся. Повторить с учащимися основные положения темы.

Применение знаний при решении типовых примеров и задач.

Творческое применение ЗУН. Решить примеры.

Самостоятельное применение ЗУН. Провести самостоятельную работу в 2 – 6 вариантах.

Подведение итогов занятия.

Домашнее задание.

§6 Зачет (25).

Глава 3. Описание эксперимента

3.1. Методические основы и организация экспериментального исследования

Формирование и развитие математического мышления способствует выявлению и более эффективному развитию математических способностей школьников, подготавливает их к творческой деятельности вообще и в математике с её многочисленными приложениями в частности.

Вообще интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий.

Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления, которое является одной из основных задач современного школьного обучения.

Говоря об алгебраической культуре, заметим, что некоторые разделы алгебры, которые иногда даже не рассматриваются в математических классах, целесообразно вводить в общеобразовательную программу. Так, например, понятие числа в школе заканчивается изучением действительных чисел, что можно считать существенным пробелом в математической подготовке учащихся, т.к. более естественным является введение понятия комплексного числа.

Формирование у учащихся твердой убежденности в научной обоснованности и даже неизбежности введения комплексных чисел вполне возможно и может вестись по нескольким различным линиям, учитывая то, что учащиеся обладают уже достаточно зрелым математическим развитием. В старших классах они в состоянии уже понимать и уважать нужды самой математической науки, являющейся косвенным проявлением нужд и запросов самой практики.

С целью объективной и доказательной проверки эффективности усвоения нового понятия на педагогической практике был проведен эксперимент.

Цель исследования – развитие мышления учащихся через формирование нового понятия – понятия комплексного числа.

Объект исследования – учебная деятельность учащихся, учебно-познавательный процесс.

Предмет исследования – процесс формирования понятия комплексного числа у учащихся.

Гипотеза исследования – если учащиеся:

• знают определение комплексного числа, различные формы комплексного числа;
• умеют выполнять арифметические действия над комплексными числами, записанными в алгебраической и в тригонометрической форме;
• умеют изображать комплексные числа и действия над ними на комплексной плоскости;
• оперируют такими понятиями как комплексные числа, действия над комплексными числами, различные формы комплексного числа, корни многочленов,

то формирование и усвоение понятия комплексного числа прошло успешно.

Цель, предмет и гипотеза исследования определили необходимость постановки и решения следующих задач:

1. Исследовать особенности математического мышления старшеклассников.
2. Исследовать процесс формирования понятий на материале темы “Комплексные числа”.

Логика и этапы исследования:

I этап: диагностический.

Зафиксировать успеваемость детей на момент исследования; оценить уровни и качество усвоения понятий учащимися, а также получить необходимые сведения о достигнутом уровне их умений и навыков.

В результате мы имеем объективную информацию об индивидуальной сформированности математического мышления испытуемых, их интересах и способностях.

II этап: формирующий.

С помощью системы методов, приемов, средств обучения и т.д. сформировать у учащихся понятие комплексного числа.

В итоге мы сможем оценить, как и на сколько успешно проходило усвоение нового понятия.

III этап: диагностический.

Используя методы опроса, изучая продукты деятельности учащихся, школьную документацию, сделать выводы о степени усвоения данного понятия. Подвести итог об исследовании особенностей математического мышления и процесса формирования понятия комплексного числа.

Описание методов.

Диагностические: I этап.

Беседа проводилась с учителем математики, которая в 10Є классе преподает алгебру и геометрию. Беседа состоялась по истечении некоторого времени с начала педпрактики, после того, как произошло знакомство с классом, определилась группа испытуемых.

Прежде был сформулирован приблизительный ряд вопросов, по которым нужно было получить необходимую информацию:

• каков круг интересов ребят;
• сколько учащихся непосредственно проявляют интерес к математике, и чем это обосновано;
• к моменту исследования каков их уровень самостоятельности, активности, организованности;
• умеют ли учащиеся применять на практике приемы и операции мышления;
• насколько развито абстрактное, конкретное, логическое и творческое мышление;
• насколько полно ребята усваивают содержание и объем понятий;
• насколько полно усваивают связи и отношения данного понятия с другими;
• умеют ли оперировать понятием при решении предлагаемого ряда упражнений и задач, нестандартных заданий;
• чем можно объяснить, что в группу испытуемых вошли именно те или иные учащиеся.

Учитель проявила заинтересованность, давала ясные, исчерпывающие ответы, которые ещё и подтверждала примерами из опыта работы с учащимися 10^а класса.

Изучая школьную документацию, в частности, классный журнал – оценки по предметам алгебра и геометрия, фиксировалась успеваемость учащихся, что давало сведения об их индивидуальности, например, какие учащиеся активны на уроке, у кого оценки выше при ответе у доски, а у кого – при самостоятельной работе, какие темы усваиваются лучше, какие труднее и т.д.

III этап.

Контрольная работа.

После того, как было сформулировано у учащихся понятие комплексного числа, была проведена контрольная работа для того, чтобы оценить насколько успешно прошло усвоение нового понятия.

В первое задание вошло 3 упражнения: а) (3-2i)(4+i)+10i;

б)( 1-i)/(1+i)+( 1+i)/(1-i) ; в) (2-i)і

В результате проверки мы сможем увидеть научились ли учащиеся выполнять арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень комплексных чисел.

Второе задание: х+у+(х-у)i=8+2i позволяет нам зафиксировать усвоено ли учащимися такое понятие как равенство комплексных чисел.

С помощью третьего задания: а) х²–4х+5=0; б) х⁴–1=0 мы сможем узнать научились ли ребята решать квадратные уравнения вне зависимости от дискриминанта, а так же путем разложения на множители.

Проверяя четвертое задание: а) z=5-2i; б) –1

И пятое задание, в котором нужно записать числа z₁=i и z₂=2+√3i в тригонометрической форме, а затем найти (z₂)і , z₃=z₁· z₂ позволит нам узнать насколько усвоен ребятами переход от алгебраической формы к тригонометрической, и научились ли они выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Т.о. контрольная работа позволит нам увидеть насколько эффективно проходило формирование и усвоение понятия комплексного числа.

Формирующие: II этап.

Для успешного усвоения понятия комплексного числа была разработана система поэтапной подачи материала. Вся тема была разбита на пять блоков. А именно: 1 блок содержит в себе историческую справку, определение комплексных чисел в алгебраической форме, действия над ними, геометрическую интерпретацию комплексных чисел. Цель занятий этого блока – усвоение новых знаний.

2 блок: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Цель – повторение и закрепление полученных знаний, формирование умений и навыков.

3 блок: Тригонометрическая форма комплексных чисел. Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и обратно. Цель занятий – усвоение и закрепление новых знаний.

4 блок: Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Цель - усвоение и закрепление новых знаний.

5 блок: Решение упражнений. Комплексные корни многочленов. Цель занятий блока – повторение и закрепление полученных знаний, формирование умений и навыков.

С помощью методов стимулирования и мотивации интереса к учению заинтересовать учащихся тем, что они познакомятся с решением квадратных уравнений вне зависимости от дискриминанта, т.е. и в случае, когда D<0.

Изучение нового материала началось с беседы: повторение опорных знаний – известных им сведений о числовых множествах. Типовые вопросы беседы:

1. Определение натуральных чисел и их обозначение.
2. Определение целых чисел и их обозначение.
3. Определение рациональных чисел и их обозначение.
4. Определение действительных чисел и их обозначение.
5. Какая арифметическая операция не всегда выполнима во множестве натуральных чисел?
6. Т.о. какое множество необходимо было ввести?
7. Почему ввели множество рациональных чисел?
8. Действительных? Т.е. не могли производить всех необходимых измерений во множестве рациональных чисел.
9. Какая операция не всегда выполнима во множестве R?
10. Предлагается решить уравнение х²+1=0 (и, если не ответили на вопрос №9, задать его ещё раз).

Итак, мы приходим к неизбежности введения комплексных чисел.

После того, как учащиеся были заинтересованы, на первом занятии подготовить их к изучению нового материала. Это можно сделать, изложив исторический обзор методом рассказа - вступления. Кроме того, это позволяет учащимся узнать богатую историю возникновения и развития, необходимости введения комплексных чисел. Также рассказ служит для них примером построения связной, логичной, убедительной речи, учит грамотно выражать свои мысли.

Далее изучение новой темы осуществлялось методом объяснения. Сообщаются конкретные факты, точно и четко формулируются определения, частные случаи, основные соглашения, принятые относительно комплексных чисел. Объяснение сочетается с наблюдением учащихся, с вопросами учителя к учащимся и учеников к учителю и может перерасти в беседу.

Предлагается учащимся самим найти правила действий над комплексными числами. Учитель направляет, помогает, подсказывает. Ученики под руководством учителя самостоятельно рассуждают, решают возникающие познавательные задачи и т.д. Т.о. в этом случае мы работаем с помощью частично – поискового метода.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел вводится методом объяснения с элементами беседы. Это позволяет актуализировать уже известные им знания и поддерживает интерес, заставляет мысль ученика следовать за мыслью учителя.

При обобщении, систематизации и закреплении знаний используется комбинированный метод. Репродуктивный метод обеспечивает возможность получения умений и применения полученных знаний. Этот метод тесно переплетается с практическим методом, здесь наибольшей эффективностью отличаются упражнения. Используются все виды упражнений – устные, письменные, графические, комментированные и т.д.

На протяжении всей темы могут быть использованы ситуационный метод и обучающий контроль – устный и самоконтроль.

Следующий блок начинается с проверки домашнего задания, для которой характерен метод обучающего контроля. Комбинированный опрос состоит из фронтального опроса по вопросам, приведенным в приложении 2, а также из индивидуального опроса, который полезно провести по карточкам, и это определяет методы, соответственно – устный и письменный контроль.

Применение знаний при решении типовых примеров и задач осуществляется репродуктивным и практическим методом с использованием различных видов уравнений.

Творческое применение знаний, умений и навыков, может быть осуществлено частично – поисковым или исследовательским методом с помощью упражнений.

Самостоятельное применение ЗУН и индивидуальная проверка знаний определяет в этом случае метод – письменный контроль, фронтальная работа на часть урока.

Третий блок начинается с проверки домашнего задания и с повторения опорных знаний учащихся – это осуществляется с помощью методов устного индивидуального и фронтального контроля, по вопросам, которые даны в приложении 2. Одни учащиеся отвечают по некоторым вопросам у доски, и пока они готовятся, учитель работает с классом.

Изложение нового материала ведется методом объяснения. Даются определения, основные формулы. Составляется с учащимися алгоритм и таблица (приложение 2), здесь присутствуют элементы беседы. Учитель задает вопросы, направляет, а учащиеся размышляют, делают выводы, поэтому также имеет место частично – поисковый метод.

Репродуктивный метод и упражнения используются при решении типовых примеров. Ребята воспроизводят и повторяют способ деятельности учителя, когда он методом иллюстрации и демонстрации приводил примеры. Ученики приобретают умения и навыки.

Проверить насколько эффективно проходило в классе приобретение учащимися теоретических знаний и практических умений по этой теме можно методом письменного контроля, фронтального.

Четвертый блок состоит из занятий, цель которых – усвоение и закрепление новых знаний. Здесь используется объяснительно – иллюстративный метод. Сообщаем новый материал, методом объяснения, сопровождая показом способов решения задач. Проверка домашнего задания и повторение опорных знаний проводим методом обучающего контроля, т.е. фронтального опроса по вопросам, которые требуют лаконичного ответа.

С помощью упражнений учащиеся воспроизводят действие по образцу в целях их закрепления и далее выполняют более сложные творческие задания.

Самостоятельную работу провести методом письменного контроля с выборочной проверкой.

Последние занятия перед контрольной работой направлены на закрепление, систематизацию и обобщение знаний. Т.о. комбинируются различные методы. Для проверки домашнего задания – индивидуальный и фронтальный письменный контроль, с элементами устного: у доски отвечают несколько человек по карточкам – заданиям, а остальные решают упражнения, аналогичные домашним.

Повторить с учащимися основные положения темы можно методом беседы, некоторые моменты которой могут переходить в дискуссию.

Комментированные, устные и письменные упражнения способствуют формированию различных навыков, развитию мышления, познавательного интереса, активности и т.д. Учащиеся выполняют задания у доски и на местах, индивидуально и коллективно, при этом имеет место обучающий контроль учителя и самоконтроль.

На последнем занятии – контрольная работа, это есть письменный фронтальный контроль. Работа может быть проведена по карточкам, также в виде дифференцированного зачёта и т.д.

Описание контингента испытуемых.

Эксперимент проводился в ЯСШ № 3, в 10Є классе. В этом классе 27 человек (16 мальчиков и 11 девочек). Класс непрофильный, успеваемость средняя: 2 отличника, 7 хорошистов, 4 неуспевающих. Математикой интересуются в различной степени 9–10 учащихся. В классе у 11% неполные семьи, у 15% - достаток в семье выше среднего, 1 девочка посещает уроки в школе редко по состоянию здоровья. В целом класс дружный, в основном ребята серьёзные, организованные.

3.2. Описание результатов исследования

Эксперимент проводился в 10^а классе ЯСШ №3. В группу испытуемых вошли 14 человек: только те, кто изъявил желание. Учитывая загруженность расписания уроков, и то, что в исследовании участвовали не все учащиеся, занятия проходили во внеурочное время. Проводилось 10 занятий, а не 14, т.к. мы были ограничены рамками педагогической практики.

3.2.1. Диагностическая часть

После беседы с учителем математики выяснилась следующая информация: круг интересов ребят довольно ограничен, в основном это телевизор, дискотека, за редким исключением – литература, и в большинстве случаев – это гадания, гороскопы.

В классе 2 отличницы – это девочки, которым все интересно, они любознательные, одинаково хорошо занимаются по всем предметам, в основном объясняется это желанием получить медаль и поступить без экзаменов в высшее учебное заведение. В классе есть также интересующийся математикой как наукой мальчик. Он хорошо разбирается в математике, быстро схватывает, но к сожалению не имеет возможности развивать свои способности вне школы, дома.

У данного класса достаточно высокий уровень самостоятельности и активности. Но для того, чтобы были высокие результаты на уроке, учитель должен их заинтересовать, организовать их деятельность. Высокий уровень этих качеств также проявляется во внеурочное время, например, при подготовке к проведению различных работ, мероприятий во время математической недели, и т.д.

В простейших математических ситуациях учащиеся умеют применять приемы и операции мышления, но в сложных ситуациях нужно натолкнуть, подсказать. В основном зависит от учителя, если нет проблемной ситуации, то и учащиеся не работают.

Абстрактное мышление находится не на должном уровне, больше учащиеся мыслят конкретно, конечно это зависит от способа преподавания. Логическое мышление развито средне – успешно решают необходимый минимум задач такого типа, и 50% ребят без труда справляются с творческими заданиями.

Учащиеся усваивают понятия вполне полно, чаще усваивается необходимое количество признаков понятия, но 7% учащихся редко вообще что-либо усваивают, т.к. нет базы знаний и желания. Учитель часто указывает на связи и отношения различных понятий друг с другом, поэтому ученики легко ими пользуются. Также ребята в большинстве случаев умеют оперировать усвоенными понятиями при решении задач, бывают затруднения, поэтому немалую роль играет здесь наглядность, творческое мышление.

В группу испытуемых вошли 14 человек, объяснить это можно любопытством учащихся, даже любознательностью. Конечно, пришли дети, которые любят математику как предмет, наверняка, сыграла свою роль предварительная заинтересованность о решении квадратных уравнений с D<0. Многие из ребят хотят продолжить образование, где необходимо знание математики. Может быть, пришли некоторые, потому, что есть возможность проявить себя, попробовать свои силы в небольшой группе, поэтому пришли 4 слабых ученика. Возможно ребятами двигал и интерес к молодому педагогу.

Анализируя результаты усвоения темы “Тригонометрические функции” мы сделали вывод, что большинство учащихся это понятие усвоило. По результатам самостоятельной работы по этой теме качество знаний 65% – допустимое; уровень обученности – 92% – высокий. Т.к. эта тема ребятами усвоена довольно успешно, то при изучении темы “Комплексные числа” думаем особых затруднений не возникнет, т.к. учащиеся обладают необходимыми ЗУМ для усвоения этой темы.

Анализ контрольной работы.

Умение решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой состояния математического мышления учащихся и его уровня.

Для того, чтобы увидеть насколько эффективно проходила усвоение понятия комплексного числа, учащимся была предложена на последнем занятии письменная проверочная работа (см. приложение 2).

В результате проверки контрольной работы по данной теме уровень обученности составил 100%, т.е. все учащиеся, посещавшие занятия, справились с контрольной работой. Причем качество знаний по этой теме – 79%, а это достаточно высокий показатель.

1 задание: Научились выполнять арифметические операции над комплексными числа, заданными в алгебраической форме (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень) 86% учащихся. Так, у 7% ребят была в этом задании ошибка по содержанию, т.е. из-за недостаточного знания предыдущих тем (формул сокращенного умножения). У 7% учащихся в этом задании была ошибка, допущенная в ходе решения из-за невнимательности. Умножая (-i) на 1 ученик получил i, вместо (-i). Причина – неточное знание правила умножения чисел с разными знаками, что повлекло за собой неверный ответ.

2 задание: знают понятие равенства комплексных чисел 86%. 7% – неумело пользуются понятием, т.к. не добились его глубокого понимания. Перенеся из правой части равенства комплексное число в левое, приведя подобные, ученик только потом использовал понятия равенства комплексных чисел, т.е. действительную и мнимую часть приравнял к нулю. Хотя это можно было сделать на первом шаге решения, что сократило бы рассуждения. И 7% учащихся в этом задании решая систему из двух линейных уравнений использовали метод подстановки, хотя считаем, что рациональнее было бы применить метод сложения уравнений системы.

3 задание: разлагать на множители многочлены и решать квадратные уравнения вне зависимости от дискриминанта научились 79% учащихся. 7% ребят испытывают затруднения при выявлении существенных признаков данного понятия и связи между ними. Для того чтобы найти корни уравнения x⁴-1=0 ученик использовал тригонометрическую форму комплексного числа, на что ушло много времени из-за нерациональности и громоздкости данного решения. Не видит более простого и красивого решения. Формально отнеслись к решению 14% учащихся – нерационально (сложнее) решили предложенные уравнения. Т.е. нужно было применить сокращенную формулу нахождения дискриминанта. Эти учащиеся воспользовались общей формулой, что повлекло за собой лишние преобразования.

4 задание: 16% учащихся изобразили комплексные числа и их составные части на плоскости без ошибок. 7% учащихся допустили ошибки при решении из-за невнимательности. Не достаточно четко оформили свое решение, т.е., построив комплексное число на плоскости, не обозначили эту точку, не отметили ее координаты. Остальные 7% из-за поверстного понимания этого понятия допустили грубую ошибку при оформлении решения. Из-за незнания, где находится мнимая ось, а где – действительная, при изображении решения ученик поменял их местами, из-за чего начертил, множество точек решения относительно другой оси, что является очень грубой ошибкой и говорит о поверхностном понимании данного понятия.

5 задание: переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую, а также выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме (умножение, возведение в степень) научились 65%. 14% учащихся не справились с этим заданием из-за поверхностного знания некоторых фактов тригонометрии – определения величины угла по его значению синуса и косинуса. 7% ребят не вникли в суть поставленной задачи, т.е. решили не тем способом, каким требовало задание. Сначала возвели комплексное число в алгебраической форме в заданную степень; перемножили два комплексных числа в алгебраической форме, лишь затем перевели результаты в тригонометрическую форму, хотя в задании требовалось это сделать в обратном порядке. Остальные 14% ребят допустили ошибки при решении из-за невнимательности, не довели решение до конца, не преобразовав –4³, а также из-за не достаточного знания основных формул и понятий, т.е. записывая тригонометрическую форму комплексного числа забыли про модуль комплексного числа, что повлекло за собой целый ряд ошибок при умножении комплексных чисел и возведении комплексного числа в третью степень.

Анализируя допущенные ошибки были выделены 3 типа ошибок:

1. логические (не выделяют существенных признаков понятий, связей между ними).
2. по содержанию (неумело пользуются основными понятиями, формулами, соглашениями).
3. процессуальные (формальное отношение к решению, нерациональность, невнимательность).

Средний процент по каждому типу ошибок: 1 – 21%; 2 – 42%; 3 – 49%.

Ребята допускают в работе логические ошибки, что говорит о недостаточном развитии гибкости, глубины мышления. Большой процент процессуальных ошибок свидетельствует о невнимательности учащихся при решении задач, о поверхностности мышления, т.е. о формальном отношении к процессу решения.

В целом учитывая ошибки по содержанию и качество знаний по данной теме можно сделать вывод, что контрольная работа выполнена успешно, и это говорит об удачном завершении формирования понятия комплексного числа.

2.2. Формирующая часть

Итак, было проведено 10 занятий. На первых двух занятиях, после объявления цели введения комплексных чисел, ребятам рассказывалась историческая справка о развитии теории комплексного числа. Учащиеся слушали очень внимательно, проявили глубокую заинтересованность. После того, как было дано определение, основные соглашения, относящиеся к комплексным числам, ученикам было предложено самим отыскать правила действий (сложения, вычитания) над комплексными числами. Школьники очень активно включились в работу, после недолгих рассуждений, пришли к верному решению данного им задания. И это говорит о гибкости их мышления. После демонстрации нескольких примеров, иллюстрирующих операции умножения и деления комплексных чисел в алгебраической форме, учащимся были предложены подобные задания.

Несколько учащихся, по желанию, решали эти задачи у доски, а с мест, по просьбе учителя, их решения комментировали другие учащиеся. Т.о. в учебно-познавательный процесс было вовлечено как можно больше учащихся. Работа наиболее активных ребят оценивалась, с более же пассивными учениками велась индивидуальная работа. Учитель подходил к учащимся, у которых возникали вопросы по ходу решения и помогал отыскать ошибки, разобраться в решении, т.д.

После рассмотрения геометрической интерпретации комплексного числа, уже после разбора нескольких заданий, ребята в быстром темпе и с необходимыми объяснениями решали предложенные задания.

Упражнениям на закрепление было отведено третье занятие. В начале проводился фронтальный опрос. Учащиеся активно отвечали на вопросы, помогали тем, кто затруднялся, некоторые делали хорошие добавления, в основном, конечно, это сильные учащиеся. Учащиеся со средней и слабой успеваемостью, в основном, усвоили алгоритмы решения задач, а теоретические положения темы если и запомнили, то поверхностно, формально. Неточно формулировали определения комплексного числа, например, комплексные числа – это числа вида а+bi, где i²=-1. Но здесь важно такое уточнение, что a и bÎ R.

Был предложен ряд упражнений, которые ребята решали на местах, но тем учащимся, у которых возникали вопросы по ходу решения, например, что бы решить задачу z²-(5+2i)z+5+5i=0 нужно ли расписывать z в виде x+yi, предлагалось выйти к доске и найти самим ответ на свой вопрос с помощью класса или самостоятельно. Если ученик разберется в этом сам, то в следующий раз он уже будет видеть сразу способ решения.

На следующих двух занятиях мы рассматривали переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно. На предыдущем занятии им было задано повторить формулы тригонометрии, т.к. они нам понадобятся на этом занятии. После объяснения новой темы и демонстрации примера, одним из учащихся был задан хороший вопрос: “Почему переводя число в тригонометрическую форму мы берем аргумент , а не ?”. После недолгих рассуждений всем классом мы выяснили, что не является тригонометрической формой комплексного числа. Далее выполняя задачи на закрепление ребята проговаривали каждый шаг решения и объясняли его. Учащиеся, которые решали вперед, помогали тем, у кого возникали затруднения.

На шестом и седьмом занятиях мы разбирали действия над комплексными числами в тригонометрической форме – умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня n-ой степени. После рассмотрения операции умножения ребята сделали верное предположение относительно деления комплексных чисел в тригонометрической форме. А далее, по аналогии с умножением, сами нашли правила возведения комплексного числа в натуральную степень. После того как разобрали примеры, перешли к извлечению корня. Как и предполагалось, у учащихся эта тема вызвала некоторые затруднения. Ребята иногда путали в формуле

какая буква k или n пробегает значение от 0 до (n-1). Но после решения ряда закрепляющих задач у большинства учащихся сложилось четкое представление этого понятия. Также мы постарались разобрать как можно больше упражнений, чтобы у ребят не осталось неясных мест, пробелов. В работу старались включить как можно больше учащихся: проводили комментированное письмо, где каждый шаг решения объясняли разные учащиеся. Сразу несколько задач было решено на доске, но рассказать, пояснить решения пытались другие ученики. Старались включить в работу как можно больше слабых учащихся.

Восьмое и девятое занятия были посвящены решению упражнений, нахождению корней уравнений. На каждом занятии выделялось время, чтобы повторить некоторые моменты из предыдущих тем, чтобы не нарушать целостности темы, чтобы была системность и общность понимания. Т.к., в основном, алгоритмы решения данных задач им известны из предыдущего материала, то акцент делался на идею решения задачи. Многие ребята шли вперед и решали резервные задания. Далее класс разбился по парам, в составе которых, были, по возможности, сильный и слабый учащиеся, и продолжали решать на местах в парах. Учитель в это время следил за работой, помогал тем, у кого возникали сомнения. Хочется отметить, что чаще были вопросы по оформлению, чем по содержанию материала.

На некоторых занятиях проводились небольшие самостоятельные работы, тематические диктанты, чтобы выяснить насколько полно учащиеся освоили данное понятие, умеют ли они ими пользоваться при решении задач, знают ли связи между понятиями. Мы отмечали, что такая работа важна в первую очередь для них, т.к. они могут самостоятельно оценить уровень своих ЗУН по данным темам. Также два раза задавались на дом творческие задания, т.е. нужно было придумать самостоятельно задачу и решить ее. Сильные учащиеся очень ответственно отнеслись к этим заданиям. Но вот слабые иногда пользовались трудом своих одноклассников.

Но в целом ребята проявили большую заинтересованность, говорили, что особых трудностей тема не вызвала, это подтвердила контрольная работа. проведенная на последнем – десятом – занятии.

Заключение

Таким образом, после работы с научной и методической литературой по изучаемой теме делаем следующие выводы:

• мышление старшеклассников становится более глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным;
• учебная деятельность старших школьников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности;
• развитию мышления способствует работа над научными понятиями. Процесс формирования понятия – это длительный и сложный процесс, которому следует уделять достаточное внимание.

Разрабатывая логическую структуру темы “Комплексные числа” и после проведения эксперимента в школе можем сделать следующие выводы:

1. Изучение этой темы преследует следующие основные цели:
   • повышение математической культуры учащихся;
   • углубление представлений о понятии числа;
   • дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.
2. Учащиеся способны в 10 классе усвоить понятие комплексного числа, как показало экспериментальное исследование.
3. Учащиеся вполне успешно усваивают содержание и объем понятия комплексного числа, связи и отношения данного понятия с другими, а также умеют оперировать этим понятием при решении практических задач.

Методические рекомендации

Предлагаем следующую расчасовку по темам, учитывая включение в учебный план общеобразовательного курса темы “Комплексные числа”:

Х класс (85ч).

1. Тригонометрические функции (15ч).
2. Тригонометрические уравнения (13ч).
3. Комплексные числа (14ч).
4. Производная (16ч).
5. Применение производной (20ч).
6. Повторение. Решение задач (7ч).

XI класс (68ч).

1. Повторение. Решение задач (6ч).
2. Первообразная и интеграл (16ч).
3. Показательная, логарифмическая и степенная функции (26ч).
4. Повторение. Решение задач (20ч).

Тему “Комплексные числа” благоприятнее всего вводить в 10 классе в I полугодии, когда сформировано представление о действительном числе и пройден курс тригонометрии.

Литература

1. Алгебра и начала анализа./Под ред. Яковлева Г.Н. Ч2 - М.: 1987.
2. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975.
3. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. – М.: 1951.
4. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ 11. – М.: Просвещение, 1995.
5. Вопросы общей методики преподавания математики. – М.: Просвещение, 1979.
6. Демидов В.П. Методика преподавания математики. – Саранск, 1976.
7. Крамор В.С. Алгебра и начала анализа. – М.: Высшая школа, 1981.
8. Крутецкий В.А. Психология. – М.: Просвещение, 1980.
9. Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. – М.: Просвещение, 1976.
10. Кузмин Р.О., Фадеев Д.К. Алгебра и арифметика комплексных чисел. – Л.: Изд. Наркомпроса РСФСР, 1939.
11. Лылова О.В. Комплексные числа и их обобщение.//Дипломная работа. – Оренбург, 1994.
12. Метельский Н.В. Дидактика математики. – Минкс: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1982.
13. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика./Оганесян В.А. и др. – М.: Просвещение, 1980.
14. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. – М.: Просвещение, 1985.
15. Методика факультативных занятий в 9-10 классах. Избранные вопросы математики. – М.: Просвещение, 1983.
16. Немов Р.С. Психология. Общие основы психологии. Т1. – М.: 1995.
17. Немов Р.С. Психология. Психология образования. Т2. – М.: 1995.
18. Педагогика./Под ред. Пидкасистого П.И. – М.: Пед. общество России, 1998.
19. Петровский А.В. и др. Психология. – М.: Академия, 1998.
20. Подласый И.П. Педагогика. – М.: Просвещение, 1996.
21. Поспелов Н.Н. и др. Формирование мыслительных операций у старшеклассников. – М.: Педагогика, 1989.
22. Программно-методические материалы. Математика 5-11 классы. Сборник нормативных документов. – М.: Дрофа, 1998.
23. Программно-методические материалы. Математика 5-11 классы. Тематическое планирование. – М.: Дрофа, 1998.
24. Психология. Словарь. – М.: Изд. политической литературы, 1990.
25. Сергиенко Л.Ю. и др. Планирование учебного процесса по математике. – М.: Высшая школа, 1987.
26. Сластенин В.А. и др. Педагогика. – М.: 1998.
27. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. – М.: Академия пед. наук РСФСР, 1963.
28. Холодченко А.А. Проблемные задачи как основа для дифференциации обучения в старших классах.//Дипломная работа. – Оренбург, 1997.

Приложение 2 Теоретические основы курса “Комплексные числа”

§ 1 Развитие понятия числа, комплексные числа, алгебраическая форма, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация комплексного числа, их суммы и разности.

При изучении математики мы уже неоднократно встречались с обобщением понятия числа. До сих пор мы рассматривали лишь действительные числа. Если введение действительных чисел позволяет выражать результаты любых измерений, то с задачей решения уравнений дело обстоит иначе. Например, уравнения х² + 1=0 и х² +4х +5=0 не имеют решения во множестве действительных чисел, хотя коэффициенты этих уравнений – целые числа. Поэтому возникает необходимость в дальнейшем расширении понятия числа. Таким обобщением множества действительных чисел и является множество С комплексных чисел.

Комплексные числа часто называют мнимыми. Это название не вполне удачно, т.к. может создать представление о комплексных числах как о чём-то нереальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные числа стали употребляться ещё в XVI в., они долго продолжали казаться даже выдающимся математикам чем-то реально не существующим, мнимыми в буквальном смысле этого слова. Одному из создателей дифференциального и интегрального исчисления, немецкому математику Г.Лейбницу (1646-1716) принадлежат, например, такие слова: „Комплексное число – это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием”. Сейчас от всей этой мистики не осталось ничего, кроме, пожалуй, названия “мнимые числа”. Уже во времена К.Гаусса (1777-1855) было дано геометрическое истолкование комплексных чисел как точек плоскости. Трудами выдающихся математиков XIX века О.Коши, Г.Римана и К.Вейерштрасса на базе комплексных чисел была построена одна из самых красивых математических дисциплин – теория функций комплексной переменной.

Повторить с учащимися известные им сведения о числовых множествах:

а) натуральных чисел N={1,2,3,…,n,…};

б) целых Z={…,-2,-1,0,1,2,…};

в) рациональных Q={m/n,n Z, n N};

г) действительных чисел R.

С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат любого измерения, а с помощью произвольных действительных чисел – изменение любой величины. Арифметические операции над действительными числами снова дают действительные числа. Операция же извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных – из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя.

Ряд вопросов, возникших при решении уравнений третьей и четвертой степеней, привел математиков к необходимости расширить множество действительных чисел, присоединив к ним новое число i, такое, что i²=-1.Поскольку действительных чисел с таким свойством не существует, новое число назвали “мнимой единицей” – она не выражала ни результатов измерения величин, ни изменений этих величин. Но включение числа i потребовало дальнейшего расширения множества чисел – пришлось ввести произведение этого числа на все действительные числа, т.е. числа вида bi, где bR, а также суммы действительных чисел и таких произведений, т.е. числа вида a+bi, где a,bR. Получившиеся при этом числа были названы комплексными, т.к. они содержали как действительную часть a, так и чисто мнимую часть bi.

Опр: комплексными числами называются числа вида a+bi (a и b - действительные числа, i²=-1).

Если z=а+bi - комплексное число, то а называют его действительной частью, а b-мнимой частью. Приняты обозначения a=Re z, b=Jm z (от французских слов re¢ ele - действительный и imaginaire - мнимый). Числа a+bi, для которых b¹ 0, называют мнимыми числами, а числа вида bi, b¹ 0,- чисто мнимыми числами.

Множество комплексных чисел обозначается С.

Два комплексных числа z₁=a+bi и z₂=с+di считаются равными друг другу в том и только в том случае, если а=с и b=d. В частности, число a+bi будет считать равными нулю, если a=0 и b=0.

Запись z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами:

1. Сложение: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Например , (2+3i)+(5-7i)=(2+5)+(3-7)i=7-4i.

2. Умножение: (a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i , причем нужно помнить, что i² =-1. Эту формулу можно получить, умножая

(a+bi) на (c+di) по правилам действий над многочленами.

Например, (1+2i)(3-i) =3*1-1*i+6i-2i² =3+2-i+6i=5+5i.

Рассмотрим степени числа i :

i¹ =i ; i² =-1; i³ =i²*i =-1*i =-i; i⁴ =i²*i² =(-1)(-1) =1; i⁵=i³*i²=-i(-1)=i; i⁶= =i⁵*i=i*i=-1=i²; …

Вообщее, i^4n+r =(i⁴)ⁿ*i^r =(1)ⁿ *i^r =i^r.

Получаем, i^4m=1; i^4m+1=i; i^4m+2=-1; i^4m+3=-i.

Например, i²¹⁸=i^4*54+2=i²=-1.

3. Вычитание: (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i

Например, (5+4i) - (2-3i) = (5-2) + (4+3)i = 3+7i.

Опр: Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части.

Если z=a+bi, то сопряженное число имеет вид z=a-bi. Заметим, что z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a; z*z=(a+bi)(a-bi)=a²+b² . Следовательно, сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.

4. Деление: на практике при делении комплексных чисел удобно домножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю:

(a+bi)/(c+di)=( (a+bi)(c-di))/((c-di)(c-di))=( (ac+bd)+(bc-ad)i)/(c² + d² )=( ac+bd)/(c²+d² )+( bc-ad)/(c²+d² )*i

Например, (10+15i)/(1+2i)=((10+15i)(1-2i))/((1+2i)(1-2i)) -( 10-20i +15i +30)/(1 + 4)=( 40-5i)/5= 8-i

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Как известно, действительные числа можно изображать точками на координатной прямой. А комплексное число естественно выражать точкой на координатной плоскости.

Каждому комплексному числу a+bi поставим в соответствии точку M(a;b) координатной плоскости, т.е. точку, абсцисса которой равна действительной части комплексного числа, а ордината - мнимой части. Каждой точке M(a; b) координатной плоскости поставим в соответствие комплексное число a+bi (рис.1).

Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Сама координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Действительным числам соответствуют точки оси абсцисс, которая называется действительной осью, а чисто мнимым числам - точки оси ординат, которая называется мнимой осью.

Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа a+bi как радиус-вектора ОМ (см. рис.1), т.е. вектора, исходящего из начала координат О (о,о) и идущего в точку М (а;b). Разумеется, вместо радиус-вектора ОМ можно взять любой равный ему вектор.

Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно тем, что при этом получают простое геометрическое истолкование операций над ними. При сложении чисел z₁=a₁+b₁i и z₂=a₂+b₂i складываются их действительные и мнимые части. При сложении соответствующих им векторов ОМ₁ и ОМ₂ складываются их координаты. Иными словами, если числу z₁ соответствует вектор ОМ₁, а числу z₁-вектор ОМ₂, то числу z₁+z₂ соответствует вектор ОМ₁+ОМ₂, а числу z₁-z₂ - вектор ОМ₁- ОМ₂.

Перейдем к рассмотрению понятия модуля комплексного числа. Опр: Модулем комплексного числа называется длина вектора соответствующего этому числу.

Для модуля числа z используется обозначение /Z/ или r. По теореме Пифагора (см. рис.1) для модуля комплексного числа z=a+bi легко получается следующая важная формула: /Z/=Ö a²+b², выражающая модуль числа через его действительную и мнимую части. Отмети, что /z/ = /-z/ = /z/, z*z = /z/² = /z/².

Упражнения:

1. (2Ö 3 - 4iÖ 2) - (Ö 27 - iÖ 32) + (2/Ö 3 + 2i/Ö 3 )

2. (m - n i)/n + ( n - m i - (( 1 - 1 i)/m - 1 - 1 i)/m)/n ;

3. 2i (1/ /2+ Ö 3/2* i) ( -1/2+ Ö 3 /2*i );

4. Найдите комплексные числа:

а) z =i + 6i+1 б) z = i¹³+ i¹⁴ + i¹⁵ +i¹⁶ ; в) z = 3+1 : 2

1+7i 3-i 5(1-i)

г) z = (1+2i)³ - (1-i)³ ; д) z = (2+i)⁵ е) z = 5+12i + (1+2i)²

(3+2i)³- (2+i)² 8-6i 2+i

ж) z = (-0,5 + i Ö 3/2) ³

5. Изобразить геометрически комплексные числа:

а) 3+0i; б) 0-5i; в) -3+2i; г) 1+i.

6. Найдите действительную часть комплексного числа:

z= (1+2i) + i¹⁹ ;

мнимую : z= (2-i)³ (2-11i).

7. Найти модуль к.ч. z= -2+ i*5, число, сопряженное данному, изобразить их геометрически.
   

1. Выполнить сложение алгебраически и дать геометрическую интерпретацию: z= z₁ +z₂ +z₃, где z1 = 3-2i; z₂=-3+4i; z₃ = 2- i.
2. Найти два действительных числа Х и У, удовлет их равенствам:

а) (2i + iу -2 )/x=( 3i - 3)/x =у

б) (1+i)x + (1-i)у = 3-i;

в) (2x-3уi)(2x+3уi) +xi = 97+2i.

§2. Действия над комплексными числами, заданными

в алгебраической форме. Решение задач.

Провести комбинированный опрос. Фронтальный опрос провести по вопросам:

1. Обозначение числовых множеств и их соотношения.
2. Почему появилась необходимость введения комплексных чисел?
3. Определение комплексных чисел, частные случаи, основные соглашения.
4. Определения сопряженных и противоположных комплексных чисел, модуля комплексного числа.
5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, сопряженных и противоположных комплексных чисел.
6. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме (определения и свойства).
7. Действия над комплексными числами, геометрическая интерпретация их суммы и разности.
8. Действия над сопряженными и противоположными комплексными числами (их сумму и разность показать геометрически).
9. Можно ли сравнивать комплексные числа?
10. Какие закономерности имеются у степени мнимой единицы.

Индивидуальный опрос полезно провести по карточкам. Примерное содержание одного варианта:

1. Вычислить: а) (3+5i) + (2+i) = . . . . .; б) (3+5i) - (4-i) = . . . .;
2. Возвести в степень: а) i¹²³ = . . . ; б) (i-1)² = . . . .
3. Вычислить: (Ö 3 + iÖ 2) (Ö 3 - iÖ 2) = . . . .
4. Построить слагаемые и сумму комплексных чисел на комплексной плоскости: z₁=1-5i; z²=2+3i.
5. Построить уменьшаемое, вычитаемое и разность комплексных чисел на комплексной плоскости: z₁=1-i; z₂=3i.

Упражнения:

1. Выполнить действия: а) [2i (3-4i)]² =; б) a-bi - i b-ai = ;

в) i¹⁰⁰ + i⁹⁸ +i⁶³ =;

2. Н основании равенства комплексных чисел, найти действительные числа Х и У, если а) 2+5i x - 3уi = 14i + 3x -5y; б) x² -7x +9yx = y²i +20i -12.
   

1. При каких действительных значениях Х и У комплексного числа

а) 5 + ixy и x + y +4i; б) 9y² - 4 - 10x и 8y² + 20i⁷ Будут сопряженными?

4. Решите уравнения: а) (i-z) (1+2i) + (2-iz) (3-4i) = 1+7i;

б) z² - (5+2i) z + 5 + 5i =0; в) z² + z =0; г) (1-i) z - 3iz = 2-i; д) z*z + 2z =3+2i;

е) z*z + 3(z-z) - 4+3i.

5. Решите уравнения: а) /z/ = 2i (z+1); б) /z/ = i (2z+i); в) /z/ - iz = i-2i;

г) z² + 3/z/ =0; д) z² + /z/² =0.

8. Какое множество точек комплексной плоскости задается условием:

а) /z/ <1; б) /z/ =2; в) Rez > 1; г) J_mz < -2; д) /z+i/ =2; е) /z-2/ <3; ж) /z-4 +i/ £ 5.

7. Точка А соответствует комплексному числу z = 3+ i4. Какое комплексное число соответствует точке симметричной точке А, относительно: а)оси О_х; б) оси О_у; в) начала координат?
8. На комплексной плоскости даны точки z₁, z₂ , z₃ являющиеся вершинами некоторого треугольника. Найдите все комплексные числа, соответствующие точками, дополняющим данный треугольник до параллелограмма.
9. Изобразить: а) /z/ £ 3 б)/z/³ 1 в) /z-1/³ 2

/z-3i/³ 3 /z-2i/£ 2 -1< Rez<2

г) 1£ /z-1/£ 2 д) /z/ £ 3

0£ J_mz£ Ö 3 1< J_mz <2.

§ 3 Тригонометрическая форма комплексного числа.

Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.

Повторить с учащимися алгебраическую форму комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного числа и основные соотношения, связанные с ним.

Пусть точка А соответствует комплексному числу z=a+bi. Тогда длина вектора ОА называется модулем числа z, а радианная мера угла, образованного этим вектором с положительным направлением действительной оси, - аргументом комплексного числа Z. Причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке. Модуль обозначается /z/ = r, а аргумент - argz = j (см. рис. 2).

Для числа z=0 аргумент не определяется, но в этом и только в этом случае число задается только своим модулем. Если комплексное число является действительным, то соответствующий ему вектор расположен на действительной оси, и понятие /z/ совпадает с известным понятием модуля действительного числа.

Заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно. Но аргумент комплексного числа, в отличие от модуля, определяется не однозначно. Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга слагаемым, кратным 2p .

На рис. 2 мы видим, что sin j = b/r, а cos j =a/r, отсюда а=r cos j и b=r sin j , где r =Ö a² + b², т.о. действительная и мнимая части комплексного числа z=a+bi выражаются через его модуль /z/=r и аргумент j . Следовательно, комплексное число z может быть записано в виде z=r cos j + i r sin j =r(cos j +i sin j ) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую:

1. Найти радиус r = Ö a² + b²
2. Вычислить tg j ₁ =|b/a|.

3. По знакам a и b определить четверть, в которой находится число z.
   

1. Найти j , причем, если число находится:

а) в I четверти, то j = j ₁;

б) во II четверти, то j = p - j ₁;

в) в III четверти, то j = p + j ₁;

г) в IV четверти, то j = -j ₁, или j = 2p -j ₁.

5. Записать комплексное число в тригонометрической форме:

z = r (cos j + i sin j ).

Или, чтобы не производить лишних вычислений, для того чтобы найти значение для j по известным значениям sin j и cos j , заполним таблицу и будем ею пользоваться:

Переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической производится подстановкой в выражение z=r (cos j + i sin j ) числовых значений cos j и sin j , затем раскрываются скобки и производятся упрощения.

Например: 1) z = 1+i /z/ r =Ö 1²+1² =Ö 2

sinj = 1/Ö 2 =2 cosj/2 = 1/Ö 2 = 2 Þ j = 45⁰

т.о z = a + bi = 1 + i = Ö 2/4 (cos 45⁰+ isin 45⁰⁾ =Ö 2/4 (cos p + sin p )

2. z = 6( cosp + isin p ) = 6 (-1 + i*0) = 6*-1 = -6 Þ z = -6.

Упражнения:

1. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:

а) Ö 3/2-i/2 ; б) 6+6i ; в) -2 ; г) i ; д) -1/7 - Ö 3/7 i е) -3 (cos p + isin p)

ж) sin 48° + cos 48° ; з) 1 + cos 10p /9+ isin 10p /9

2. Представьте в алгебраической форме комплексные числа :

а) z = 2 (cos 225° + isin 225° ) ; б) z=3 (cos0° + isin 0° ) ;

в) z = 5(cos p/2 + isin p/2 ; г) z = 2(cos p/3 + isin p/3)

3. Построить комплексные числа? А) z=2 (cos p/4 + isin p/4 )

б) z = cosp + isin p ; в) z =2 (cos 3p/4 + isin 3p/4)

Дата добавления: 20.05.2001