Тепловое излучение. Характеристики теплового излучения. Закон Кирхгофа. Законы излучения абсолютно черного тела: закон Стефана-Больцмана, закон смещения Вина. Формула Рэлея-Джинса, ультрафиолетовая катастрофа. Формула Планка. Тепловое излучение и его характеристики Тела, нагретые до достаточно высоких температур, светятся.
Свечение тел, обус¬ловленное нагреванием, называется тепло¬вым (температурным) излучением. Тепловое излучение — практически единственный вид излучения, который мо¬жет быть равновесным. Предположим, что нагретое (излучающее) тело помещено в полость, ограниченную идеально отра¬жающей оболочкой. С течением времени, в результате непрерывного обмена энер¬гией между телом и излучением, наступит равновесие, т. е. тело в единицу времени будет поглощать столько же энергии, сколько и излучать.
Количественной характеристикой теплового излучения служит спектральная плотность энергетической светимости (излучательности) тела—мощность излуче¬ния с единицы площади поверхности тела в интервале частот единичной ширины: Где — энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени (мощность излучения) с единицы площади поверхности тела в интервале частот от  до + d. Единица спектральной плотности энер¬гетической светимости (Rv,
T) — джоуль на метр в квадрате в секунду (Дж/(м2•с)). Зная спектральную плотность энерге¬тической светимости, можно вычислить интегральную энергетическую светимость (интегральную излучательность) (ее на¬зывают просто энергетической светимо¬стью тела), просуммировав по всем частотам: Способность тел поглощать падающее на них излучение характеризуется спек¬тральной поглощательной способностью показывающей, какая доля энергии, при¬носимой за единицу времени на единицу
площади поверхности тела падающими на нее электромагнитными волнами с частота¬ми от  до +d, Закон Кирхгофа Отношение спектральной плотности энергетической све-тимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела; оно является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и темпе¬ратуры (закон Кирхгофа): Rv,T/Av,T=rv,T. (198.1) Для черного тела
Ачv,T=1, поэтому из закона Кирхгофа (см. (198.1)) вытекает, что Rv,T для черного тела равна rv,T. Таким образом, универсальная функция Кирхго¬фа rv,T есть не что иное, как спектральная плотность энергетической светимости чер¬ного тела. Следовательно, согласно закону Кирхгофа, для всех тел отношение спек-тральной плотности энергетической свети¬мости к спектральной поглощательной способности равно спектральной плотности энергетической светимости
черного те¬ла при той же температуре и частоте. Для серого тела где — энергетическая светимость черного тела (зависит только от температуры). Внешний фотоэлектрический эффект. Основные законы фотоэффекта. Формула Эйнштейна для фотоэффекта Фотоэлектрическим эффектом или просто фотоэффектом называют совокупность электрических процессов, происходящих в веществе под воздействием света и включающую в себя внешний фотоэффект, внутренний фотоэффект и вентильный
фотоэффект. впервые экспериментально было обнаружено Г. Герцем и детально исследовано А. Г. Столетовым. 1) Внешний ф-э заключается в испускании эл-нов в окруж. пр-во под действием э/м излучения. Внешн. ф/э может проявляться на всех вещ-вах, но наиболее сильно на металлах, имеющих в своём сост. своб. эл-ны. впервые экспериментально было обнаружено
Г. Герцем и детально исследовано А. Г. Столетовым. Законы внешнего фотоэффекта. Экспериментально установили 4 закона: 1) При фиксированной частоте э/м излучения сила фототока насыщения прямопропорц. интенсивности э/м излучения. 2) Макс. кинетич. энергия фотоэл-нов прямопропорц. частоте падающего э/м излучения. 3) Для каждого вещества сущ. красная граница фотоэффекта, т.е. мин. частота света ниже которой фотоэффект
невозможен. (НЮ0=А/h)) 4)Фотоэффект безинерционен. Ур-ние Эйнштейна Энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода А из металла и на сообщение вылетевшему электрону кинетической энергии (ф-ла Энштейна): Закономерности Столетова. 1) Частицы, испускаемые металлами, всегда отрицательно заряжены. Впоследствии доказали что это электрон. 2) Сила фототока насыщения возрастает при увеличении облучённости
поверхности катода (Ee). 3) Чаще всего большинство металлов давали ф-э при облучении у/ф лучами. Фотоны. Масса и импульс фотона. Давление света Соврем. представления о природе света следующие: свет - это сложное явление, для которого в одних условиях характерны волновые св-ва, а в других условиях - квантовые св-ва. Фотон - это одна из элементарных частиц, но принципиально отличная от других элем. частиц. Принято считать, что фотон - это минимальная порция (или квант) э/м излучения.
Свойства фотонов: 1) В любом веществе фотоны всегда распространяются со скор. света: V=с. 2) Фотон никогда не может находится в покое: m=0. 3) По квантовой гипотезе Планка энергия фотона зависит от частоты э/м излучения: =h; h=6,62•10-34Дж•с. 4) Масса фотонов может быть найдена на основании ур-ния Эйнштейна: 5)Импульс фотона фотон обладает импульсом рф =
Еф/с = h/. Быстрота изменения (передачи) импульса, согласно второму закону Ньютона, есть сила, а сила, приходящаяся на единицу площади, есть давление P: и . Таким образом, давление света на вещество равно импульсу, передаваемому фотонами единице площади в единицу времени. Если поверхность полностью поглощает падающие на нее по нормали фотоны (свет), то каждый фотон передает ей импульс рф = h/с, а при полном отражении – удвоенный импульс 2рф.
Давление света. Любое э/м излучение, падая на вещ-во любой природы (тв. тела, жидк газы), оказывает на него давление: P=F/S. Величина давления на любую пов-ть незначительна (например на тв. тела P=5 мкПа). Ф-ла для давления света строго выводится из ур-ния Максвелла: P=w(1+), где w - объёмн. плотн. энергии, - коэф. отражения (=Wотр/Wпад). 10; для =1 - идеальное отражение,
=0 - полное поглощение Давл. света согл. квантовым предст. Рассмотрим давление света на твёрдое тело. Согл. квантовым представлениям свет подобен квантам, несущим с собой импульс. Давление представляет собой импульс, получаемый стенкой. Рассм. 2 случая: Случай 1.  Фотон, попадая на пов-ть, отражается обратно. Случай 2.
Фотон попадает на зачерненную стенку ().  P= P=h/c. Стенка при этом получит импульс поглощённого фотона. Модели атома Томсона и Резерфорда Томсону Согласно этой модели, атом представляет собой непрерывно заряжен¬ный положительным зарядом шар радиу¬сом порядка 10-10 м, внутри которого око¬ло своих положений равновесия колеблют¬ся электроны; суммарный отрицательный заряд электронов равен положительному заряду
шара, поэтому атом в целом ней¬трален. Через несколько лет было доказа¬но, что представление о непрерывно рас¬пределенном внутри атома положительном заряде ошибочно. Резерфорд, исследуя прохождение -частиц в веществе (через золотую фоль¬гу толщиной примерно 1 мкм), ( Альфа-частицы возникают при радиоактивных превращениях) показал, что основная их часть испытывает незна¬чительные отклонения, но некоторые -частицы (примерно одна из 20 000) рез¬ко отклоняются
от первоначального на¬правления (углы отклонения достигали даже 180°). Так как электроны не могут существенно изменить движение столь тя¬желых и быстрых частиц, как -частицы, то Резерфордом был сделан вывод, что значительное отклонение -частиц обус¬ловлено их взаимодействием с положи¬тельным зарядом большой массы. Однако значительное отклонение испытывают лишь немногие -частицы; следовательно, лишь некоторые
из них проходят вблизи данного положительного заряда. Это, в свою очередь, означает, что положитель¬ный заряд атома сосредоточен в объеме, очень малом по сравнению с объемом атома. ядерную (планетарную) модель атома. Согласно этой модели, вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze (Z — порядковый но¬мер элемента в системе Менделеева, е — .элементарный заряд), размер 10-15— 10-14
м и массу, практически равную мас¬се атома, в области с линейными размера¬ми порядка 10-10 м по замкнутым орби¬там движутся электроны, образуя элек¬тронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммар¬ному заряду электронов, т. е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов. Для простоты предположим, что элект¬рон движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r. При этом кулоновская сила взаимодействия между ядром и элек¬троном сообщает электрону центростреми¬тельное
ускорение. Второй закон Ньютона для электрона, движущегося по окружно¬сти под действием кулоновской силы, имеет вид где те и v — масса и скорость электрона на орбите радиуса r, 0 — электрическая постоянная. Уравнение (208.1) содержит два не¬известных: r и v. Следовательно, су¬ществует бесчисленное множество значе¬ний радиуса и соответствующих ему зна¬чений скорости (а значит, и энергии), удовлетворяющих этому уравнению.
По¬этому величины r, v (следовательно, и Е) могут меняться непрерывно, т. е. может испускаться любая, а не вполне опреде¬ленная порция энергии. Тогда спектры атомов должны быть сплошными. В дей¬ствительности же опыт показывает, что атомы имеют линейчатый спектр. Из вы¬ражения (208.1) следует, что при r10-10 м скорость движения электронов v106 м/с, а ускорение v2/r=1022 м/с2. Согласно электродинамике, ускоренно движущиеся электроны должны излучать
электромагнитные волны и вследствие это¬го непрерывно терять энергию. В резуль-тате электроны будут приближаться к яд¬ру и в конце концов упадут на него. Таким образом, атом Резерфорда оказывается неустойчивой системой, что опять-таки противоречит действительности. Попытки построить модель атома в рамках классической физики не привели к успеху: модель Томсона была опроверг-нута опытами Резерфорда, ядерная же модель оказалась неустойчивой электро¬динамически
и противоречила опытным данным Линейчатый спектр атома водорода. Формула Бальмера. Постулаты Бора. Опыты Франка и Герца. Спектр атома водорода по Бору. Каждому газу присущ вполне определенный линей¬чатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий или групп близко рас¬положенных линий. спектральные линии, отличаю-щиеся различными значениями n, образу¬ют группу или серию линий, называемую серией:
Бальмера,серия Лаймана,серия,Пашена серия Брэкета… -ф-ла Бальмера для вид спектра,обобщ 2=m. Постулаты Бора I постулат (о стационарных состояниях электронов и атомов): Атом (эл-н) может находится в определённых стационарных состояниях, в которых нет излучения э/м волн. Стационарным состояниям соответствуют стационарные орбты, по которым может обращаться эл-н, имея при
этом дискретные значения энергии E1, E2 II постулат (о значении радиусов стационарных орбит): Стационарными орбитами являются также орбиты для которых момент импульса электрона имеет только целочисленные значения (n=1,2,3 ). Дж. III постулат (условие частот Бора): электрон излучает или поглощает энергию э/м поля только при переходе с одной стационарной орбиты на другую. При этом квант энергии испускаемого (поглощаемого) э/м излучения равен разности энергий эл-
на на соответствующих стационарных орбитах. ; Enj - энергия на орбите, с которой осущ переход. Eni - энергия на орбите, на которую осущ переход. Опыты Франка и Греца Франк и Герц изучали взаимодействие электронов с парами ртути. Доказали справедливость постулатов Бора. P~13 Мпа А-тяжёлый атом С1, С2 - сетки Поле Катод-С1 - ускоряющее (область 1)
Пары ртути (область 2) С2-Анод - задерживающее поле. 0-5В - возрастание I Энергия эл-нов = e Eэ=4,9эВ - однократные соударения Eэ=2•4,9эВ - двухкратные соударения Eэ=3•4,9эВ - трёхкратное соударения Атомы ртути переходят в возбуждённое состояние и испускают ультрафиолетовое излучение. Опыты доказывают дискретность энергии. Недостатки теории
Бора: 1) Наполовину классическая, наполовину квантовая 2) Невозможно описать спектры излучения более сложных, чем водород, атомов. 3) Невозможно обьяснить различия в интенсивности разных линий в спектре атома водорода. 4) Невозможно обьяснить наличие дублетов линий в спектре некоторых атомов. Теория Бора для атома водорода и водородоподобных систем 1)
Водородоподобыми ионами называют ионы, содержащие 1 электрон. 2) Квантование радиусов стационарных орбит. Рассм. водородообразный ион элемента с номером Z. Кулоновская сила притяжения создаёт или вызывает ускоренное движение эл-нов по n-ой орбите: (1); (2) Из (1) и (2)  (3) Из (3)  радиус стационарной орбиты увеличивается пропорционально n2. Первой считают орбиту от ядра.
Из ф-лы (3)  . Зная радиус первой стационарной орбиты для атома водорода, можно найти радиус любой другой орбиты атома водорода или водородоподобного иона. H: z=1 (3)  (3a) 3) Квантование скорости движения эл-на по стационарным орбитам. H: z=1, n=1 V1=2,2•106м/с 4) Энергия электрона на стационарных орбитах. ; П ; En=Tn+Пn Эл-н, вращаясь по стационарной орбите, имеет кинетичексую и потенциальную энергию.
Эл-н движется в поле электирческого зарада ядра. Для нахлждения П воспльзуемся формулой потенциала поля ядра: ; ; Пn=2Tn  ; H: z=1, n=1 эВ Полная энергия отрицательна. En<0. Отрицательное значение энергии соответствует нахождению электрона с самом атоме. Эффект Комптона (объяснение с точки зрения квантовой теории).
Эффект Комптона. Комптон при изуч. рассеяния ренг. лучей на вещ-вах с лёгкими атомами обнаружил что за рассеивающим в-вом наряду с излучением прежней длины волны обнаруж. R-излучение с длиной волны & ;#61548; (всегда).  - угол рассеяния. & ;#61548;= 548;не зависит от природы вещ-ва, от длины 
R-лучей, опред. только углом . & ;#61490;csin2(&a mp;#61487;); c=2,43пм. Квантовые объясн. Кемптон-эффекта. Эф. Комптона является наиболее ярким примером справедл. выполнения квант. теории света. Явление объясн. на основании з-нов сохр. энергии и импульса. Внеш. эл-ны, слабосвяз. с ядром атома под действ. жёстких
R-лучей (рентгеновских лучей) могут легко уходить за пределы атома, оставаясь в образце. Слабосвяз. эл-ны, потеряв связь с ядром атома становятся относительно (не полностью) свободны. Применяем з-н сохр. энергии. Излучение прежней длины волны присутств. по причинам: не все фотоны R-лучей взаимод. со слабосвяз. эл-нами, а с атомами в целом, поэтому атом поглащ. значит. меньшую энергию от фотона, поэтому часть фотонов проходит. До столкновения.
Фотон Электрон Энергия h m0C2 (энергия покоя) Импульс 0 После столкновения. Фотон Электрон Энергия h mC2 (полная энергия) Импульс 1) З-н сохранения энергии: h+m0C2= =h+m0C2 h=h& amp;#61550;+(m-m0)C2=h&# 61550;+Te 2) З-н сохр. импульса: . Явление Комптона с примен. з-нов сохр. энергии и импульса полн. объясняется по
квант. представлениям. Комптон-эффект набл. также для -излучения. Законы черного тела: закон С-Б, закон Вина. Формула Рэл-Дж, уф катастрофа. Формула Планка. Тело, способное поглощать полностью при любой температуре все падающее на него излучение любой частоты, называется черным спектральная поглощательная способность черного тела для всех частот и температур равна единице (Ачv,
T=1) Идеальной моделью черного тела яв¬ляется замкнутая полость с небольшим отверстием О. закон Стефа¬на – Больцмана Re=T4 т. е. энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры. при различных температурах следует, что распределение энергии в спек¬тре черного тела является неравномерным. Все кривые имеют явно выраженный мак¬симум, который по мере повышения темпе¬ратуры смещается в сторону
более корот¬ких волн. Площадь под кривой- энергетическая светимость Re черного тела. Согласно закону смещения Вина max=b/Т. волны max, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости r,T черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре, b — постоянная Вина. оно показывает смещение положения максимума функции r,
T по ме¬ре возрастания температуры в область коротких длин волн. Формула Рэлея — Джинса для спек¬тральной плотности энергетической свети¬мости черного тела имеет вид rv,T=(2v2/c2)< ;>=(2v2/c2)kT, Как показал опыт, выражение согласуется с экспериментальными данны¬ми только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула
Рэлея — Джин¬са резко расходится с экспериментом, а также с законом Вина попытка получить за¬кон Стефана — Больцмана из формулы Рэлея — Джинса приводит к абсурду: Этот результат по¬лучил название «ультрафиолетовой катастрофы». Таким образом, в рамках клас¬сической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела. Квант. гипотеза Планка. Ф-ла Планка.
Окончательно верную теорию теплового излучения разработал Планк, предложив квантовую гипотезу. Согласно Планку, атомы представляли гарм. осциляторы, но в отличие от Релея-Джинса, дискретной энергии. Величина дискретной порции энергии наз. квантом и равна h.  энергия осцилятора может иметь только ряд разрешённых дискретных значений. т=0,1,2 (3) - средн. знач. энерг. (4) (5) - формула
Планка Гипотеза де Бройля. Волны де Бройля: опытное подтверждение, принцип. Статистическое истолкование волн де Бройля. Гипотеза де Бройля. Формулы де Бройля Де Бройль выдвинул гипотезу: волновыми св-вами обладает любой материальный объект. Он использовал за-ны природы света. Носителями э/м поля являются фотоны. (1) (2) (1) и (2) отражают двойственность природы света и любого э/м излучения.
Де Бройль предложил, что двойственность характерна для любого материального объекта. Из гипотезы де Бройля следует, что волновой механизм является свойством любой материи. Длина волны де Бройля определяется формулой: ; Волновые процессы, сопровождают любой объект, движущийся со скоростью V. Это не реальные, а мнимые процессы. Природного аналога эти процессы не имеют. Эксперим. док-ва гипотезы де
Бройля. Опыты Дэвиссона и Джермера. Электрон имеет , за счёт волновых свойств он должен давать диффракционную картину через кристалл. ЭП-электронная пушка; Г-гальванометр; D1, D2 - диафранмы; ЦФ - цилиндр Фарадея; Ni - монокристалл;  - угол. При  = const = 50° Полученный результат можно было объяснить только диффракционным максимумом. Опыты показали, что пучку эл-нов, ускоренному эл. полем присущи волновые св-ва, т.к. пучок эл-нов на
монокристалле Ni даёт дифракцию. статистический смысл На данном этапе развития возникли новые принципиальные проблемы, в частности проблема физической природы волн де Бройля. Для выяснения этой про¬блемы сравним дифракцию световых волн и микрочастиц. Дифракционная картина, наблюдаемая для световых волн, характе¬ризуется тем, что в результате наложения дифрагирующих волн друг на друга в раз¬личных точках пространства происходит усиление или ослабление
амплитуды коле¬баний. Согласно волновым представлени¬ям о природе света, интенсивность диф¬ракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. По представлениям фотонной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракцион¬ной картины. Следовательно, число фото¬нов в данной точке дифракционной карти¬ны задается квадратом амплитуды свето¬вой волны, в то время как для одного фотона квадрат амплитуды определяет ве¬роятность
попадания фотона в ту или иную точку. Дифракционная картина, наблюдае¬мая для микрочастиц, также характеризу¬ется неодинаковым распределением пото¬ков микрочастиц, рассеянных или отра¬женных по различным направлениям,— в одних направлениях наблюдается боль¬шее число частиц, чем в других. Наличие максимумов в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наи¬большей интенсивности волн де Бройля.
С другой стороны, интенсивность волн де Бройля оказывается больше там, где име-ется большее число частиц, т. е. интенсив¬ность волн де Бройля в данной точке про¬странства определяет число частиц, попав¬ших в эту точку. Таким образом, дифрак¬ционная картина для микрочастиц являет¬ся проявлением статистической (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места, где интен¬сивность волн де Бройля наибольшая. Волновая функция и ее свойства.
Нормировка волновой функции. Принцип суперпозиции.  (х, у, z, t). Эту величину называют также волновой фун-кцией (или -функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и ве¬роятность W пропорциональна квадрату ее модуля: W~|(х, y, z, t)|2 (216.1) (||2= ;*) * —функция, комплексно сопряженная с ).
Таким образом, описа¬ние состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля ам¬плитуды волн де Бройля) определяет веро¬ятность нахождения частицы в момент времени t в области с координатами х и х+dх, у и y+dy, z и z+dz. Итак, в квантовой механике состояние микрочастиц описывается принципиально по-новому — с помощью волновой фун¬кции, которая является основным носите¬лем информации об их корпускулярных
и волновых свойствах. Вероятность на-хождения частицы в элементе объемом dV равна dW=||2dV. (216.2) Величина ||2=dW/dV (квадрат модуля -функции) имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в еди¬ничном объеме в окрестности точки с ко¬ординатами х, у, z. Таким образом, физи¬ческий смысл имеет не сама -функция, а квадрат ее модуля ||2, которым за¬дается интенсивность волн де
Бройля. Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласно теореме сложения вероятностей, равна Так как ||2dV определяется как веро¬ятность, необходимо волновую функцию  нормировать так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в еди¬ницу, если за объем V принять бесконеч¬ный объем всего пространства. Это озна¬чает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве.
Следовательно, условие нормировки вероятностей где данный интеграл (216.3) вычисляется по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам х, у, z от —  до . 11 билет Функция , характеризуя вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однознач¬ной (вероятность не может быть неодно¬значной величиной) и непрерывной (веро¬ятность не может изменяться скачком).
Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система мо¬жет находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями 1, 2 n то она также может находить¬ся в состоянии , описываемом линейной комбинацией этих функций: где Сn (n=1,2, )— произвольные, вооб¬ще говоря, комплексные числа. Сложение волновых функций (амплитуд вероятно¬стей), а не вероятностей (определяемых квадратами модулем
волновых функций) принципиально отличает квантовую тео¬рию от классической статистической тео¬рии, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятно¬стей. Соотношения неопределенности как проявление корпускулярно - волнового дуализма свойств материи. Объективно существующая корпускулярно - волновая двойственность в свойствах микрообъектов не позволяет рассматривать их движение как происходящее по траектории (в частности, по орбите для электрона в атоме).
Это наглядное, но чисто классическое корпускулярное представление основано на положении о том, что у движущегося объекта в каждый момент времени существуют точные значения координаты (местоположения) и импульса. Таким образом, учет волновых свойств в микрообъекте обусловливает ограничение применения к нему представлений о возможности определения (и существования у него) одновременно точных значений координаты и импульса. Более строго это ограничение классических представлений применительно к микрообъектам
было записано В. Гейзенбергом в следующих соотношениях неопределенности Гейзенберга (СНГ): где x и px, у и pу, z и pz - абсолютные погрешности (неточности, неопределенности) координаты и импульса микрочастицы. В соответствии с этими соотношениями, при одновременном определении сопряженных (вдоль одной оси) координаты и импульса произведение их абсолютных погрешностей не может быть меньшим постоянной
Планка . По отдельности, порознь, координата и импульс микрочастицы могут быть померены сколь угодно точно, или могут иметь совершенно точные значения. Но если у частицы точно определено местоположение, то тогда совершенно неопределенным будет ее импульс. И наоборот, как, например, у свободной частицы, движущейся с известной скоростью, точно определен импульс, но при этом совершенно не определено ее положение.
Свободную частицу с равной вероятностью можно обнаружить в любой точке пространства: она связана с бесконечной в пространстве и времени плоской волной де Бройля. Соотношение неопределенностей запрещает покой, ибо он требует одновременно точных координаты и импульса, то есть и x = 0 и pх = 0. Корпускулярно-волновой дуализм ограничивает применимость классических понятий в микромире.
Нельзя, например, говорить «импульс частицы в точке х равен р», потому что р = h/, а , по определению, не может быть функцией координаты. С позиции корпускулярно-волнового дуализма и соотношений неопределенности Гейзенберга становится понятным, почему первой величиной, значение которой в теории микрочастиц стало квантоваться, явился момент импульса. Представляя собой, произведение координаты на импульс, момент
импульса, по соотношению Гейзенберга, не может быть меньше постоянной Планка , что и было угадано и постулировано в правиле квантования орбит Н. Бором. Неклассические свойства микрочастиц, так или иначе, имеют связь и обусловленность с наличием кванта действия. Эффект дискретности, квантованности действия, проявляет себя заметным образом лишь в тех объектах, действие S которых соизмеримо с , или взаимодействие, т. е. изменение действия, не сильно
превышает . Взаимодействие может отображаться либо кинематически, как изменение пространственно - временной определенности объекта, либо динамически – как изменение динамических мер движения – импульса и энергии объекта. У микрообъектов единовременно, разовое изменение координаты и импульса (за счет элементарного взаимодействия) не может быть меньше , т. е. (изменение импульса на расстоянии ) и, соответственно, изменение энергии системы за время : . Чем меньше время существования какого-либо энергетического состояния
(или время, отведенное на измерение энергии), тем менее точно определена (более размыта) его энергия. Примером является размытие (или уширение) спектральных линий атомов, связанное с неопределенностью Е энергий возбужденных уровней, существующих конечное время t. Соотношения неопределенности Гейзенберга дают принципиальный предел точности классического описания движения по траектории. При больших энергиях частицы (малых длинах волны де
Бройля) возможно приближенное описание движения микрочастицы на языке классических траекторий Волновое уравнение. Уравнение Шредингера для стационарных состояний. Общее уравнение Шредингера. Уравнением движения в квантовой механике, описывающим дви-жение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которо¬го бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное урав¬нение должно быть уравнением относи¬тельно волновой функции (х,
у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина ||2, определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т. е. в области с координатами х и х+dх, у и y+dy, z и z+dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть во¬лновым уравнением. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано Э. Шредингером. Правиль¬ность этого уравнения подтверждается со-гласием с опытом получаемых с его по¬мощью
результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид где h=h/(2), m — масса частицы —оператор Лапласа (=д2 /дx2+д2/дy2+д2/д z2), i — мнимая единица, U(х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, (х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.
Общее (временное) ур-ние Шредингера Явный вид -ф-ции для микрочастицы: -ф-ция, описывающая движение микрочастиц в различных уровнях, будет иметь явный вид. Любой волновой процесс описывается с помощью уравнения: (1) - НЕВОЗМОЖНО! Для нахождения -ф-ции взять простое волновое ур-ние и заменить в нём S на  нельзя, т.к.: 1)-ф-ция из (1) не удовлетворяет принципу суперпозиции;
2) решение ур-ния (1) соответствует реальным процессам, в которых комплексная часть отбрасывается. В 1926 Шредингер записал полностью удовлетворяющее всем св-вам ур-ние: (2) общее временное уравнение Шредингера для одномерного случая движения частицы с массой m. . U(x,t) - силовая потенциальная функция. Зависит от координаты и времени. Для трёхмерного случая (2) переходит в: (2’) - оператор
Лапласса. С помощью (2) и (2’) можно описать вероятность перехода эл-на на новые стационарные орбиты. Знание -ф-ции позволяет находить квадрат модуля -ф-ции - интенсивность волны де Бройля. Частица в одномерном потенциальном ящике. Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высо¬кими «стенками».описывает¬ся потенциальной энергией вида (для про-стоты принимаем, что частица движется вдоль
оси х) Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний в случае одно¬мерной задачи запишется в виде По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за преде¬лы «ямы», поэтому вероятность ее обнару-жения (а следовательно, и волновая фун¬кция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х=l) непре-рывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, гра¬ничные условия в данном случае имеют вид (0) =(l)=0.
В пределах «ямы» (0xl) уравне¬ние Шредингера (220.1) сведется к урав¬нению Общее решение дифференциального уравнения (220.3): (х)=Аsinkx+Bcoskx. Так как по (220.2) (0)=0, то В=0. Тогда (x)=Asinkx. (220.5) Условие (l)=Asinkl=0 (220.2) выпол¬няется только при kl = n, где  — целые числа, т. е. необходимо, чтобы k= n/l. (220.6)
Из выражений (220.4) и (220.6) следу¬ет, что Еn=n22h2/2ml2 (n=1,2,3 ), (220.7) т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «по¬тенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях En, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия En частицы в «потенциальной яме» с бес¬конечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется.
Квантованные значения энергии En называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным кван¬товым числом. Подставив в (220.5) значение k из (220.6), найдем собственные функции: Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде В результате интегрирования получим А=2/1, а собственные функции будут иметь вид
Графики собственных функций (220.8), соответствующие уровням энер¬гии (220.7) при n=1,2,3, приведены на рис. 297, а. На рис. 297, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная |n(x)|2 = n(x) *n(x) для n=1, 2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находиться в сере¬дине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и пра¬вой частях.
Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная 2h2/(2ml2 Условия решения (2) и (2’): 1) Должна быть известна U(t) 2) Должна быть известна (x,0) или (x,y,z,0) 3) Граничные условия - знание поведения микрочастицы на границе: (0,t);(l,t) 4)
Решением (2) и (2’) является -ф-ция, для которой справедливы стандартные условия: a) НЕПРЕРЫВНА; б) ОДНОЗНАЧНА; в) КОНЕЧНА. Непрерывна - потому чтовероятность нахождения микрочастицы от точки к точке скачком меняться не может. Однознаяна - не может быть 2-х значений вероятности. Конечна - соответствует условию нормировки (чтобы был интеграл). Ур-ние Шред. для стацион. состояния. Для нахождения (x,y,z) из (2) и (2’) необходимо составить
ур-ние без времени. Сделаем переход от (2), испольуя возможность замены (x,t) на (t) и (x). (1) стационарное уравнение Шредингера. E - полная энергия; U(x) - потенциальная энергия, m - масса.  - (1’) - Для одномерного случая. EU=T. (x,y,z), U(x,y,z)   - оператор Лапласса
Прохождение частицы через потенциальный барьер бесконечной длинны 1 обл. U(x) = 0 ( X>0) 2/x2 +(2mE/ ħ2)  = 0 Решение (x) = A1eik1x + B1e-ik1x k12 = 2mE/ ħ2 Это решение представляет собой совокупность двух волн, распр. В противоположных направлениях. Первое слагаемое в положит. направлении оси
Х(падающая волна), Второе слагаемое в отриц. Направлении (отражённая волна). Волна де Бройля получается при домножении на временной множитель. 2 обл. U(x) = U0 (X>=0) 2/x2 +(2mE/ ħ2)[E – U0]  = 0 Решение (x) = A2eik2x + B2e-ik2x k22 = (2m/ ħ2)[E – U0] Это решение образовано только волной прошедшей через барьер,
т.е. В области 2 отражённой волны не существует. Поэтому B2e-ik2x = 0. 1 случай E>U0 k1 = 2/1; k2 = 2/2 => k1>k2, 1>2 Длинна волны де Бройля после входа в барьер увеличивается 2 случай E< U0 k2 = ((2m/ ħ2)[E – U0]) =  (-(2m/ ħ2)[E –
U0]) = ik’ k’ =  ((2m/ ħ2)[ U0 – E]) ф-ция (x) внутри барьера экспоненциально уменьшается. Внутри барьера  ф-ция отлична от нуля, это означает, что вероятность найти микрочастицу за барьером тоже отлична от 0. Микрочастица проникает в барьер Классическая частица, обладая энергией E либо отразиться от барьера, либо пройдёт над ним, т.е. она
не может проникнуть сквозь барьер. R – коэф. отражения – отношение интенсивности отражённой волны, к падающей волне де Бройля D – коэф. прозрачности – отношение числа микрочастиц прошедших через барьер (X >0) к числу частиц падающих на барьер. R = |k1 – k2|2/|k1 + k2|2 D = 4k1k2/|k1 + k2|2 Гармонический осциллятор. Движение осуществляется под действием квазиупругой силы. F= - cx, md2x/dt2 + cx=0 x’’+cx/m = 0 ω02 = c/m
Если частица двигается (возбужд сост), то вероятность обнаружить её в пределах от x до x+dx определяется временем dt нахождения частицы dt2<dt1, W2<W1 W~1/υ – плотность вероятностей обнаружить частицу пр-ва обратно пропорционально υ0, W∞ Полная энергия частицы не изменяется, но в зависимости от величины x0 (от степени возбуждения) может иметь непрерывный ряд значений.
Квантовая частица (одномерный случай) ∂2Ψ/∂x2 + 2m[E-U(x)] Ψ/ћ2 = 0 Частица находится в потенциальном поле, на неё действует квазиупругая сила. U(x)=cx2/2, c=mω02 U(x)= mω02x2/2 ∂2Ψ/∂x2 + 2m[E- (mω02x2/2)] Ψ/ћ2 = 0 Решение этого уравнения позволяет определить собственные ф-ии Ψn(x) и собств значения энергии. Из решения следует, что квантовый гармонический осциллятор может принимать
только дискретные значения эн-ии. {{Для потенциал ящика: En=n2 ћ2(π/l)2/2m Ψn(x)=√(2/l)*sin(n&am p;#960;x/l)}} En=(1/2 + n)ћω0, n=0,1,2… - квантовое число Квантовый гармонич осциллятор не имеет нулевого значения энергии Wкв=|Ψ|2 n=0 En=E0= ћω02/2 Ψ0(x)~ exp(-x2/2x2) / x1/2 ω0(x)= exp(-
x2/x02) / x Вероятность обнаружить квант частицу max но в отличие от классич, частицу можно обнаружить в любом другом месте и даже за пределами амплитуды x0 Вероятность обнаружить микрочастицу min при x=0 и max в 2-х координатах. С увеличением квант числа число «горбов» увеличивается. Результирующая кривая может быть описана непрерывной ф-ией
U(x). Атом водорода. Квантовые числа. Опыты Решение задачи об энергетических уров¬нях электрона для атома водорода сводится к задаче о движении элект¬рона в кулоновском поле ядра. Потенциальная энергия взаимодейст¬вия электрона с ядром, обладающим за¬рядом 2е (для атома водорода Z=1), U(r)=-Ze2/4pe0r, (223.1) где r — расстояние между электроном и ядром. Графически функция V (r) изо¬бражена жирной кривой на рис.
302 Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией y, удов¬летворяющей стационарному уравнению Шредингера (217.5), учитывающему значение (223.1): 1. Энергия. что уравне¬ния типа (223.2) имеют решения, удовлет¬воряющие требованиям однозначности, ко¬нечности и непрерывности волновой функ¬ции y, только при собственных значениях энергии Самый нижний уро¬вень Е1, отвечающий минимальной воз-можной энергии,— основной, все осталь¬ные (En>
E1 n=2, 3, ) — возбужденные. Энергия ионизации атома водорода равна Ei=-E1= те4/ (8h2e20)=13,55 эВ. 2. Квантовые числа. В квантовой ме¬ханике доказывается, что уравнению Шре¬дингера (223.2) удовлетворяют собствен¬ные функции ynml(r, q, j), определяемые тремя квантовыми числами: главным n, орбитальным l и магнитным ml.Главное квантовое число n, согласно (223.3), определяет
энерге-тические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы: n=1,2,3, Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механиче¬ский орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произволь¬ным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой Le=hÖ(l(l+1)), (223.4) где l — орбитальное квантовое число, ко¬торое при заданном n принимает значения l=0, 1, (n-1), (223.5) т. е. всего n значений, и определяет мо¬мент импульса электрона
в атоме. Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор Le момента им¬пульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция Lez на направление z внешне¬го магнитного поля принимает квантован-ные значения, кратные h Lеz=hml, (223.6) где ml — магнитное квантовое число, кото-рое при заданном l может принимать зна¬чения ml=0, ±1, ±2, ±l, (223.7) т. е. всего 2l+1 значений.
Таким образом, магнитное квантовое число ml определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор мо¬мента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l+1 ориентации. Наличие квантового числа ml должно привести в магнитном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом n на 2l+1 подуровней. Соответственно в спек¬тре атома должно наблюдаться расщепле¬ние спектральных линий. Действительно, расщепление энергетических уровней в магнитном поле было обнаружено то число различных
состояний, соответствующих данному n, равно Квантовые числа и их значения явля¬ются следствием решений уравнений Шре¬дингера и условий однозначности, непре¬рывности и конечности, налагаемых на волновую функцию y. В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, ха¬рактеризующееся квантовыми числами l=0, называют s-состоянием (электрон в этом состоянии называют s-электроном), l=1 — р-состоянием, l=2 — d-состоянием, l=3 — f-состоянием и т.д. Значение главного квантового числа указывается перед
условным обозначением орбитально¬го квантового числа. Например, электроны в состояниях n=2 и l=0 и 1 обознача¬ются соответственно символами 2s и 2р. Принцип неразличимости тождественных чисел. Фермионы и бозоны. Периодическая система элементов Менделеева. Если тождественные частицы имеют оди¬наковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно пере-становки частиц.
Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинако¬вых состояниях, так как для фермионов волновая функция должна быть антисим¬метричной принцип, соглас¬но которому системы фермионов встреча¬ются в природе только в состояниях, опи¬сываемых антисимметричными волновыми функциями: в системе одинаковых фермионов любые два из них не могут одно¬временно находиться в одном и том же состоянии. Отметим, что число однотипных бозонов, находящихся в одном и том же состоянии,
не лимитируется. ((Фермионами- Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описыва¬ются антисим-метричными волновыми фун¬кциями ,бозонами-частицы с нулевым или це¬лочисленным спином (например, p-мезоны, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями)) состояние электрона в атоме однозначно определяется набором четырех квантовых чисел: главного n (n=1, 2, 3, ), орбитального l (l=0, 1, 2, n-1), магнитного ml (ml= -l, -1, 0,+ 1, +l),магнитного спинового ms (ms=+1/2 1/2).
Распределение электронов в атоме подчиняется принципу Паули, который мо¬жет быть использован в его простейшей формулировке: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с оди¬наковым набором четырех квантовых чи-сел n, l, ml и ms, максимальное число электронов, находящихся в состоя¬ниях, определяемых данным главным кван¬товым числом, равно Совокупность электронов в многоэлек¬тронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n, называют
электронной оболочкой. Д. И. Менделеев ввел понятие поряд¬кового номера Z химического элемента, равного числу протонов в ядре и соответ¬ственно общему числу электронов в элек¬тронной оболочке атома. Расположив хи¬мические элементы по мере возрастания порядковых номеров, он получил перио¬дичность в изменении химических свойств элементов. Поэтому для объяснения таблицы будем считать, что каждый последующий элемент образо¬ван из предыдущего прибавлением к ядру одного протона и соответственно прибав¬лением
одного электрона в электронной оболочке атома. Взаимодействием элек-тронов пренебрегаем, внося, где это не¬обходимо, соответствующие поправки. Рассмотрим атомы химических элементов, находящиеся в основном состоянии. Таким образом, открытая Менделее¬вым периодичность в химических свойст¬вах элементов объясняется повторяемо¬стью в структуре внешних оболочек у ато¬мов родственных элементов. Так, инертные газы имеют одинаковые внешние оболочки из 8 электронов (заполненные s- и р-состояния);
во внешней оболочке щелочных металлов (Li, Na, К, Rb, Cs, Fr) имеется лишь один s-электрон; во внешней обо¬лочке щелочноземельных металлов (Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra) имеется два s-электрона; Электроны относятся к фермионам. Заполнение электронами оболочки происходит согласно принципу Паули. Он помогает объяснить периодическую систему элементов
Менделеева Главное квантовое число определяет оболочку атома (или слой). Если: n = 1 - К –оболочка,n = 2 - L –оболочка, n = 3 - M –оболочка, n = 4 - N–оболочка, n = 5 - O –оболочка. Оптический спектр – совокупность частот возможных переходов. Любому переходу соответствует своя спектральная линия.
При каждом переходе должно выполняться правила отбора . Если переход осуществляется с более удаленной оболочки на менее удаленную, то получается спектр испускания, в противном случае – спектр поглощения. Рентгеновское излучение. Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлектронным системам, то прояв¬ляются особые свойства, не имеющие ана¬лога в классической физике.
Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например электронов. Все электроны имеют одинаковые физиче¬ские свойства — массу, электрический за¬ряд, спин и другие внутренние характери¬стики (например, квантовые числа). Такие частицы называют тождественными. Необычные свойства системы одинако¬вых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики — принципе неразличимости тождественных частиц, согласно которому невозможно экспериментально
различить тождественные частицы. В классической механике даже одина¬ковые частицы можно различить по поло¬жению в пространстве и импульсам Из соотношения неопределенностей выте¬кает, что для микрочастиц вообще непри¬менимо понятие траектории Большую роль в выяснении строения ато¬ма, а именно распределения электронов по оболочкам, сыграло названное рентгеновским излучение. его спектр имеет сложную структуру (рис. 306) и зависит как от энергии элек¬тронов, так и от материала анода.
Спектр представляет собой наложение сплошного спектра, ограниченного со стороны корот¬ких длин волн некоторой границей lmin, на¬зываемой границей сплошного спектра, и линейчатого спектра — совокупности от¬дельных линий, появляющихся на фоне сплошного спектра. Исследования показали, что характер сплошного спектра совершенно не зависит от материала анода, а определяется толь-ко энергией бомбардирующих анод элек¬тронов. Детальное исследование свойств этого излучения показало,
что оно ис-пускается бомбардирующими анод элект¬ронами в результате их торможения при взаимодействии с атомами мишени. Сплошной рентгеновский спектр поэтому называют тормозным спектром. При достаточно большой энергии бом¬бардирующих анод электронов на фоне сплошного спектра появляются отдель¬ные резкие линии — линейчатый спектр, определяемый материалом анода и назы¬ваемый потому характеристическим рент-геновским спектром (излучением) При переходе от легких элементов к тяжелым струк¬тура характеристического
спектра не из¬меняется, лишь весь спектр смещается в сторону коротких волн. Особенность этих спектров заключается в том, что атомы каждого химического элемента, независи¬мо от того, находятся ли они в свободном состоянии или входят в химическое соеди¬нение, обладают определенным, присущим только данному элементу линейчатым спектром характеристического излуче¬ния. Так, если анод состоит из нескольких элементов, то и характеристическое рен¬тгеновское излучение представляет
собой наложение спектров этих элементов. Существуют серии: Исследуя рентгеновские спектры эле¬ментов, соотно¬шение, называемое законом Мозли: n=R(Z-s)2(1/m2-1/n2) где n — частота, соответствующая данной линии характеристического рентгеновско¬го излучения, R — постоянная Ридберга, s—постоянная экранирования, m=1, 2, 3, (определяет рентгеновскую серию), n принимает целочисленные значения с m+1 (определяет отдельную линию со¬ответствующей серии).
Смысл постоянной экранирования за¬ключается в том, что на электрон, совер¬шающий переход, соответствующий неко-торой линии, действует не весь заряд ядра Ze, а заряд (Z-s)е, ослабленный экрани¬рующим действием других электронов. Например, для Ka-линии s=1, и закон Мозли запишется в виде Опыты Штерна и Герлаха. Спин электрона. О. Штерн и В. Герлах, проводя прямые измерения магнитных моментов (см. § 131), обнаружили в 1922 г
что уз-кий пучок атомов водорода, заведомо на¬ходящихся в s-состоянии, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пуч¬ка. В этом состоянии момент импульса электрона равен нулю (см. (223.4)). Маг¬нитный момент атома, связанный с орби-тальным движением электрона, пропорци¬онален механическому моменту (см. (131.3)), поэтому он равен нулю и магнитное поле не должно оказывать влияния на движение атомов водорода в основном состоянии, т. е. расщепления быть не должно.
Однако в дальнейшем при применении спектральных приборов с большой разрешающей способностью было доказано, что спектральные линии атома водорода обнаруживают тонкую структуру (являются дублетами) даже в отсутствие магнитного поля. предположи¬ли, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментомимпульса, не связанным с движением электрона в пространстве,— спином (см. § 131). Спин электрона (и всех других микро¬частиц) — квантовая величина, у нее нет классического аналога;
это внутреннее не-отъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе. Если электрону приписывается со¬бственный механический момент импульса (спин) LS, то ему соответствует собствен¬ный магнитный момент pms. Согласно общим выводам квантовой механики, спин квантуется по закону Ls=hÖ(s(s+1)), где s — спиновое квантовое число.
По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция Lsz спина квантуется так, что вектор Ls может принимать 2s+1 ориентации. Так как в опытах Штерна и Герлаха наблюдались только две ори¬ентации, то 2s+1=2, откуда s=1/2. Про¬екция спина на направление внешнего магнитного поля, являясь квантованной величиной, определяется выражением, аналогичным (223.6): Lsz=hms, где ms — магнитное спиновое квантовое число; оно может иметь
только два значе¬ния: ms= ±1/2. Таким образом, опытные данные при¬вели к необходимости характеризовать электроны (и микрочастицы вообще) до-бавочной внутренней степенью свободы. Чтобы барьер был конечным по ширине, сделаем третью область => (x) = A1eik1x + B1e-ik1x (x) = A2eik2x + B2e-ik2x (B2 уже не будет равно нулю, т.к. отражённая волна может быть) (x) = A3eik3x + B3e-ik3x (B3 равен нулю, так как после барьера для микрообъекта
нет препятствий и отразиться ему не от чего) k3 = ((2m/ ħ2)[E – U0]) В обл. 3 U(x) = 0 k3 = ((2m/ ħ2)E) Туннельный эффект – явление в рез-тате микрообъект может пройти через барьер. Коэффициент прозрачности D потенциального барьера D = |A3|2/|A1|2 Для того, чтобы найти отношение |A3|2/|A1|2, необходимо воспользоваться условиями непрерывности
 и ’ на границах барьера x = 0 и x = l Эти четыре условия дают возможность выразить коэффициенты A2, A3, B1 и B2 через A1. Совместное решение этих уравнений для прямоугольного потенциального барьера, в предположении, что коэффициент прозрачности мал по сравнению с единицей, даёт D = D0exp[(-2/ ħ) (2m(U - E))l]
U – Потенциальная высота E – Энергия частицы l – Ширина барьера D0 – постоянный множитель, который можно приравнять к единице Для потенциального барьера произвольной формы имеем: D = D0exp[(-2/ ħ)x1x2( 2m(U - E))dx], где U = U(x) Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом
Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределённостей. Неопределённость импульса ∆p> h/l. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия (∆p)2/2m может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной. Основы теории туннельных переходов заложены работами
Л.И. Мандельштама и М.А. Леонтовича. Понятие о зонной теории твердых тел. Металлы, диэлектрики, полупроводники. Вещество́ — форма материи, в отличие от поля, обладающая массой покоя. Вещество состоит из частиц, среди которых чаще всего встречаются электроны, протоны и нейтроны. Последние два образуют атомные ядра, а все вместе — атомы, молекулы, кристаллы и т.д. . Наиболее часто в молекулах встречается два типа связи: ионная и ковалентная
Ионная связь (например, в молекулах NaCl, KBr) осуществляется электростати¬ческим взаимодействием атомов при пере¬ходе электрона одного атома к другому, т. е. при образовании положительного и отрицательного ионов. Ковалентная связь (например, в молекулах Н2, С2, СО) осуществляется при обобществлении ва¬лентных электронов двумя соседними ато-мами (спины валентных электронов до¬лжны быть антипараллельны). Ковалент¬ная связь объясняется на основе принципа неразличимости
тождественных частиц (см. § 226), например электронов в моле¬куле водорода. Неразличимость частиц приводит к специфическому взаимодейст¬вию между ними, называемому обменным взаимодействием. Это чисто квантовый эффект, не имеющий классического объяс¬нения, но его можно себе представить так, что электрон каждого из атомов молекулы водорода проводит некоторое время у яд¬ра другого атома и, следовательно, осуще¬ствляется связь обоих атомов, образую¬щих молекулу.
При сближении двух водо¬родных атомов до расстояний порядка боровского радиуса возникает их взаим¬ное притяжение и образуется устойчивая молекула водорода. Используя уравнение Шредингера — ос¬новное уравнение динамики в нерелятиви¬стской квантовой механике,— в принципе можно рассмотреть задачу о кристалле, например найти возможные значения его энергии, а также соответствующие энерге¬тические состояния. Однако как в класси¬ческой, так и в квантовой механике
отсут¬ствуют методы точного решения динами¬ческой задачи для системы многих частиц. Поэтому эта задача решается приближен¬но сведением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче — задаче об одном электроне, движущемся в заданном внеш¬нем поле. Подобный путь приводит к зон¬ной теории твердого тела. В основе зонной теории лежит так называемое адиабатическое приближение.
Квантово-механическая система разделя¬ется на тяжелые и легкие частицы — ядра и электроны. Поскольку массы и скорости этих частиц значительно различаются, можно считать, что движение электронов происходит в поле неподвижных ядер, а медленно движущиеся ядра находятся в усредненном поле всех электронов. Счи¬тая, что ядра в узлах кристаллической решетки неподвижны, движение электрона рассматривается в постоянном периодиче-ском поле ядер. Далее используется приближение са¬мосогласованного поля.
Взаимодействие данного электрона со всеми другими элек¬тронами заменяется действием на него стационарного электрического поля, обла¬дающего периодичностью кристалличе¬ской решетки. Это поле создается усредненным в пространстве зарядом всех дру¬гих электронов и всех ядер. Таким образом, в рамках зонной теории много¬электронная задача сводится к задаче о движении одного электрона во внешнем периодическом поле — усредненном и со¬гласованном поле всех ядер и электронов.
Рассмотрим мысленно процесс образо¬вания твердого тела из изолированных атомов. Пока атомы изолированы, т. е. на-ходятся друг от друга на макроскопиче¬ских расстояниях, они имеют совпадаю¬щие схемы энергетических уровней (рис. 313). По мере «сжатия» нашей моде¬ли до кристаллической решетки, т. е. когда расстояния между атомами станут равны¬ми межатомным расстояниям в твердых телах, взаимодействие между атомами приводит к тому, что энергетические
уровни атомов смещаются, расщепляются и расширяются в зоны, образуется так называемый зонный энергетический спектр. Образование зонного энергетического спектра в кристалле является квантово-механическим эффектом и вытекает из соотношения неопределенностей. В кри¬сталле валентные электроны атомов, свя¬занные слабее с ядрами, чем внутрен¬ние электроны, могут переходить от атома к атому сквозь потенциальные барьеры, разделяющие атомы, т. е. перемещаться без изменений полной энергии
Это приводит к то¬му, что среднее время жизни т валентного электрона в данном атоме по сравнению с изолированным атомом существенно уменьшается и составляет примерно 10-15с (для изолированного атома оно примерно 10-8с). Время же жизни элек¬трона в каком-либо состоянии связано с неопределенностью его энергии (шири¬ной уровня) соотношением неопределенно¬стей DE~h/t Состав ядра атома. Энергия связи атомных ядер. Ядерная и термо¬ядерная реакции.
Состав ядер. Нуклоны. Опытами Резерфорда было показано, что в центне атома располагается заряженное массивное ядро. Размер атома ~2r1~1010м. Размеры ядер~1015м (1 Ферми). В физике долго существовала протонно-электронная модель, которая предполагала что ядро состоит из протонов и электронов. Эту модель отбросили и в 1932 г. была принята протонно-нейтронная модель.
Согласно ей, ядро состоит из двух видов ядерных частиц: протонов и нейтронов. Протон - это частица с зарядом электрона, но со знаком “+”. mp=1,6726•10& ;#61495; кг. Нейтрон электрически нейтрален. mn=1,6749•10& ;#61495; кг. Вместе протоны и нейтроны называют нуклонами. Протоны и нейтроны обладают спинами. и для протона и для нейтрона. Протоны и нейтроны являются фермионами. имеют место магнитные спиновые моменты. - ядерный
магнетон. Характеристики атомных ядер Z - заряд. число = число нейтронов. qяд=+Ze, N - кол-во нейтронов. A - массовое число; A=Z+N Символическая запись ядра: либо либо В зависимости от количества нуклонов различают: изотопы (одинаковые Z) изотоны (одинаковые N) изобары (одинаковые A=N+Z) изомеры (различные размеры) К изотопам относится водород: -протий (ядро-протон - p) -дейтерий (ядро-дейтон 1p+1n) -тритий (ядро-
тритон 1p+2n) К изотонам относятся К изобарам относятся Деффект массы. Энергия связи ядра. mЯ<mН. Разность массы нуклонов в своб. состоянии и массой ядра называется деффектом масс. . Энергией связи называется энергия, которую нужно затратить для расщепления ядра на его составляющие. Эта же энергия выделяется при образовании ядра из
A отдельных нуклонов. EСВ~МэВ Вводят понятие удельной энергии связи - энергии отнесённой к одному нуклону: . Нарисуем график : При A<20 (у лёгких ядер) - значительный рост. При A~5060 роста не наблюдается, EСВ остаётся постоянной, не зависит от A. Это наиболее стабильные ядра. При A>60 наблюдается незначительное уменьшение до 7,5 МэВ. На графике видно 2 области. В области небольшого числа ядер EСВ невелико.
В этой области возможны реакции синтеза лёгких ядер. Вторая область - область тяжёлых ядер. Уменьшение EСВ позволяет осуществлять реакции деления ядер. Радиоактивность. Виды радиоактивности. Закон радиоактивного распада. a-распад. b-распад. у- излучение Виды радиоактивных излучений и их характеристики В 1896 г. Беккерель, изучая люминесценцию солей урана, обнаружил излучене неизвестной природы.
У этого излучения наблюдалась сильная ионизационная способность. Лучи не зависили от агрегатного состояния вещ-ва. Эти лучи действовали на фотопластинки, обладали сильной проникающей способностью. Пьер и Мария Кюри обнаружили, что кроме урана такое излучение дают актиний (Ac) и торий (Th). Излучение, возникающее вследствие превращения ядер назвали радиоактивным излучением.
Явление превращения ядер назвали радиоактивностью. Известно 3 вида излученя: -излучение,& #61538;-излучение и -излучение. -излучение представляет собой поток -частиц - ядер атома гелия . m=4mН=4•1,67•102 7кг. q=+2e. Для -излучения характерна сильная ионизация вещества и низкая проникающая способность.
-излучение отклоняется в электрическом и магнитном поле. -излучение представляет собой поток электронов и позитронов. Обладает хучшей ионизационной способностью и лучшей проникающей способностью чем -излучение. Для -частиц справедлив закон Бугера: , где N0 - интенсивность излученя, падающего на вещество толщиной x,  - коэффициент поглащения. -излучение оказалось излучением с очень маленькой длиной волны:<10&
#61485;10м. Эти лучи не заряжены. Обнаружено, что -лучи самостоятельно не существуют, они всегда сопровождают - и -лучи. Превращение ядер сопровождающееся возникновением -лучей называется -распадом. Различают 2 вида радиоактивности - естественная и искусственная. Естеств. радиоактивность связяна с самопроизвольным превращением ядер в природе.
В природе известны 3 семейства радиоактивных превращений: U, Th, Ac. Закон радиоактивного распада Независимо от вида распада выполняется закон радиоактивного распада. Пусть N - кол-во нераспавшихся ядер. Пусть в начальный момент времени t0=0 кол-во ядер N0. Пусть в момент времени t0 будет кол-во ядер N(t). За время dt будет распадаться dN ядер. Кол-во распавшихся ядер пропорционально кол-ву имеющихся
ядер. N(t)=N0-dN Чтобы записать равенство dN=N•dt нужно учесть специфику данного ядра с помощью константы - постоянной радиоактивного распада. Постоянная радиоакт. распада - величина, характеризующая вероятность радиоактивного превращения ядра данного сорта. dN=N•dt (1) Формула (1) выражает закон радиоактивного распада.
N(t) - кол-во нераспавшихся ядер к моменту времени t ; N0 - кол-во нераспавшихся ядер в начальный момент времени. Важной характеристикой является период полураспада T и активность A. Периодом полураспада T (T1/2) называется время, по истечении которого распадается половина первоначально имеющихся ядер. t=T; Из (1):  
(2) Т меняется в широких пределах: 107с < T < 1,7•1015 лет. Активность нуклоида - это физическая величина, характеризующая количество распадов нуклоида за 1 сек (количество распадающихся ядер в 1 с.). Актвность можно измерять с помощью счётчика Гейгера-Мюллера. где A0 - начальная активность. - з-н убывания активности.
Единицами активности в системе СИ является 1 Беккерель (1 Бк). 1 Бк - это активность нуклоида, равная 1 распаду в 1 секунду Также используют единицу Кюри (Ки). 1 Ки = 3•107 Бк. -распад -распадом называется превращение ядер одного типа в ядра другого типа с выделением ядер атома гелия, называемых -частицами. -распад испытывают ядра, у которых
Z>82 (тяжёлые ядра). У лёгких ядер -распад как правило не наблюдается. Естественный -распад распространён не широко. -распад совершается по след. схеме: (-частицы) X - материнские ядра; Y - дочерние ядра. Опыт показывает, что дочернее ядро, возникающее при распаде, может находиться как в нормальном состоянии, так и в возбуждённом. Для каждого распадающегося ядра имеет место несколько
-частиц с близкими дискретными значениями энергии. E меняется от 4 МэВ до 9 МэВ. V~0,1 м/с. С помощью классической физики объяснить -распад невозможно. Только квант. механика, рассматривающая -частицу с присущими ей волновыми свойствами, позволяет объяснить сущность -распада. Резерфорд установил, что для -частиц, подлетающих
к ядру, существует значительный потенц. барьер сил кулоновского отталкивания. Профиль потенциального барьера Согласно структуре ядет и природе ядерных сил, возможно с какой-то вероятностью объединение двух протонов и двух нейтронов. При E1 - распада нет; При E2 - возможно туннелирование сквозь потенц. барьер куллоновских сил. При E3 туннельный эффект очень вероятен. - формула
Гейгера-Неттори. E=EматEдоч; -частицы имеют тонкую энергетическую структуру. Элементарные частицы Взаимопревращение частиц. На макроуровне физическая реальность подразделялась на дискретное в пространстве вещество и непрерывное (континуальное) поле. В микромире, то есть при расстояниях меньших 10-8 м, в строении физической реальности выделяются три уровня: 1. Атомно-молекулярный; 2. Ядерный;
3. Субъядерный (уров. элементарных частиц). Электрон - родоначальник класса элементарных частиц, называемых лептонами, в который входят и другие частицы. Лептоны - не участвуют в сильном взаимодействии; все они имеют полуцелый спин. Этот класс включает в себя всего 6 частиц, разбитых на три семейства (дублета, пары): 1) электронный дублет (электрон с электронным нейтрино), 2) мюонный дублет (мюон с мюонным нейтрино), 3) таонный дублет (таон с таонным нейтрино).
Каждому из дублетов этих лептонов соответствует дублет антилептонов. Для того, чтобы выделить класс лептонов из всего многообразия элементарных частиц и различить лептоны и антилептоны (прежде всего - нейтрино и антинейтрино) была введена новая физическая величина - лептонный заряд L. По определению, у всех лептонов L = 1, у антилептонов L = -1, у прочих элементарных частиц L = 0. Как и электрический заряд, лептонный заряд сохраняется в
любом взаимодействии. Протоны и нейтроны являются типичными представителями другого класса микрообъектов - адронов. Адроны - составные частицы, участвующие в сильном взаимодействии, а также и в трех остальных физических взаимодействиях. Класс адронов является самым многочисленным классом; он насчитывает вместе с античастицами более 300 частиц. Различают стабильные (точнее, метастабильные) адроны с временем жизни большим 10-23 с и так называемые резонансы, живущие менее 10-23 с.
Адроны с целым спином называют мезонами (глюоны, каоны, *-мезон), а с полуцелым спином - барионами (гипероны и нуклоны). Для характеристики этого внутреннего различия вводят барионный заряд В, который у всех барионов равен В = 1, у антибарионов В = -1, у всех прочих частиц (включая и мезоны) В = 0. Барионный заряд, как и лептонный, и электрический - сохраняется во всех взаимодействиях.
При переходе атома из возбужденного в основное состояние порождается – квант электромагнитного поля – (фотон, g - квант), который обладает всеми свойствами частиц. Электромагнитное взаимодействие осуществляется посредством обмена фотонами между заряженными частицами. Постепенно выяснилось, что протон и нейтрон (и вообще все адроны) являются составными микрообъектами. Они построены из некоторых более "мелких" частиц, которые обозначают символами u и d .
Эти частицы принадлежат к еще одному (четвертому) классу элементарных частиц – классу кварков. Согласно современным воззрениям, единый ранее уровень элементарных частиц, на самом деле, оказывается расщепленным на два уровня. На верхнем уровне - адронном - расположены составные частицы, включая протон и нейтрон. На нижнем уровне располагаются истинно элементарные частицы, часто называемые фундаментальными. Именно на нем находится электрон (лептоны), фотон (переносчики взаимодействий), а также частицы u и
d (кварки). Выясненить строения элементарных частиц можно с помощью пучков заряженных частиц. Современные ускорители обеспечивают ускорение до энергий порядка 1012 эВ, что отвечает расстояниям . На таких расстояниях электрон еще не обнаруживает внутренней структуры. Общее число известных элементарных частиц около 400. Классификация элементарных частиц может проводиться по разным основаниям – характеристикам частиц–времени
жизни, массе, спину, заряду, магн мом. и др. Магнитные моменты элементарных частиц выражают в магнетонах . Причем различают электронный магнетон, называемый магнетоном Бора ( ) и ядерный магнетон , . Практически у каждой элементарной частицы имеется античастица, обозначаемая тем же символом, но с тильдой (волнистой линией) сверху. Античастицы отличаются от частиц противоположными знаками зарядов (электрического, барионного, лептонного
и др.) и магнитного момента. При встрече частицы с античастицей происходит их аннигиляция, то есть взаимоуничтожение с выделением огромного количества энергии в виде излучения. У некоторых частиц, называемых истинно нейтральными, все "заряды", равны нулю, и они тождественны своим античастицам. Таков, например, фотон. В настоящее время различают 4 типа фундаментальных взаимодействий: - сильное взаимодействие - свойственно адронам (например, протону и нейтрону).
Наиболее известное его проявление - внутриядерные силы. Примеры процессов, вызываемых сильным взаимодействием - реакции рождения антипротона и антинейтрона; - электромагнитное взаимодействие - свойственно электрически заряженным частицам и фотону. Одно из его проявлений - кулоновские силы, обусловливающие существование атомов; - слабое взаимодействие - присуще всем элементарным частицам кроме фотонов.
Наиболее известное его проявление - - превращение атомных ядер. Оно же обеспечивает нестабильность многих элементарных частиц, например, нейтрона. Только в слабом взаимодействии (не считая гравитационного) участвует нейтрино и антинейтрино; - гравитационное взаимодействие - предельно слабое и в микромире заметной роли не играет. В настоящее время можно считать практически доказанным, что все адроны состоят из кварков - необычных
фундаментальных частиц, у которых есть свои античастицы. Электрические заряды кварков и антикварков имеют дробные (в единицах qe) значения электрического заряда, кратные одной трети qe = 1,6×10-19 Кл. Различают 6 кварков: u - верхний, d - нижний, s - странный, c - очарованный, b - прелестный, t - истинный. Они образуют три дублета или поколения: (u, d); (c, s); (t, b). Это схоже с тремя дублетами лептонов. Каждый мезон строится из одного кварка q и одного
антикварка . Заряд верхнего кварка qu = (2/3)|qе|, а нижнего qd = - (1/3)½qе½. Кваркам приписывают 3 цвета: красный, зеленый, и голубой; антикваркам - антицвета. Барионы, состоящие из трех кварков разного цвета, оказываются бесцветными (белыми) частицами. Кварки же, будучи цветными частицами, могут находиться только внутри белых частиц - адронов. Это трактуется как пленение (конфайнмент) кварков и объясняет их невозможность существования и наблюдения
в свободном состоянии. -распад. Его механизмы. Нейтрино. -распадом называется превращение ядер одного типа в ядра другого типа с выдылением -частиц. -распад наблюдается у ядер даже с небольшим Z. Сущестует 3 вида -распада: 1) Электронный распад (-распад) Смещение вправо на 1 клетку. 2) Позитронный распад (-распад)
Смещение влево на 1 клетку 3) k-захват (e-захват) Дочерние ядра могут иметь различные значения энергии, соответствующие различным энергетиечским уровням. При переходе из возбуждённого состояния в нормальное испускаются -кванты. При 1 и 2 виде -распада энергия -частиц может иметь любые значения от 0 до некоторого значения, называемого максимальной энергией.
N - количество -частиц, возникших при распаде. Из графика видно, что большинство -частиц имеют опред. энергию (максимум графика). Очень мало частиц с почти нулевой энергией (пунктир). При рассмотрении теории -распада обнаружили невыполнение з-на сохранения энергии и закона сохранения спина. В 1931 г. Паули, используя несохранение спина, предположил, что наряду с -
частицей в 1 и 2 видах -распада должна вылетать ещё одна частица. Эту частицу назвали нейтрино (e). m<104me, т.е. m=0. Заряда нейтринно не имеет. - антинейтрино. У антинейтрино спин направлен по движению, у нейтрино - против движения. Энергия -распада делится произвольным образом между -частицей и нейтрино  энергия -частицы непрерывна.
Электронов и позитронов в ядре нет! Эл-ны и позитроны возникают в приядерном пространстве за счёт превращений нуклонов, происходящих в ядре. Нейтрон в свободном состоянии -активен. Его время жизни=11 мин. Третий вид -распада - k-захват. Взаимодействие протона с электроном образует нейтрон с выбросом нейтрино. g - лучи, представляющие собой жесткое (с очень высокой частотой) электромагнитное излучение, обычно сопровождают все типы радиоактивного
распада ядер. Ядро в целом, как и атом, его электронная оболочка, может находиться в различных квантовых состояниях с дискретными (квантованными) значениями энергии. Разнос этих уровней в тысячи раз превышает значения, характерные для атомов, составляя тысячи и десятки тысяч электрон-вольт. При распаде так называемого материнского ядра, получающееся дочернее ядро оказывается в разных возбужденных состояниях, из которых оно может перейти в основное состояние путем испускания
g - квантов. - излучение - основная форма уменьшения энергии возбужденных продуктов радиоактивных превращений. Дискретный линейчатый спектр g - излучения является подтверждением дискретного характера энергетических уровней ядра, как квантовой системы. В ряду всех ядер особой стабильностью отличаются ядра, у которых Z или N равно т.н. “магическому ряду” : 2; 8; 20; 28; 50; 82; 126. Такие ядра - особо прочные. Ядра, у которых и Z и N равно одному из чисел магического ряда наз. “дважды
магическими”. Примеры таких ядер: Ядерная реакция – это процесс взаимодействия атомного ядра с другим ядром или элементарной частицей, сопровождающийся изменением состава и структуры ядра и выделением вторичных частиц или γ-квантов. При ядерных реакциях нуклоны не уничтожаются, происходит только их перераспределение: захват ядра, удаление, переход к другому ядру. Суммарное массовое число и суммарный заряд ядер сохраняется. Ядерная реакция происходит, когда частицы попадают в сферу действия ядерных сил.
37Li+11H(24He+24He. Нейтроны не имеют заряда и, следственно, не отталкиваются ядрами и поэтому особенно эффективно вызывают превращения ядер Ядерные реакции сопровождаются энергетическими превращениями. Энергетическим выходом ядерной реакции называется величина Q = (MA + MB – MC – MD)c2 = ΔMc2 где MA и MB – массы исходных продуктов, MC и MD – массы конечных продуктов реакции.
Величина ΔM называется дефектом масс. Ядерные реакции могут протекать с выделением (Q > 0) или с поглощением энергии (Q < 0). Термоядерная реакция- реакция синтеза легких ядер в более тяжелые. Для осуществления этой реакции необходимо наличие очень высокой температуры. Реакции бывают управляемые и неуправляемые. Последние происходят в недрах звезд, на Солнце. Для того, чтобы произошла термоядерная реакция, надо сблизить легкие ядра до расстояния, равного
или меньшего радиуса сферы действия ядерных сил притяжения. Следует нагреть вещество до очень высоких температур для того, чтобы энергии оказалось достаточно. При таких температурах вещество существует только в виде плазмы. Создание высокой температуры нужно только в первый момент, чтобы «зажечь» реакцию, а затем она существует сама за счет выделения энергии при синтезе ядер. Критическая температура- температура, при которой возможна
самоподдерживающаяся реакция. Если температура равна критической, количество энергии, выделяющейся при синтезе, полностью компенсирует тепловые и ионизационные потери. Если температура меньше критической, то реакция не идет. Если температура больше критической, то происходит термоядерный взрыв. разрешенными энергетическими зонами. Каждая разрешенная зона «вмещает» в себя столько близлежащих дискретных уровней, сколько атомов
содержит кристалл: запрещенными энергетическими зонами. В запрещенных зонах электроны находиться не могут. Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать су¬ществование металлов, диэлектриков и по¬лупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, нео¬динаковым заполнением электронами раз¬решенных зон и, во-вторых, шириной за¬прещенных зон.
Степень заполнения электронами энер¬гетических уровней в зоне определяется заполнением соответствующего атомного уровня. В общем случае можно гово¬рить о валентной зоне, которая полностью заполнена электронами и образована из энергетических уровней внутренних элек¬тронов свободных атомов, и о зоне про¬водимости (свободной зоне), которая либо частично заполнена электронами, либо свободна и образована из энергетических уровней внешних «коллективизированных» электронов изолированных атомов.
В зависимости от степени заполнения зон электронами и ширины запрещенной зоны возможны четыре случая, изобра-женные на рис. 314. На рис. 314, а самая верхняя зона, содержащая электроны, за¬полнена лишь частично, т. е. в ней имеют¬ся вакантные уровни. В данном случае электрон, получив сколь угодно малую энергетическую «добавку» (например, за счет теплового движения или электриче- ского поля), сможет перейти на более высокий энергетический уровень той же зоны, т. е. стать свободным и участвовать в проводимости
Твердое тело является проводником электрического тока и в том случае, когда валентная зона перекрывается свободной зоной, что в конечном счете приводит к не полностью заполненной зоне Помимо рассмотренного выше пере¬крытия зон возможно также перераспре¬деление электронов между зонами, воз¬никающими из уровней различных атомов, которое может привести к тому, что вместо двух частично заполненных зон в кристалле окажутся одна целиком за¬полненная (валентная) зона и одна сво¬бодная зона
(зона проводимости). Если ширина запрещенной зоны кристалла порядка нескольких электрон-вольт, то тепловое движение не может перебросить электроны из валентной зоны в зону проводимости и кристалл является диэлектриком, оставаясь им при всех ре¬альных температурах (рис. 314, в). Если запрещенная зона достаточно узка (DE порядка 1 эВ), то переброс электронов из валентной зоны в зону проводимости может быть осуществлен сравнительно легко либо путем теплового возбуждения,
либо за счет внешнего источника, спо¬собного передать электронам энергию DE, и кристалл является полупроводником (рис. 314, г). Различие между металлами и диэлек¬триками с точки зрения зонной теории состоит в том, что при 0 К в зоне про¬водимости металлов имеются электроны, а в зоне проводимости диэлектриков они отсутствуют. Различие же между диэлек-триками и полупроводниками определяет¬ся шириной запрещенных зон: для диэлек¬триков
она довольно широка (например, для NaCl DE=6 эВ), для полупроводни¬ков— достаточно узка Принцип неразличимости.Фермионы и бозоны.Распределение по энерг. Уровням. Таблица Менделеева. Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермионы и бозоны. Тождественные частицы – это частицы, имеющие одинаковую массу, заряд, спин. Возьмем систему из двух электронов и пронумеруем их.
С классической точки зрения электрон движется по траектории, поэтому в каждый момент времени мы можем сказать, будет ли это электрон 1 или электрон 2. Поменяв местами и скоростями электроны, мы получим другое состояние, которое отличается от предыдущего только нумерацией. Т.о. тождественные частицы в классической механике принципиально различимы. В квантовой механике состояние системы описывается волновой функцией.
Она физического смысла не имеет, а физический смысл имеет . Микрочастица размазана в пространстве. В нашем случае, если обнаружить в какой-то момент времени один из электронов, то принципиально невозможно определить, будет ли это электрон 1 или 2. Если две одинаковые частицы поменять местами, то результат такого обмена невозможно обнаружить экспериментально. Т.е. при перестановке частиц состояние не меняется.
Одинаковые частицы принципиально неразличимы, а о состоянии частиц можно говорить как о состоянии системы одинаковых частиц в целом. Это можно сформулировать в принцип неразличимости тождественных частиц: В системе одинаковых частиц реализуются только такие состояния, которые не меняются при перестановке местами любых двух частиц. Экспериментально тождественные частицы различить невозможно. , x – совокупность пространственных и спиновых координат. (Например, проекция спина электрона может принимать значение
- это и есть спиновая координата). Пусть состояние системы описывается волновой функцией . Переставим местами частицы. Эту операцию можно рассматривать как действие на функцию линейного оператора перестановки . Переставим рассматриваемые частицы вторично, получим исходную функцию . Отсюда , допустимы функции двух типов: - это симметричная функция – при перестановке частиц волновая функция не меняется, - это антисимметричная функция – при перестановке частиц волновая функция изменяет
знак на противоположный. Характер симметрии не зависит от времени. Частицы, состояния которых описываются симметричными волновыми функциями, называются бозонами или бозе-частицами. Эти частицы подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Частицы, состояния которых описываются антисимметричными волновыми функциями, называются фермионами. Они подчиняются статистике Ферми-Дирака.
Оказалось, что симметричные волновые функции описывают состояния микрочастиц с целым спином, а антисимметричные - состояния микрочастиц с полуцелым целым спином. Эту связь между спином и статистикой установил Паули исходя из общих принципов квантовой теории – релятивистской инвариантности, неотрицательности полной энергии, причинности т.д. К бозонам относятся фотоны, - мезоны и др. К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и т.д.
Принадлежность сложной частицы (атома, молекулы) к бозонам или фермионам определяется ее спином: если сложная частица состоит из четного числа фермионов, то сложная частица – бозон, если из нечетного числа фермионов, то она – фермион. Пусть система состоит из двух одинаковых невзаимодействующих частиц. - оператор Гамильтона всей системы, , где , -каждой из частиц, причем действует только на - координаты первой частицы, а - на - координаты второй частицы.
Уравнение Шредингера . Можно показать, что решение уравнения Шредингера можно представить в виде: , где - решение уравнения , а - решение уравнения , причем . Рентгеновские спектры. Источником рентгеновского излучения является рентгеновская трубка, в которой сильно ускоренные электрическим полем электроны бомбардируют анод, представляющий собой металлическую мишень из тяжелых металлов. При этом возникает рентгеновское излучение, представляющее собой электромагнитное
излучение с длиной волны . Волновые свойства рентгеновского излучения доказаны опытами по дифракции на кристаллических структурах. Спектр рентгеновского излучения представляет собой наложение сплошного спектра, ограниченного со стороны коротких волн некоторой границей , называемой границей сплошного спектра, и линейчатый спектр – совокупность отдельных линий, появляющихся на фоне сплошного спектра. Опыты показали, что характер сплошного спектра не зависит от материала анода, а определяется только
энергией бомбардирующих анод электронов. Сплошной спектр возникает в результате торможения электронов, бомбардирующих анод. При взаимодействии электронов с атомами анода, электроны останавливаются, испуская квант рентгеновского излучения. Поэтому сплошной спектр называют тормозным. Его спектральная интенсивность показана на рисунке. В сторону длинных волн кривая интенсивности спадает полого, асимптотически приближаясь к нулю с увеличением
длины волны. Со стороны коротких волн кривая резко обрывается. Чем больше энергия электронов, тем меньше , соответствующая границе сплошного спектра. Это объясняется квантовой теорией. Когда вся кинетическая энергия электрона переходит в энергию кванта рентгеновского излучения, выполняется условие: . , где U – разность потенциалов, ускоряющая электрон до скорости v.
Отсюда граничная длина волны: . Таким образом, коротковолновая граница не зависит от материала анода, а зависит только от напряжения на трубке. Характеристический спектр состоит из нескольких серий, обозначаемых буквами K, L, M, N, O. Каждая серия насчитывает небольшое число линий, обозначаемых в порядке возрастания частоты Спектры различных элементов имеют сходный характер. При увеличении атомного номера весь рентгеновский спектр лишь смещается в коротковолновую часть, не
меняя своей структуры. Рентгеновское характеристическое излучение возникает при переходах электронов во внутренних частях атомов. Эти части имеют общее строение, поэтому характеристический спектр сходен для различных атомов. Для того чтобы такие переходы были возможны, на внутренней оболочке атома должны быть свободные места, не занятые электронами. Такие свободные места образуются при воздействии на атом быстрых электронов, фотонов высоких энергий или других быстрых частиц.
Если вырывается один их двух электронов К-оболочки, то освободившееся место может быть занято электроном из какого-либо внешнего слоя (L, M, N ). При этом возникает К – серия. Аналогично возникают и другие серии. Серия К обязательно сопровождается другими сериями, т.к. при испускании ее линий освобождаются уровни в слоях L, M, N которые в свою очередь тоже будут заполняться электронами из более высоких слоев.
Английский физик Мозли установил в 1912 году закон, связывающий частоты линий рентгеновского спектра с атомным номером Z испускающего элемента: , так для линии : , а для линии : . Смысл константы заключается в следующем: электроны, совершающие переходы при испускании рентгеновских лучей, находятся под воздействием ядра, притяжение которого несколько ослаблено действием остальных окружающих его электронов. Это экранирующее действие и приводит к необходимости вычесть из
Z постоянную экранирования . Экранирование для К-терма будет слабее, чем для L – терма, потому что электрон, находящийся в L-оболочке, экранируют два электрона K – оболочки и остальные электроны L – оболочки, в то время как для электрона К-оболочки экранирование осуществляется только одним вторым электроном К-оболочки. Более строго частоту следовало бы писать в виде: .
Энергетические зоны в твердом теле. Валентные электроны движутся в металле не совсем свободно - на них действует периодическое поле решетки. Это обстоятельство приводит к тому, что спектр возможных значений энергии электронов распадается на ряд чередующихся разрешенных и запрещенных зон. В пределах разрешенных зон энергия изменяется квазинепрерывно. Значения энергии, принадлежащие запрещенным зонам, не могут реализоваться.
Возьмем два атома, удаленных друг от друга на большом расстоянии друг от друга так, что они не взаимодействуют. Рассмотрим, к чему качественно приводит взаимодействие этих атомов при их сближении. Для простоты заменим реальный атом одномерным гармоническим осциллятором массой m и собственной частотой колебаний . При отклонении от положения равновесия на и , осцилляторы получают потенциальные энергии и . Пока осцилляторы раздвинуты достаточно далеко, гамильтониан системы осцилляторов можно представить
в виде: , где , и . Осцилляторы ведут себя независимо друг от друга. Энергия каждого из них квантуется и равна . Энергия системы равна сумме энергий обоих осцилляторов. Ввиду тождественности осцилляторов одна и та же энергия Е может быть представлена двумя способами: либо как (здесь осциллятор I имеет энергию , а осциллятор II имеет энергию ), либо (здесь осциллятор
I имеет энергию , а осциллятор II имеет энергию ). Это означает, что энергетический уровень Е системы осцилляторов двукратно вырожден. При сближении осцилляторов начинают взаимодействовать дипольные моменты и . Потенциальная энергия взаимодействия этих диполей равна , где R – расстояние между осцилляторами. В этом случае гамильтониан системы осцилляторов
Введем так называемые нормальные координаты и : , . Тогда . . Потенциальная энергия: Таким образом, гамильтониан системы . Вид гамильтониана показывает, что в нормальных координатах и система совершает два независимых колебания с частотами и . Введение нормальных координат формально соответствует переходу к описанию движения системы осцилляторов посредством двух квазичастиц, гармонически колеблющихся с частотами и .
Металлы, диэлектрики, полупроводники в свете зонной теории. Все кристаллы делятся на металлы, диэлектрики, полупроводники. Будем сначала предполагать, что температура кристалла равна абсолютному нулю. По принципу Паули на каждом энергетическом уровне может находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами. В равновесном состоянии электронами будут заполнены самые низкие энергетические
уровни, а все вышележащие окажутся свободными. В диэлектрике валентная зона целиком заполнена электронами, а лежащая выше зона проводимости, отделенная от нее энергетической щелью значительной ширины, совсем не содержит электронов. Уровень Ферми находится в запрещенной зоне. При наложении внешнего электрического поля число энергетических уровней остается тем же, энергетические уровни лишь незначительно смещаются, что проявляется в поляризации.
И после наложения внешнего электрического поля зона остается полностью заполненной. Электрический ток есть движение электронов, при котором они непрерывно переходят из одного состояния в другое. А это невозможно, если все уровни в валентной зоне заняты электронами. Для появления тока в валентной зоне надо создать свободные уровни, перебросив электроны в зону проводимости. Слабое электрическое поле этого сделать не может.
В сильном поле возникает пробой. В металлах валентная зона заполнена электронами целиком, а зона проводимости лишь частично. Не имеет значения, есть ли щель между валентной зоной и зоной проводимостью. Уровень Ферми лежит в зоне проводимости. При наложении внешнего электрического поля квантовые состояния внутри зоны слегка изменяются, однако состояния, незанятые электронами остаются, и у электронов есть возможность переходить в такие состояния. Переход, связанный с движением электрона в направлении поля
Е, т.е. против действующей на него силы, сопровождается увеличением энергии кристалла. Переход, связанный с движением электрона против поля, уменьшает энергию кристалла, поэтому такие переходы более вероятны и будут преобладать. Т.о. возникает ток, связанный с движением электронов против внешнего поля. Переносимые заряды, если бы они не убирались от границ кристалла, создали бы электрическое поле, противоположное внешнему. В результате ток, в конце концов, прекратился бы.
Различают собственные и примесные полупроводники. В полупроводниках валентная зона полностью заполнена электронами, а зона проводимости полностью свободна. Уровень Ферми находится в запрещенной зоне. Однако эта зона в полупроводниках значительно уже, чем в диэлектриках. При абсолютном нуле это не играет роли, т.к. переход электрона из валентной зоны в зону проводимости невозможен. Но при , электрон может получить от иона кристаллической решетки энергию порядка
и перейти в зону проводимости. Такой переход может произойти и при освещении полупроводника. Под действием внешнего электрического поля электроны в зоне проводимости могут переходить из состояния в состояние, т.е. возникает ток. Это электронный механизм проводимости в полупроводниках. Но существует и другой – дырочный. Электрон, ушедший из валентной зоны, оставляет в ней незаполненное состояние, называемое дыркой. Другой электрон валентной зоны получает возможности перейти в это незаполненное
состояние. При этом в валентной зоне создается новая дырка и т.д. Под действием внешнего электрического поля электроны валентной зоны начинают двигаться. Вместе с движением электрона, происходит и движение дырки, но в противоположном направлении. Примесь сильно повышают проводимость полупроводника. В запрещенной зоне они создают добавочные энергетические уровни.
Допустим, что такой уровень расположен вблизи края зоны проводимости (такие примеси называются донорами). Тогда вероятность перехода электронов с таких уровней в зону проводимости при ненулевой температуре увеличивается. Следовательно, концентрация электронов в зоне проводимости и проводимость также увеличиваются. Это полупроводники n-типа. Если добавочный уровень – акцепторный - находится вблизи края валентной зоны, то вероятность перехода электронов из валентной зоны на акцепторный уровень при ненулевой температуре
увеличивается и в валентной зоне образуются дырки. Проводимость полупроводника увеличивается. Такая проводимость называется дырочной, а полупроводник p-типа. С повышением температуры увеличивается проводимость полупроводников. Для чистых полупроводников с ростом температуры тепловое движение облегчает переход через узкую запрещенную щель. При наличии примесей возрастает вероятность переходов на акцепторные уровни, и с донорных в зону
проводимости. При повышении температуры уровень Ферми у полупроводников n – и р- типа смещается к середине зоны. Поэтому дырочная и электронная проводимость с ростом температуры возрастает. В металлах концентрация электронов не зависит от температуры. Проводимость определяется длиной свободного пробега. В бесконечной идеальной кристаллической решетке без примесей и дефектов, плоская волна де
Бройля, соответствующая движению электронов, распространялась бы без затухания и рассеяния. Проводимость такого кристалла была бы бесконечной. В действительности свободный пробег ограничен дефектами кристаллической решетки и тепловыми флуктуациями, которые возрастают с температурой, уменьшая длину свободного пробега электрона. Поэтому проводимость чистых металлов уменьшается с повышением температуры.
Заряд, размеры и состав атомного ядра. Массовое и зарядовое число. Ядро состоит из протонов и нейтронов – это нуклоны. Заряд протона . . В атоме находится Z протонов, где Z – порядковый номер элемента в периодической системе элементов Менделеева. Заряд ядра Ze. Z – зарядовое число. Атом электрически нейтрален.
Число электронов в атоме равно числу протонов, а от количества электронов зависят физические и химические свойства элемента. Поэтому Число протонов в ядре определяет специфику химического элемента. Заряд нейтрона равен нулю. . Ядро , где - массовое число, Z – число протонов, N – число нейтронов. Если , то такие ядра называются изотопами. Например, - протий, - дейтерий, - тритий. Если , то такие ядра называются изобары.
Например, . Радиус ядра . Объем ядра . Энергия связи и масса ядра. Спин и магнитный момент. Энергия связи – это та энергия, которую необходимо затратить для расщепления ядра на нуклоны. Масса ядра меньше суммы масс составляющих его частиц. Эта разность называется дефектом массы ядра: . Удельная энергия связи – это энергия, приходящаяся на 1 нуклон. Она зависит от массового числа и определяет устойчивость атомного ядра, т.е. чем больше , тем
устойчивее ядро. Из рисунка видно, что наиболее устойчивыми являются ядра из средней части таблицы Менделеева. Тяжелые и легкие наименее устойчивы. Поэтому выгодны процессы: деление тяжелых на более легкие и слияние легких друг с другом в более тяжелые. При обоих процессах выделяется большое количество энергии. Наиболее устойчивыми являются магические ядра, у которых число протонов или число нейтронов равно одному
из чисел 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Особенно стабильны дважды магические ядра, у которых магическими являются и число протонов, и число нейтронов. Ядро имеет спин. Он квантуется , где I – спиновое ядерное квантовое число. . Если А четное , то I – целое, если А – нечетное, то I – полуцелое. Ядро обладает магнитным моментом , где - гиромагнитное отношение ядерных моментов.
Ядерный магнетон . Взаимодействие магнитного момента ядра со спиновым и орбитальным магнитными моментами электронов в магнитном поле обуславливает расщепление энергетических уровней и спектральных линий, т.е. сверхтонкую структуру. Ядерные силы. Модели ядра. Ядерные силы, т.е. силы взаимодействия между нуклонами, не сводятся к гравитационным, электрическим и магнитным взаимодействиям. Они относятся к классу так называемых сильных взаимодействий.
Свойства ядерных сил: 1. ядерные силы имеют характер притяжения 2. они короткодействующие ( ) 3. это зарядово-независимые силы, т.е. действующие между рр, р и n, nn , они одинаковы по величине 4. обладают свойством насыщения: каждый нуклон взаимодействует с определенным числом нуклонов 5. зависят от взаимной ориентации спинов взаимодействующих нуклонов 6. не являются центральными Моделей ядра много, каждая из которых описывает вполне определенные свойства ядра, но единой модели
нет, т.к. 1. сложный характер ядерных сил 2. невозможность решения уравнения Шредингера для большого числа частиц, из которых состоит ядро. Капельная модель ядра. Капельная модель ядра основана на аналогии между поведением нуклонов в ядре и молекул в капле жидкости: 1. силы между молекулами в капле жидкости и силы взаимодействия между нуклонами являются короткодействующими 2. в обоих случаях есть тенденция насыщения 3. плотность капли и плотность
вещества ядра – постоянные величины. 4. Объем прямо пропорционален числу частиц. В капельной модели ядро трактуется как электрически заряженная несжимаемая жидкость, подчиняющаяся законам квантовой механики. Эта модель объяснила ряд фактов: характер ядерных реакций, реакцию деления, энергию связи в ядре. Но она не объяснила повышенную устойчивость ядер, содержащих магические числа протонов и нейтронов. Оболочечная модель ядра. Оболочечная модель предполагает, что нуклоны в ядре располагаются
на ядерных уровнях, согласно принципу Паули. Устойчивость ядер зависит от степени заполнения ядерных уровней. Наиболее устойчивыми являются ядра с полностью заполненными оболочками. Эта модель объяснила спины и магнитные моменты ядер, устойчивость и периодичность свойств ядер. Но с появлением новых экспериментальных данных новые свойства не укладываются в старые модели. Сверхпроводимость. При температуре порядка нескольких
Кельвин электрическое сопротивление ряда металлов и сплавов скачком обращается в нуль. Вещество переходит в сверхпроводящее состояние. Температура, при которой вещество переходит в сверхпроводящее состояние, называется критической температурой. Кроме отсутствия сопротивления для сверхпроводящего состояния характерно то, что магнитное поле не проникает в толщу сверхпроводника. При помещении в магнитное поле образец в сверхпроводящем состоянии выталкивается из магнитного поля
и магнитная индукция в образце обращается в нуль. Это эффект Мейсснера. Вещества с называются диамагнетиками. Поэтому сверхпроводник является идеальным диамагнетиком. Сверхпроводящее состояние может быть нарушено: 1. Повышением температуры выше критической. 2. Магнитным полем. Значение индукции магнитного поля, при котором разрушается сверхпроводящее состояние, называется критическим
полем . Если усиливать ток в сверхпроводнике, то при так называемом критическом токе, который создает критическое магнитное поле, сверхпроводящее состояние нарушается. Теория сверхпроводимости была создана в 1957 году Бардиным, Купером, Шриффером (БКШ). Состоит она в следующем. Электрон, движущийся в металле деформирует, (поляризует) состоящую из положительных ионов кристаллическую
решетку. В результате этой деформации облако положительного заряда, как бы окружающее электрон, перемещается по решетке вместе с электроном. Электрон и положительно заряженное облако вокруг него представляют собой положительно заряженную систему, к которой притягивается другой электрон. Т.о. посредством ионной решетки два электрона притягиваются друг к другу, образуя, так называемую куперовскую пару. На квантово-механическом языке притяжение между электронами объясняется обменом между электронами
фононами. Электрон, движущийся в металле, нарушает режим колебаний решетки, т.е. возбуждает фонон. Энергия возбуждения предается другому электрону, который поглощает фонон. Возникает притяжение электронов. Суммарный заряд куперовской пары ( ). В куперовские пары объединяются не все электроны. При повышении температуры и приближении к , доля нормальных электронов становится все больше и больше,
и при сверхпроводник переходит в нормальное состояние. Электроны, входящие в куперовскую пару, имеют противоположные спины. Поэтому спин пары равен нулю, и она является бозоном. Бозоны склонны накапливаться в основном энергетическом состоянии, и остаются в этом состоянии неограниченно долго. Расстояние между электронами в паре велико.
Примерно пар перекрываются. Образование куперовских пар приводит к перестройке энергетического спектра металла. Для возбуждения электронной системы, находящейся в сверхпроводящем состоянии, т.е. в основном состоянии, надо хотя бы один электрон перевести в возбужденное состояние, т.е. надо разрушить хотя бы одну пару, на что требуется энергия связи электронов в паре. Эта энергия представляет собой минимальное количество энергии, которое может принять система электронов
сверхпроводника. Следовательно, в энергетическом спектре электронов в сверхпроводящем состоянии имеется энергетическая щель шириной , расположенная вблизи уровня Ферми. При малых скоростях (при силе тока, меньшего критического) электронная система не возбуждается, а это означает, что движение происходит без трения, т.е. без сопротивления. Ширина энергетической щели уменьшается с ростом температуры, обращаясь в нуль при критической температуре.
При этом все куперовские пары разрушаются, и вещество переходит в нормальное состояние. Электрический ток в сверхпроводящем массивном кольце может существовать неограниченно долго. Чтобы создать такой ток надо поместить кольцо при температуре во внешнее магнитное поле, перпендикулярное плоскости кольца. Затем перевести кольцо в сверхпроводящее состояние и выключить магнитное поле. По закону Фарадея в кольце индуцируется ток, который уже не затухает, и в кольце замораживается магнитный
поток. Опыты показали, что величина потока может принимать только дискретные значения. Квант магнитного потока . Стационарный эффект Джозефсона. Слабая связь – это слабое касание двух сверхпроводников на малой площади, тонкопленочное сужение, туннельный переход из изолятора. Если сверхток достаточно слабый, то он проходит через слабую связь без сопротивления, даже если слабая связь сделана из изолятора. Здесь проявляется согласованное когерентное поведение
электронов. Электроны двух проводников объединились в единый квантовый коллектив. Волновая функция электронов с одной стороны слабой связи, проникнув через слабую связь, интерферирует с «местной» волновой функцией, и все электроны с обоих сторон стали описываться единой волновой функцией. Нестационарный эффект Джозефсона. Увеличим постоянный ток через слабую связь настолько, что на ней появилось некоторое электрическое напряжение. Это напряжение кроме некоторой постоянной составляющей
будет иметь еще и переменную составляющую, осциллирующую с угловой частотой : . Движение каждой квазичастицы описывает не движение отдельного осциллятора, а обоих осцилляторов вместе. Общее движение всей системы складывается из наложения движений обеих квазичастиц. Энергия первой квазичастицы , энергия второй , причем оба эти уровня не вырождены. Таким образом, в результате взаимодействия происходит расщепление двукратно вырожденного энергетического
уровня на два с частотами и . Теперь возьмем большое количество атомов, удаленных друг от друга на большое расстояние. В этом случае атомы не взаимодействуют. Каждому атому соответствуют определенные энергетические уровни. Система из N атомов будет иметь те же уровни, но N – кратно вырожденные. Начнем теперь непрерывно сближать атомы. Появляется взаимодействие между ними (волновые функции отдельных
атомов перекрываются). Энергетические уровни системы атомов расщепляются на N уровней, образуя энергетическую зону. В этом процессе расщепления участвуют в основном валентные электроны (электроны наружных оболочек), волновые функции которых сильно перекрываются. На внутренних электронах, волновые функции которых перекрываются незначительно, это взаимодействие сказывается слабее. Поэтому глубоко расположенные уровни порождают очень узкие полосы, а высоко расположенные
уровни валентных электронов образуют широкие зоны. Из-за необычайно большого числа уровней, на которые расщепляются энергетические уровни отдельных атомов, энергия кристалла в пределах каждой зона меняется практически непрерывно. Соседние зоны могут быть разделены промежутками конечной ширины. Энергия кристалла не может принимать значения, лежащие в этих промежутках.
Они называются запрещенными зонами. Все остальные называются разрешенными. Соседние зоны могут вплотную примыкать друг к другу или даже перекрываться. Крайняя зона, которой соответствуют наивысшие уровни энергии, называется зоной проводимости. Боле глубоко лежащие зоны называются валентными зонами. Модель почти свободных электронов. Зонную структуру энергетического спектра можно получить при решении
уравнения Шредингера. Состояние кристалла можно приближенно описать одночастичными волновыми функциями каждого электрона. Каждая такая функция зависит от координат одного электрона, который находится в периодическом силовом поле, создаваемом атомными ядрами и остальными электронами кристалла. Ядра при этом считаются неподвижными. Потенциальное силовое поле, в котором находится электрон, не задано, а само зависит от состояний электронов. Такое поле называется самосогласованным.
Уравнение Шредингера для электрона, движущегося в периодическом силовом поле, создаваемом решеткой кристалла, имеет вид: , где U обладает свойством: , где - периоды решеток вдоль осей x, y, z. Блох доказал, что решение уравнения Шредингера с периодическим потенциалом имеет вид , где - функция, имеющая периодичность потенциала, т.е. периодичность решетки. Эти решения называются функциями Блоха. Рассмотрим распространение плоской электронной волны де
Бройля в одномерной цепочке атомов. Эта волна может отражаться от ионов. Обозначим разность фаз между волной, отраженной от n – ого атома, и волной отраженной от соседнего n + 1 – ого или n -1 – ого атома . Связь разности фаз с оптической разностью хода определяется выражением: . Интенсивность максимальна, когда . Минимальная оптическая разность хода . Следовательно, , т.е. на границе зоны Бриллюэна. В этом случае решение уравнения
Шредингера будет представлено стоячей волной. При мы имеем два независимых решения, описывающих стоячие волны: , . , . , , т.е. на границе зоны Бриллюэна Энергия терпит разрыв и образуется запрещенная зона энергии. Вынужденное излучение. Лазеры. Мы рассматривали только два вида переходов. Спонтанные (самопроизвольные) переходы происходят с более высоких на более низкие уровни и сопровождаются испусканием фотона. Т.к. спонтанные переходы взаимно не связаны, то спонтанное излучение некогерентно.
Вынужденные переходы происходят под воздействием внешнего излучения с более низких на более высокие уровни. Но как заметил Эйнштейн, этих двух видов переходов не достаточно, чтобы объяснить равновесное излучение, поскольку спонтанные переходы зависят только от свойств атомов, а вероятность поглощательных переходов зависит как от атомов, так и от интенсивности излучения. Для возможности установления равновесия при произвольной интенсивности падающего излучения, необходимо
существование вынужденных испускательных переходов, вероятность которых зависит от интенсивности падающего излучения. Если на атом, находящийся в возбужденном состоянии, действует внешнее излучение с частотой , то возникает вынужденный переход в основное состояние с излучение фотона той же частоты . Т.е. происходит излучение атомом фотона дополнительно к тому фотону, под действием которого произошел переход. Вынужденное излучение обладает очень важным свойством.
Направление его распространения в точности совпадает с направлением распространения внешнего излучения, вызвавшего этот переход. Тоже можно сказать относительно частоты, фазы и поляризации вынужденного и вынуждающего излучений. Поэтому вынужденное и вынуждающее излучение строго когерентно. Таким образом, воздействующий на вещество свет частоты w, совпадающий с одной из частот атомов вещества будет вызывать два процесса: 1) вынужденный переход , и 2) вынужденный переход .
Первый процесс приводит испусканию света, второй к поглощению. Результирующее изменение интенсивности светового пучка зависит от того, какой из двух процессов преобладает. Для того чтобы получить усиление падающей волны, нужно сделать так, чтобы в состоянии с большей энергией (в возбужденном состоянии) находилось большее число атомов, чем в состоянии с меньшей энергией . Такое состояние системы называется состоянием с инверсной населенностью.
В веществе с инверсной населенностью энергетических уровней вынужденное излучение может превысить поглощение атомами, вследствие чего падающий пучок света при прохождении через вещество будет усиливаться. Явление протекает так, как если бы коэффициент поглощения в законе Бугера стал бы отрицательным. Поэтому активную среду (с инверсной населенностью) можно рассматривать как среду с отрицательным коэффициентом поглощения.
Создание лазера стало возможным после того, как были найдены способы осуществления инверсной населенности уровней в некоторых веществах. В первом лазере рабочим телом был розовый рубин. Рубин представляет собой оксид алюминия ( ) в котором некоторые атомы алюминия замещены ионами хрома (3% для розового рубина). Рубин освещается импульсной ксеноновой лампой, которая дает свет с широкой полосой частот. При достаточной мощности лампы большинство ионов хрома переводится в возбужденное состояние.
Процесс сообщения рабочему телу лазера энергии называется накачкой. При поглощении света ионы хрома переходят в возбужденное состояние. Вероятность спонтанного обратного перехода мала. Обратный переход происходит в два этапа. На первом этапе возбужденные ионы отдают часть своей энергии кристаллической решетке и переходят в метастабильное состояние. Переход их метастабильного состояния в основное запрещен правилами отбора.
Поэтому среднее время жизни иона в метастабильном состоянии ( ) в раз больше времени жизни в основном состоянии. На втором этапе ионы переходят их метастабильного состояния в основное с испусканием фотона. Излученный при этом фотон может вызвать вынужденное излучение, которые, в свою очередь, тоже вызывают вынужденное излучение. Под действием фотонов той же частоты, т.е. при вынужденном излучении, переход в основное состояние происходит значительно быстрее, чем при спонтанном переходе.
Возникает лавина когерентных фотонов. Фотоны, движущиеся почти вдоль оси кристалла, испытывают многократные столкновения от зеркал, параллельных или вогнутых, находящихся на одной оптической оси (это оптический резонатор) и многократно проходят через активную среду, вызывая новую лавину фотонов. Фотоны, спонтанно испущенные в других направлениях, выходят из кристалла через его боковую поверхность. Зеркала изготовляют так, что от одного из них излучение полностью отражается, а второе полупрозрачно.
Когда пучок становится достаточно интенсивным, часть его выходит через полупрозрачное зеркало. Основные особенности лазерного излучения: 1. Строгая монохроматичность, 2. Высокая временная и пространственная когерентность, 3. Большая интенсивность, 4. Узость пучка. По типу активной среды лазеры бывают: твердотельные, газовые, жидкостные. По методу накачки: оптические, тепловые, химические, электроионизационные
По режиму генерации: непрерывный и импульсный. В силу тождественности частиц функция также является решением уравнения Шредингера. Но ни одна из этих функций не удовлетворяет принципу симметрии или антисимметрии. Но из этих функций можно составить комбинации, являющиеся решениями уравнения Шредингера: Симметрична функция Антисимметричная функция Фермионы описываются антисимметричными функциями. Исходя из последней формулы, можно сказать, что в
системе одинаковых фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же состоянии, поскольку тогда и волновая функция будет равна нулю. Таким образом, принцип Паули: В системе тождественных фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же состоянии. Первоначально Паули сформулировал свой принцип: в атоме не может быть двух электронов, характеризующихся одинаковой четверкой квантовых чисел. Принцип Паули сформулирован для невзаимодействующих частиц.
Но он оказался плодотворным для обоснования периодической системы элементов. Что касается бозонов, то на их состояния принцип симметрии волновых функций не накладывает ни каких ограничений. В одном и том же состоянии может находиться любое число одинаковых бозонов. Это следует из вида волновой функции. Распределение электронов по энергетическим уровням атома. Периодическая система элементов Менделеева. Электроны относятся к фермионам.
Заполнение электронами оболочки происходит согласно принципу Паули. Он помогает объяснить периодическую систему элементов Менделеева. Главное квантовое число определяет оболочку атома (или слой). Если: n = 1 - К –оболочка, n = 2 - L –оболочка, n = 3 - M –оболочка, n = 4 - N–оболочка, n = 5 - O –оболочка.
В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим данному орбитальному квантовому числу . Поскольку , то число подоболочек – n. Количество электронов на подоболочке определяется магнитным квантовым числом и магнитным спиновым числом . Всего 110 электронов. В периодической системе элементов Менделеева можно точно говорить о 103 электронов. При возрастании
Z на единицу, на единицу увеличивается заряд ядра, а к электронной оболочке атома добавляется один электрон. Вновь получившаяся конфигурация должна обладать наименьшей из всех возможных энергией. Казалось бы, что оболочки должны заполняться последовательно друг за другом, а внутренние оболочки целиком заполнены. Однако это не согласуется с принципом наименьшей энергии. Электрон обладает моментом импульса . Энергия связи зависит не только от его потенциальной энергии
в электрическом поле ядра и окружающих его электронов оболочки, но и от кинетической энергии вращения . Эта центробежная сила как бы стремиться отдалить электрон от ядра. Поэтому каждый из 10 электронов 3d оболочки обладает меньшей энергией связи, чем каждый из двух электронов 4s оболочки. Именно поэтому заполняется сначала 4s, а затем 3d оболочка, хотя главное квантовое число во втором случае меньше, чем в первом. Особенно велика «центробежная энергия» в случае d и f – оболочек,
т.к. l(l+1)=6 для d оболочки и l(l+1)=12 для fоболочки. Внутри d оболочки заполнение происходит следующим образом: Оптический спектр – совокупность частот возможных переходов. Любому переходу соответствует своя спектральная линия. При каждом переходе должно выполняться правила отбора .
Если переход осуществляется с более удаленной оболочки на менее удаленную, то получается спектр испускания, в противном случае – спектр поглощения. Радиоактивное излучение и его виды. Закон радиоактивного распада. Правило смещения. Беккерель исследовал люминесценцию солей урана и обнаружил неизвестное излучение, которое действовало на фото пластинку, ионизировало воздух и проходило сквозь тонкие металлические пластинки. М. и П. Кюри, исследуя радий и полоний, обнаружили излучение, которое
было названо радиоактивным излучением. Радиоактивность – спонтанное превращение одних ядер в другие с испусканием различных видов радиоактивных излучений и элементарных частиц. Радиоактивность бывает естественной (наблюдается у изотопов, существующих в природе) и искусственной (наблюдается у изотопов, полученных в ядерных реакциях). Распадающееся ядро называется материнским, получающееся ядро – дочерним.
Радиоактивный распад – это естественное превращение одних ядер в другие, происходящее самопроизвольно. Отдельные радиоактивные ядра претерпевают превращение независимо друг от друга. Число ядер , распавшихся в среднем за интервал времени от t до t +dt, пропорционально промежутку времени dt и числу N нераспавшихся ядер к моменту времени t: , где - постоянная радиоактивного распада, знак минус показывает, что в процессе распада общее число радиоактивных ядер убывает. ,
N – число нераспавшихся ядер к моменту времени t. - это закон радиоактивного распада: Число нераспавшихся ядер убывает с течением времени по экспоненциальному закону. Период полураспада – это время, за которое число радиоактивных ядер уменьшилось вдвое. Суммарная продолжительность жизни ядер равна . Среднее время жизни одного радиоактивного ядра есть . Радиоактивный распад происходит в соответствии с так называемыми правилами смещения, которые являются
следствиями закона сохранения заряда и массового числа. Существует три типа излучения - распад, - распад и -излучение. Экспериментально было обнаружено, что под действием магнитного поля - лучи отклоняются как положительно заряженные частицы, - лучи отклоняются как отрицательно заряженные частицы, а - лучи никак не реагируют на магнитное поле. Согласно правилам смещения - распад, - распад можно представить:
Особенности - распада. -частица – это атом гелия . Энергии -частиц . При - распаде данного радиоактивного вещества испускается несколько групп частиц в пределах каждой группы их энергии практически постоянны. Это свидетельствует о том, что атомные ядра обладают дискретными уровнями энергии, а дочернее ядро может возникать не только в нормальном состоянии. - частица образуются в момент радиоактивного распада
при встречи движущихся внутри ядра двух протонов и двух нейтронов. Закон Гейгера-Нэттола , , - пробег - частицы – расстояние, проходимое частицей до ее полной остановки, т.е. чем меньше , тем больше пробег - частицы и тем больше энергия частицы. Опыты Резерфорда по рассеиванию - частиц на ядрах урана показали, что ядро окружено потенциальным барьером высотой 8.8 МэВ. -частицы с энергией 4,2 МэВ, испускаемые ураном, могут пройти сквозь потенциальный
барьер. Ядерные реакции и их основные типы. Ядерной реакцией называется процесс сильного взаимодействия атомного ядра с элементарной частицей или с другим ядром, приводящий к преобразованию ядра. Наиболее распространенным видом ядерной реакции является реакция типа , где - легкие частицы – нейтрон, протон, -частица, -квант. Реакции, вызываемые не очень быстрыми частицами, протекают в два этапа. На первом этапе частицы, приблизившиеся к ядру, захватываются им, образуя промежуточное ядро – компаунд-
ядро. Энергия, привнесенная частицей, перераспределяется между нуклонами, и ядро оказывается в возбужденном состоянии. На втором этапе ядро испускает частицу . . Если , то это не ядерная реакция, а процесс рассеяния. Если - упругое рассеяние, если - неупругое рассеяние. Реакции, вызываемые быстрыми нуклонами, происходят без образования промежуточного ядра – это прямые
ядерные взаимодействия. Реакции делятся: 1. по роду участвующих в ядерных реакциях частиц. 2. По энергии участвующих частиц (холодные, горячие) 3. По роду ядер, участвующих в реакции (легкие, средние, тяжелые) 4. По характеру продуктов, получаемых в результате реакции (элементарные частицы, протоны, нейтроны) Реакции деления ядер. В 1938 году Ган и Штрассман обнаружили, что при облучении урана нейтронами образуются
элементы из середины периодической системы. Реакция характеризуется выделением большого количества энергии. Впоследствии было выяснено, что захватившее нейтрон ядро может делиться разными путями. Продукты деления называются осколками. Наиболее вероятным является деление на осколки, массы которых относятся как : -церий - стабилен -цирконий – стабилен. Ядро урана делится только быстрыми нейтронами. При меньших энергиях нейтроны поглощаются, и ядро переходит
в возбужденное состояние – это радиационный захват. Нейтроны, которые, образуются в результате деления урана, могут вызвать еще реакцию, и т.д. – это цепная ядерная реакция. Коэффициент размножения нейтронов – это отношение числа нейтронов в данном поколении к числу нейтронов в предыдущем поколении. Цепная реакция идет при . Из-за конечных размеров делящегося тела и большой проникающей способности, многие нейтроны покидают
зону реакции до того как будут захвачены ядром. Если масса делящегося урана меньше некоторой критической, то большинство нейтронов вылетают наружу и цепная реакция не происходит. Если масса больше критической, нейтроны быстро размножаются, и реакция имеет характер взрыва (на этом основано действие атомной бомбы). В реакторах регулируют критическую массу, поглощая лишние нейтроны кадмиевыми и угольными стержнями. Слияние легких ядер в более тяжелые – это реакция синтеза.
Если реакция происходит при высоких температурах – это термоядерная реакция. Термоядерная реакция является, по-видимому, одним из источников энергии Солнца и звезд. Типы взаимодействия элементарных частиц. Развитие физики элементарных частиц связано с изучением космических лучей. Существует 2 типа космического излучения: первичное, приходящее из космоса и состоящее в основном из
высокоэнергетичных протонов, и вторичное, которое образуется в результате взаимодействия первичных космических лучей с ядрами атомов земной атмосферы. Во вторичном излучении выделяют жесткую и мягкую компоненты. Существует 4 типа взаимодействия: 1. Сильное (ядерное). Оно ответственно за процессы в ядрах между нуклонами. 2. Электромагнитное (присуще всем заряженным частицам).
Оно не характерно для процессов, в которых участвуют , и -кванты. 3. Слабое взаимодействие. Оно ответственно за процессы, происходящие с участием и . 4. Гравитационное взаимодействие. Оно пренебрежимо мало для объектов микромира. Сильное взаимодействие в 100 раз больше, чем электромагнитное, и в 1014 раз, чем слабое. Радиус действия сильного 10-15 м, слабого 10-19 м.
Частицы и античастицы. Существует принцип зарядового сопряжения: каждой частице соответствует античастица. В настоящее время только 3 частицы не имеют античастиц: -мезон, Частицы и античастицы имеют: 1. одинаковую массу. 2. Одинаковое время жизни в вакууме. 3. Равные по модулю и противоположные по знаку заряды. 4. Одинаковые другие квантовые числа. Нейтрино и антинейтрино отличаются спиральностью, определяемой
как проекция спина на направление ее движения: у нейтрино спин ориентирован антипараллельно импульсу и нейтрино обладает левой спиральностью, а у антинейтрино спин ориентирован по импульсу и он обладает правой спиральностью. Классификация элементарных частиц. Элементарные частицы делятся на три группы: 1. Фотоны. В нее входят только фотоны. 2. Лептоны. Это - электрон, -мюон, -таон, электронное, мюонное, таонное
нейтрино , , и соответствующие античастицы. Спин всех частиц ½. , . . 3. Адроны – протоны, нейтроны, -мезон (пионы), -мезон, гипероны ( ): . , , . Исследуя свойства гиперонов, были получены некоторые парадоксальные факты: 1. Теория предсказывала время жизни гиперона на 10 порядков меньше опытного. 2.Гиперон всегда рождается вместе с К- мезоном. Все эти особенности были объяснены введением нового
квантового числа S – странность, которое для каонов равно +1, для гиперонов –1. Мезоны, нуклоны S=0. Четность - квантовая характеристика элементарных частиц. Характеризует симметрию волновой функции относительно зеркального отражения. Если в.ф. не меняет знак, то P=+1, если меняет, то Р=-1. Закон сохранения четности: четность состояния не изменяется при всех превращениях.
I- изотопический спин (к рассмотренному ранее спину никакого отношения не имеет). Он определяет число частиц, похожих по массе: n = 2I + 1 , n – число изотопов: - изотопический мультиплет. Частицам, относящимся к лептонам, приписывают лептонный заряд: L=+1 для лептонов, и L=-1 для антилептонов, L=0 для остальных частиц. Закон сохранения лептонного заряда: в замкнутой системе при всех процессах лептонное число сохраняется.
Поэтому в распаде испускаются электрон (L=+1) и антинейтрино (L= - 1). Барионам приписывают барионный заряд В=+1, антибарионы В=-1. Адроны с В=0 – мезоны, для всех остальных частиц В=0. Если процессы взаимопревращаемости обусловлены сильными взаимодействиями, то выполняются все законы сохранения: энергии, импульса, момента импульса, электрического, лептонного, барионного зарядов, изоспина,
странности, четности. В процессах, обусловленных слабыми взаимодействиями, не сохраняются только изоспин, странность, и четность. Кварки. Хочется найти фундаментальные частицы, с помощью которых можно сконструировать элементарные частицы. Кварки имеют дробный заряд и дробный барионный заряд. Оказалось, что все адроны можно сконструировать из 3-х кварков и соответствующих антикварков. , , , , - не удовлетворяет принципу Паули. Чтобы выполнялся принцип
Паули, ввели квантовое число – цвет: голубой, красный, зеленый. В 1974 г. Был найден джей-пси-гиперон с массой . Ввели 4-ый кварк – с. В 1979 г. открыт сверхтяжелый гиперон . Ввели 5-ый кварк b- кварк – прелесть. Полагают, что существует и шестой кварк t – истина (должна существовать симметрия 6 лептонов – 6 кварков) Особенности - распада. Существует три разновидности - распада, в результате которого одно ядро превращается
в другое 1. С испусканием электрона 2. С испусканием позитрона 3 ядро поглощает один из электронов К-оболочки – это е-захват (или К-захват). Возникает три вопроса: 1. Из ядра вылетает электрон, а откуда он взялся, если в ядре его нет 2. Эксперимент показывает, что энергетический спектр вылетевших электронов непрерывен. Но материнское и дочернее ядра имеют определенные массы, поэтому и электрон должен вылетать с определенной
энергией . При все процессы должны происходить с нарушениями законов сохранения. 3. Массовое число при - распаде не изменяется, т.е. спин ядра не изменяется, но вылетает электрон, имеющий спин , т.е. спин не сохраняется. Эти противоречия привели Паули к гипотезе о том, что при - распаде вместе с электроном испускается нейтральная частица антинейтрино, имеющая спин , . Вылет нейтрино позволил объяснить непрерывность энергетического спектра.
Энергия распределяется между электроном и антинейтрино. Если , то вся энергия уносится электроном. В ядре могут произойти следующее превращение - - распад - - распад - e – захват – доказательство – наличие рентгеновского характеристического спектра. -излучение. -излучение – это электромагнитное излучение малой длины волны. Оно не является самостоятельным видом радиоактивности, а сопровождает и распад, ядерные реакции, т.
к. дочернее ядро всегда оказывается в возбужденном состоянии. Дискретность -спектра – доказательство дискретности энергетических состояний ядра. Движение свободной частицы Свободная частица это частица которая движется в отсутствии потенциальных полей. Уравнение Шредингера имеет два решения Первое решение - плоская волна де Бройля по оси x Второе решение - против оси x Полное решение вероятность обнаружить частицу в любом
месте пространства одинаково поскольку никаких ограничений на k при решение уравнения Шредингера не было сделано то Энергия принимает любое значение. Т.е энергетической спектр непрерывен Движение частицы в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками. Или в потенциальной яме Если частица находится в ящике - вырваться не может. , Запишем уравнение Шредингера в общем видя для стационарного состотяния
Первая волна по оси X Де Бройля. Отраженная - против x Де Бройля. При суперпозиции возникают стоячие волн, при некоторых значения энергии Представим решение уравнения Шредингера в действительной форме Равно нулю когда действительный и мнимые части равно Нулю Найти коэффициенты С1 С2 можно найти из граничных условий.
Волновая функция непрерывна поэтому Потенциальный барьер бесконечной ширины Поведение частицы в случае классической механике 1) когда E<U0 частица x сталкивается с барьером и отскакивает от него 2) E>U0 В области 1 частица со скорость V1 U0=0 В области 2 кинетическая энергия частицы T=MV22/2 = E-U0. V2<V1.Частица продолжает двигаться, но с меньшей скоростью
Поведение частицы в случае квантовой механике Поскольку волновая функция непрерывна. Поэтому в первой области должна существовать отраженная волна а во второй области прошедшая волна. Решение Пси функция определена с точностью до константы. Поэтому можно волновые функции перенормировать разделив левые и правые части на А1. Чтобы не пере обозначать коэффициенты можно положить
А1=1 Коэффициенты В1 и А2 определяются из области непрерывности и её первой производной. Определение коэффициентов отражения и прозрачности R – Коэффициент отражение – называется плотность отраженных частиц к плотности потоков падающих частиц D – Коэффициент прошедших – прозрачности плотность потока прошедших частиц к плотности потока падающих частиц Поскольку вероятность что частица где-то находится после столкновения в пространстве то
R+D=1 Потенциальный барьер конечной ширины. Туннельный Эффект. Поведение классической частице 1)E>U0 В области 1 частица движется свободно от кинетических полей В области 2 Проходя над барьером скорость уменьшается 2)E<U0 Отражается от барьера. T2 = E-U0.<1 Кинетическая энергия не может быть отрицательной Поведение квантовой частицы или микрочастицы Решение уравнения
Шредингера Положим А1=1 То все остальные коэффициенты определяются из граничных условия. Т.е являются непрерывными функциями D= отношение плотности потока прошедших частиц к области потока падающих частиц если барьер не прямоугольной формы то его можно разбить на бесконечно тонкие полоски dx и проинтегрировать При E<U0 есть ненулевая вероятность проникнуть в область 3. Явление это называется туннелирование. Решим уравнение
Шредингера E>U0 Частица Проходит над барьером но над барьером её скорость меньше Микрочастица даже при U0 есть ненулевая вероятность отразится как от одной границе барьера так и от другой. Т.е как бы чувствует барьер. подставим К2 в А3 можно показать что функция слабло меняется в интервале от 4 Анализ определения частицы в зависимости от E и U0 1)E>=U0
В квантовой механике решение 1 показывает что есть вероятность что частица отразится от не потенциального барьера К1 и К2 положительные. то можно написать 2)E<U0 К1 - действительное число. К2 мнимое та как E-U0<0 поскольку пси 2 отлична от 0, то при U0=0 то есть вероятность попадания в область потенциального барьера чем дальше от барьера то меньше вероятность попадания частицы. Таким образом, волна проникает во вторую область не смотря на то что
она полностью отражается. поскольку коэффициент отражения вероятность проникновения частицы вглубь потенциального барьера есть. Разрешение этого парадокса заключается в том что мы записали решение уравнения Шредингера для стационарного состояния а процесс перехода вглубь потенциального барьера описывается процессом перехода зависит от полного не записывали решение общее уравнения Шредингера. В стационарном состоянии состояние частицы описывается тремя волновыми функциями таким образом
классическая частица при E>U0 пройдет область потенциального барьера но будет двигаться с меньшей скоростью Квантовая частица может с некоторой вероятностью отразиться от потенциального барьера При E<U0 Классическая частица обязательно отразится от барьера а квантовая частица имеет ненулевую вероятность проникнуть в область потенциального барьера. То что состояние частицы описывается тремя волновыми функциями означает что частица не локализована
в пространстве. Единственно общим для этого состояния является полная энергия частица E Расстояние между уровнями Энергия принимает дискретные значений. E1 отличен от 0 Таким образом решение уравнения Шредингера При этом энергия принимает определённые дискретные значения При энергии E1- вероятнее в середине E2 - вероятность равна в середине равна 0, и равна по половине
в левой и правой части и так далее Потенциальная яма со стенками конечной высоты. Волновая функция должна быть непрерывная, поэтому в первой и третьей прямая и отраженная волна, во второй области прямая волна. 1) E<U0 Волновая функция должна быть ограниченной поэтому в области 1 при x стремящемся к –бесконечности поэтому опускаем первый слагаемое Во второй области образуется стоячая волна, поэтому решение уравнения
Шредингера удобно написать в действительной форме. частица имеет ненулевую вероятность попасть в область стенок. Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор называется совершающая колебания под квази силой –kx 14-22 подставляем уравнение в Шредингера имеет определённые значение при определённые лямбда Решать будем в виде решение тогда и только тогда когда энергия не равна 0 - частица не находится на дне ямы Уравнение Шредингер для атома водорода В классической механике атом представляет собой протон
вокруг которого вращается электрон. Потенциальная энергия “-” показывает что система связана Т.е электрон движется не симметричной гиперболической потенциальной яме В квантовой Уравнение на собственные функции собственные значения Перейдем в сферическую систему координат Оператор Лапласа в сферической системе Запишем в сферической системе координат оператор квадрата импульса
Гамильтониан второе слагаемое - кинетическая энергия вращения Hr коммутируют так как L2 и Lz действуют только на углы и не действую на координаты. поскольку коммутатор коммутирует с самим собой Означает что одновременно могут быть измеримы соответствующие физические величины Одновременно измеримы, и проекция импульса на заданное направления Уравнение Шредингера для стационарного состояния для атома водорода
Ищем решение уравнения в виде Каково бы ни было решение Шредингера, уравнение на собственный функции собственные значения Получаем уравнение Шредингера для атома водорода Решая это уравнение мы получаем значение энергии Сингретное значение 1S состояни электрона в атоме водорода Уравнение Шредингера для 1S Ищем решение этого уравнения в виде имеет решение при всех r , тогда и только
тогда когда сомножители =0 Получилась энергия на первой Боровской орбите Состояние характеризуется пси функцией. C можно найти из условии нормировки. Пси функция для 1S состояния Найдем самое вероятное место нахождение электрона С наибольше вероятностью электрон находится на расстоянии первого Боровского радиуса Магнитный моменты атомов.
Опыты Штерна И Герлаха. Спин электрона. Спиновое квантовое число. Спин орбитальное взаимодействие. Электрон движущиеся обладает моментом импульса и магнитным моментным импульса движению электрона можно сопоставить Ток в обратном направлении Это гиромагнитное отношение В квантовой механике выполняются те же соотношения но для операторов. Это соотношения такие же как и правила квантования для момента импульса.
Т.е поскольку момент импульса характеризует определенным значением Характеризуются Т.е можно считать в квант момента магнетона бора. Опыты Штерна и Герлаха (про спин тоже) Брали пучок атомов водорода или серебра и пропускали через сильно неоднородное магнитное поле результате пучок раздваивалс В атоме водорода или серебра магнитный момент можно считать 0 и для магнитный момент остова тоже 0,
т.е магнитный момент ядра описывает моментом электроном. 1)Предположим что электрон в 1S состоянии n=1 l=0 => то не должен был расчипиться 2) В однородном магнитном поле действует А)в Кл. механике возможные значения значит сила должна быть уширяться. Не годится б) квантовой механике Значит если Pmz != 0 то значит должно было расчипиться на нечетное число пучков Уленбек и Гауцпи предположили что электрон обладает неуничтожимым собственным моментом
импульса которое назвали спином. Первоначально предполагалось что спин связан с вращением электрона вокруг оси, но в этом случае отношение магнитного момента к спину Но многие опыты показывают что СПИН - собственный неуничтожимый момент электрона Он как масса, заряд - т.е его нельзя отобрать. Спин появляется в уравнение Дерака, является аналогом уравнения Шредингера но Являющий в релятивистском случае.
Т.е СПИН является квантовым и релятивистским. СПИНА НЕТ АНАЛОГОВ В КЛАСИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ. Т.е решение уравнение Шредингера такое же как у Бора но при этом Бору пришлось вводить постулаты, а в квантовой механике это есть следствие общей теории. При решении уравнения Шредингера мы также получаем ограничения на квантовое число l,
Для данного n, l = 1,2,3 (n-1) . Т.е всего n значений Таким образом из того что n - главное квантовое число, определяет энергию E l - характеризует величину моменту импульса ml –характеризует проекцию импульса на заданное направление Таким образом атом характеризуется тремя числам n,l ml. Состояния двух электронов в атоме отличается если отличны хотя бы двух чисел
Отличающиеся Состояние электрона в атоме описывается волновой функции. Сама волновая функция физического смысла не имеет. Физический смысл имеет квадрат модуля пси функции которая определяет вероятность нахождения электрона в данной области пространства. Т.е электрон как бы размазана в пространстве и представляет собой электронное облако. n и l - определяет размел облака ml - характеризует направление этих облаков
Состояние с l=0 называет S состояние l=1 P l=2 d l=3 f 1S n=1 l=0 3d n=3 l=2 P l=1 ml=-1 0 1 d l=2 ml= -2 -1 0 1 2 Переходы с одного состояния в другое только если подчиняются правилу отбора Одному значению энергии соответствуют несколько состояние характеризующихся разными значениями квантовых числе l , ml . Такие состоянии с одним значением энергии но с разными l, ml называются вырожденными. Кратность выражений - характеризующиеся одним значением энергии(главного квант. числа n)
В стационарном состоянии волновую функцию являющаяся уравнением Шредингера можно представить в виде таким образом энергетические уровни имеют значения Расстояние между двумя энергетическими уровнями уровни эквидистанты в квантовой физике показывается что только переходы с соседнего уровня(для гармонического осциллятора) Правило отбора. Волновая функция и её первые производные непрерывны т.е на первой границе получили трансцендентное
уравнение, решая находим k2 Поскольку число решений конечно то число уровней конечно и дискретно поскольку E определяется значениями k2, а k2 корни трансцендентного уравнения. Поскольку k2 не может равна 0 то волновая функция становится равная 0 - т.е частиц в яме нет. То минимальное значение энергии выше дна ямы E>U0 При E>U0 есть ненулевая вероятность отразится от обеих стенок ямы никаких ограничений нет на k2,
энергетический спектр непрерывен
| ! |
Как писать рефераты Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов. |
| ! | План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом. |
| ! | Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач. |
| ! | Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты. |
| ! | Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ. |
| → | Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре. |