Вычисление координатцентра тяжести плоской фигуры I.Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точекP1 x1,y1 P2 x2,y2 , Pn xn,yn c массами m1,m2,m3 , mn.Произведения ximi и yimi называются статическими моментами массы mi относительно осей Oy и Ox.Обозначим через xc и yc координатыцентра тяжести данной системы. Тогда координаты центра тяжести описаннойматериальной системы определяются формулами
Эти формулы используются при отыскании центров тяжестиразличных фигур и тел.1.Пусть данная фигура, ограниченная линиями y f1 x ,y f2 x , x a, x b, представляетсобой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массуединицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной d для всех частей фигуры.Разобьем данную фигуру прямыми x a, x x1 x xn b на полоскиширины Dx1, Dx2 Dxn. Масса каждойполоски будет равна произведению ее площади на плотность d.
Если каждую полоску заменить прямоугольником рис.1 с основанием Dxi и высотой f2 x -f1 x , где x, то масса полоски будетприближенно равна i 1, 2, ,n .Приближенно центр тяжести этой полоски будетнаходиться в центре соответствующего прямоугольника Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой,масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центретяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры
Переходя к пределу при , получим точные координатыцентра тяжести данной фигуры Эти формулы справедливы для любой однородной т.е.имеющей постоянную плотность во всех точках плоской фигуры. Как видно,координаты центра тяжести не зависят от плотности d фигуры в процессе вычисления d сократилось .2. Координаты центра тяжести плоской фигурыВ предыдущей главе указывалось, что координаты центратяжести системы материальных точек P1, P2 Pnc массами m1, m2 . mn определяются поформулам.
В пределе при интегральные суммы, стоящие в числителях изнаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом получаютсяточные формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры Эти формулы, выведенные для плоской фигуры споверхностной плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую,постоянную во всех точках плотность g.Если же поверхностная плотность переменна то соответствующие формулы будут иметь вид
Выраженияиназываются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox.Интеграл выражает величину массы рассматриваемойфигуры.3.Теорема1.Площадьповерхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и непересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности,описанной центром тяжести дуги.Теорема2.Объемтела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси,
не пересекающей ее ирасположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры надлину окружности, описанной центром тяжести фигуры.II.Примеры. 1 Условие Найти координаты центра тяжести полуокружности X2 Y2 a2,расположенной над осью Ox.Решение Определим абсциссу центра тяжести ,Найдем теперь ординату центра тяжести 2 Условие Определить координаты центра тяжестисегмента параболы
y2 ax, отсекаемого прямой,х а рис. 2 Решение Вданном случае поэтому так как сегмент симметричен относительно оси Ox 3 Условие Определить координаты центра тяжести четверти эллипса рис. 3 полагая, что поверхностная плотность во всех точкахравна 1.Решение Поформулам получаем 4 Решение 1Таккак кривая симметрична относительно оси
Oy, то ее центр тяжести лежит на оси Oy, т.е. Xc 0. Остается найти . Имеем тогда длина дугиСледовательно,5 Решение Привращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем которого равен Согласновторой теореме Гульдена, Отсюда Центр тяжести четверти круга лежит на осисимметрии, т.е. на
биссектрисе I координатногоугла, а потому III.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1. Г Кожевникова Т.Я. Высшаяматематика в упражнениях и задачах , часть2, Высшая школа , Москва, 2. ПискуновН.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов , том 2, Наука , Москва, 1965