Теория поля

ВВЕДЕНИЕ Геофизические методы поисков и разведки полезных ископаемых основаны на изучении различных естественных или искусственно созданных физических полей. Полем называют область пространства, каждой точке которого соответствует определенное значение некоторой физической величины. Теория поля устанавливает и исследует связи между величинами, характеризующими поле. Учитывая их при обработке результатов наблюдений, инженер-геофизик имеет возможность обоснованно применять те или иные математические приемы и решать конкретные разведочные задачи.

1. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1.1. Основные сведения о скалярных и векторных величинах. Понятие скалярной и векторной величины. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису. Скалярное и векторное произведения. Произведения трех векторов. Основные правила матричной алгебры. Переменные векторы. Производная и дифференциал векторных функций. Интеграл от векторных функций. - Что такое «поле» и что изучает «теория поля»? - Поле – область пространства, каждой точке которого соответствует определенное значение некоторой физической величины. По своему характеру физические величины могут быть скалярными или векторными. Соответственно поля этих величин также являются скалярными или векторными. Теория поля устанавливает и исследует связи между величинами, характеризующими поле. - Приведите примеры скалярных и векторных геофизических величин. В чем состоит их отличие? - Такие величины, как плотность, удельное сопротивление пород, потенциал гравитационного и магнитного полей и др., определяются числом, при соответствующем выборе единицы измерения. В математике такие величины называются скалярными. Если физическое явление характеризуется скалярной величиной, то имеет место скалярное поле. Такие величины, как сила притяжения материальных тел, напряженность магнитного и электрического полей и многие другие, являются векторными величинами. Вектор – величина, которая для своего определения требует указания на направление в пространстве и численное значение, геометрически он изображается прямолинейным отрезком определенного направления. Длина отрезка в выбранном масштабе характеризует численное значение вектора. Действия над скалярами подчиняются действиям над алгебраическими величинами. Численное значение вектора называется величиной, модулем или длиной вектора (/А/ = А – модуль вектора). Принято различать вектора свободные, связанные и скользящие. - Как записать вектор, используя его проекции в прямоугольной системе координат? - Пусть имеется вектор и ось S. Спроектировав вектор на ось, получим проекцию вектора а на ось S, т.е. аs – проекция вектора а на ось S. Проекция аs является скаляром и иначе называется алгебраической проекцией. Обозначим единичный вектор или орт оси S. Он указывает направление оси. Произведение проекции вектора на единичный вектор называется компонентой вектора на эту ось: Компонента вектора является вектором и иначе называется геометрической проекцией вектора. Орты осей прямоугольных координат обозначаются i, j, k. Выразим вектор в правой системе прямоугольных координат через его проекции. Для этого сложим компоненты вектора а по координатным осям и в результате получим сам вектор а: - Что такое радиус-вектор? Запишите его через проекции. - Радиус-вектор точки. Точка в пространстве может быть задана своими координатами или же вектором, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец с данной точкой. Этот вектор и носит название радиуса-вектора точки. - Напишите скалярное и векторное произведение векторов через их проекции. - Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между векторами В зависимости от угла () скалярное произведение может быть положительной (угол острый) или отрицательной (угол тупой) величиной. Скалярное произведение записывается и таким образом или , где АВ – проекция вектора А на направление вектора В, т.е. АВ=АCOS Аналогично ВА – проекция вектора В на вектор А, т.е. Скалярное произведение ортов прямоугольной системы координат: Выражение скалярного произведения векторов через их проекции имеет вид: Проекцию вектора на координатную ось можно рассматривать как число, полученное в результате скалярного произведения единичного вектора оси на вектор Векторным произведением двух векторов и является вектор , направленный перпендикулярно к плоскости векторов и в ту сторону, чтобы вращение вектора к вектору вокруг вектора по кратчайшему пути происходило против часовой стрелки (в правой системе координат) и по часовой стрелке (в левой системе координат). Модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и . Векторное произведение будем обозначать символом Модуль векторного произведения
Если поменять местами вектора, то получим т.е. векторное произведение не коммутативно. Согласно вышеизложенному для векторного произведения ортов правой прямоугольной системы координат имеем:
Используя эти формулы, найдем выражение для векторного произведения векторов А и В через проекции сомножителей: Очень удобно векторное произведение записывать в таком виде: Для векторного произведения справедлив распределительный закон: - Чему равно двойное векторное произведение? Три вектора и можно различным образом перемножить. Одним из этих вариантов и является двойное векторное произведение, т.е. вектор умножить векторно на . Двойное векторное произведение Векторное произведение вектора на вектор представляет собой вектор, компланарный с векторами и и перпендикулярный вектору . Найдем проекции вектора на ось х: Раскрывая определитель, прибавим к правой части, а затем вычтем из нее Ах Вх Сх , после преобразований получим: Для двух других проекций находим: На основании этих формул запишем векторное равенство: Произведение четырех и более векторов можно свести к произведению трех векторов. - Как дифференцируется векторная функция? - Дифференциал векторной функции является векторной величиной: . Значение дифференциала зависит от знака приращения независимой переменной dt . При вектор направлен по касательной к годографу в сторону возрастания аргумента t, при dt Пусть дан радиус-вектор точки , дифференциал его определяется формулой . Модуль дифференциала описывается формулой: Сравнив модуль дифференциала радиуса-вектора точки с дифференциалом дуги кривой ds: получим: - Как находится неопределенный интеграл векторной функции? Определенный интеграл? - Неопределенный интеграл есть векторная функция , производная от которой равна подынтегральной функции: . Определенный интеграл от векторной функции есть предел суммы векторов: 1.2. Основные характеристики скалярных и векторных полей. Графическое изображение полей. Уровенные поверхности, векторные линии и трубки. Градиент скалярного поля. Скорость изменения скалярного поля по заданному направлению. Выражение площади через вектор. Поток вектора через поверхность. Дивергенция вектора. Соленоидальные поля. Формула Остроградского-Гаусса. Циркуляция вектора. Ротор. Потенциальные поля. Формула Стокса. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядка, лапласиан. - Как графически изображаются скалярные и векторные поля? - Скалярные и векторные поля удобно изображать графически. Скалярное поле может быть изображено при помощи поверхностей уровня, т.е. поверхностей, во всех точках которых функция или сохраняет одинаковое значение. Уравнение поверхности уровня или изоповерхности имеет вид: Различные значения с соответствуют различным уровенным поверхностям. Совокупность таких поверхностей позволяет наглядно представить скалярное поле. Векторное поле изображается при помощи векторных или силовых линий. Векторные линии имеют следующий физический смысл. В каждой точке линии вектор, характеризующий поле, направлен по касательной. О численной величине вектора в точке пространства судят по густоте силовых линий, проходящих через перпендикулярную к ним единицу площади. Изучение скалярного и векторного полей ведется при помощи использования специальных понятий и формул. - Что такое градиент скалярного поля? - Вектор, проекции которого на оси прямоугольных координат являются частными производными от скалярной функции по координатам точки, является градиентом скалярной функции в точке и обозначается Проекции градиента на оси координат определяются формулой: . Модуль gradU вычисляется по формуле: . Для случая плоского поля U(x,y) градиент есть вектор, лежащий в плоскости x, y и перпендикулярный к линии уровня поля в каждой точке.
Основные свойства градиента: Итак, скалярное поле характеризуется вектором, который является градиентом функции U(x, y, z). Такие векторы называются п о т е н- ц и а л ь н ы м и, а скалярная функция U(x, y, z) – потенциалом.
Потенциальное поле характеризуется векторными линиями, которые ортогональны к поверхности уровня в каждой точке пространства. В направлении этих линий происходят максимальные изменения функции U(x, y, z). - Как определяется скорость изменения скалярного поля по заданному направлению? - Определить скорость можно по формуле, представив в виде скалярного произведения: Скорость изменения скалярного поля по заданному направлению равна скалярному произведению градиента этого поля на единичный вектор направления. - Как определятся поток векторного поля? - Поток вектора через поверхность S можно записать в следующем виде: где An – проекция вектора А на нормаль к поверхности S. Поток есть величина скалярная и зависящая от ориентации поверхности S. При изменении направления нормали, знак проекции, а следовательно, и потока изменится на противоположный. - Как определятся дивергенция вектора? - Допустим, что векторные линии поля в рассматриваемом пространстве возникают по всюду. Возьмем в поле точку P0 проведем вокруг нее замкнутую поверхность S, ограничивающую объем , вычислим через нее поток вектора и разделим результат на объем. В итоге найдем поток вектора на единицу объема. В пределе при стягивании S в точку частное будет характеризовать интенсивность (или плотность источника) истечения векторных линий из точки P0, т.е. из бесконечно малого объема. Этот предел называется дивергенцией вектора в точке и обозначается Выразим дивергенцию в точке P0 через проекции вектора в этой же точке. Поместим внутрь элементарного параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям. Поскольку предел не зависит от форм поверхности S , то выбор такого вида объема не ограничивает общности вывода. Найдем поток вектора через грани параллелепипеда, затем разделим его на и перейдем к пределу. Поток вектора через две параллельные грани, перпендикулярные оси Z, равен: Для граней, перпендикулярных осям x и y, аналогично получим: В этих выражениях значения производных берутся в точках, расположенных внутри параллелепипеда. Взяв суммарный поток, подставив его в формулу предела, получим: где Аx, Ay, Az – проекции вектора в точке Р0. Производные также берутся по координатам точки Р0. Дивергенция вектора в точке Р есть величина скалярная и характеризует интенсивность истечения векторных линий из области точки Р0. Рассмотрим дивергенции суммы векторов и произведения скаляра на вектор. Допустим, что имеем поля векторов А и В и скалярное поле U. Тогда: - Каков основной смысл формулы Остроградского-Гаусса? - В 1828 г. известный русский математик Остроградский установил связь между потоком вектора и дивергенцией. Теорема, называемая также теоремой Остроградского-Гаусса, гласит: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции, взятому по объему , ограниченному данной поверхностью. Формулу Остроградского можно записать в форме: или Формула широко применяется для преобразования интеграла, взятого по объему, ограниченному поверхностью, в интеграл, взятый по этой поверхности. С помощью формулы бывает удобно также определять поток вектора, не проводя прямых вычислений. - Какие поля называют соленоидальными и каковы их свойства? -Соленоидальным называют векторное поле, не имеющее источников. Необходимым и достаточным условием для этого является Соленоидальные поля обладают рядом общих свойств. 1. Поскольку в соленоидальном поле нет источников, то векторные линии в таком поле не обрываются и не начинаются. Они могут быть только замкнутыми или уходящими в бесконечность. 2. Поток вектора через любое поперечное сечение векторной трубки есть величина постоянная. Векторной трубкой называют часть пространства, состоящую из векторных линий. Для доказательства этого свойства возьмем в векторной трубке поля два сечения и вычислим поток вектора через замкнутую поверхность - Как определяется циркуляция вектора и какой физический смысл она имеет? - Возьмем в поле вектора некоторую кривую , и найдем работу по перемещению материальной точки вдоль этой кривой из т. в т.(рис. 2.10). Ре можно определить в виде скалярного произведения Работа вектора вдоль всей кривой будет равна
Уменьшая длину и переходя к пределу, получим криволинейный интеграл Скалярному произведению можно придать другой вид:
где - проекция вектора на касательную к кривой . Криволинейные интегралы записанные выше называют также линейным интегралом вектора вдоль кривой. Если кривая замкнутая, то криволинейный интеграл будет называться циркуляцией. Таким образом, циркуляция имеет смысл работы векторного поля по перемещению точки вдоль замкнутой кривой, т.е. При вычислении работы обход по контуру совершается против часовой стрелки (в правой системе координат). - Запишите выражение ротора через проекции вектора. - Ротор вектора удобно записать через определитель После раскрытия определителя получаем формулу Поясним физический и аналитический смысл ротора. Для этого рассмотрим плоское векторное поле - линейной скорости частиц сплошной среды, перпендикулярное оси . В этом случае проекция скорости на ось и производные по этой оси равны нулю, поэтому т.е. ротор в каждой точке поля направлен перпендикулярно плоскости заданного поля. - Дайте определение потенциального поля и перечислите его основные свойства. - Векторное поле называется потенциальным, если вектор , характеризующий поле, является градиентом скалярной функции : Скалярная функция называется потенциальной функцией или потенциалом вектора . Если - потенциальная функция, то также будет потенциальной. Потенциальное поле обладает следующими свойствами: 1. Потенциальное поле можно задать не только проекциями вектора, но и одной скалярной функцией - потенциалом. 2. Работа потенциального вектора вдоль некоторой кривой не зависит от формы этой кривой. Она зависит только от положения начальной и конечной точек и равна разности значений потенциала в этих точках. - Приведите примеры потенциальных полей. Примерами потенциальных полей являются поле силы притяжения, электростатическое поле, электрическое поле постоянного тока и пр. - Запишите формулу Стокса. - Физический смысл формулы Стокса состоит в том, что циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора поля через любую поверхность, ограниченную этим контуром: В координатной форме формула Стокса имеет вид - В чем состоит существенное различие операторов Гамильтона и Лапласа? - Основные характеристики полей -градиент скалярного поля, дивергенция и ротор векторного поля - определяются при помощи дифференцирования скалярных функций или проекций векторов. Для более компактной записи этих характеристик английский математик Гамильтон (1805-1865) ввел символический, т.е. не имеющий физического смысла, вектор (набла), называемый также оператором Гамильтона 1.3. Векторные операции в ортогональных криволинейных координатах. Общая характеристика ортогональных криволинейных координат. Выражение элементов длины, площади и объема в криволинейных координатах через прямоугольные. Градиент, дивергенция, ротор в криволинейных координатах. Основные характеристики полей в цилиндрических и сферических координатах. - Напишите выражение элементов длины, площади и объема в криволинейных координатах через координаты Ламе. - Выразим элементы длин координатных линий, площади и объема в криволинейных координатах, используя прямоугольные. Возьмем координатную линию, расположенную в прямоугольной системе координат. Радиус-вектор точки, расположенной на линии, имеет обычный вид где ; ; . Обозначим элемент дуги координатной линии через . Поскольку , нахождение сведем к нахождению . Известно, что где Отсюда находим Аналогично Коэффициенты , , называют коэффициентами Ламе или масштабными множителями криволинейной системы координат. Зная значения элементов длин координатных линий, запишем выражения для элементов площадей
и элемента объема - Напишите общие выражения градиента, дивергенции, ротора, лапласиана в криволинейных координатах. - Выражение градиента скалярной функции в криволинейных координатах
Как видим, градиент в криволинейных координатах зависит не только от значения функции в точке, но и от значения масштабных коэффициентов данной системы координат и направления единичных орт осей. Принцип определения дивергенции вектора через его проекции, примененный в случае прямоугольных координат, сохраним и теперь, т.е. Выражение лапласиана в криволинейных координатах: Ротор будем искать обычным образом: Теперь запишем выражение вектора : Выражение удобно записать через определитель - Чему равны коэффициенты Ламе в цилиндрических и сферических координатах? - Определим значения коэффициентов Ламе цилиндрических координат. Для этого запишем выражения для элементов длин координатных линий С другой стороны, известно, что Сопоставляя попарно эти равенства, приходим к выводу, что - Связь сферических координат с прямоугольными определяется соотношениями Элементы длин координатных линий найдем, сопоставляя попарно выражения из двух систем Из этого имеем: - Запишите выражения градиента, дивергенции, ротора, лапласиана в цилиндрических и сферических координатах.
2. ТЕОРИЯ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ 2.1. Формулы Грина. Задачи Дирихле и Неймана. Использование формул Грина, фундаментальная формула Грина. Гармонические функции, их свойства. Краевые задачи Дирихле и Неймана. Функция Грина. Решение задачи Дирихле для сферы. - Объясните назначение фундаментальной формулы Грина. Данная формула носит название фундаментальной формулы Грина. Она позволяет вычислять значение функции , непрерывной вместе со своими производными, внутри области , если известны ее значения и значения на поверхности , а также значения во всех внутренних точках области. Использовать формулу на практике крайне сложно, т. к. требуются весьма подробные сведения об определяемой функции. - Дайте определение гармонической функции. - Функция называется гармонической, если она непрерывна вместе со своими производными первого и второго порядков внутри конечной области и в каждой точке области удовлетворяет уравнению Лапласа - Сформулируйте теорему о среднем значении гармонической функции. - Теорема о среднем (теорема Гаусса). Значение гармонической функции во всякой внутренней точке равно интегральному среднему ее значений, взятых по поверхности любой сферы радиуса с центром в т., лежащей целиком внутри области , т.е. - Напишите общий вид функции Грина. Поясните, в чем состоит сложность ее определения. Нахождение функции Грина в конкретных случаях представляет весьма сложную задачу, т.к. она зависит не только от формы поверхности, но и от положения полюса внутри нее. - Напишите формулу, по которой решается внутренняя краевая задача Дирихле. , Это выражение дает решение уравнения Лапласа внутренней задачи Дирихле. Для этого решения должны быть заданы значения функции на поверхности и значения на ней нормальной производной функции Грина. Даже в таком упрощенном виде формула сложна для применения, т. к. для каждой поверхности и для каждого положения точки необходимо находить аналитическое выражение функции Грина. Задача решена лишь для некоторых поверхностей. 2.2. Гравитационное и магнитное поля. Потенциал притяжения, три его вида. Свойства потенциала объемных масс и его производных. Потенциал магнитного диполя, намагниченного тела конечных размеров, однородно намагниченного шара. Формула Пуассона. - Напишите, чему равен потенциал притяжения точечной массы. Эта функция носит название потенциала притяжения точечной массы. Если массы распределены в объеме непрерывно и имеют объемную плотность , то тело можно разбить на элементы , массы которых равны . Каждый такой элемент можно заменить действием материальной точки, расположенной внутри элемента и имеющей массу . - Поясните, как определяется потенциал объемных масс, простого и двойного слоя. - Нарисуйте график изменения потенциала объемных масс.
На графике изменения изображенном на графике видно, что первая производная потенциала однородной сферы также является непрерывной и конечной функцией во всем пространстве. Однако на границе сферы имеет точку излома.
- Напишите, чему равен потенциал магнитного диполя. Произведение носит название магнитного момента диполя. Найдем производную Поэтому формулу (5.18) можно переписать в таком виде: - Определите, чему равен потенциал однородного намагниченного тела конечных размеров. - Как связаны с напряженностью магнитного поля вертикальная и горизонтальная составляющая поля? Проекция напряженности магнитного поля на ось , т.е. , обозначается через и носит название вертикальной составляющей Проекция напряженности на ось , т.е. обозначается через и носит название горизонтальной составляющей При , т.е. на магнитном полюсе, . При , т.е. на магнитном экваторе . Таким образом, максимальное значение вертикальной составляющей напряженности магнитного поля в два раза больше максимального значения горизонтальной составляющей. - Напишите и объясните формулу Пуассона. Полученное выражение носит название формулы Пуассона. Она связывает магнитный потенциал однородно намагниченного объема с потенциалом притяжения объемных масс постоянной плотности, находящихся в том же объеме. Формула показывает, что магнитное поле по сравнению с гравитационным является более дифференцированным. Это свойство полей наглядно проявляется на магнитных и гравиметрических картах: на первых изолинии поля изрезаны, образуют много локальных аномалий, на вторых - ведут себя более плавне. 2.3. Электрическое поле. Электростатическое поле в вакууме и поляризующейся среде; его потенциал. Электрическое поле постоянного тока. Закон Ома. Закон Кирхгофа. Магнитное поле постоянного тока. Закон Био-Савара. Вектор-потенциал магнитного поля. Дифференциальные уравнения магнитного поля. Электромагнитное поле переменного тока. Фундаментальная система уравнений Максвелла. - Почему электростатическое поле является потенциальным? Напряженность определяется по закону Кулона где - вектор, направленный вдоль расстояния между точкой и зарядом; - потенциал поля. Равенство показывает, что электростатическое поле является потенциальным. Поэтому работа по замкнутому контуру равна нулю, и она не зависит от формы пути, а зависит от положения начальной и конечной точек. Потенциал поля точечного источника определяется по формуле Нетрудно доказать, что . Если заряды непрерывно распределены по поверхности с плотностью или в некотором объеме с плотностью, то соответственно имеем Потенциал электрического диполя определяется по аналогии с магнитным диполем где - электрический момент диполя; - вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному; - угол между векторами и . Во всех точках, где нет зарядов, электростатическое поле соленоидально. - Является ли электрическое поле постоянного тока потенциальным? Обеспечить постоянный ток можно только при наличии замкнутой цепи, включающей какой-либо источник поля неэлектрической природы, например химической. Такой источник называют сторонним - Сумма падений напряжений в замкнутой цепи равна сумме сторонних сил, т.е. алгебраическая сумма падений напряжений равна нулю: Это выражение носит название второго закона Кирхгофа в интегральной форме. Переходя к дифференциальной форме записи этого закона, имеем т.е. электрическое поле постоянного тока является потенциальным. - Назовите физические величины, между которыми устанавливает связь закон Био-Савара. Зависимость между напряженностью магнитного поля тока в вакууме и силой тока элемента проводника в точке. - Напишите формулу для вектора-потенциала магнитного поля постоянного тока. В ряде случаев напряженность определяют с помощью следующего вектора : Этот вектор не имеет реального физического смысла и называется по аналогии со скалярным потенциалом вектор-потенциалом магнитного поля. - Запишите уравнения Максвелла.
где - вектор электрической индукции. Эти уравнения являются основными в теории электромагнитных полей. Они устанавливают закономерности между величинами электрического и магнитного полей. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант №5 _ 1. _Найти проекцию вектора a=2i + 3j– k на направление вектора b=-3i– j + k. 2. Найти вектор, лежащий в плоскости _YOZ, имеющий длину, равную 10, и перпендикулярный вектору a = 2i – 4j + 3k. 3._Определить площадь параллелограмма, построенного на векторах a = 2i + 3j – k и b =- 3i – j + k. 4. Найти grad (1/r). 5. Определить наибольшую скорость возрастания поля u=ln (x2+4y2) в точке М(6;4;0). 6. С помощью формулы Остроградского-Гаусса определить поток вектора напряженности поля точечного электрического заряда через замкнутую поверхность, не охватывающую заряд. Согласно формуле Остраградского-Гауса нахождение потока сводится к решению интеграла: Для нахождения дивергенции вначале найдем Аналогично: Теперь находим 7. Найти циркуляцию вектора по контуру окружности x=bcost; y=b+bsint, лежащей в плоскости XOY. Окружность Будем искать циркуляцию в направлении от 0 до 2π по формуле. 8. Показать, что поле является соленоидальным. Поле А является соленоидальным, если Нужно доказать, что 9. Доказать, что поле вектора потенциально. 10. Является ли гармонической функция ?