Задача № 1
Имеются следующие данные 25 предприятийлегкой промышленности по величине балансовой прибыли и объему произведеннойпродукции:
Таблица 1.1№ предприятия Объем произведенной продукции, млн. руб. Валовая прибыль, млн. руб. 1 653 45 2 305 11 3 508 33 4 482 27 5 766 55 6 800 64 7 343 14 8 545 37 9 603 41 10 798 59 11 474 28 12 642 43 13 402 23 14 552 35 15 732 54 16 412 26 17 798 58 18 501 30 19 602 41 20 558 36 21 308 12 22 700 50 23 496 29 24 577 38 25 688 49
С целью изучения зависимости между объемомпроизведенной продукции и валовой прибылью произведите группировку предприятийпо объему произведенной продукции (факторный признак), образовав пять групппредприятий с равными интервалами.
По каждой группе и совокупностипредприятий подсчитайте:
1) число предприятий;
2) объем произведенной продукции –всего и в среднем на одно предприятие;
3) валовую прибыль – всего и всреднем на одно предприятие.
Результаты представьте в виде групповойтаблицы. Сделайте краткие выводы.
Решение:
1. Произведем группировку предприятий пообъему произведенной продукции (факторный признак), образовав пять групппредприятий с равными интервалами.
1) Определим размахвариации: R = Xmax- Xmin =800-305 = 495
2) Длина интервала: />
Группировку произведем втаблице 1.2.
Таблица 1.2№ п/п Группы № банка Объем произведенной продукции, млн. руб. Валовая прибыль, млн. руб. /> средний /> средняя 1 305-404 2 305 339,5 11 15 21 308 12 7 343 14 13 402 23
Итого:
4
1358
60 2 405-503 16 412 473,0 26 28 11 474 28 4 482 27 23 496 29 18 501 30
Итого:
5
2365
140 3 504-602 3 508 557,0 33 36,667 8 545 37 14 552 35 20 558 36 24 577 38 19 602 41
Итого:
6
3342
220 4 603-701 9 603 657,2 41 45,6 12 642 43 1 653 45 25 688 49 22 700 50
Итого:
5
3286
228 5 702-800 15 732 778,8 54 58 5 766 55 10 798 59 17 798 58 6 800 64
Итого:
5
3894
290
Всего:
25
14245
938
Выводы:
Разбив на 5 групп пообъему произведенной продукции банки получили, что:
1. Самаямногочисленная группа 3, с количеством входящих в неё шести банков, самаямалочисленная – 1, в неё входит 4 банка.
2. По объемупроизведенной продукции в общем и среднем, валовой прибыли и средней валовойприбыли на одно предприятие лидирует пятая группа, а первая – наименееэффективна.
Данные показывают, чтопри увеличении объема произведенной продукции валовая прибыль увеличивается.Следовательно, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционнаязависимость.Задача № 2
Имеются следующие данные по двум заводам,вырабатывающим однородную продукцию:
Таблица 2.1Номер завода Январь Февраль затраты времени на единицу продукции, час изготовлено продукции, шт затраты времени на единицу продукции, час всю продукцию, час 1 2 160 1,8 420 2 2,8 180 2,4 440
Вычислите средние затраты времени наизготовление единицы продукции по двум заводам в январе и феврале. Укажите видысредних величин, используемых в решении задач.
Решение:
Для января статистические данныепредставлены количеством выпущенной продукции и затратами времени на выпускединицы продукции, поэтому средние затраты времени на изготовление единицыпродукции определяем по формуле средней арифметической взвешенной:
/> = />,
где х — затраты времени на единицупродукции, час.
f — изготовлено продукции, шт.
/> = />час.
Для февраля статистические данныепредставлены затратами времени на весь выпуск продукции и затратами времени навыпуск единицы продукции, поэтому средние затраты времени на изготовлениеединицы продукции определяем по формуле средней гармонической взвешенной:
/> = />,
где w – объем признака, равныйпроизведению вариант на частоты: w = x f.
/> = />
На заводе №1 в январе затраты времени наединицу продукции были снижены с 2 до 1,8 часа. На заводе №2 в 1993 г. затратывремени на единицу продукции были снижены с 2,8 до 2,4 часа.
В среднем по двум заводам затраты времениснизились с 2,424 до 2,0,64 часа, что практически обусловлено снижением эффективностипроизводства на заводах.Задача № 3
В целях изучения стажа рабочих одного изцехов завода проведена 10%-ная механическая выборка, в результате которойполучено следующее распределение рабочих по стажу работы:
Таблица 3.1Стаж рабочих, лет Число рабочих, чел
До 5
От 5 до 10
От 10 до 15
От 15 до 20
От 20 до 25
Свыше 25
5
10
35
25
15
10 Итого 100
На основании этих данных вычислите:
1. Средний стаж рабочих цеха.
2. Средний квадрат отклонений(дисперсию) и среднее квадратическое отклонение.
3. Коэффициент вариации.
4. С вероятностью 0,997 предельнуюошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стажрабочих цеха.
5. С вероятностью 0,997 предельнуюошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работыот 10 до 20 лет.
Сделайте выводы.
Решение:
Для вычисления средней величины в каждойгруппе определяем серединное значение (середину интервала), после чегоопределяем средний стаж рабочих цеха по формуле средней арифметической взвешенной.
В закрытом интервале серединное значениеопределяем как полусумму верхней и нижней границ, открытые интервалы приравниваютсяк рядом стоящим. Кроме того, для расчёта дисперсии последовательно определяемотклонение каждой группы от средней, квадрат отклонения и произведение квадратаотклонения на число работников в группе. Расчёт производим в таблице 3.2.
Таблица 3.2
Расчет среднего квадратического отклоненияСтаж рабочих, лет Число рабочих, чел. f х xf
/>
(/>)2
(/>)2 f До 5 5 2,5 12,5 -13,25 175,563 877,813 5-10 10 7,5 75 -8,25 68,0625 680,625 10-15 35 12,5 437,5 -3,25 10,5625 369,688 15-20 25 17,5 437,5 1,75 3,0625 76,5625 20-25 15 22,5 337,5 6,75 45,5625 683,438 св. 25 10 27,5 275 11,75 138,063 1380,63
Итого:
100 -
1575 - -
4068,75
1. Определим среднийстаж рабочих цеха:
/>= /> = /> = 15,75 лет.
2. Определим среднееквадратическое отклонение:
σ = /> = 6,379 лет.
Дисперсия признака σ2 = /> = 40,688 лет.
3. Определим коэффициентвариации
V = /> %
4. Определим с вероятностью 0,997предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаетсясредний стаж рабочих цеха.
Так как выборка механическая, то ошибка выборочного наблюденияопределяется по формуле:
Δх = t />
При />=/>/>3μ и p = w/>3μ степень вероятности повышается до 0,997.
Таким образом:
t = 3
σ2= 40,688 — дисперсия признака;
n = 15,75 — средний стаж рабочих цеха;
/> - это 10%-ная механическая выборка.
Δх = t />
Доверительные интервалы для средней будут равны:
/>– Δх />/>/>/>+ Δх .
/>=15,75 лет./>4,574 года. или 15,75-4,57/>/>/>15,75+4,57
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний стажрабочих цеха находится в пределах от 11,18 дней до 20,32 дней.
5. Определим с вероятностью 0,997предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих состажем работы от 10 до 20 лет.
Средняя ошибки для выборочной доли при бесповторном способеотбора рассчитывается по формуле:
Δw = t />.
При />=/>/>3μ и p = w/>3μ степень вероятности повышается до 0,997.
Таким образом:
t = 3;
n = 100 — численность рабочих цеха;
/> - это 10%-ная механическая выборка;
Определим w — удельный вес числа рабочих состажем работы от 10 до 20 лет.
25+35=0,6 или 60%,
100
т.е. доля рабочих состажем работы от 10 до 20 лет – 60%.
Δw = t /> или 13,9%.
Доверительные интервалы для доли будутравны:
p = w/>Δw .
p = 60% />13,9%, тогда 60% – 13,9% />p/>60% + 13,9%.
Доля числа рабочих со стажем работы от 10до 20 лет будет находиться в пределах от 46,1 до 73,9% при вероятности 0,997.
Задача № 4
Численность населения России характеризуетсяследующими данными:
Таблица 4.1Годы На начало года, тыс. чел
1997
2002
2003
2004
2005
2006
2007
148041
148306
147976
147502
147105
146388
145500
Для анализа численности населения Россииза 2002-2007 гг. определите:
1. Абсолютные приросты, темпы роста итемпы прироста по годам и к 2002 году.
Полученные показатели представьте втаблице.
2. Среднегодовую численностьнаселения России.
3. Среднегодовой темп роста иприроста численности населения России за 2002-2007 гг. и за 1997-2002 гг.
Постройте график динамики численностинаселения России.
Сделайте выводы.
Решение:
/>
1. Определим абсолютные приросты,темпы роста и темпы прироста по годам и к 2002 году. Полученные показателипредставим в таблице 4.2.
Таблица 4.2
Абсолютные приросты, темпы роста и темпыприроста Годы
На начало года, тыс. чел
уi Абс. приросты, млн.тонн Темпы роста Темпы прироста, % цепные базисные (к 2002г) цепные базисные (к 2002г) цепные базисные (к 2002г)
/>yц = уi– yi-1
/>yб =
уi– y2002
k = />
k = />
Δkц =
kц % – 100
Δkб =
k % – 100 1997 148041 265 -265 1,002 0,998 0,2% -0,2% 2002 148306 - - - - - - 2003 147976 -330 -330 0,998 0,998 -0,2% -0,2% 2004 147502 -474 -804 0,997 0,995 -0,3% -0,5% 2005 147105 -397 -1201 0,997 0,992 -0,3% -0,8% 2006 146388 -717 -1918 0,995 0,987 -0,5% -1,3% 2007 145500 -888 -2806 0,994 0,981 -0,6% -1,9%
2. Определим среднегодовую численностьнаселения России за 2002-2007 гг.:
За 2002-2007 гг. мы имеем интервальный ряддинамики с равными интервалами. Поэтому среднегодовую численность населенияисчислим по формуле средней арифметической простой:
/>=/>=/>=/>=
147129,5тыс.чел.
где у – уровни ряда
n– число уровней ряда.
3. Среднегодовой темп роста и приростачисленности населения России за 2002-2007 гг.
Среднегодовой темп роста исчисляется по формуле среднейгеометрической из цепных коэффициентов роста:
=/>=/>,
где n– число цепных темпов роста;
за 2002-2007 гг.: =/>=/>=0,996 или 99,6%.
Среднегодовой темп роста численности населения России за2002-2007 гг. равен 99,6 %.
Среднегодовой темп прироста за 2002-2007 гг. исчисляетсяследующим образом:
Δ = % – 100%=99,6–100=0,4%.
Таким образом, численность населения России за период 2002-2007гг. уменьшалось за год в среднем на 0,4%.
Выводы: численность населения России по данным таблицы 4.1. в 2002 годуповысилась по сравнению с 1997 годом на 265 тыс.чел. или на 0,2%. Затем вплотьдо 2007 года снижалось в среднем на 0,4% за год.
Задача № 5
Имеются следующие данные о стоимостиимущества предприятия (млн. руб.):
Таблица 5.1 01.01. 01.02. 01.03. 01.04. 01.05. 01.06. 01.07. Стоимость имущества, млн. руб. 62 68 65 68 70 75 78
Определите среднегодовую стоимостьимущества:
1) за I квартал;
2) за II квартал;
3) за полугодие в целом.
Решение:
Среднегодовая стоимость имущества рассчитывается по формулесредней арифметической простой:
За Iквартал: /> = /> =66 млн. руб.
За IIквартал: /> = /> =72,667 млн. руб.
За полугодие в целом: /> = /> = 69,333 млн. руб.
Задача № 6
Динамика средних цен и объема продажи наколхозных рынках города характеризуется следующими данными:
Таблица 6.1Наименование товара Продано товаров за период, тыс. кг Средняя цена за 1 кг за период, руб. базисный отчетный базисный отчетный
Колхозный рынок № 1:
Картофель
Свежая капуста
6,0
2,5
6,2
2,4
8,0
15,0
8,5
19,0
Колхозный рынок №2:
Картофель 12,0 12,8 7,5 8,0
На основании имеющихся данных вычислите:
1. Для колхозного рынка № 1 (по двумвидам товаров вместе):
а) общий индекс товарооборота вфактических ценах;
б) общий индекс цен;
в) общий индекс физического объематоварооборота.
Определите в отчетном периоде приросттоварооборота в абсолютной сумме и разложите по факторам (за счет изменения цени объема продаж товаров).
Покажите взаимосвязь начисленных индексов.
2. Для двух колхозных рынков вместе(по картофелю):
а) индекс цен переменного состава;
б) индекс цен постоянного состава;
в) индекс влияния изменения структуры объемапродажи картофеля на динамику средней цены.
Решение:
1. Для колхозного рынка № 1 определим индивидуальные индексы:
По товару Картофель: ip = /> = /> = 1,033 или 103,3%,
iq = /> = /> = 1,063 или 106,3%,
По товару Свежая капуста: ip = /> = /> = 0,960 или 96%,
iq = /> = /> = 1,267 или 126,7%.
Таблица 6.2
Индивидуальные индексы для товаровколхозного рынка №1Индивидуальные индексы Продано товаров за период, тыс. кг Средняя цена за 1 кг за период, руб. Картофель 1,033 1,063 Свежая капуста 0,960 1,267
Таким образом:
– цены на картофельвыросли в отчетном году на 6,3%;
– объем продаж покартофелю увеличился на 3,3%.
– цены на свежуюкапусту выросли в отчетном периоде на 26,7%;
– свежей капустыбыло продано в отчетном периоде по сравнению с базисным на 4% меньше.
а) Чтобы определить изменение товарооборота в фактическихценах в абсолютной сумме, необходимо рассчитать агрегатный индекс товарооборотав фактических ценах:
Ipq = /> = /> = /> = 1,150 или 115,0%.
Разность между числителем и знаменателем индексатоварооборота в фактических ценах дает прирост (или снижение) товарооборота вабсолютной сумме:
Δpq = />–/>= 98,3-85,5 = 12,8 (тыс. руб.).
Товарооборот в фактических ценах вырос в отчетном периоде посравнению с базисным периодом на 15% или на 12,8 тыс.руб.
б) Перейдем к расчету агрегатного индекса цен. В качествевеса введем в индекс неизменное количество товаров отчетного периода (поформуле Пааше). Формула агрегатного индекса цен будет выглядеть следующимобразом:
Ip = /> = /> = /> = 1,148 или 114,8%.
Разность между числителем и знаменателем индекса цен даетприрост (снижение) товарооборота за счет изменения цен:
Δpq(p) = />–/>= 98,3-85,6 =12,7 (тыс. руб.).
Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периодесоставил 12,7 тыс. рублей за счет увеличения цен на 14,8%.
в) Чтобы рассчитать агрегатный индекс физического объематоварооборота, который будет характеризовать изменение объема продажи товаров,примем в качестве веса неизменные цены базисного периода и определим стоимостькаждого товара:
Iq = /> = /> = />= 1,001 или 100,1%,
Разность между числителем и знаменателем индекса физическогообъема товарооборота дает прирост (или снижение) товарооборота в неизменныхценах:
Δpq(q) = />–/>= 85,6-85,5 = 0,1 (тыс. руб.).
Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периодеза счет увеличения количества проданного товара на 0,1% составил 0,1 тыс. руб.
Связь между изменениями объема товарооборота, количествомпродажи товаров и уровнем их цен выражается в системе взаимосвязанных индексов:
/>/>=/>или />= Ipq,
тогда в нашем примере:
1,148*1,001=1,150
Произведение двух индексов (/>) дает нам показатель динамики товарооборота вфактических ценах (Ipq), то есть засчет роста цен на 14,8% (в абсолютной сумме – 12,7 тыс.руб.) и увеличенияобъема продаж на 0,1% (в абсолютной сумме – 100 руб.), товарооборот увеличилсяв отчетном году на 15% (в абсолютной сумме – 12,8 тыс.руб.).
2. а) Индекс цен переменного состава определим по следующейформуле:
/>=/>=/>:/>
или />=/>:/>=/>=1,0648 или 106,48%.
Средняя цена единицы продукции по двум заводам возросла на 6,48%.
б) Индекс постоянного состава определим по агрегатномуиндексу цен:
Ip = /> = /> = /> = 1,0652 или 106,52%.
Это означает, что в среднем по двум заводам цена единицыповысилась на 6,52%.
в) Индекс структурных сдвигов определим по формуле:
Iстр = />:/>
илиIстр = />:/>=/>=0,9995 или 99,95%
Средняя цена единицы по двум заводам снизилась на 0,05% засчет изменения удельного веса на отдельном заводе в общем выпуске продукции.
Покажем взаимосвязь трех исчисленных индексов:
/>=/> или 1,0652 = />.
Общий вывод: Если бы происшедшие изменения цен продукции несопровождались перераспределениями в ее выпуске, то средняя себестоимостьпродукции по двум заводам выросла бы на 6,48%.
Изменение структуры выпуска продукции в общем объеме вызвалоснижение цен на 0,05%. Одновременное воздействие двух факторов увеличилосреднюю цену продукции по двум заводам на 6,52%.
группировка среднийприрост дисперсия
Задача № 7
По заводу имеются следующие данные овыпуске продукции:
Таблица 7.1Вид продукции Выпуск продукции в I квартале, тыс. руб. Увеличение (+) или уменьшение (-) выпуска продукции во II квартале по сравнению с I кварталом, % Рельсы трамвайные 22300 +3,0 Чугун литейный 15800 -2,0 Железо листовое 10500 +1,5
1.Определить общий индекс физическогообъема продукции.
2.Определить сумму изменения затрат засчет объема произведенной продукции.
Решение:
1. Определим индивидуальные индексыфизического объема товарооборота в таблице:
Таблица 7.2Вид продукции Выпуск продукции в I квартале, тыс. руб. Индивидуальный индекс физического объема, т/об Рельсы трамвайные 22300 1,03 Чугун литейный 15800 0,98 Железо листовое 10500 1,015
q = /> = /> = /> = 1,011
Физический объем продукции увеличился на1,1%.
2. Сумма изменения затратравна 49110,5-48600 = 510,5 тыс.руб.
Таким образом за счетувеличения физического объема продукции на 1,1% сумма затрат увеличилась на510,5 тыс.руб.
Задача № 8
Для изучения тесноты связи между объемомпроизведенной продукции (факторный признак – Х) и балансовой прибылью(результативный признак – У) по данным задачи № 1 вычислите эмпирическоекорреляционное отношение.
Сделайте выводы.
Решение:
Для расчета межгрупповойдисперсии строим расчетную таблицу 8.1.
Таблица 8.1
Расчет среднего квадратического отклоненияГруппы банков по объему произведенной продукции
Число банков
n Сумма прибыли на один банк, млн.руб. У
/>
(/>)2
(/>)2n 305-404 4 15,00 -22,520 507,150 2028,602 405-503 5 28,00 -9,520 90,630 453,152 504-602 6 36,67 -0,853 0,728 4,369 603-701 5 45,60 8,080 65,286 326,432 702-800 5 58,00 20,480 419,430 2097,152 Итого: 25
/>37,52 4909,707
Рассчитаем межгрупповуюдисперсию по формуле
/> = />=/>=196,388
Для расчета общейдисперсии возведем все значения «у» (валовую прибыль) в квадрат.
Таблица 8.2
Валовая прибыль, млн.руб.
У
Валовая прибыль, млн.руб.
У2
Валовая прибыль, млн.руб.
У
Валовая прибыль, млн.руб.
У2
Валовая прибыль, млн.руб.
У
Валовая прибыль, млн.руб.
У2 45 2025 59 3481 41 1681 11 121 28 784 36 1296 33 1089 43 1849 12 144 27 729 23 529 50 2500 55 3025 35 1225 29 841 64 4096 54 2916 38 1444 14 196 26 676 49 2401 37 1369 58 3364
ИТОГО
40362 41 1681 30 900
Рассчитаем общую дисперсию по формуле:
/> = /> – /> = /> – 37,522 = 206,73
Тогда коэффициент детерминации будет:
η2 =/>= /> = 0,950.
Он означает, что вариация суммы выданных банком кредитов на95% объясняется вариацией размера процентной ставки и на 5% – прочимифакторами.