RSAПерший алгоритм кодування з відкритим ключем (Public Key Encryption, далі PKE) було запропоновано Вітфілдом Діффі та Мартіном Хелманом у Стендфордському університеті. Вони, а також незалежно від них Ральф Меркл, розробили основні його поняття у 1976 році. Перевага PKE полягає у відсутності потреби секретної передачи ключа. PKE базується на нерозв’язності проблеми розкладу натурального числа на прості множники. RSA схему шифрування було запропоновано у 1978 році та названо іменами трьох його винахідників: Роном Рівестом (Ron Rivest), Аді Шаміром (Adi Shamir) та Леонардом Адлеманом (Leonard Adleman). RSA належить до класу алгоритмів кодування з відкритим ключем. У 80-х роках криптосистема переважно використовувалася для забезпечення секретності та достовірності цифрових даних. У сучасному світі RSA використовується в web – серверах та браузерах для зберігання таємності даних що передаються по мережі, . Схема RSA базується на обчисленні виразів зі степенями. Відкритий текст шифрується блоками, довжина кожного із яких менша за деяке число n.^ Алгоритм генерації ключа A повинен згенерувати відкритий та секретний ключі: 1. Згенерувати два великих простих числа p та q приблизно однакової довжини; 2. Обчислити n = p * q, fi = (p – 1) * (q – 1); 3. Вибрати натуральне e, 1 4. Використовуючи розширений алгоритм Евкліда, розв’язати рівнянняd * e 1 (mod fi). Відкритий ключ: (n, e). Секретний ключ: d.Схема шифрування RSAB шифрує повідомлення m та надсилає A. 1. Шифрування. В робить наступні дії: а) отримати відкритий ключ (n, e) від А; б) представити повідомлення у вигляді натурального числа m з проміжку [1..n]; в) обчислити c = me mod n; г) надіслати шифротекст c до А. 2. Дешифрування. Для отримання повідомлення m із шифротксту c А робить наступні дії: а) використовуючи секретний ключ d, обчислити m = cd mod n.Теорема. Шифр c декодується правильно. Оскільки p та q – прості числа, то (p * q) = (n) = (p - 1) * (q - 1), де – функція Ейлера. З умови вибору ключа d маємо: d * e mod (n) = 1, або d * e = (n) * k + 1 для деякого натурального k.cd mod n = (me)d mod n = m (e * d) mod n = m ^ ( (n) * k + 1) mod n = (m (n) mod n) k * m = 1 k * m = m, оскільки за теоремою Ейлера m (n) mod n = 1.Означення. RSA системою називають функцію RSAn,e(x) = xe mod n та обернену їй RSA-1n,e(y) = yd mod n, де e – кодуюча, а d – декодуюча експонента, x, y Zn*.Приклад 1. Оберемо два простих числа: p = 17, q = 19; 2. Обчислимо n = 17 * 19 = 323, fi = (p - 1) * (q - 1) = 16 * 18 = 288; 3. Оберемо e = 7 (НСД(e, fi) = 1) та розв’яжемо рівняння 7 * d 1 (mod 288), звідки d = 247. Побудовано RSA систему: p = 17, q = 19, n = 323, e = 7, d = 247. Відкритий ключ: n = 323, e = 7, секретний ключ: d = 247.1. m = 4. Кодування: 47 mod 323 = 234. Декодування: 234247 mod 323 = 4. 2. m = 123. Кодування: 1237 mod 323 = 251. Декодування: 251247 mod 323 = 123.^ Циклічна атака За відомим шифром c (c = me mod n) злодій, маючи відкритий ключ e та n, бажає знайти повідомлення m. Він починає будувати послідовність чиселc, ce, , , … Оскільки обчислення відбуваються в групі Zn*, то елемпнти послідовності знаходяться в межах від 0 до n - 1. Отже існує таке натуральне k, що с = . Враховуючи що c = me mod n, маємо: me = або m = . Таким чином для знаходження повідомлення m за його шифром c необхідно побудувати послідовність c, ce, , , …, , = c, і взяти її передостаннє число.Приклад Розв’язати рівняння: m7 mod 323 = 251.e = 7, n = 323, c = 251. k 0 251 1 310 2 47 3 4 4 234 5 123 6 251 З таблиці маємо: c = = 251. Оскільки me = , то m = = 123.^ Атака методом осліплення Припустимо, А має секретний ключ RSA системи, а Z – злодій, який перехопив шифр c і хоче декодувати його. При цьому А відмовляє видати Z вихідний текст m. Тоді Z обирає деяке значення b Zn*, обчислює c’ = be * c і просить А дешифрувати його. А погоджується дешифрувати c’ своїм секретним ключем d, оскільки зміст повідомлення c’ йому ні про що не говорить і виглядає невинним. Отримавши m’ = c’d mod n, злодій Z обчислює m = m’ / b і отримує шукане m. Шифром m дійсно є c, оскільки me = m’e / be = c’de / be = c’ / be = c. Така атака можлива, оскільки А не знає повної інформації про шифр c’, який дає йому злодій Z.Приклад. Нехай А має RSA систему: p =17, q = 19, n = 323, e = 7, d = 247. Злодій Z перехопив шифр c = 234 і хоче знайти таке m, що m7= 234 mod 323. 1. Z обирає b = 10 Z323*, обчислює c’ = 107 * 234 mod 323 = 14 і просить А дешифрувати його. A обчислює m’ = 14247 mod 323 = 40 і передає його Z. 3. Z знаходить шукане повідомлення обчислюючи m = 40 / 10 = 40 * 10-1 = 40 * 97 = 4 mod 323. Таким чином 47 = 234 mod 323.^ Прискорення дешифрування За допомогою китайської теореми про лишки можна прискорити процес дешифрування, знаючи секретні прості числа p та q.Алгоритм Дешифрування. А має декодуючу експоненту d, а також p та q (n = p * q). А отримує від В шифр с та повинен виконати операцію cd (mod n). 1. Обчислити dp = d mod (p - 1), dq = d mod (q - 1) 2. Обчислити mp = mod p, mq = mod q. 3. Розв’язати систему лінійних порівнянь Розв’язком системи буде декодоване повідомлення: m = cd (mod n).Приклад Нехай RSA система має вигляд: p = 17, q = 19, n = 323, e = 7, d = 247. Для розв’язку рівняння m7 mod 323 = 251 (c = 251) обчислимо 251247 mod 323: 1. dp = 247 mod 16 = 7, dq = 247 mod 18 = 13; 2., mp = 2517 mod 17 = 4, mq = 25113 mod 19 = 9; 3. Розв’яжемо систему лінійних порівнянь Розв’язуючи її методом Гауса, отримаємо m = 123. Отже 1237 mod 323 = 251.^ Мала декодуюча експонента Приклад. Виберемо аовідомлення m = 13 та зашифруємо його трьома різними RSA системами. 1. p = 5, q = 17, n = 85, e = 3, d = 57,m3 mod 85 = 72; 2. p = 11, q = 23, n = 253, e = 3, d = 169,m3 mod 253 = 173; 3. p = 17, q = 23, n = 391, e = 3, d = 261,m3 mod 391 = 242; Для знаходження повідомлення m за відкритими ключами (ni, ei ) та перехопленими шифрами ci складемо систему порівнянь Одним із її розв’язків буде x = 2197 = 133. Тобто шуканим повідомленням буде m = 13.^ Неприховані повідомлення Означення. Повідомлення m називається неприхованим, якщо його шифр дорівнює самому повідомленню, тобто me = m (mod n). Наприклад, повідомлення m = 0 та m = 1 завжди є неприхованими для довільних значень e та m.Твердження. Кількість неприхованих повідомлень в RSA системі дорівнює (1 + НСД(e - 1, p - 1)) * (1 + НСД(e - 1, q - 1))Оскільки значення e - 1, p - 1 та q - 1 – парні, то НСД(e - 1, p - 1) 2, НСД(e - 1, q - 1) 2, а отже кількість неприхованих повідомлень завжди не менша за 9. Copyright by Медведєв Михайло Геннадійович