Оглавлениевведение 3 Глава I. Математические способности 6 1.1 Математические способности и личность 6 1.2 О природе математических способностей 9 1.3 Специфичность математических способностей 15Глава II. Текстовые задачи в начальном курсе математики………………… 18 2.1 Роль задачи в начальном курсе математики 18 2.2 Мотивационная функция задач в обучении математике 23 2.3 Понятие текстовой задачи. Виды задач 36Глава III. Развитие математических способностей в процессе обучению задач 42 3.1 Способы решения текстовых задач 42 3.2. Приёмы развития логического мышления младших школьников 47 3.3 Использование вспомогательных моделей в процессе решения текстовых задач 51 3.4 Обобщение опыта работы учителя……………………………………62Заключение 68Список используемой литературы 74ПриложениевведениеНельзя быть образованным человеком, не зная математики. С древнейших времен каждый образованный человек изучал и обязательно знал математику. Многие известные всему миру ученые-философы были одновременно не менее известными математиками: Демокрит, Аристотель,Улугбек, Навои, Декарт, Лейбниц. Немецкий философ Кант занимал должность профессора математики университета. Главный труд наших ребят — это учение, и поэтому очень важно научить их разумно учиться. Между тем зачастую школьники учатся этому чисто стихийно, неуправляемо, лишь подражая взрослым или своим сверстникам, заимствуя не всегда рациональные способы и приемы учения, а иногда примитивные и даже вредные (вроде зубрежки), что приводит в конечном итоге к неуспеваемости, калечит умственные способности. В особо трудном положении находится в настоящее время школьная математика. Общепризнанно, что она является наиболее трудоемким учебным предметом, требующим от учащихся повседневной, кропотливой и значительной по объему самостоятельной работы, причем весьма специфичной и разнообразной. Программа же не отводит специального времени для овладения методами и приемами учебной работы. Весьма часто малые успехи в изучении математики пытаются объяснить отсутствием способности к математике. Способности, в том числе и математические, есть у каждого человека. Они неодинаковые, конечно: у одних — лучше, у других — хуже. Но все зависит от хозяина этих способностей: как он ими распоряжается, как он их развивает[1]. Математика проникает почти во все области деятельности человека, что положительно сказалось на темпе роста научно-технического прогресса. В связи с этим стало жизненно необходимым усовершенствовать математическую подготовку подрастающего поколения. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. В тоже время решение задач способствует развитию логического мышления. Математика начинается вовсе не со счета, что кажется очевидным, а с загадки, проблемы. Чтобы у младшего школьника развивалось творческое мышление, необходимо, чтобы он почувствовал удивление и любопытство, повторил путь человечества в познании,удовлетворил с аппетитом возникшие потребности в записях. Только через преодоление трудностей, решение проблем, ребенок может войти в мир творчества. Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала[2]. Математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Следовательно, научить детей владеть умением решения задачи, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и речи.Все выше сказанное определяет актуальность выбранной темы. Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определенной, приспособленной к их пониманию системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знанийучащиеся пользуются основными операциями мышления в доступном для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает математическое мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания. Предметом исследования является процесс обучения математики в начальной школе. Объектом исследования является процесс обучения младших школьников решению задач, как средство развития математических способностей. Цели данной работы: Определить роль задач в развитии математических способностей учащихся начальных классов. Задачи: 1. Изучить и проанализировать научно-методическую литературу по данной проблеме; 2. Охарактеризовать математические способности учащихся начальных классов; 3. Определить место задач в начальном курсе математики; 4. Разработать методические рекомендации для учителей по развитию математически способностей. Гипотеза: Нетрадиционные подходы, формы, методы работы при обучении младших школьников решению задач способствуют развитию математических способностей и лучшему усвоению материала. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы.Глава I. Математические способности1.1 Математические способности и личностьПрежде всего следует отметить характеризующее способных математиков и совершенно необходимое для успешной деятельности в области математики «единство склонностей и способностей в призвании», выражающееся в избирательно-положительном отношении к математике, наличии глубоких и действенных интересов в соответствующей области, стремлении и потребности заниматься ею, страстной увлеченности делом. Нельзя стать творческим работником в области математики, не переживая увлеченности этой работой, — она порождает стремление к поискам, мобилизует трудоспособность, активность. Без склонности к математике не может быть подлинных способностей к ней. Если ученик не чувствует никакой склонности к математике, то даже хорошие способности вряд ли обеспечат вполне успешное овладение математикой. Роль, которую здесь играют склонность, интерес, сводится к тому, что интересующийся математикой человек усиленно занимается ею, а следовательно, энергично упражняет и развивает свои способности[3]. На это указывают постоянно сами математики, об этом свидетельствуют вся их жизнь и творчество. Многочисленные исследования и составленные характеристики одаренных учащихся ярко свидетельствуют о том, что способности действенно развиваются только при наличии склонностей или даже своеобразной потребности в математической деятельности (в относительно элементарных ее формах). Все без исключения наблюдаемые дети обладали обостренным интересом к математике, склонностью заниматься ею, ненасытным стремлением к приобретению знаний по математике, решению задач. Но если способности, как правило, связаны со склонностью, то это не носит все-таки характера всеобщего закона. Ошибочно было бы, скажем, диагностировать наличие или отсутствие способностей по тому, имеется ли и как ярко выражена склонность к соответствующему виду деятельности. В отдельных случаях здесь может быть и расхождение... В школе нередко встречаются такие случаи: способный к математике ученик мало интересуется ею и не проявляет особых успехов в овладении этим предметом. Но если учитель сумеет пробудить у него интерес к математике и склонность заниматься ею, то такой ученик, «захваченный» математикой, может быстро добиться больших успехов. Подобные случаи имели место и в жизни известных ученых-математиков (Н. И. Лобачевский, М. В. Остроградский, Н. Н. Лузин и другие)[4]. Переживаемые человеком эмоции являются важным фактором развития способностей к любой деятельности, не исключая и математической. Радость творчества, чувство удовлетворения от напряженной умственной работы, эмоциональное наслаждение этим процессом повышают умственный тонус человека, мобилизуют его силы, заставляют преодолевать трудности. Равнодушный человек не может быть творцом. Все изученные одаренные дети отличались глубоким эмоциональным отношением к математической деятельности, переживали настоящую радость, вызванную каждым новым достижением. Большое значение в математическом творчестве имеют своеобразные эстетические чувства. Известный математик А. Пуанкаре писал о подлинно эстетическом чувстве, которое переживают математики,— чувстве математической красоты, гармонии чисел и форм, о чувствегеометрического изящества. «Математик творит, потому что красота мыслительных построений приносит ему радость»,— писал Г, Ревеш, Это переживание изящества решения оценивались весьма высоко. Известный математик XIX в. В. Я Буняковский был поэтом. Английский профессор математики Ч. Л. Доджсон (XIX в.) был талантливым детским писателем, написал под псевдонимом Льюиса Кэррола известную книгу «Алиса в стране чудес». С другой стороны, поэт В. Г. Бенедиктов написал популярную книгу по арифметике. А. С. Грибоедов успешно учился на математическом факультете университета. Известный драматург А. В. Сухово- Кобылин получил математическое образование в Московском университете, проявлял большие способности к математике и за работу «Теория цепной линии» получил золотую медаль. Серьезно интересовался математикой Н. В. Гоголь. М. Ю. Лермонтов очень любил решать математические задачи. Серьезно занимался методикой преподавания арифметики Л. Н. Толстой. Во-вторых, можно указать на целый ряд зарубежных исследований, которые показали (правда, основываясь только на тестовой методике и корреляционном и факторном анализе) слабую корреляцию между показателем интеллекта (известно, что способность к обобщению — одна из важнейших характеристик общего интеллекта) и тестами на достижения в математике. В-третьих, для обоснования нашей точки зрения можно сослаться на учебные показатели (оценки) детей в школе. Многие учителя указывают, что способность к быстрому и глубокому обобщению может проявляться в каком-нибудь одном предмете, не характеризуя учебной деятельности школьника по другим предметам[5]. Некоторые из испытуемых, проявляющих, например, способность к обобщению «с места» в области математики, не обладали этой способностью в области литературы, истории или географии. Имели место и обратные случаи: учащиеся, хорошо и быстро обобщающие и систематизирующие материал по литературе, истории или биологии, не проявляли подобной способности в области математики. Все сказанное выше позволяет сформулировать положение о специфичности математических способностей в следующем виде. Те или иные особенности умственной деятельности школьника могут характеризовать только его математическую деятельность, проявляться только в сфере пространственных и количественных отношений, выраженных средствами числовой и знаковой символики, и не характеризовать других видов его деятельности, не корректировать с соответствующими проявлениями в других областях. Таким образом, общие по своей природе умственные способности (например, способность к обобщению) могут в ряде случаев выступать как специфические способности (способность к обобщению математических объектов, отношений и действий). Мир математики — мир количественных и пространственных отношений, выраженных посредством числовой и знаковой символики, очень специфичен и своеобразен[6]. Математик имеет дело с условными символическими обозначениями пространственных и количественных отношений, мыслит ими, комбинирует, оперирует ими. И в этом очень своеобразном мире, в процессе весьма специфической деятельности общая способность так преобразуется, так трансформируется, что, оставаясь общей по своей природе, выступает уже как специфическая способность. Разумеется, наличие специфических проявлений общей способности никак не исключает возможности других проявлений этой же общей способности (как наличие у человека способностей к математике не исключает наличия у него же способностей и в других областях).1.2 О природе математических способностейМатериалы исследования — анализ многочисленной литературы, анализ случаев чрезвычайно высокой математической одаренности в детском и зрелом возрасте (последнее — по биографическим материалам) позволяют выделить некоторые факты, представляющие особый интерес для постановки вопроса о природе математической одаренности. Эти факты таковы: 1) частое (хотя и не обязательное) весьма раннее формирование способностей к математике, нередко в неблагоприятных условиях (например, при явном противодействии родителей, опасающихся столь раннего яркого проявления способностей) и при отсутствии на первых порах систематического и целенаправленного обучения; 2) острый интерес и склонность к занятиям математикой, также часто проявляющиеся в раннем возрасте; 3) большая (и часто избирательная) работоспособность в области математики, связанная с относительно малой утомляемостью в процессе напряженных занятий математикой; 4) характеризующая очень способных к математике людей математическая направленность ума как своеобразная тенденция воспринимать многие явления через призму математических отношений, осознавать их в плане математических категорий. Все это позволяет выдвинуть гипотезу о роли прирожденных функциональных особенностей мозга в случаях особой математической одаренности — мозг некоторых людей своеобразно ориентирован (настроен) на выделение из окружающего мира раздражителей типапространственных и числовых отношений и символов и на оптимальную работу именно с такого рода раздражителями. В ответ на раздражители, имеющие математическую характеристику, связи образуются относительно быстро, легко, с меньшими усилиями и меньшей затратой сил[7]. Аналогично неспособность к математике (имеются в виду также крайние случаи) имеет своей первопричиной большую затрудненность выделения мозгом раздражителей типа математических обобщенных отношений, функциональных зависимостей было очень характерным для наблюдаемых способных учащихся. «Красивое решение!», «Вот этот прием, как хорошая шахматная комбинация, вызывает у меня чувство удовольствия»,— говорили школьники. И весь их облик свидетельствовал о переживаемом ими эстетическом чувстве — их глаза радостно блестели, они довольно потирали руки, смеялись, приглашали друг друга полюбоваться остроумным ходом мысли, особенно «изящным» решением. Возможность полного и интенсивного развития математических способностей, как и способностей, вообще, всецело зависит от уровня развития характерологических черт, особенно волевых черт характера. Как бы ни были блестящи способности человека, но если у него нет привычки усидчиво и упорно работать, он вряд ли способен достигнуть больших успехов в деятельности. Он в лучшем случае так и останется лишь потенциально способным... Упорство, настойчивость, работоспособность, трудолюбие постоянно проявлялись в математической деятельности наблюдаемых одаренных учащихся...[8] Впрочем, бывают и исключения. Некоторые школьники, обладающие математическими способностями, ошибочно считают, что в области математики им не надо особенно трудиться, так как способности их «вывезут». Учителя и родители должны постоянно убеждать их в том, что овладение математикой даже при наличии способностей требует трудолюбия, настойчивости, усидчивости, должны терпеливо воспитывать эти качества, побуждать школьников не отступать перед трудностями при решении математических задач, доводить дело до конца. Разумеется, все сказанное выше о характерологических чертах ученого-математика надо понимать в том смысле, что указанные черты могут проявляться избирательно, только в математической деятельности, не характеризуя других сторон его жизни и деятельности. Совершенно правильно указывают А. Г. Ковалев и В. Н. Мясищев, что ученый, в том числе и математик, может иметь слабую волю, плохую работоспособность, быстро утомляться, но в математической деятельности он же может проявлять совсем другие черты: высокую организованность, настойчивость, работоспособность. Еще одна черта характера свойственна подлинному ученому— критическое отношение к себе, своим возможностям, своим достижениям, скромность, правильное отношение к своим способностям. Надо иметь в виду, что при неправильном отношении к способному школьнику — захваливании его, чрезмерном преувеличении его достижений, афишировании его способностей, подчеркивании его превосходства над другими — очень легко внушить ему веру в свою избранность, исключительность, заразить его «стойким вирусом зазнайства». И, наконец, последнее. Математическое развитие человека невозможно без повышения уровня его общей культуры. Нужно всегда стремиться к всестороннему, гармоничному развитию личности. Своеобразный «нигилизм» ко всему, кроме математики, резко одностороннее, «однобокое» развитие способностей не могут способствовать успешности в математической деятельности Собранный экспериментальный и неэкспериментальный материал, изучение специальной литературы позволяют говорить о компонентах, занимающих существенное место вструктуре такого интегрального качества ума, как математическая одаренность. Общая схема структуры математических способностей в школьном возрасте представляется следующим образом[9]: 1. Получение математической информации Способность к формализованному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи. 2. Переработка математической информации а) Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическимисимволами. б) Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий. в) Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами. г) Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности. д) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений. е) Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении). 3. Хранение математической информации Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним). 4. Общий синтетический компонент Математическая направленность ума. Выделенные компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, целостную структуру, своеобразный синдром математической одаренности, математический склад ума. Не входят в структуру математической одаренности те компоненты, наличие которых в этой структуре не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее, степень развития) определяют тип математического склада ума. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты[10]: Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика. Индивидуальный темп работы не играет решающего значения. Математик может размышлять неторопливо, даже медленно, но очень обстоятельно и глубоко. Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме). Известно, что есть люди, способные производить в уме сложные математические вычисления (почти мгновенное возведение в квадрат и куб трехзначных чисел, извлечение кубического корня из шестизначных чисел), но не умеющие решить сколько-нибудь сложной задачи. Известно также, что существовали и существуют феноменальные «счетчики», не давшие математике ничего, а выдающийся французский математик А. Пуанкаре писал о себе, что безошибки не может сделать даже сложения. Память на цифры, числа, формулы. Как указывал академик А. Н. Колмогоров, многие выдающиеся математики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью такого рода. Способность к пространственным представлениям. Способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости. Следует подчеркнуть, что схема структуры математических способностей имеет в виду математические способности школьника. Нельзя заранее, до специального изучения, сказать, в какой мере ее можно считать общей схемой структуры математических способностей, в какой мере ее можно отнести к вполне сложившимся одаренным математикам[11]. Разумеется, конкретное содержание структуры способностей в немалой степени зависит от методов обучения, так как она складывается в процессе обучения. Но установленные нами компоненты при всех условиях должны входить в эту структуру. Невозможно представить, например, чтобы при какой-либо системе обучения способность к обобщению или математическая память не входили в структуру математических способностей. Анализируя схему структуры математической одаренности, можно заметить, что определенные моменты в характеристике персептивной, интеллектуальной и мнемической сторон математической деятельности имеют общее значение... Поэтому развернутую схему структуры можно представить и в иной, чрезвычайно сжатой формуле: математическая одаренность характеризуется обобщенным, свернутым и гибким мышлением в сфере математических отношений, числовой и знаковой символики и математическим складом ума. Эта особенность математического мышления приводит к увеличению скорости переработки математической информации (что связано с заменой большого объема информации малым объемом — за счет обобщения и свертывания) и, следовательно, экономии нервно-психических сил. Указанные способности в разной степени выражены у способных, средних и неспособных учеников. У способных при некоторых условиях такие ассоциации образуются «с места», при минимальном количестве упражнений. У неспособных же они образуются с чрезвычайным трудом. Для средних же учащихся необходимым условием постепенного образования таких ассоциаций является система специально организованных упражнений, тренировка[12].1.3 Специфичность математических способностейВозникает вопрос,: в какой степени выделенные компоненты являются специфически математическими способностями? Рассмотрим с этой точки зрения одну из основных способностей, выделенных в структурематематической одаренности, — способность к обобщению математических объектов, отношений и действий. Разумеется, способность к обобщению — по природе своей общая способность и обычно характеризует общее свойство обучаемости. Но речь-то идет в данном случае не о способности к обобщению, а о способности к обобщению количественных и пространственных отношений, выраженных в числовой и знаковой символике. Чем можно аргументировать точку зрения, заключающуюся в том, что способность к обобщению математического материала есть специфическая способность? Во-первых, тем, что эта способность проявляется в специфической сфере и может не корректировать с проявлением соответствующей способности в других областях. Иными словами, человек, талантливый вообще, может быть бездарным в математике. Д. И. Менделеев в школе отличался большими успехами в области математики и физики и получал нули и единицы по языковым предметам. А. С. Пушкин, судя по биографическим данным, учась в лицее, пролил много слез над математикой, приложил много трудов, но «успехов приметных не оказал». Правда, есть немало случаев и сочетания математической и, например, литературной одаренности. Математик С. Ковалевская была талантливой писательницей, ее литературные произведения числовых абстрактов и символов и затрудненность операций с ними. Иными словами, некоторые люди обладают такими прирожденными характеристиками строения и функциональных особенностей мозга, которые крайне благоприятствуют (или, наоборот, весьма не благоприятствуют) развитию математических способностей[13]. И на сакраментальный вопрос: «Математиком можно стать или им нужно родиться?» — гипотетически ответили бы так: «Обычным математиком можно стать; выдающимся, талантливым математиком нужно и родиться». Впрочем, здесь мы не оригинальны, — многие выдающиеся ученые утверждают это же. Мы уже приводили слова академика А. Н. Колмогорова: «Талант, одаренность в области математики даны от природы не всем». О том же говорит и академик И. Е. Тамм: «Творить новое под силу только специально одаренным людям» (речь идет о научном творчестве высокого уровня).Все это сказано пока лишь в порядке гипотезы. Выяснение физиологической природы математических способностей является важной задачей дальнейших исследований в этой области. Современный уровень развития психологии и физиологии вполне позволяет поставить вопрос о физиологической природе и физиологических механизмах некоторых специфических способностей человека. Таким образом, одной из задач начального курса математике является развитие математических способностей. Математическая способность характеризуется обобщённым, свёрнутым и гибким мышлением в сфере математических отношений, числовой и знаковой символики и математическим складом ума. Глава II. Текстовые задачи в начальном курсе математики2.1 Роль задачи в начальном курсе математикиНачальный курс математики раскрывается на системе целесообразно подобранных задач. Значительное место занимают в этой системе текстовые задачи. При рассмотрении смысла арифметических действий, связи существующей между действиями, и взаимосвязи между компонентами и результатами действий непременно используются соответствующие простые текстовые задачи (задачи, решаемые одним арифметическим действием). Текстовые задачи служат также одним из важнейших средств ознакомления детей с математическими отношениями, выражаемыми словами «быть на столько-то больше (меньше)», «быть на столько-то раз больше (меньше)». Они используются и в целях уяснения понятия доли (задачи на нахождение доли величины и искомого значения величины по доле). Текстовые задачи помогают и при формировании ряда геометрических понятий, а также при рассмотрении элементов алгебры. Если мы хотим сформировать у школьников правильное понятие о сложении, необходимо, чтобы дети решили достаточное количество простых задач на нахождение суммы, практически выполняя каждый раз операцию объединения множеств без общих элементов. Выступая в роли конкретного материала для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач формирует у детей практические умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни[14]. Например, подсчитать стоимость покупки, вычислить в какое время надо выйти, чтобы не опоздать на поезд и т.п. Использование задач в качестве конкретной основы для ознакомления с новыми знаниями и для применения уже имеющихся у детей знаний играет исключительно важную роль в формировании у детей элементов материалистического мировоззрения. Решая задачи, ученик убеждается, что многие математические понятия, имеют корни в реальной жизни, в практике людей. Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами. Так, содержание многих задач, решаемых в начальных классах, отражает труд детей и взрослых, достижения нашей страны в области народного хозяйства, техники, науки, культуры. Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно рисует условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в результате многократного решения задач какого-либо вида ученик обобщает знания связей между данными и искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается способ решения задач этого вида. Задачи выполняют очень важную функцию в начальном курсе математики – они являются полезным средством развития у детей логического мышления, умения проводить анализ и синтез, обобщать, абстрагировать и конкретизировать, раскрывать связи, существующие междурассматриваемыми явлениями. Решение задач – упражнения, развивающие мышление. Мало того, решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением. Овладение основами математики немыслимо без решения и разбора задачи, что является одним из важных звеньев в цепи познания математики, этот вид занятий не только активизирует изучение математики, но и прокладывает пути к глубокому пониманию её. Работа по осознанию хода решения той или иной математической задачи даёт импульс к развитию мышления ребенка. Решение задач нельзя считать самоцелью, в них следует видеть средство к углублённому изучению теоретических положений и вместе с тем средство развития мышления, путь осознания окружающей действительности, тропинку к пониманию мира[15]. Кроме того, нельзя забывать, что решение задач воспитывает у детей многие положительные качества характера и развивает их эстетически. Развитие младшего школьника — важная составная часть педагогического процесса. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал — одна из основных задач современной школы. Успешная реализация этой задачи во многом зависит от сформированности у учащихся познавательных интересов. В развитии познавательной деятельности младшего школьника особую роль играет мышление. П.П. Блонский подчеркивал: «Мышление – та функция, интенсивнейшее развитие которой является одной из самых характерных особенностей школьного возраста. Ни в ощущении, ни мнемических способностях нет такой огромной разницы между ребенком 6 – 7 лет и юношей 17 – 18 лет, какая существует в их мышлении»[16]. В тесной связи с мышлением развиваются все познавательные процессы. Именно с развитием мышления складываются такие важные новообразования школьного возраста, как внутренний план действий (действий «в уме») и рефлексия (умение рассматривать и оценивать свои собственные действия)[17]. Математика даёт реальные предпосылки для развития мышления, задача учителя — полнее использовать эти возможности при обучении детей математике. Однако, конкретной программы приемов мышления, которые должны быть сформулированы при изучении данного предмета, нет. В результате работа над развитием мышления идёт без знания системы необходимых приёмов, без знания их содержания и последовательности формирования. Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определённой, приспособленной к их пониманию, системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знанийучащиеся пользуются основными операциями мышления в достигнутом для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания. Познавая предметы и явления окружающей действительности, мы можем мысленно расчленять предмет или явление на составные части и мысленно же соединять части в одно целое. Операция мышления, направленная на расчленение целого на составляющие его части, называется анализом. Операция мышления, направленная на установление связи между предметами или явлениями, называется синтезом. Эти операции мышления взаимно связаны. Ф. Энгельс отмечает, что «...мышление состоит столько же в разложении предметов создания на их элементы, сколько в объединении связанных друг с другом элементов в некоторое единство. Без анализа нет синтеза».[18]. Анализ и синтез, взаимно связанные операции мышления, находят постоянное применение, как при изучении элементов арифметической теории, так и при решении примеров и задач. Уже на первых шагах обучения при изучении чисел первого десятка учащиеся пользуются наглядно-действенным анализом (разложением) предметных множеств на составляющие их элементы и наглядно-действенным синтезом (соединением), группируя элементы во множества. Наглядный анализ и синтез сменяется затем анализом и синтезом по представлению: ребёнок может выполнить разложение чисел или их соединение, оперируя со зрительными образами, которые сохраняются в его памяти и могут быть воспроизведены в его сознании. Более высокой ступенью является умственный анализ и синтез, выполняемый мысленно при помощи внутренней речи. При обучении любому разделу математики приходится опираться на анализ и синтез. Анализ и синтез, как взаимосвязанные мыслительные операции находят своё применение при решении текстовых задач. Ученик под руководством учителя, прежде всего, анализирует содержание задачи, расчленяя его на числовые данные, условия и вопрос. При решении составных арифметических задач требуется применить более сложный и более тонкий анализ и синтез. Анализ содержания составной задачи, так же как и простой, сводится к расчленению его на числовые данные, условия и вопрос. Однако сами данные, условие и искомое должны подвергнутся дополнительно анализу, расчленению на составляющие их элементы[19]. В процессе начального обучения математике находит своё применение приём сравнения, то есть выделение сходных и различных признаков у рассматриваемых чисел, арифметических примеров, арифметических задач. После решения задач учащиеся сравнивают, каким действием решается та или другая задача: одна сложением, другая умножением, а затем сопоставляют способы решения с различиями в условиях задач. Такое сопоставление помогает учащимся лучше осознать смысл выражений «больше на несколько единиц» и «больше в несколько раз» и прочнее установить связь между условием каждой задачи и способом её решения. Сравнение основано на анализе и синтезе: необходимо расчленить каждую задачу на составляющие её элементы, а затем мысленно соединить сходные элементы, выделив при этом существенные различия. При объяснении учащимся новой для них по способам решения задачи с многозначными числами часто используется приём аналогии: учитель предлагает решить аналогичную задачу с небольшими числами, вычисления над к