Всейнашей жизнью правят законы вероятности. Кто знает, что ждет нас завтра — выигрышв лотерее или несчастный случай? Точно предсказать будущее невозможно. Но, обладаявсей нужной информацией, можно просчитать степень вероятности того или иногособытия.
Подбрасываямонетку, мы говорим, что вероятность выпадения «орла» или«решки» составляет 50 на 50. Это значит, что из 100 попыток монеталяжет 50 раз «орлом» вверх и столько же — «решкой». Впрочем,говорить о вероятности 50:50 не совсем верно, так как шанс или вероятностьданного события — это число происшедших событий, разделенное на общее числополученных результатов. Таким образом, и «орел», и «решка»могут выпасть по 50 раз из 100. Степень вероятности можно выразить как 50%, 0.5,1 из 2 или 1/2.
Шансы
Иногдавместо вероятности события мы говорим о шансах за или против, соотнося числошансов в пользу и против данного события. В случае с одной монеткой из двухвозможных результатов есть один шанс, что «орел» выпадет, и один — чтоне выпадет. Поэтому их соотношение составляет 1:1, или шансы равны. Говоря, чтоесть только два возможных варианта падения подброшенной монеты, мы отбрасываемничтожную вероятность падения монеты на ребро. Однако при вычислении шансов этоне имеет абсолютно никакого значения — этим результатом пренебрегут и подбросятмонету еще раз. Теперь попробуем подбрасывать сразу две монетки. В результатебудут выпадать либо два «орла», либо две «решки», либо«орел» и «решка». Казалось бы, шанс каждого из этихрезультатов равен 1/3. Однако, подбросив две монетки 100 раз подряд, выобнаружите, что два «орла» и две «решки» выпали примерно по25 раз, а комбинация одного «орла» с одной «решкой» — около50. Значит, шансы для двух «орлов» и двух «решек»составляют примерно по 1/4, зато для одного «орла» и одной«решки» — около 50/100 или 1/2. Почему же так получается?
Ответлегко найти, если взять одну медную и одну серебряную монетку. Комбинация«орел-решка» может выпасть двумя способами: либо медный«орел» и серебряная «решка», либо наоборот. Иными словами, возможныхрезультатов здесь не 3, а 4. Два из них дают комбинацию «орла» и«решки», и только по одному — два «орла» и две«решки». Вот почему комбинации «орел-решка» выпадают вдвоечаще, чем любая другая. В этом случае шансы против двух «орлов»составляют 2:1 и столько же против двух «решек», тогда как укомбинации «орел-решка» шансы 1:1.
Перестановки
Вслучае с двумя монетами математик сказал бы, что существуют четыре возможныеперестановки «орла» и «решки», но лишь в трех возможныхсочетаниях. Иными словами, перестановка «орел-решка» не идентичнаперестановке «решка-орел», но обе составляют одно сочетание. Здесьнетрудно запутаться, так как в повседневной жизни эти слова применяются вдругом значении. Цифровой замок, открывающийся комбинацией 1-2-3-4, неоткроется, если набрать 1-3-2-4. Будучи одним математическим сочетанием, обанабора цифр являются разными перестановками. Так что правильнее назвать этотзамок «перестановочным». Также неправильно называют пермутацией, или«перм», сочетание цифр на футбольном купоне.
Общеечисло перестановок, получаемых при подбрасывании монет, можно вычислить, перемноживколичества вариантов падения каждой монеты. Имея две монеты, мы получим 2x2 = 4перестановки. С 4 монетами получится 2 х 2 х 2 х 2=16 перестановок.
Такимже способом можно просчитать число перестановок для игральных костей. Скажем, длядвух костей их число равно 6 х 6 = 36, а для трех — 6x6x6 = 216.
Каковшанс того, что у двух первых попавшихся человек совпадут дни рождения? Еслипренебречь лишними днями високосных лет, тогда он равен 1/365. Иначе говоря, этовесьма маловероятно. Если взять класс из 36 учеников, можно подумать, что шанстакого совпадения все еще невелик — примерно 36 из 365 или 1/10. Но, как ниудивительно, на самом деле он гораздо выше — 8:10 или 80%.
Единственнойтрудностью в таких задачах является большое число возможных перестановок. Деньрождения может совпасть у Джона и Мэри, у Мэри и Фреда или у любой другой парыучеников. А в классе из 36 ребят существуют 630 возможных пар. Дело в том, чтоесть 36 вариантов выбора первого члена пары и 35 — второго. Перемножив 36 на 35,мы получим 1260 перестановок, но число сочетаний вдвое меньше этой цифры, таккак, например, перестановки «Джон-Мэри» и «Мэри-Джон»являются одним сочетанием. Поэтому общее число сочетаний равно 1260/2 = 630. Ксчастью, вместо того чтобы рассматривать все эти варианты, нашу задачу можнорешить проще. Рассмотрим вариант полного несовпадения дней рождения.
Еслимы попросим всех учеников по очереди назвать свой день рождения, то 364 шансаиз 365 или 364/365 будут за то, что второй из названных дней не совпадет спервым. Шанс несовпадения третьего из названных дней с первыми двумя составляет363 из 365, так как теперь могут совпасть уже две даты из 365. Продолжив доконца, вы обнаружите, что шанс несовпадения Зб-го по счету дня рождения состальными равен 330/365 или около 90%. Впрочем, шанс полного несовпадения днейрождения в классе можно вычислить, перемножив все эти дробные величины.Попробуйте сделать это на калькуляторе и увидите, что шанс полного несовпадениядней рождений равен примерно 20%.
А что в среднем?
Когдамы говорим о пятидесятипроцентной вероятности того, что что-то произойдет, мыимеем в виду, что это событие происходит в среднем в 50 случаях из 100. Норезультаты даже нескольких несложных опытов могут говорить об обратном. Возьмемкрайний случай. Подбросив монету всего один раз, мы получим либо стопроцентного«орла», либо стопроцентную «решку». Но, подбрасывая монетудостаточно много раз, мы увидим, что процент «орлов» приближается кпятидесяти. Кое-кто ошибочно полагает, что этот факт помогает предвидетьсобытия, зависящие исключительно от воли случая. Скажем, если «орел»выпал четыре раза подряд, то в очередной раз монета, скорее всего, упадет«решкой» вверх. Причина якобы в том, что ради сохранения золотойпятидесятипроцентной середины «решка» просто необходима. На самом жеделе в длинном ряду событий вряд ли найдется такая точка, где соотношение«орлов» и «решек» равнялось бы точно пятидесяти процентам, иречь идет только о цифре, вокруг которой оно будет колебаться. Но междурасчетным и фактическим количеством «орлов» и «решек»обычно всегда есть небольшое расхождение. К примеру, четыре лишних«орла» в ряду из 1000 подбрасываний (502 «орла», 498«решек») дадут результат очень близкий к пятидесяти процентампрогностических «орлов», который и будет рассматриваться какподтверждение расчетов. Правило же в том, что результат одного случайногособытия подобного типа не влияет на результат следующего. Такие событияназывают независимыми.
Невсе события независимы. Например, шанс вытянуть карту красной масти из обычнойколоды в 52 листа равен пятидесяти процентам. Однако после этого в вашей колодеостанется 25 красных карт из 51. Поэтому шанс вытянуть следующую красную картусоставит теперь 25/51 или около сорока девяти процентов. Разумеется, есливынутую карту каждый раз возвращать в колоду, то шанс вытянуть карту любогоцвета всегда будет равен пятидесяти процентам. В некоторых карточных играхопытные игроки могут постоянно выигрывать, цепко держа в памяти сброшенныекарты и оценивая шансы появления у них или у партнеров нужных им карт.
Букмекеры
Вазартных играх ради наживы или удовольствия делаются ставки на определенныйрезультат или событие. Не в силах бороться с искушением, некоторые людипросаживают за игорным столом баснословные деньги. Кое-кому, правда, удаетсясорвать куш, но большинство, в конечном счете, остается в проигрыше. Вот почемуигорным бизнесом промышляют отдельные люди, и целые компании ради прибыли, поступающейот клиентов. Букмекеры на скачках получают прибыль, предлагая на участниковзаезда ставки ниже (или выше) фактических. Скажем, если в забеге участвуютшесть абсолютно равных по силам гончих собак, шансы каждой из них на победуравны 1/6. Поэтому правильная ставка на каждого пса должна быть 5:1. Нобукмекер предлагает только 4:1. Это значит, что поставивший на победителяполучит обратно свои деньги плюс вчетверо больше. Если каждый из шести игроковпоставит 100 фунтов на свою собаку, букмекер получит 600 фунтов. Какая бы из них ни победила, он выплатит только 500 фунтов, т. е. 100 фунтов ставки плюс еще 400, оставив в кармане лишнюю сотню.
Игра для простаков
Напрактике букмекер изменяет ставки в зависимости от суммы поставленных денег.Ставки на признанного фаворита будут постепенно снижаться, чтобы сократитьвыплаты в случае его победы. В то же время ставки на заведомых«слабаков» будут повышаться, чтобы подстегнуть игроков. В конечномсчете, выигрывает букмекер, а игроки остаются в проигрыше.
Напервых порах Британская национальная лотерея подвергалась суровой критике из-засовершенно ничтожных шансов выиграть главный приз — примерно 14 миллионов кодному. Однако ее успеху во многом содействовала сама величина главного приза итот факт, что немалая часть денег, внесенных за билеты, идет наблаготворительные цели.
Страхование
Многиелюди заявляют, что они решительно против любых азартных игр. Тем не менее, каждыйиз нас играет с судьбой на свой лад. Даже переход улицы сопряжен с известнымриском, так как пешеходы иногда гибнут под колесами автомашин. Однако можносмягчить последствия несчастного случая, купив страховой полис. Страховка — этосвоего рода пари, которое мы надеемся проиграть. Иными словами, мы спорим состраховой компанией на то, что попадем в какую-нибудь беду. Если так ислучается, мы выигрываем пари, и компания выплачивает компенсацию нам илиближайшему родственнику в случае нашей смерти. Страховая компания, какзаправский букмекер, получает прибыль, выплачивая по страховкам меньше, чембыло собрано за проданные полисы.
Список литературы
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.sciencetechnics.com/