Трехмерная графика. Теория

Трехмерная графика Краткие теоретические сведения. Каждая точка пространства кроме начальной точки О может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел x,y,z,1 или, более обще, hx,hy,hz,h, где . Эта четверка определена однозначно с точностью до общего множителя. Предложенный подход дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных , трехмерных

задачах. Как известно, любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений растяжений, отражений и переносов. Поэтому достаточно подробно описать матрицы только этих последних преобразований. A. Матрицы вращения в пространстве. Матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол q Матрица вращения вокруг оси ординат на угол w Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол x

Б. Матрица растяжения сжатия здесь a 0 - коэффициент растяжения сжатия вдоль оси абсцисс,b 0-коэффициент растяжения сжатия вдоль оси ординат,y 0-коэффициент растяжения сжатия вдоль оси аппликат. В. Матрица отражения . Матрица отражения относительно плоскости xOy Матрица отражения относительно плоскости yOz Матрица отражения относительно плоскости zOx Г. Матрица переноса Здесь r,q,v-вектор переноса. Заметим, что, как и в двумерном случае , все выписанные

матрицы не вырождены. Ортографическая проекция - картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей или параллельна ей. Матрица проектирования вдоль оси Х на плоскость YOZ имеет вид В случае , если плоскость проектирования параллельна координатной плоскости, необходимо умножить матрицу Px на матрицу сдвига . Имеем Аналогично записываются матрицы проектирования вдоль 2-х координатных осей

Аксонометрическая проекция - проектирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости . Различают три вида проекций в зависимости от взаимного расположения плоскости проектирования и координатных осей триметрия-нормальный вектор картинной плоскости образует с ортами координатных осей попарно различные углырис.15 диметрия-два угла между нормалью картинной плоскости и координатными осями равны рис. 16 изометрия-все три угла между нормалью картинной плоскости и координатными осями равны рис.

17. Каждый из трех видов указанных проекций получается комбинацией поворотов, за которой следует параллельное проектирование. Перспективные центральные проекции строятся более сложно . Предположим что центр проектирования лежит на оси Z - C 0,0,c а плоскость проектирования совпадает с координатной плоскостью XOY рис. 19 . Возьмем в пространстве произвольную точку

Mx,y,z, проведем через нее и точку С прямую и запишем ее параметрические уравнения . Имеем X xt , Yyt, Z cz-ct Найдем координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью XOY. Из того , что z0, получаем Тот же самый результат мы получим, привлекая матрицу В самом деле, Mатрица проектирования, конечно, вырождена матрица же соответствующего перспективного преобразованиябез проектирования имеет следующий вид

Язык С предоставляет очень удобные средства, позволяющие заметно упростить работу с векторами и преобразованиями в пространстве. Рассмотрим реализацию работы с векторами. Файл vector.h ifndef VECTORdefine VECTORinclude math.h class Vectorpublic double x, y, z Vector Vector double v x y z v Vector const Vector v x v.x y v.y z v.z Vector double vx, double vy, double vz x vx y vy z vz

Vector operator const Vector v x v.x y v.y z v.z return this Vector operator double f x y z f return this Vector operator - const Vector operator const Vector Vector operator - const Vector Vector operator const Vector Vector operator double Vector operator double friend Vector operator const

Vector, const Vector friend Vector operator - const Vector, const Vector friend Vector operator const Vector, const Vector friend Vector operator double, const Vector friend Vector operator const Vector, double friend Vector operator const Vector, double friend Vector operator const Vector, const

Vector friend double operator const Vector u, const Vector v return u.x v.x u.y v.y u.z v.z friend Vector operator const Vector, const Vector double operator return double sqrt x x y y z z double operator int n return x n int operator double v return x v y v z v int operator double v return x v y v z v class Ray public Vector Org Vector Dir Ray Ray Vector o,

Vector d Org o, Dir d Vector Point double t return Org Dir t inline Vector Vector operator - const return Vector -x, -y, -z inline Vector operator const Vector u, const Vector v return Vector u.x v.x, u.y v.y, u.z v.z inline Vector operator - const Vector u, const Vector v return

Vector u.x - v.x, u.y - v.y, u.z - v.z inline Vector operator const Vector u, const Vector v return Vector u.x v.x, u.y v.y, u.z v.z inline Vector operator const Vector u, double f return Vector u.x f, u.y f, u.z f inline Vector operator double f, const Vector v return Vector f v.x, f v.y, f v.z inline Vector operator const Vector u, const Vector v return

Vector u.x v.x, u.y v.y, u.z v.z inline Vector operator const Vector u, double f return Vector u.x f, u.y f, u.z f inline Vector Vector operator const Vector v x v.x y v.y z v.z return this inline Vector Vector operator - const Vector v x - v.x y - v.y z - v.z return this inline Vector Vector operator const Vector v x v.x y v.y z v.z return this inline

Vector Vector operator double v x v y v z v return this inline Vector Vector operator double v x v y v z v return this inline Vector Normalize Vector v return v v Vector RndVector Vector Clip Vector v endif Файл vector.срр include math.h include stdlib.h include vector.h Vector operator const Vector u, const Vector v return

Vector u.y v.z - u.z v.y, u.z v.x - u.x v.z, u.x v.y - u.y v.x Vector RndVector Vector v rand - 0.5 RANDMAX, rand - 0.5 RANDMAX, rand - 0.5 RANDMAX return Normalize v Vector Clip Vector v if v.x 0.0 v.x 0.0 else if v.x 1.0 v.x 1.0 if v.y 0.0 v.y 0.0 else if v.y 1.0 v.y 1.0 if v.z 0.0 v.z 0.0 else if v.z 1.0 v.z 1.0 return v

С этой целью создается класс Vector, содержащий в себе компоненты вектора, и для этого класса переопределяются основные знаки операций унарный минус и поэлементное вычитание векторов - поэлементное сложение векторов - умножение вектора на число - поэлементное умножение векторов - деление вектора на число - поэлементное деление векторов - скалярное произведение векторов - векторное произведение - длина вектора - компонента вектора. При этом стандартные приоритеты операций сохраняются.

Кроме этих операций определяются также некоторые простейшие функции для работы с векторами Normalize нормирование вектора RndVector получение почти равномерно распределенного случайного единичного вектора Clip отсечение вектора. С использованием этого класса можно в естественной и удобной форме записывать сложные векторные выражения. Аналогичным образом вводится класс Matrix, служащий для представления матриц преобразований в трехмерном пространстве.

Для этого класса также производится переопределение основных знаков операций. Файл matrix.h ifndef MATRIX define MATRIX include vector.h class Matrix public double x 44 Matrix Matrix double Matrix operator const Matrix Matrix operator - const Matrix Matrix operator const Matrix Matrix operator double Matrix operator double void

Invert void Transpose friend Matrix operator const Matrix, const Matrix friend Matrix operator - const Matrix, const Matrix friend Matrix operator const Matrix, double friend Matrix operator const Matrix, const Matrix friend Vector operator const Matrix, const Vector Matrix Translate const Vector

Matrix Scale const Vector Matrix RotateX double Matrix RotateY double Matrix RotateZ double Matrix Rotate const Vector, double Matrix MirrorX Matrix MirrorY Matrix MirrorZ endif Файл matrix.cpp include math.h include matrix.hMatrix Matrix double v int j for int i 0 i 4 i for j 0 j 4 j x ij i j v 0.0 x 33 1void

Matrix Invert Matrix Out 1 for int i 0 i 4 i double d x ii if d 1.0 for int j 0 j 4 j Out.x ij d x ij d for int j 0 j 4 j if j i if xji 0.0 double mulby xji for int k 0 k 4 k x jk - mulby x ik Out.x jk - mulby Out.x ik this Out void Matrix Transpose double t int j for int i 0 i 4 i for j 0 j 4 j if i j t x ij x ij x ji x ji t Matrix Matrix operator const Matrix A int j for int i 0 i 4 i for j 0 j 4 j x ij

A.x ij return this Matrix Matrix operator - const Matrix A int j for int i 0 i 4 i for j 0 j 4 j x ij - A.x ij return this Matrix Matrix operator double v int j for int i 0 i 4 i for j 0 j 4 j x ij v return this Matrix Matrix operator const Matrix A Matrix res this int j for int i 0 i 4 i for j 0 j 4 j double sum 0 for int k 0 k 4 k sum res.x ik A.x kj x ij sum return this

Matrix operator const Matrix A, const Matrix B Matrix res int j for int i 0 i 4 i for j 0 j 4 j res.x ij A.x ij B.x ij return res Matrix operator - const Matrix A, const Matrix B Matrix res int j for int i 0 i 4 i for j 0 j 4 j res.x ij A.x ij - B.x ij return res Matrix operator const Matrix A, const Matrix B Matrix res int j for int i 0 i 4 i for j 0 j 4 j double sum 0 for int k 0 k 4 k sum

A.x ik B.x kj res.x ij sum return res Matrix operator const Matrix A, double v Matrix res int j for int i 0 i 4 i for j 0 j 4 j res.x ij A.x ij v return res Vector operator const Matrix M, const Vector v Vector res res.x v.x M.x 00 v.y M.x 10 v.z M.x 20 M.x 30 res.y v.x M.x 01 v.y M.x 11 v.z M.x 21

M.x 31 res.z v.x M.x 02 v.y M.x 12 v.z M.x 22 M.x 32 double denom v.x M.x 03 v.y M.x 13 v.z M.x 23 M.x33 if denom 1.0 res denom return res Matrix Translate const Vector Loc Matrix res 1 res.x 30 Loc.x res.x 31 Loc.y res.x 32 Loc.z return res Matrix Scale const Vector v Matrix res 1 res.x 00 v.x res.x 11 v.y res.x 22 v.z return res

Matrix RotateX double Angle Matrix res 1 double Cosine cos Angle double Sine sin Angle res.x 11 Cosine res.x 21 - Sine res.x 12 Sine res.x 22 Cosine return res Matrix RotateY double Angle Matrix res 1 double Cosine cos Angle double Sine sin Angle res.x 00 Cosine res.x 20 -

Sine res.x 02 Sine res.x 22 Cosine return res Matrix RotateZ double Angle Matrix res 1 double Cosine cos Angle double Sine sin Angle res.x 00 Cosine res.x 10 - Sine res.x 01 Sine res.x 11 Cosine return res Matrix Rotate const Vector axis, double angle Matrix res 1 double

Cosine cos angle double Sine sin angle res.x 00 axis.x axis.x 1 - axis.x axis.x Cosine res.x 01 axis.x axis.y 1 - Cosine axis.z Sine res.x 02 axis.x axis.z 1 - Cosine - axis.y Sine res.x 03 0 res.x 10 axis.x axis.y 1 - Cosine - axis.z Sine res.x 11 axis.y axis.y 1 - axis.y axis.y Cosine res.x 12 axis.y axis.z 1 - Cosine axis.x Sine res.x 13 0 res.x 20 axis.x axis.z 1 -

Cosine axis.y Sine res.x 21 axis.y axis.z 1 - Cosine - axis.x Sine res.x 22 axis.z axis.z 1 - axis.z axis.z Cosine res.x 23 0 res.x 30 0 res.x 31 0 res.x 32 0 res.x 33 1 return res Matrix MirrorX Matrix res 1 res.x 00 -1 return res Matrix MirrorY Matrix res 1 res.x 11 -1 return res Matrix MirrorZ Matrix res 1 res.x 22 -1 return res

В следующей библиотеке была реализована работа с трехмерными объектами гранью, графическим объектом и пространством. Реализованы следующие возможности поворот объектов вокруг координатных осей зеркальное отображение объектов по отношению к координатным осям центральное и параллельное проектирование масштабирование объектов удаление невидимых поверхностей перемещение объектов в пространстве. Файл 3dworks.h ifndef 3DWORKSdefine 3DWORKSinclude graphics.h include stdlib.h include vector.h include

matrix.h define OneSd 0 define TwoSds 1 define MaxPoints 10 define MaxFacets 10 define MaxObjects 10 class Polygon public int PointNumber Vector Point Vector Normal Vector Center int Color int TwoSides Polygon Polygon Vector , int, int, int void Draw const Vector void Move const Vector void Rotate double, double, double void

PolyScale const Vector void PolyMirrorX void PolyMirrorY void PolyMirrorZ class GrObject public int FacetNumber Polygon Facet Vector Coords GrObject GrObject Polygon , int, const Vector void Move const Vector void Rotate double, double, double void ObjScale const Vector void ObjMirrorX void ObjMirrorY void

ObjMirrorZ struct BSPNode Polygon Poly double d BSPNode Left BSPNode Right class Space public int ObjectNumber GrObject Object MaxObjects Space ObjectNumber 0 Space GrObject , int void Add GrObject void Draw const Vector int IsVisible const Polygon, const Vector void DrawBSPTree

BSPNode , const Vector endif Файл 3dworks.cpp include 3dworks.h Polygons methodsPolygon Polygon Vector PointArr, int PointNum, int Col, int TS if PointNum MaxPoints PointNumber PointNum Point PointArr Color Col TwoSides TS Normal Normalize Point 1 - Point 0 Point PointNumber-1 - Point 0

Center 0 for int i 0 i PointNumber i Center Pointi Center PointNumber void Polygon Move const Vector v Matrix m Translate v for int i 0 i PointNumber i Pointi m Pointi Center m Center void Polygon Rotate double Alfa, double Beta, double Gamma Matrix m RotateX Alfa RotateY Beta

RotateZ Gamma for int i 0 i PointNumber i Pointi m Pointi Normal m Normal Center m Center void Polygon PolyScale const Vector v Matrix m Scale v for int i 0 i PointNumber i Pointi m Pointi Center m Center void Polygon PolyMirrorX Matrix m MirrorX for int i 0 i

PointNumber i Pointi m Pointi Center m Center Normal m Normal void Polygon PolyMirrorY Matrix m MirrorY for int i 0 i PointNumber i Pointi m Pointi Center m Center Normal m Normal void Polygon PolyMirrorZ Matrix m MirrorZ for int i 0 i PointNumber i Pointi m Pointi Center m Center Normal m

Normal void Polygon Draw const Vector PrCenter int VisPointMaxPoints 2, k 0 for int i 0 i PointNumber i double Coeff 1 1 - Pointi.z PrCenter.z VisPointk int Pointi.x Coeff 320 VisPointk int -Pointi.y Coeff 175 setcolor Color setfillstyle 1, Color fillpoly PointNumber, VisPoint

GrObjects methods GrObject GrObject Polygon FacetArr, int FacetNum, const Vector Crds if FacetNum MaxFacets FacetNumber FacetNum Facet FacetArr Coords Crds void GrObject Move const Vector v for int i 0 i FacetNumber i Faceti.Move v Coords Translate v Coords void GrObject Rotate double

Alfa, double Beta, double Gamma for int i 0 i FacetNumber i Faceti.Rotate Alfa, Beta, Gamma Coords RotateX Alfa RotateY Beta RotateZ Gamma Coords void GrObject ObjScale const Vector v for int i 0 i FacetNumber i Faceti.PolyScale v Coords Scale v Coords void GrObject ObjMirrorX Matrix m

MirrorX for int i 0 i FacetNumber i Faceti.PolyMirrorX Coords m Coords void GrObject ObjMirrorY Matrix m MirrorY for int i 0 i FacetNumber i Faceti.PolyMirrorY Coords m Coords void GrObject ObjMirrorZ Matrix m MirrorZ for int i 0 i FacetNumber i Faceti.PolyMirrorZ Coords m Coords Spaces methods

Space Space GrObject Obj, int ObjectNum if ObjectNum MaxObjects ObjectNumber ObjectNum for int i 0 i ObjectNumber i Objecti Obji void Space Add GrObject Obj if ObjectNumber MaxObjects Object ObjectNumber Obj void Space Draw const Vector PrCenter Other functions int IsVisible const

Polygon Poly, const Vector PrCenter return Poly.Normal PrCenter - Poly.Point0 0 Poly.TwoSides void DrawBSPTree BSPNode Tree, const Vector PrCntr if Tree - Poly - Normal PrCntr Tree - d if Tree - Right NULL DrawBSPTree Tree - Right, PrCntr Tree - Poly - Draw PrCntr if Tree -

Left NULL DrawBSPTree Tree - Left, PrCntr else if Tree - Left NULL DrawBSPTree Tree - Left, PrCntr Tree - Poly - Draw PrCntr if Tree - Right NULL DrawBSPTree Tree - Right, PrCntr Далее представлена демонстрационная программа, которая выполняет все вышеперечисленные операции с тетраэдром. Файл 3dgame.cpp include dos.h include graphics.h include math.h include stdio.

h include conio.h include stdlib.h include 3dworks.h void DrawObject GrObject Obj, const Vector v for int i 0 i Obj- FacetNumber i if IsVisible Obj- Faceti, v Obj- Faceti.Draw v main Vector Poly13, Poly23, Poly33, Poly43 Polygon O4 Vector A -50, 0, 0 , B 0, 0, 50 ,

C 50, 0, 0 , D 0, 100, 0 , PrCenter 0, 0, 1000 Poly10 A Poly20 B Poly11 D Poly21 D Poly12 B Poly22 C Poly30 C Poly40 C Poly31 A Poly41 D Poly32 B Poly42 A Polygon P1 new Polygon Poly1, 3, 11, OneSd Polygon P2 new Polygon Poly2, 3, 12, OneSd Polygon P3 new Polygon Poly3, 3, 13,

OneSd Polygon P4 new Polygon Poly4, 3, 14, OneSd O0 P1 O1 P2 O2 P3 O3 P4 delete P1 delete P2 delete P3 delete P4 GrObject Obj new GrObject O, 4, Vector 0 double fi 0.1, psi 0.1, step 0.1 int ch 0, Page 3 int driver DETECT, mode, res initgraph driver, mode, if res graphresult grOk printf nGraphics error sn, grapherrormsg res exit 1 setgraphmode 1 DrawObject

Obj, PrCenter do setactivepage Page 2 clearviewport if kbhit switch ch getch case Obj- ObjScale 1.1,1.1,1.1 break case - Obj- ObjScale 0.9,0.9,0.9 break case x Obj- ObjMirrorX break case y Obj- ObjMirrorY break case z Obj- ObjMirrorZ break if ch 0 switch ch getch case 72 fi - step break case 80 fi step break case 75 psi step break case 77 psi - step break Obj- Rotate fi, psi,

0 DrawObject Obj, PrCenter setvisualpage Page 2 if fi 0 psi 0 while kbhit while ch 27 delete Obj closegraph