Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

П
лан

• Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами


• Характеристичне рівняння


• Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами

1. Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами

Такі рівняння дуже часто зустрічаються в практиці й розв’язуються досить просто. Розглянемо окремі однорідні й неоднорідні рівняння, причому для простоти опинимося детально на диференціальних рівняннях другого порядку.

1.1. Лінійні однорідні рівняння другого порядку
з постійними коефіцієнтами

Нехай маємо диференціальне рівняння вигляду

(12.38)

де
і
- сталі числа. Знайдемо два лінійно незалежних розв’язки цього рівняння . Будемо шукати розв’язок
рівняння (12.38) у вигляді експоненти
де
- поки що невідома стала. Похідна будь-якого порядку від такої функції містить
, а це дозволяє легко знайти розв’язок (12.38).

Справді, запишемо
та
:

Підставляючи ці похідні, а також функцію
в рівняння (12.62), одержимо

Оскільки
маємо

(12.39)

Рівняння (12.39) називається характеристичним відносно рівняння (12.38). Це – квадратне рівняння. Можливі такі ситуації відносно його коренів:

1)
і
- дійсні, причому не рівні між собою числа
;

2)
і
- комплексні числа (
);

3)
і
- дійсні рівні числа

Зупинимося детально на кожному із цих трьох випадків.

1) Корені характеристичного рівняння дійсні й різні:

Відповідні частинні розв’язки
та

лінійно незалежні, бо

Загальний розв’язок рівняння (12.38) має вигляд

(12.40)

де
і
- довільні сталі.

2) Корені характеристичного рівняння – комплексні числа. Нехай
. Частинні розв’язки
і
є комплексними функціями дійсного аргументу:

або

Неважко переконатися, що функція
та
, які є відповідно дійсною та уявною частинами розв’язку
, також задовольняють рівнянню (12.38). Справді, якщо яка-небудь комплексна функція
є розв’язком рівняння (12.38) з дійсними коефіцієнтами, то
та
також задовольняють це рівняння. Це випливає з таких перетворень:

а комплексна функція тоді і тільки тоді дорівнює нулеві, коли її дійсна та уявна частини дорівнюють нулеві, що й треба було довести.

Зауважимо, що розв’язки
та
лінійно незалежні:

Отже, загальний розв’язок рівняння (12.38) у розглядуваному випадку має вигляд

(12.41)

де
і
- довільні сталі.

3) Корені характеристичного рівняння дійсні й рівні:
При цьому один частинний розв’язок знаходиться, як у випадку 1):
Другий частинний розв’язок, лінійно незалежний від першого, будемо шукати у вигляді
де
- невідома функція. Знайдемо
і
:

Підставимо
та
у рівняння (12.38):

(12.42)

Оскільки
- корінь характеристичного рівняння,
а дискримінант дорівнює нулю (корінь
кратний), то
або
Отже, рівняння (12.42) спрощується й після скорочення на
набуває вигляду
. Його загальний розв’язок
отримується за допомогою інтегрування двічі і має вигляд
Зокрема, якщо вибрати
, розв’язок
буде лінійно незалежним відносно
:

Загальний інтеграл диференціального рівняння (12.38) у разі кратних коренів має вигляд

(12.43)

Приклад 1.
Розв’язати рівняння:

а)
б)
в)

У прикладі а) характеристичне рівняння має вигляд
або
Звідси маємо
(випадок1).

Згідно з формулою (12.40) загальним розв’язком рівняння буде функція
.

У прикладі б) запишемо характеристичне рівняння
Його корені – комплексно спряжені числа:
(випадок 2). При цьому
Загальний розв’язок рівняння згідно з формулою (12.41) буде

У прикладі в) корені
і
характеристичного рівняння
збігаються:
Загальний розв’язок згідно з формулою (12.43) має вигляд

Приклад 2.
Матеріальна точка маси
рухається прямолінійно, притягуючись до нерухомого центра
силою, пропорційною відстані від точки до цього центра. Знайти закон руху точки.

Р о з в ‘ я з о к. Згідно з умовою сила
, з якою притягується точка, подається у вигляді
, де
- коефіцієнт пропорційності,
- відстань від точки до центра. За допомогою другого закону Ньютона запишемо рівняння руху точки (
- час)

.

Це однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Для зручності подамо його у вигляді

(12.44)

Цьому диференціальному рівнянню відповідає таке характеристичне рівняння

причому
Корені
та
- комплексно спряжені числа
Отже, загальний розв’язок рівняння (12.68) має вигляд

(12.45)

Знайдемо частинний розв’язок рівняння (12.44), який задовольняє початковим умовам
.

Поклавши
у рівність (12.45), отримаємо
Про диференціюємо обидві частини (12.45):

При

звідси
Отже, шуканим розв’язком задачі Коші буде