Кустанайский государственный педагогическийинститут
Естественно-математическийфакультет
Кафедра высшей математики
Реферат
На тему:
Нормированное пространство.Банахово пространство
Ванжа Галина
Проверила: ст. преподаватель
Нурмагамбетова А.А.
г. Кустанай 2010.
Содержание
Введение
Основные понятия и определения
1. Линейные пространства
2. Нормированные пространства
3. Банаховы пространства
4. Компактные множества
Введение
В данной работеизучаются такие важные элементы функционального анализа каклинейно-нормированные пространства.
Изучение пространствактуально в современном процессе изучения теорий функций и поэтому необходиморассмотреть все основные аспекты теории нормированных пространств.
Цель: изучить структурупостроения нормированного пространства, рассмотреть банахово пространство.
Для того чтобыопределить роль нормированных пространств, необходимо рассмотреть понятиелинейного пространства и что оно собой представляет. На основе линейногопространства можно перейти к изучению нормы, а затем ввести понятие«нормированного пространства», определить, что является его подпространством.
Одной из поставленныхзадач является: развить понятие Банахова пространства. Для ее решенияиспользуется внутренняя логика развития теории нормированных пространств.
Основные понятия иопределения
1. Линейныепространства
Определение: Непустоемножество элементов называется линейным, если оно удовлетворяет таким условиям:
I. Для любых двухэлементов определен единственный элемент, называемый суммой и обозначаемый,причем
1);
2);
3) в существует такойэлемент 0, что для всех;
4) для каждого существуеттакой элемент, что.
II. Для любого числа илюбого элемента определен элемент, причем
1);
2);
3);
4);
Примеры линейныхпространств
1. Пространстводействительных чисел является линейным пространством по операциям сложения иумножения.
2. – пространство,элементами которого являются последовательности чисел, удовлетворяющих условию соперациями,
3. Последовательности,сходящиеся к 0, с теми же операциями сложения и умножения, также образуютлинейное пространство. Обозначаем его С0.
2. Нормированныепространства
Нормированныепространства объединяют структуры линейных пространств.
Будем рассматриватьнекоторое линейное пространство.
Полунормой называютфункционал p, определённый на и удовлетворяющий следующим аксиомам:
1. (неотрицательность),
2. (аксиоматреугольника),
3. для любого числа (абсолютнаяоднородность).
Нормой называютфункционал p, удовлетворяющий следующим аксиомам:
1.,
2.,
3. (аксиоматреугольника),
4. для любого числа (абсолютнаяоднородность).
Таким образом, норма — это полунорма, на которую наложено дополнительное условие: норма равна нулю толькона нулевом элементе.
Определение:Нормированным пространством называют линейное пространство с заданной на нёмнормой.
Норму элементалинейного пространства обозначают.
Любое нормированноепространство можно рассматривать как метрическое, если ввести в нём метрикуследующим образом
Такую метрику называютметрикой, индуцированной нормой. Это означает, что на нормированныепространства можно перенести все понятия и факты, относящиеся к метрическимпространствам.
В частности,сходимостью по норме называется сходимость в метрике, индуцированной даннойнормой.
Непрерывность линейныхопераций и нормы.
В нормированномпространстве сумма, произведение на число и норма непрерывны: еслипоследовательности {xn} и {yn} сходятся по норме соответственно к x и y: и, ачисловая последовательность {an} сходится к пределу a, то
Рассмотрим, сумму двухэлементов:
Так как и, то праваячасть неравенства сходится к нулю, а значит, к нулю сходится и его левая часть.Непрерывность суммы доказана.
Докажем теперьнепрерывность умножения вектора на число. Для этого нам нужно доказать, чточисловая последовательность сходится к нулю. Представим разность anxn −ax следующим образом:
Согласно аксиометреугольника для нормы:
Рассмотрим каждое изслагаемых по отдельности:
Таким образом, мыустановили, что непрерывность операции умножения на число доказана.
Наконец, докажемнепрерывность нормы. Каждый элемент xn можно представить в виде
xn = (xn − x) +x, по аксиоме треугольника:
или
Аналогично можнодоказать, что объединяя два этих неравенства, получим:
По определениюсходимости по норме, значит, то есть.
Непрерывность нормыдоказана.
Примеры нормированныхпространств
1. Вещественная прямаяR1 является нормированным пространством, если в качестве нормы взять модульвещественного числа.
2. В действительномконечномерном пространстве Rn норму можно ввести нескольким способами. Наиболеешироко известна Евклидова норма:
Другие возможные нормы:
В комплексном n-мерномпространстве норму можно ввести следующим образом:
3. В пространственепрерывных на отрезка [a,b] функций C[a,b] норму можно задать формулой
4. Пусть М –пространство ограниченных числовых последовательностей
Х = (х1, х2,…, хп,…),положим:
||x||=sup|xn|.
Подпространстванормированного пространства
Рассматривая линейныепространства (без нормы), мы называли подпространством непустое множество L0обладающее тем свойством, что если этому множеству принадлежат два элемента x иy пространства L, то любая линейная комбинация этих элементов также принадлежатэтому множеству:
Подпространствомнормированного пространства мы будем называть только замкнутое подпространства.
Определение: Линейнымзамыканием системы элементов {xn} или подпространством нормированногопространства, порождённым системой элементов {xn}, называется наименьшее замкнутоеподпространство, содержащее все элементы данной системы.
Произвольную (то естьне обязательно замкнутую) совокупность элементов, содержащую вместе с x и yпроизвольную их линейную комбинацию ax + by будем называть линейныммногообразием.
Система элементовнормированного пространства R называется полной, если её линейное замыканиеесть само R.
Фактор-пространстванормированного пространства.
Пусть R — линейноенормированное пространство, а R' — некоторое его подпространство. Рассмотримфактор пространство
З = R / R'.
Как известно,фактор-пространство является линейным пространством.
В этом пространствеможно ввести норму, положив для данного класса
Докажем, что всеаксиомы нормы действительно выполняются.
Так как, то и Нулевымэлементом з0 фактор-пространства R / R' является подпространство R'. Так каквсякое подпространство должно содержать нулевой элемент, то
Обратно, если, то изнепрерывности нормы следует, что в классе з можно указать последовательностьэлементов, сходящихся к нулевому элементу, но так как в подпространстволинейного пространство замкнуто по определению, то замкнуты все классысмежности, а значит
з = R' = з0
Для всякого элемента ичисла имеет место равенство
Возьмём слева и справанижнюю грань по з:
С другой стороны, всилу того, что фактор-пространство является линейным пространством, имеет месторавенство
Рассмотрим два классасмежности выберем в каждом классе по представителю
Тогда возьмём нижнююгрань от левой и правой части этого неравенства:
Таким образом, всеаксиомы нормы действительно выполнены.
3. Банаховыпространства
Определение:Расстоянием (метрикой) между двумя элементами и называется вещественноенеотрицательное число, обозначаемое и подчиненное трем аксиомам:
1);
2);
3);
Определение:Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной,если при
Справедливыутверждения:
1. Еслипоследовательность сходится к некоторому пределу, то она фундаментальна
Доказательство: пусть,тогда, при
2. Всякаяфундаментальная последовательность ограничена
Определим расстояние внормированном пространстве, полагая для любых. Тогда означает, что. Этосходимость по норме.
Фундаментальнаяпоследовательность в нормированном пространстве в соответствии с определениемрасстояния характеризуется условием, при
Определение:Нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальнаяпоследовательность его элементов имеет предел.
Определение: Полноенормированное пространство называется банаховым пространством.
Литература
1. Колмогоров, А.Н. Элементы теорийфункций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. ¬¬– М.:Физматлит, 1967.
2. Князев, П.Н. Функциональный анализ /П.Н. Князев– Изд. 2, перераб. М., 1979.
3. Люстерник, Л.А. Элементыфункционального анализа/ Л.А. Люстерник В.И. Соболев– М., 1980.