Реферат на тему:
Диференціальні рівняння першого порядку,
не розв’язані відносно похідної.
1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і єдності розв’язку.
Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної має вигляд
/>(5.1)
Найбільш часто зусрічаються диференціальні рівняння першого порядку />-ої степені.
Означення 5.1.Функція />, визначена і
/>(5.2)
неперервнодиференційовна на />називається розв’язком Д.Р. (5.1), якщо вона після підстановки перетворює Д.Р. (5.1) в
тотожність
/>
Означення 5.2.Будемо говорити, що рівняння />визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в нормальній формі, якщо воно визначає />як функцію />і вона являється розв’язком Д.Р.(5.1).
Означення 5.3.Рівняння />,/>,/>, визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в параметричній формі, якщо
/>
Криві на ел./>, які відповідають розв’язкам, будемо називати />
Задача Коші — задача знаходження розв’язків, які задовільняють умови />.
Означення 5.4.Говорять, що задача Коші для Д.Р.(5.1) з початковими умовами /> має єдиний розв’язок, якшо через /> в достатньо малому околі її проходить стільки />, скільки напрямків поля визначає Д.Р. в цій точці. В противному – не єдиний розв’язок.
Теорема 5.1.(про існування і єдиність розв’язку задачі Коші).
Якщо функція /> задовільняє наступним умовам:
а) Являється визначеною і неперервною разом зі своїми ЧП в деякому замкненому околі т./>;
б)/>;
в)/>;
то Д.Р.(1) має єдиний розв’язок />, визначений і неперервно диференційовний в околі т />, задовільняючий умови />і такий, що />
► Без доведення ◄
Припустимо, що розв’язуючи Д.Р.(1) відносно />, ми знайдемо дійсні розв’язки
/>(5.3)
де />визначені в обл./>так, що маємо />Д.Р. першого порядку, розв’язаних відносно />. Припустимо, що в />точці />, напрямок поля, визначений кожним Д.Р. (5.3), різний. Так що />різних рівнянь не можуть дотикатися друг друга на />.
Нехай кожне Д.Р. (5.3) на />має загальний інтеграл
/>(5.4)
Означення 5.5.Сукупність інтегралів (5.4) будемо називати загальним інтегралом Д.Р. (5.1) в обл. />.
Інколи замвсть співвідношення (5.4) записують
/>(5.5)
Якщо поле на />не задовільняє сказаному вище, тобто існує хоча б одна точка />, в якій значення хоча б двох функцій />співпали, то />відповідаючі Д.Р. дотикаються друг друга в точці />. Тому крім />Д.Р. (5.3), будуть ще склеєні />. Всі вони будуть входити в (5.4) або (5.5).
В загальному випадку Д.Р. (5.1) не удається розв’язати відносно />в елементарних функціях. В цих випадках шукають однопараметричне сімейство />в вигляді
/>(5.6)
яке називається загальним інтегралом Д.Р. (5.1).
Якщо сімейство />задано в вигляді
/>(5.7)
то воно називається загальним розв’язком Д.Р. (5.1)
Зауважимо, що в (5.6) можуть входити і розв’язки Д.Р. виду (5.3), коли />-комплексні. Ми таких Д.Р. не будемо розглядати, тому відповідні їм розв’язки треба виключати.
Сімейство />, заданих в параметричному вигляді
/>(5.8)
будемо називати загальними розв’язками Д.Р. в параметричній формі.
Означення 5.6.Розв’язок />Д.Р. (5.1) будемо називати частинним розв’язком, якщо в кожній його точці задача Коші має єдиний розв’язок.
Означення 5.7.Розв’язок />називається особливим розв’язком, якщо в кожній його точці порушується єдинність розв’язку задачі Коші.
Аналогічно Д.Р., розв’язаним відносно />, Д.Р. (5.1) може мати розв’язки, які являються ні частинними, ні особливими.
Аналіз частинних і особливих розв’язків для цих рівнянь більш складний. Зауважимо, що в випадку (5.3) розв’язок />буде особливим, якщо буде особливим хоча б для одного з Д.Р. (5.3).
Приклад 5.1.
/>(5.9)
З (5.9) маємо: />
Тоді /> — загальний інтеграл.
або />. Цей загальний інтеграл є накладенням сімейств двох />(мал. 5.1).
/>
Розв’язок задачі Коші для Д.Р. (5.9) в кожній точці площіни />являється єдиним. В точці/>ми маємо два напрямки поля:/>; І через цю точку проходить два />
/>, якщо />(5.11)
і />, якщо />.
Розв’язки (10),(11) – частинні розв’язки. Особливих розв’язків немає.
2. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв’язок.
Припустимо, що Д.Р. (5.1) представлено в формі (5.3). При досліджені на особливий розв’язок рівнянь виду (5.3) ми прийшли до висновку, що ці розв’язки можливі на тих кривих, на яких />являється необмеженою. Але в переході від Д.Р. (5.1) до рівнянь (5.3) є недоцільність при визначені особливих розв’язків, так як />.
Дійсно, припустимо, що _____ похідні />, тоді
/>, звідки/>(5.12).
Припустимо, що />, тоді />буде необмеженою при умові
/>(5.13)
Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв’язок будуть визначатися з системи
/>(5.14)
Розв’язок системи (5.14)
/>=0 (5.15)
дискримінантна крива. Якщо вона задовільняє Д.Р. (5.1) і в кожній точці порушується єдність, то це буде особливий розв’язок.
Приклад 5.2.
/>(5.16)
/>, />(5.17)
Співвідношення (5ю17) – дискримінантна крива рівняння (5.16). А на ній ми маємо не два а один напрямок поля />. В той же час – через неї може проходити не одна />.
5.3. Загальний метод введення параметра.
--PAGE_BREAK--Розглянемо Д.Р. (5.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію
/>(5.18)
Так, що />при всіх значеннях параметрів />і />.
Використовуючи (5.18) і співвідношення />ми з Д.Р. (5.1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв'язане Відносно похідної.
/>
Тому
/>
Візьмемо, наприклад, />за незалежну змінну, />– за залежну, тоді прийдемо до Д.Р.
/>(5.19)
Якщо
/>(5.20)
загальний розв'язок Д.Р. (5.19), то загальний розв'язок Д.Р. (5.1) можна отримати в параметричній формі.
/>(5.21)
Розглянемо деякі частинні випадки:
А. Д.Р., розв'язані віднлсносно шуканої функції. Це рівняння має вигляд
/>(5.22)
За параметри />і />можна взяти />і />. Позначимо />, тоді
/>(5.23)
Маємо
/>
Звідки
/>(5.24)
Нехай />– загальний розв'язок Д.Р. (5.24), тоді />– загальний розв'язок Д.Р. (5.22).
Д.Р. (5.24) може мати особливий розв'язок />, тоді Д.Р. (5.22) може мати особливий розв'язок />.
Б. Випадок, коли Д.Р. розв'язане відносно незалежної змінної.
Це рівняння має вигляд
/>(5.25)
Інтегрується воно аналогічно Д.Р. (5.22). Покладемо />. Тоді
/>
Використовуючи співвідношення />, отримаємо
/>(5.26)
Якщо />– загальний інтеграл Д.Р. (5.26), то
/>(5.27)
загальний інтеграл Д.Р. (5.25).
Якщо />– особливий рощзв'язок Д.Р.(5.26), то />-може бути особливим розв'язком Д.Р. (5.25).
Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна проінтегрувати.
В. Рівняння Лагранжа.
Це рівняння має вигляд
/>(5.28)
Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо />. Тоді
/>(5.29)
З (5.29) маємо
/>(5.30)
Д.Р. (5.30) лінійне по />
/>(5.31)
Нехай />– розв'язок Д.Р. (5.31). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі
/>(5.32)
Особливі розв'язки можуть бути там, де
/>(5.33)
тобто
/>(5.34),
де />– корені рівняння (5.33).Розв'язок (5.34) може бути частинним або особливим.
Г. Рівняння Клеро.
Це рівняння – частинний випадок рівняння Лагранжа, коли />.
/>(5.35)
Покладемо />, тоді
/>(5.36)
Використовуючи />, отримаємо
/>(5.37)
Рівняння (5.37) розпадається на два
/>(5.38)
Перше рівняння дає />, підставляючи яке в (5.35) будемо мати загальний розав’язок
/>(5.39)
Друге — />, разом з (5.35) утворює параметричні розв’язкі
/>(5.40)
Розв’язок (5.40) являється особливим, так як він співпадає з _______. Дійсно
/>
звідки
/>(5.41)
Дискримінантна крива (3.41) співпадає з розв’язком (3.40).
Приклад 5.3.
Розв’язати рівняння Лагранжа/>.
Покладемо />. Маємо />,/>
/>, />
Отримали лінійне рівняння
/>
Його розв’язок
/>(5.42)
/>(5.43)
загальний розв’язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи />:
/>(5.44)
Знайдемо ті розв’язки, яким відповідають
/>
Перший розв’язок – офівфісобливий, другий – частинний.
Приклад 5.4.
/>
Це рівняння Клеро. Його загальний розв’язок –
/>
Запишемо дискримінантну криву
/>
Звідки /> — особливий розв’язок, так як через цей розв’язок проходить ще розв’язок, який міститься в загальному при />.
4. Неповні рівняння.
а). Д.Р. які містять тільки похідну.
Це рівняння вигляду
/>(5.45)
Рівняння (5.45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв’язків.
/>(5.46)
де />– деякі числа, задовільняючі функцію />.
Інтегруємо (5.46)
/>(5.47)
Так як />то
/>(5.48)
загальний інтеграл Д.Р. (5.45). Таким чином при таких припущеннях />Д.Р. (5.45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (5.48). При цьому в (5.48) можуть входити комплексні розв’язки Д.Р.
Приклад 5.5.
Розв’язати />.
Згідно (5.48) />– загальний інтеграл. Однак у нього крім дійсного розв’язку />, входять розв’язки комплексного Д.Р. />
б) Д.Р., які не містять шуканої функціїмають вигляд
/>(5.49)
Якщо (5.49) можна розв’язати відносно похідної
/>(5.50)
то
/>(5.51)
являється загальним інтегралом Д.Р. (5.49).
Якщо ж розв’язати відносно />не можна, а допускається параметризація
/>(5.52)
тобто
/>(5.53)
Тоді загальний розв’язок знаходять в параметричній формі
/>(5.54)
Якщо Д.Р. (5.49) має вигляд
/>(5.55)
тоді це рівняння легко параметризується />.В частинному випадку />. Загальний розв’язок запишеться в формі
/>(5.56)
Приклад 5.6.
Зайти загальний розв’язок рівняння />.
Вводимо параметризацію />.
/>, />, />
Маємо
/>
Загальний розв’язок в параметричній формі.
в) Д.Р., які не містятьнезалежної змінної.
Це рівняння вигляду
/>(5.57)
Якщо рівняння (5.57) розв’язане відносно />, тобто
/>(5.58)
то
/>(5.59)
Являється загальним інтегралом Д.Р. (5.57). Особливими розв’язками можуть бути криві />, де />– корені рівняння />(або />).
Якщо Д.Р. (5.57) не можна розв’язати відносно />, але воно допускає параметризацію
/>(5.60)
то
/>(5.61)
Загальний розв’язок Д.Р. (5.57) в параметричній формі.
Приклад 5.7.
Розв’язати />. Введемо параметризацію />.
/>
звідки
/>
зашальний розв’язок нашого рівняння.
г) Узагальнено однорідні рівняння.
Д.Р. назвемо узагальнено однорідним, якщо ліва частина являється однорідною функцією аргументів />, яким відповідають величини />-го, />-го і />виміру, тобто
/>(5.62)
Зробимо заміну
/>(5.63)
де />– нова незалежна змінна,/>– нова шукана функція. Маємо
/>
тобто />. З іншої сторони
/>(5.64)
Підставимо (5.63),(5.64) в Д.Р. (5.1)
/>
отримане рівняння
/>(5.65)
не містить незалежної змінної />.