Пошукова робота на тему:
Власні числа і власні вектори квадратної матриці, характеристичне рівняння.
План
Власні числа і власні вектори лінійного перетворення.
Характеристичне рівняння.
Властивості власних векторів і власних значень.
4.3.4. Власні вектори і власні значення лінійного перетворення
Означення.Ненульовий вектор /> який задовольняє умові
/>, (4.17)
називається власним вектором лінійного перетворення />а число />власним значенням. Говорять, що власний вектор /> відповідає власному значенню />
Задача знаходження всіх власних векторів лінійного перетворення />має важливе значення як для кінцево вимірних просторів, так і у випадку нескінченновимірних просторів. Ми розглянемо її для лінійного простору кінцевого виміру />
Якщо в просторі /> вибраний базис, то рівність (4.17) можна записати в координатах як />що зв’зує матрицю />перетворення /> і координатний стовпчик /> вектора />або
/> (4.18)
де />одинична матриця /> В розгорнутому вигляді (4.18) можна записати так:
/> (4.18/)
Із рівності (4.18/) знаходимо координати />власного вектора /> Це система /> лінійних алгебраїчних рівнянь з /> невідомими. Оскільки власний вектор />ненульовий вектор, то не всі його координати повинні бути рівними нулю. Однорідна система (4.18/) має нетривіальні розв’язки тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто
/> (4.19)
Рівняння (4.19) називається характеристичним рівнянням. Із характеристичного рівняння знаходяться всі власні значення лінійного перетворення />Ясно, що в дійсному просторі комплексні корені не можуть бути власними значеннями.
Знайшовши із рівняння (4.19) всі власні значення />, ми кожне із них підставляємо в систему (4.18/) і знаходимо власні вектори />, що відповідають цим власним значенням.
Приклад. Знайти власні значення та власні вектори лінійного перетворення />що задається в деякому базисі матрицею
/>
Р о з в ‘ я з о к. Запишемо характеристичне рівняння (4.19) />
/>
/>, тоді /> і власні значення матриці /> /> Нехай /> власний вектор, що відповідає власному значенню /> Для визначення його координат запишемо систему рівнянь (4.18/)
/>загальний розв’язок якої буде />
Оскільки ми шукаємо ненульові розв’язки однорідної системи, то, покладаючи /> і /> одержимо два власних вектори, що відповідають власному значенню />
/> і /> причому />
Приведемо без доведення деякі властивості власних векторів і власних значень.
1. Власні вектори />, що відповідають попарно різним власним значенням />, лінійно незалежні.
2. Якщо /> і />матриці лінійного перетворення /> в різних базисах, то характеристичні многочлени цих матриць співпадають, тобто
/>
3. Якщо деяке власне значення /> перетворення /> є коренем характеристичного рівняння кратності />то йому відповідає не більше />лінійно незалежних власних векторів.
4. Власні значення симетричної матриці дійсні, а власні вектори, що відповідають різним власним значенням ортогональні.
5. Матриця лінійного перетворення /> в базисі />має діагональний вигляд тоді і тільки тоді, коли всі вектори базису – власні вектори перетворення, причому на головній діагоналі знаходяться його власні значення.
6. Якщо всі корені характеристичного многочлена матриці />
різні, то існує така матриця /> із визначником, що не дорівнює нулю, що матриця /> діагональна.