--PAGE_BREAK--
Пример 3.4-1
Минимизировать z = 4x1+ x2
при выполнении условий
3x1+ x2= 3,
4x1+ 3x2>= 6,
x1+ 2x2
x1, x2>= 0.
Стандартная форма этой задачи получается в результате добавления дополнительной (избыточной) переменной x3 во второе неравенство и дополнительной (остаточной) переменной x4 в третье неравенство. Эта задача в стандартной форме будет записана следующим образом.
Минимизировать z = 4x1+ x2
при выполнении условий
3x1 + x2 = 3,
4x1 + 3x2 – x3 = 6,
x1 + 2x2 + x4 = 4,
x1, x2, x3, x4 >= 0.
В полученной задаче первое и второе уравнения не имеют дополнительных (остаточных) переменных, которые можно ввести в базисное решение. Поэтому введём в эти уравнения искусственные переменные R1 и R2, а в целевую функцию добавим штраф MR1 + MR2. В результате получим следующую задачу ЛП.
Минимизировать z = 4x1 + x2 + MR1 + MR2
при выполнении условий
3x1+ x2+ R1= 3,
4x1+ 3x2– x3+ R2= 6,
x1+ 2x2+ x4= 4,
x1, x2, x3, x4, R1, R2>= 0.
В этой модифицированной задаче переменные R1, R2 и x4 можно использовать в качестве начального допустимого базисного решения.
При использовании М-метода следует обратить внимание на следующие два обстоятельства.
1. Использование штрафа М может и не привести к исключению искусственной переменной в конечной симплекс-итерации. Если исходная задача линейного программирования не имеет допустимого решения (например, система ограничений несовместна), тогда в конечной симплекс-итерации, по крайней мере, одна искусственная переменная будет иметь положительное значение. Это «индикатор» того, что задача не имеет допустимого решения.
2. Теоретически применение М-метода требует, чтобы М → ∞. Однако с точки зрения компьютерных вычислений величина М должна быть конечной и, вместе с тем, достаточно большой. Как понимать термин «достаточно большая» – это открытый вопрос. Величина М должна быть настолько большой, чтобы выполнить роль «штрафа», но не слишком большой, чтобы не уменьшить точность вычислений. На практике вы должны помнить о возможных ошибках машинного округления при выполнении выполнений, в которых совместно участвуют как большие, так и малые числа.
Правильный выбор значения М зависит от данных исходной задачи. Бездумное следование теоретическому требованию, что М должно быть «очень большим», может привести к значительным ошибкам округления. Именно поэтому М-метод никогда не применяется в коммерческих программах, реализующих симплекс-метод. Вместо него используется двухэтапный метод, который будет описан в следующем разделе.
2.2 Алгоритм двухэтапного метода.
Пример 2.2-2 демонстрирует проблемы, которые могут возникнуть при М-методе вследствие ошибок округления. Двухэтапный метод полностью лишён тех недостатков, которые присущи М-методу. Как следует из названия этого метода, процесс решения задачи ЛП разбивается на два этапа. На первом этапе ведётся поиск начального допустимого базисного решения. Если такое решение найдено, то на втором этапе решается исходная задача.
Этап 1. Задача ЛП записывается в стандартной форме, а в ограничения добавляются необходимые искусственные переменные (как и в М-методе) для получения начального базисного решения. Решается задача ЛП минимизации суммы искусственных переменных с исходными ограничениями. Если минимальное значение этой новой целевой функции больше нуля, значит, исходная задача не имеет допустимого решения, и процесс вычислений заканчивается. (Напомним, что положительные значения искусственных переменных указывают на то, что исходная система ограничений несовместна.) Если новая целевая функция равна нулю, переходим ко второму этапу.
Этап 2. Оптимальное базисное решение, полученное на первом этапе, используется как начальное допустимое базисное решение исходной задачи.
Пример 2.2-3
К задаче из примера 2.2-3 применим двухэтапный метод.
Этап 1
Минимизировать r = R1 + R2
С ограничениями
3x1+ x2+ R1= 3,
4x1+ 3x2– x3+ R2= 6,
x1+ 2x2+ x4= 4,
x1, x2, x3, x4, R1, R2, >= 0.
Соответствующая таблица имеет следующий вид.
Базис
x1
x2
x3
R1
R2
x4
Решение
r
0
0
0
-1
-1
0
0
R1
3
1
0
1
0
0
3
R2
4
3
-1
0
1
0
6
x4
1
2
0
0
0
1
4
Как и в М-методе, сначала вычисляется новая r-строка.
Старая r-строка: (0 0 0 -1 -1 0 | 0)
+ 1 * R1-строка: (3 1 0 1 0 0 | 3)
+ 1 * R2-строка: (4 3 -1 0 1 0 | 6)
= Новая r-строка: (7 4 -1 0 0 0 | 9)
Новая строка
r + 7x1+ 4x2– x3+ 0R1+ 0R2+ 0x4= 9
используется для решения первого этапа, что приведёт к следующему оптимальному решению (проверьте!).
Базис
x1
x2
x3
R1
R2
x4
Решение
r
0
0
0
-1
-1
0
0
x1
1
0
1/5
3/5
-1/5
0
3/5
x2
0
1
-3/5
-4/5
3/5
0
6/5
x4
0
0
1
1
-1
1
1
Поскольку достигнут минимум r = 0, значит, на первом этапе получено допустимое базисное решение x1 = 3/5, x2 = 6/5 и x4 = 1. Искусственные переменные полностью выполнили свою «миссию», поэтому из последней таблицы можно удалить их столбцы. Переходим ко второму этапу.
Этап 2
После удаления искусственных переменных исходная задача будет записана следующим образом.
Минимизировать z = 4x1+ x2
с ограничениями
x1 + 1/5 x3 = 3/5,
x2 + 3/5 x3 = 6/5,
x3 + x4 = 1,
x1, x2, x3, x4 >= 0.
Обратите внимание, что после первого этапа исходная задача претерпела некоторые изменения, которые учитывают полученное базисное решение. Этой трансформированной задаче соответствует следующая таблица:
Базис
x1
x2
x3
x4
Решение
z
-4
-1
0
0
0
x1
1
0
1/5
0
3/5
x2
0
1
-3/5
0
6/5
x4
0
0
1
1
1
Поскольку базисные переменные x1 и x2 имеют ненулевые коэффициенты в z-строке, эту строку следует преобразовать.
Старая z-строка: (-4 -1 0 0 | 0)
+ 4 * x1-строка: (4 0 4/5 0 | 12/5)
+ 1 * x2-строка: (0 1 -3/5 0 | 6/5)
= Новая z-строка: (0 0 1/5 0 | 18/5)
Начальная таблица второго этапа примет следующий вид:
Базис
x1
x2
x3
x4
Решение
z
0
0
1/5
0
18/5
x1
1
0
1/5
0
3/5
x2
0
1
-3/5
0
6/5
x4
0
0
1
1
1
Так как решается задача минимизации, следует ввести переменную x3 в базис. Применение алгоритма симплекс-метода уже на следующей итерации приведёт к оптимальному решению (проверьте!).
Удаление искусственных переменных в конце первого этапа имеет смысл только тогда, когда все они являются небазисными (как в примере 2.2-4). Однако возможна ситуация, когда в конце первого этапа искусственные переменные останутся в базисе, но будут иметь нулевые значения. В этом случае такие переменные при необходимости будут формировать часть начального базисного решения для второго этапа. При этом необходимо так изменить вычисления, выполняемые на втором этапе, чтобы искусственные переменные никогда не смогли принять положительные значения ни в каких итерациях симплекс-метода.
Существует простое правило, которое гарантирует, что нулевая базисная искусственная переменная на втором этапе никогда не станет положительной. Если в ведущем столбце коэффициент, соответствующий нулевой базисной искусственной переменной, положителен, тогда ведущий элемент определяется автоматически (поскольку ему соответствует минимальное отношение, равное нулю) и искусственная переменная на следующей итерации становится небазисной. Если ведущий элемент равен нулю, следующая итерация оставляет искусственную переменную нулевой. И наконец, рассмотрим отрицательный ведущий элемент. В этом случае минимальное отношение не ассоциируется с базисной (нулевой) искусственной переменной. Если минимальное отношение будет положительным, то на следующей итерации искусственная переменная примет положительное значение (обоснуйте это утверждение). Чтобы исключить эту возможность, мы принуждаем искусственную переменную всегда оставаться в базисном решении. Поскольку искусственная переменная равна нулю, её удаление из базисного решения не влияет на то, будет ли допустимым решение из оставшихся в базисе переменных. (Было бы полезно для читателя рассмотреть все описанные случаи с помощью симплекс-таблиц.)
Итак, правило для второго этапа заключается в том, чтобы искусственные переменные оставлять в базисе всегда, когда коэффициент в ведущем столбце положительный или отрицательный. Фактически это правило применяется в конце первого этапа, когда удаляем нулевые искусственные переменные из базисного решения, перед тем как приступить ко второму этапу.
Глава 3. Особые случаи симплекс-метода.
В этом разделе рассмотрим четыре особых случая, встречающихся при использовании симплекс-метода.
1. Вырожденность.
2. Альтернативные оптимальные решения.
3. Неограниченные решения.
4. Отсутствие допустимых решений.
При изучении этих случаев основное внимание мы уделим (1) теоретическому обоснованию причин, приводящих к таким ситуациям, и (2) их практическим интерпретациям применительно к реальным задачам.
3.1 Вырожденность.
В ходе выполнения симплекс-метода проверка условия допустимости может привести к неоднозначному выбору исключаемой переменной. В этом случае на следующей итерации одна или более базисных переменных примут нулевое значение. Тогда новое решение будет вырожденным.
В вырожденном решении нет никакой опасности, за исключением небольших теоретических неудобств, которые мы далее кратко обсудим. С практической точки зрения вырожденность объясняется тем, что в исходной задаче присутствует, по крайней мере, одно избыточное ограничение. Для того чтобы лучше понять практические и теоретические аспекты явления вырожденности, рассмотрим численный пример. Графическая интерпретация задачи поможет наглядно разобраться в этом явлении.
Пример 3.1-1. (Вырожденное оптимальное решение)
Рассмотрим следующую задачу ЛП.
Максимизировать z = 3x1+ 9x2
При выполнении условий
X1 + 4x2
X1+ 2x2
X1, x2>= 0.
На начальной итерации в качестве исключаемой можно выбрать как переменную x3, так и x4. Если оставить в базисе переменную x4, на следующей итерации она примет значение 0 (как показано в таблице), т.е. получим вырожденное базисное решение. Оптимальное решение получается на следующей итерации.
Что же практически приводит к вырожденности решения? Рассмотрим рис. 3.4, графически представляющий решение этой задачи. Точка оптимума x1 = 0, x2 = 2 является пересечением трёх прямых. Поскольку данная задача двухмерна, эта точка переопределена (на плоскости для определения точки достаточно двух прямых), и, следовательно, одно из ограничений избыточно. На практике информация о том, что некоторые ресурсы недефицитны, может быть полезной при интерпретации результатов решения задачи. Эти сведения также могут помочь выявить неточности и ошибки в постановке исходной задачи. К сожалению, не существует способов определить избыточное ограничение непосредственно из данных симплекс-таблиц.
Рис. 3.1
С вычислительной и теоретической точек зрения вырожденность может привести к двум последствиям. Во-первых, в процессе вычислений может возникнуть зацикливание. Если в приведённой выше таблице сравнить первую и вторую итерации, то можно заметить, что значение целевой функции не изменилось (z = 18). Поэтому может возникнуть ситуация, когда при реализации симплекс-метода некоторая последовательность будет повторяться, не изменяя значения целевой функции и не приводя к завершению вычислительного процесса. Существуют методы, предотвращающие зацикливание, однако они значительно замедляют процесс вычислений. Поэтому в большинстве программ, реализующих симплекс-метод, отсутствуют специальные средства защиты от зацикливания, тем более, что вероятность зацикливания очень мала.
Во-вторых, последствие вырожденности решения можно обнаружить, сравнивая первую и вторую итерации в приведённой выше таблице. Хотя в этих итерациях состав базисных и небазисных переменных различен, значения всех переменных и значение целевой функции не изменяются:
x1= 0, x2= 2, x3= 0, x4= 0, z = 18.
Можно ли, несмотря на то что оптимальное решение не достигнуто, остановить вычисления на первой итерации (когда впервые обнаруживается вырожденность)? Ответ отрицательный, так как решение может быть только временно.
3.2. Альтернативные оптимальные решения.
Когда прямая (если рассматривается двухмерная задача ЛП, в общем случае – гиперплоскость), представляющая целевую функцию, параллельна прямой (гиперплоскости), соответствующей связывающему неравенству (которое в точке оптимума выполняется как точное равенство), целевая функция принимает одно и то же оптимальное значение на некотором множестве точек границы области допустимых решений. Эти решения называются альтернативными оптимальными решениями. Следующий пример показывает, что таких решений (если они существуют) бесконечное множество. Этот пример также проиллюстрирует практическую значимость альтернативных практических решений. продолжение
--PAGE_BREAK--
Пример 3.2-1 (Бесконечное множество решений)
Рассмотрим следующую задачу ЛП.
Максимизировать z = 2x1 + 4x2
при ограничениях
x1 + 2x2
x1 + x2
x1, x2 >= 0.
На рис. 3.2 показано множество альтернативных оптимальных решений, которые являются следствием того, что прямая, представляющая целевую функцию, параллельна прямой, соответствующей связывающему ограничению. Каждая точка отрезка
BC соответствует оптимальному решению со значением целевой функции z = 10.
Рис. 3.2
Последовательные итерации выполнения симплекс-метода представлены в следующей таблице.
На первой итерации получаем оптимальное решение x1 = 5/2 и z = 10, которое соответствует точке B на рис. 3.2. Как узнать из симплекс-таблицы, что существует альтернативное оптимальное решение? Посмотрите на коэффициенты небазисных переменных в z-строке первой итерации. Коэффициент небазисной переменной x1 равен нулю, это означает, что данную переменную можно ввести в базис без изменения значения целевой функции, но значение самой переменной x1 изменится. Введение переменной x1 в базисное решение выполнено на второй итерации, при этом из базиса исключена переменная x4. Получено новое решение x1 = 3, x2 = 1, z = 10, которое соответствует точке Cна рис. 3.2.
Симплекс-метод может определить только две угловые точки Bи C. Математически мы можем найти все точки (x1’,x2’) отрезка BCкак взвешенное среднее (с неотрицательными весами) точек B и C. Полагая 0
B: x1 = 0, x2 = 5/2,
C: x1 = 3, x2 = 1,
координаты любой точки отрезка BC можно записать следующим образом:
x1’ = α * 0 + (1 — α) * 3 = 3 – 3 α,
x2’ = α * 5/2 + (1 — α) * 1 = 1 – 3/2 α,
При α = 0 (x1’,x2’) = (3, 1), что соответствует точке C. При α = 1 получаем (x1’,x2’) = (0, 5/2) – это точка B. Если значение α лежит строго между 0 и 1, получаем внутренние точки отрезка BC.
На практике альтернативные оптимальные решения весьма полезны, поскольку позволяют сделать выбор среди множества решений без ухудшения значения целевой функции. Например, в рассмотренной выше задаче переменная x2, принимает нулевое значение в точке B, тогда как в других альтернативных оптимальных решениях её значение положительно. Если интерпретировать задачу как задачу организации производства двух видов товара (которые соответствуют переменным x1 и x2), то, с учётом конкуренции на рынке, более рационально производить оба вида товара, а не один. В этом случае решение, соответствующее точке C, предпочтительнее.
3.3 Неограниченные решения.
В некоторых задачах ЛП значения переменных могут неограниченно возрастать без нарушения ограничений. Это говорит о том, что пространство допустимых решений не ограничено, по крайней мере, по одному направлению. В результате этого целевая функция может возрастать (задача максимизации) или убывать (задача минимизации) неограниченно.
Неограниченность решения задачи свидетельствует только об одном: модель разработана не достаточно корректно. Типичные ошибки, приводящие к построению таких моделей, заключается в том, что не учитываются ограничения, не являющиеся избыточными, и не точно оцениваются параметры (коэффициенты) ограничений.
В следующем примере показано, как на основе данных, приведённых в симплекс-таблице, можно определить, когда не ограничено пространство решений и значения целевой функции.
Пример 3.3–1. (Неограниченная целевая функция)
Рассмотрим задачу
Максимизировать z = 2x1 + x2
при выполнении условий
x1– x2
2x1
x1, x2>= 0.
Симплекс-таблица начальной итерации этой задачи имеет следующий вид.
Базис
x1
x2
x3
x4
Решение
z
-2
-1
x3
1
-1
1
10
x4
2
1
40
Из этой таблицы видно, что в качестве вводимой переменной можно взять как x1, так и x2. Поскольку переменная x1 имеет максимальный (по абсолютной величине) отрицательный коэффициент в z-строке, именно её следует ввести в базисное решение. Однако заметим, что во всех ограничениях коэффициенты, стоящие перед переменной x2, отрицательны или равны нулю. Это означает, что значение переменной x2 может возрастать до бесконечности, и при этом не нарушается ни одно ограничение. Поскольку увеличение на 1 значения переменной x2 приводит к увеличению на 1 значения целевой функции, значит, неограниченное увеличение значения переменной x2 ведёт к неограниченному увеличению значения целевой функции. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 3.3. На этом рисунке видно, что пространство допустимых решений не ограничено в направлении оси x2 и значение целевой функции может быть каким угодно большим.
Рис. 3.3
Правило выявления неограниченности решения следующее. Если на какой-либо симплекс-итерации коэффициенты в ограничениях для какой-нибудь небазисной переменной будут неположительными, значит, пространство решений не ограничено в направлении возрастания этой переменной. Кроме того, если коэффициент этой переменной в z-строке отрицателен, когда рассматривается задача максимизации, или положителен в задаче минимизации, целевая функция также не ограничена.
3.4 Отсутствие допустимых решений.
Если ограничения задачи ЛП несовместны (т.е. они не могут выполняться одновременно), то задача не имеет допустимых решений. Такая ситуация не может возникнуть, если все неравенства, составляющие систему ограничений, имеют тип «положительная искусственная переменная.
С практической точки зрения отсутствие допустимых решений свидетельствует о том, что задача плохо сформулирована.
Пример 3.4-1. (Отсутствие допустимых решений)
Рассмотрим следующую задачу.
Максимизировать z = 3x1+ 2x2
при выполнении условий
2x1+ x2
3x1+ 4x3>= 12,
x1, x2>= 0.
Результат применения симплекс-метода представлен в следующей таблице.
Итерация
Базис
x1
x2
x4
x3
R
Решение
Начальная
z
-3 -3M
-2 -4M
M
-12M
Вводится
x3
2
1
1
2
Исключается
R
3
4
-1
1
12
Первая
z
1 + 5M
M
2 + 4M
4 – 4M
(псевдооптимум)
x2
2
1
1
2
R
-5
1
-4
1
4
Данные из этой таблицы показывают, что в точке оптимума искусственная переменная Rимеет положительное значение (= 4), что свидетельствует об отсутствии допустимого решения. На рис. 3.4 графически представлена ситуация данной задачи. Алгоритмы симплекс-метода, допуская положительные значения искусственной переменной, по существу, превращает неравенство 3x1 + 4x3 >= 12 в 3x1 + 4x3 псевдооптимальным решением.
Рис. 3.4
2. Практическая часть.
Постановка задачи.
Решить задачи:
F = 14x1 + 10x2 + 14x3 + 14x4 → max
при ограничениях:
4x1+ 2x2+ 2x3+ x4
x1+ x2+ 2x3+ 3x4
3x1+ x2+ 2x3+ x4
xj>= 0, j= 1, 2, 3, 4.
F = x1+ x2→ max
при ограничениях:
x1 – 4x2 – 4
3x1 – x2 >= 0;
x1 + x2 – 4 >= 0;
x1 >= 0, x2 >= 0.
Решение.
1. F = 14x1 + 10x2 + 14x3 + 14x4 → max
при ограничениях:
4x1+ 2x2+ 2x3+ x4
x1+ x2+ 2x3+ 3x4
3x1+ x2+ 2x3+ x4
xj>= 0, j= 1, 2, 3, 4.
Переведём систему в канонический вид для решения симплексным методом.
4x1+ 2x2+ 2x3+ x4+ x5= 35;
x1+ x2+ 2x3+ 3x4+ x6= 30;
3x1+ x2+ 2x3+ x4+ x7= 40;
xj>= 0, j= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
14x1 + 10x2 + 14x3 + 14x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 → max
Ответ: maxz= 225 при x2= 5, x3= 12,5, x7= 10, x1= x4= x5= x6= 0.
Двухэтапный метод.
2. F = x1 + x2 → max
продолжение
--PAGE_BREAK--