Эконометрика

ЭКОНОМЕТРИКА Учебное пособие В пособии изложена так называемая классическая эконометрика, которая является продолжением и развитием методов математической статистики. В нем рассмотрены вопросы построения линейных и нелинейных эконометрических моделей, методы оценки их параметров в условиях таких негативных феноменов, как мультиколлинеарность, гетероскедастичность, автокорреляция остатков и др. Рассмотрены способы построения систем одновременных уравнений, моделей

с фиктивными переменными, сглаживания и исследования временных рядов, в том числе рядов со структурными изменениями. Приведены таблицы для отыскания критических значений статистик, используемых для проверки гипотез, необходимых в эконометрическом анализе. Пособие предлагается студентам экономических специальностей, особенно студентам заочной формы обучения, а также может быть полезно экономистам-практикам. Печатается по решению редакционно-издательского совета

Челябинского государственного университета. Рецензенты кафедра финансов и кредита ГОУВПО ЮУрГУ С.А. Биткин, кандидат физ мат. наук, ведущий научный сотрудник ГРЦ КБ им. В.П.Макеева ББК 65.26в6 ISBN ГОУВПО Челябинский государственный университет , Миасский филиал, 2009 СОДЕРЖАНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 1. Эконометрическая модель и экспериментальные данные 6 1.2.

Этапы эконометрического моделирования 2. РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 3. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ 11 3.1. Вид уравнения и предпосылки для регрессионного анализа 2.Отыскание оценок параметров парной регрессии 3. Оценка значимости уравнения и его параметров 4. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии 19 4.

МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ 1. Матричная форма регрессионной модели 2. Отбор факторов для моделей множественной регрессии 3. Влияние на качество модели множественной регрессии избы- точных переменных и отсутствия существенных переменных 4. Оценка параметров модели множественной регрессии 5. Оценка надёжности результатов множественной регрессии 30 5.

НЕЛИНЕЙНАЯ ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ 1. Функции и их характеристики 5.2 Корреляция при нелинейной регрессии 6. МОДЕЛИ ANCOVA МОДЕЛИ КОВАРИАЦИОННОГО АНАЛИЗА . ФИКТИВНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 7. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ 8. ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ ОСТАТКОВ 1. Сущность и причины гетероскедастичности 38 8.2.

Выявление гетероскедастичности 3. Устранение гетероскедастичности 9. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ В ОСТАТКАХ 9.1 Сущность и причины автокорреляции в остатках 2. Обнаружение автокорреляции в остатках 3. Методы устранения автокорреляции 10. СИСТЕМЫ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Виды переменных и уравнений СОУ 2. Проблемы идентификации 3. Оценивание параметров структурной модели 59 11.

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 1. Интерпретация параметров модели с распределенным лагом 2. Интерпретация параметров модели авторегрессии 3. Полиномиальные лаговые структуры Алмон 4. Геометрические структуры Койка 5. Оценка параметров авторегрессионных моделей первого порядка AR 1 -моделей 6. Модель адаптивных ожиданий 70 12.

СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ 1. Метод скользящей средней 2. Регрессионная модель и метод конечных разностей 3. Стационарные и нестационарные временные ряды 4. Преобразования ARMA и ARIMA 13. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННОГО РЯДА ПРИ НАЛИЧИИ СТРУКТУРНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ 14. ЗАДАНИЯ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ 15. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ . 16. СТАТИСТИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 90 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. ВВЕДЕНИЕ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Эконометрика - это наука, которая даёт количественное выражение взаимосвязей экономических или иных явлений и процессов, раскрытых экономической или иной теорией.

Пусть требуется определить величину, формирующуюся под воздействием нескольких независимых факторов. Такую величину называют объясняемой переменной функцией или результативным признаком, а факторы - объясняющими переменными аргументами . Общей чертой для всех эконометрических моделей является разбиение зависимой переменной на две составляющие объясненную и случайную. или - это модели с аддитивным и мультипликативным остатком соответственно. Пусть имеется p объясняющих переменных

X1, X2 Xp и зависимая переменная Y. Переменная Y - случайная величина, имеющая при заданных значениях факторов из вектора x некоторое статистическое распределение f x1, x2 xp y чаще всего это распределение нормально, но иногда это предположение бывает неправомерно. Объясняющие переменные можно считать как случайными, так и детерминированными. Классические модели предполагают, что они детерминированы.

Опыт показывает, что результаты такого подхода мало отличаются от случаев, если Xj считать случайными. Наиболее естественным выбором объясняемой части результативного признака Y является его условное математическое ожидание. Mx1, x2, x3 xp Y . Статистические данные для построения модели представляются табл. 1.1 наблюдений, которая приводится ниже для p переменных и n наблюдений.

В этой же таблице после соответствующих вычислений приводят теоретические модельные значения объясняемой переменной в каждом наблюдении и остатки е - также для каждого наблюдения. Таблица 1.1 ? уравнение регрессионной модели с аддитивным остатком такие модели наиболее употребительны . Эконометрическая модель не всегда является регрессионной, то есть объясненная часть не всегда является условным математическим ожиданием. Это может произойти тогда, когда объясненная составляющая содержит

систематическую ошибку. Рассмотрим равенство и возьмём при каждом заданном значении вектора x математическое ожидание от обеих частей то есть математическое ожидание от остатка равно нулю. Таким образом, видно, что остатки имеют нулевое среднее в каждом наблюдении и не коррелируют с объясняющими переменными. Последнее обстоятельство ? это наиболее существенное условие состоятельности результатов анализа эконометрической модели. 1.1. Эконометрическая модель и экспериментальные данные

Для получения достаточно достоверных и информативных данных о распределении вектора случайной величины необходимо иметь достаточно большую выборку. Выборка представляет собой совокупность наборов векторов значений Как правило, число наблюдений велико и значительно превосходит число факторных переменных. Опыт показывает, что для получения хороших результатов должно выполняться условие а для получения удовлетворительных результатов должно выполняться условие Существует такая проблема наблюдения yi, которые при различных

наборах объясняющих переменных рассматриваются как реализации случайных величин Yi, могут в общем случае иметь различные распределения, а это означает, что в конкретной таблице наблюдений для каждой случайной величины будет иметься только одно наблюдение. В классической эконометрике рассматривают два вида данных 1. Пространственная выборка или перекрёстные данные cross-sectional data - это набор значений показателей,

полученный в некоторый момент или за достаточно короткий интервал времени. Таким образом, для пространственной выборки можно говорить, что все ее наблюдения получены примерно в одинаковых условиях. По другому пространственная выборка - это серия из n независимых наблюдений p 1 - мерной случайной величины. В дальнейшем Xi можно не рассматривать как случайные величины. Если случайные величины Yi для различных i независимы, то это влечёт за собой некоррелированность остатков

Реально проверить, является ли выборка совокупностью независимых наблюдений, весьма непросто. Обычно за независимые наблюдения принимают наблюдения, о которых предполагают, что они независимые причинно. 2. Временной или динамический ряд time-series data - это выборка наблюдений, в которой важны не только сами наблюдения, но и порядок следования их друг за другом. При этом предполагается, что тип распределения наблюдаемой случайной величины остается неизменным во

времени, но его параметры могут изменяться. Модели временных рядов оказываются сложнее моделей пространственной выборки, так как наблюдения во временном ряду в общем случае не являются независимыми и остатки могут коррелировать друг с другом. 1.2. Этапы эконометрического моделирования 1. Постановочный - здесь формируется цель исследования и составляется набор эконометрических переменных моделей. Каждая переменная должна быть теоретически обоснована и число факторных переменных должно быть

по крайней мере в несколько раз меньше числа наблюдений. Факторные переменные не должны быть связаны между собой функциональной или тесной корреляционной связью. Для оценки влияния качественных признаков могут использоваться фиктивные переменные. 2. Априорный - здесь проводится анализ сущности исследуемого объекта, формирование и формализация априорной информации, то есть известной до начала моделирования.

3. Этап параметризации - здесь выполняется собственно моделирование, то есть выбор общего вида модели и выявление входящих в нее связей. Таким образом, на этом этапе решается проблема спецификации модели - выражение в математической форме обнаруженных связей и соотношений, установление состава экзогенных и эндогенных переменных в том числе лаговых , формулировка исходных предпосылок и ограничений модели. 4. Информационный - на этом этапе осуществляется сбор необходимой статистической информации с помощью

активного или пассивного эксперимента. 5. Этап идентификации модели - здесь осуществляется статистический анализ модели и оценка её параметров это самый обширный и насыщенный этап . 6. Этап верификации - это этап проверки истинности, адекватности модели. Заметим, что если имеются статистические данные, характеризующие моделируемый объект в данный момент времени и в предшествующие периоды, то для верификации модели, построенной для целей прогноза, достаточно

сравнить наблюдаемые значения и вычисленные модельные значения переменных в предшествующие периоды. 2. РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ По виду аналитической зависимости объясняемой переменной от объясняющих переменных регрессионную модель подразделяют на линейную и нелинейную. В большинстве случаев строят линейные модели, так как они кроме простоты имеют два положительных качества 1 если многомерная случайная величина X, Y , где X - вектор, имеет совместное нормальное распределение,

то уравнение регрессии будет линейным, например , если x - одномерная случайная величина. Предположение о нормальности распределения вполне естественно и может быть обосновано с помощью предельных теорем теории вероятности. В некоторых случаях величины X и Y могут не иметь нормального распределения X может быть вообще детерминированным , но некоторые функции от них могут быть распределены нормально. 2 меньший риск значительной ошибки, так как линейная

функция имеет постоянную производную и не претерпевает значительных изменений при изменении аргументов. Модели, нелинейные по объясняющим переменным, можно свести к линейным путём переименования переменных. При этом в модели за новую переменную берётся интересующая нас экономическая переменная с примененным к ней нелинейным оператором. Так, для модели можно принять и получить Отметим, что содержательная интерпретация результатов при такой замене переменных затрудняется.

Модели, нелинейные по параметрам, подразделяются на - внутренне линейные линеаризуемые - внутренне нелинейные нелинеаризуемые . Первые могут быть приведены к линейному виду путём соответствующих математических преобразований, например Для оценки параметров внутренне нелинейной модели 5 этап используют специальные итерационные процедуры. Такие модели достаточно редки и экзотичны, и мы в дальнейшем их рассматривать не будем. Уравнения регрессии и некоторые тождества, связывающие объясняющие и объясняемые переменные,

могут составлять так называемые системы одновременных уравнений. Тождества не содержат параметров, подлежащих оцениванию, и не включают случайные составляющие. Каждое уравнение такой системы, кроме своих объясняющих переменных, может включать объясняемые переменные из других уравнений, в том числе их лаговые значения. Таким образом, эконометрическая модель на основе системы одновременных уравнений позволяет объяснить

поведение эндогенных переменных в зависимости от экзогенных переменных и лаговых значений эндогенных переменных, то есть в зависимости от предопределённых заранее определённых переменных. Построение и исследование регрессионной модели называют регрессионным анализом. Задачей регрессионного анализа является установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии и отыскание прогнозных значений зависимых переменных.

3. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ 3.1. Вид уравнения и предпосылки для регрессионного анализа Парная линейная регрессия описывается уравнением Для получения оценки параметров линейной функции регрессии взята выборка, состоящая из векторных переменных xi, yi . Оценкой записанной выше модели является уравнение где Классический подход к оцениванию параметров б и в основан на классическом обычном или традиционном методе

наименьших квадратов МНК . Чтобы регрессионный анализ давал достоверные результаты, необходимо выполнить четыре условия Гаусса-Маркова 1. M еi 0 - остатки имеют нулевое среднее для всех i 1 n. 2. D еi у2 const для всех i 1 n - гомоскедастичность остатков, то есть их равноизменчивость отсутствие автокорреляции в остатках. 4. Объясняющая переменная X детерминирована, а объясняемая переменная Y - случайная величина и остатки не коррелируют с

X Объясняющая переменная в том случае, когда она стоит в уравнении регрессии, может называться регрессором. Наряду с этими четырьмя условиями Гаусса-Маркова применяют пятое условие остатки должны быть распределены нормально это условие необходимо для обеспечения правильного оценивания значимости уравнения регрессии и его параметров. Наилучшие оценки называют BLUE-оценками Best Linear Unbiased Estimators . Они обладают следующими свойствами 1.

Это оценки несмещённые 3. Оценки эффективны, то есть имеют наименьшие дисперсии среди всех возможных оценок. Если нарушаются второе и или третье условия Гаусса-Маркова, то оценки не теряют свойства 1 и 2, а свойство 3 эффективность теряют дисперсии становятся смещёнными. 3.2.Отыскание оценок параметров парной регрессии Сущность МНК для парной регрессии состоит в минимизации суммы квадратов остатков

ESS - Error Sum of Squares . Наблюдаемое значение , положение модельной точки на линии регрессии и остаток показаны на приведеном ниже рис. 3.1. y x Рис. 3.1 Учитывая, что параболы второй степени имеют один экстремум, отыщем стационарную точку ESS как функции двух переменных a и b Параметр b - это коэффициент регрессии. Его величина показывает, на сколько единиц собственного измерения изменяется результат

Y при изменении фактора на одну единицу собственного измерения Свободный член a показывает совокупное влияние на результативный признак факторов, не учтённых в модели. Уравнение регрессии почти всегда дополняют показателем тесноты статистической связи между случайными величинами X и Y. Для парной линейной регрессии это будет линейный коэффициент корреляции Корреляционная зависимость между двумя переменными - это функциональная зависимость между значениями

одной из них и условным математическим ожиданием другой. Коэффициент rxy оценивает тесноту связи рассмотренных признаков в её линейной форме, поэтому близость rxy к нулю не всегда означает отсутствие связи между признаками. При другой нелинейной, специальной модели связь между признаками может оказаться тесной. Для оценки качества подбора линейных функций также рассчитывают коэффициент детерминации .

Он характеризует долю дисперсии признака Y, объясненную регрессией, в общей дисперсии. 3.3. Оценка значимости уравнения и его параметров После того как уравнение линейной регрессии построено, производится оценка значимости уравнения в целом и отдельных его параметров. Значимость уравнения в целом оценивается по значению величине F-статистики Фишера. При этом выдвигается основная гипотеза о том, что коэффициент регрессии b равен

нулю и фактор X не влияет на результат Y. Для расчёта F используют дисперсии на одну степень свободы такие дисперсии сравнимы между собой по величине, так как приведены к общей шкале. df - число степеней свободы degrees of freedom , df TSS n-1, то есть свободно могут варьироваться n-1 отклонений, а n-е отклонение может быть вычислено по этим отклонениям и среднему значению При заданном объёме наблюдений величина

RSS в парной регрессии зависит от одной константы, а именно от коэффициента регрессии b, то есть RSS имеет одну степень свободы. Дисперсии на одну степень свободы для парной регрессии обозначаются так По таблице Фишера-Снедекора, содержащей критические значения F при разных уровнях г существенности нулевой гипотезы и разных df, найдём Fкр критическое значение для конкретной задачи Если расчётное значение

F Fкр, то H0 отклоняется и связь между X и Y признаётся существенной, а уравнение признается адекватным. Если F Fкр, то уравнение признается неадекватным. В линейной регрессионной модели оценивают значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. Для этого вначале определяются их стандартные ошибки Sa, Sb, Sr. Имея в распоряжении величины a, b, rxy и их стандартные ошибки, можно вычислить t-статистики

Стьюдента для оценки значимости этих параметров. Выдвигается гипотеза H0 о незначимости интересующего коэффициента регрессии. Если , то гипотеза H0 не отклоняется, в противном случае она отклоняется и соответствующий коэффициент признается значимым. На практике для приближенной оценки руководствуются следующим правилом - параметр значимым не признается, так как доверительная вероятность 0,7 - оценка параметра относительно значима

и доверительная вероятность находится в пределах 0,7 0,95 - оценка значима и доверительная вероятность находится в пределах 0,95 0,99 - оценка гарантированно значима. Эти правила хорошо работают при числе наблюдений больше десяти. Важный момент если модуль rxy близок к единице и n невелико, то распределение rxy будет отличаться от нормального и от распределения Стьюдента. Чтобы обойти это затруднение, используют специальную статистику

. Распределение величины Z приближается к нормальному при любых допустимых значениях r стандартная ошибка для Z-статистики и соответствующие значения t-статистик имеют вид Доверительные интервалы для оценок коэффициентов модели с надёжностью 1-г можно вычислить следующим образом 3.4. Интервалы прогноза по линейному уравнению регресси Интервальная оценка для условного математического ожидания объясняемой переменной может быть записана

так Эта статистика имеет при заданном уровне значимости г распределение Стьюдента. Из математической статистики известно, что а ранее вычислено В точке прогноза xп получим Стандартная ошибка характеризует ошибку положения прямой линии регрессии. Она минимальна при и возрастает по мере удаления от этого значения. Построенная нами доверительная область для условного математического ожидания определяет местоположение

модельной линии регрессии, но не отдельных индивидуальных значений зависимой переменной Y. Чтобы определить доверительный интервал для индивидуальных значений y зависимой переменой, следует учесть ещё один источник вариации - рассеяние вокруг самой линии регрессии, то есть . Тогда и Изложенные соображения могут быть проиллюстрированы следующим рис. 3.2 Рис. 3.2 4. МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ4.1.

Матричная форма регрессионной модели Экономическое явление определяется большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. Модель множественной регрессии запишется так Модель линейной множественной регрессии можно записать в матричной форме, имея в виду, что коэффициенты б и в заменены их оценками. Матрица XT X - неособенная и её ранг равен её размеру, то есть р 1 . 4.2. Отбор факторов для моделей множественной регрессии

Факторы, включаемые в модель, должны существенным образом объяснить вариацию результативной переменной. Существует ряд способов отбора факторов, наибольшее распространение из которых имеют метод короткой регрессии и метод длинной регрессии. При использовании метода короткой регрессии вначале в модель включают только наиболее важные факторы с экономически содержательной точки зрения. С этим набором факторов строится модель, и для неё определяются показатели качества

ESS, R2, F, ta, tbj. Затем в модель добавляется следующий фактор, и вновь строится модель. Проводится анализ, улучшилась или ухудшилась модель по совокупности критериев. При этом возможно появление парето-оптимальных альтернатив. Метод длинной регрессии предполагает первоначальное включение в модель всех подозрительных на существенность факторов. Затем какой-либо фактор исключают из модели и анализируют изменение её качества.

Если качество улучшится, фактор удаляют и наоборот. При отборе факторов следует обращать внимание на наличие интеркорреляции и мультиколлинеарности. Сильная корреляция между двумя факторами интеркорреляция не позволяет выявить изолированное влияние каждого из них на результативную переменную, то есть затрудняется интерпретация параметров регрессии, и они утрачивают истинный экономический смысл. Оценки значений этих параметров становятся ненадёжными

и будут иметь большие стандартные ошибки. При изменении объёма наблюдений оценки могут сильно изменяться, причём не только по величине, но и по знаку. Мультиколлинеарность - явление, когда сильной линейной зависимостью связаны более двух переменных она приводит к тем же негативным последствиям, о которых было сказано выше. Поэтому при отборе факторов следует избегать наличия интеркорреляции и, тем более, мультиколлинеарности. Для обнаружения интеркорреляции и мультиколлинеарности можно использовать анализ

матрицы парных коэффициентов корреляции r п , матрицы межфакторной корреляции r 11 и матрицы частных коэффициентов корреляции r ч . Для исключения одного из двух сильно коррелирующих между собой факторов можно руководствоваться таким соображением из модели бывает целесообразно убрать не тот фактор, который слабее связан с y, а тот, который сильнее связан с другими факторами. Это приемлемо, если связь с y для обоих факторов приблизительно одинакова.

При этом возможно наличие парето-оптимальных альтернатив, и тогда следует рассмотреть иные аргументы в пользу того или иного фактора. Матрица r 11 получается путём вычёркивания первого столбца и первой строки из матрицы r п . Матрица r 11 - квадратная и неособенная, ее элементы вычисляются по следующей формуле Представляется интересным исследовать определитель det r 11 . Если есть сильная мультиколлинеарность, то почти все элементы этой матрицы близки к единице и det 0.

Если все факторы практически независимы, то в главной диагонали будут стоять величины, близкие к единице, а прочие элементы будут близки к нулю, тогда det 1. Таким образом, численное значение det r 11 позволяет установить наличие или отсутствие мультиколлинеарности. Мультиколлинеарность может иметь место вследствие того, что какой-либо фактор является линейной или близкой к ней комбинацией других факторов. Для выявления этого обстоятельства можно построить регрессии

каждой объясняющей переменной на все остальные. Далее вычисляются соответствующие коэффициенты детерминации и рассчитывается статистическая значимость каждой такой регрессии по F -статистике Критическое значение F определяется по таблице для назначенного уровня значимости г вероятности отвергнуть верную гипотезу Н0 о незначимости R2 и числа степеней свободы df1 p-1, df2 n-1. Оценку значимости мультиколлинеарности можно также произвести путём проверки гипотезы об её отсутствии

Н0 det r 11 1. Доказано, что величина приближённо имеет распределение Пирсона Если вычисленное значение ч2 превышает табличное значение для назначенного г и df n n-1 2, то гипотеза Н0 отклоняется и мультиколлинеарность считается установленной. Парные коэффициенты корреляции не всегда объективно показывают действительную связь между факторами. Например, факторы могут по существу явления не быть связаны между собой, но смещаться в одну сторону

под влиянием некоторого стороннего фактора, не включенного в модель. Довольно часто таким фактором выступает время. Поэтому включение если это возможно в модель переменной t иногда снижает степень интеркорреляции и мультиколлинеарности. Более адекватными показателями межфакторной корреляции являются частные коэффициенты корреляции. Они отражают тесноту статистической связи между двумя переменными при элиминировании влияния других

факторов. Частные коэффициенты корреляции для недиагональных элементоввычисляются по следующим формулам Таким образом, показывает корреляционную связь между хi и xj, при элимировании влияния прочих факторов и он более правдив, чем rij парный коэффициент корреляции . 4.3. Влияние на качество модели множественной регрессии избыточных переменных и отсутствия существенных переменныхПусть истинная модель представляется в виде а мы считаем, что моделью является регрессионное

уравнение , и рассчитываем оценку величины b1 по формуле вместо формулы В целом проблемы смещения оценки здесь нет, но в общем случае оценка будет неэффективной в смысле наличия большей дисперсии, чем при правильной спецификации. Это легко понять интуитивно. Истинная модель может быть записана в виде Здесь b1 будет являться несмещенной оценкой параметра в1, а b2 будет несмещенной оценкой нуля при выполнении

условий Гаусса-Маркова . Утрата эффективности в связи с включением x2 в случае, когда она не должна быть включена, зависит от корреляции между x1 и x2 см. табл. 4.1 . Таблица 4.1 Парная регрессия Множественная регрессия Дисперсия окажется большей при множественной регрессии, и разница будет тем больше, чем коэффициент парной корреляции будет ближе по модулю к единице.Теперь, пусть переменная y зависит от двух факторов

x1 и x2 однако мы не уверены в значимости фактора x2, и поэтому мы запишем уравнение регрессии так или Если выбросить x2 из регрессионной модели, то x1 будет играть двойную роль - отражать свое прямое влияние на объясняемую переменную y и заменять фактор x2 в описании его влияния. Это опосредованное влияние величины x1 на y будет зависеть от двух обстоятельств от видимой способности переменной x1 имитировать поведение x2 и от прямого влияния x2 на y.

Способность переменной x1 объяснять поведение переменной x2 определяется коэффициентом наклона h линии псевдорегрессии Величина коэффициента h рассчитывается при помощи обычной формулы для парной регрессии Влияние х2 на у определяется в адекватном уравнении регрессии коэффициентом b2, и таким образом, эффект имитации посредством величины b2 может быть записан как прямое влияния величины х1 на у описывается с помощью b1 . При оценивании регрессионной зависимости у от х1 без включения в нее переменной х2 коэффициент

при х1 определяется формулой При условии, что величина х1 не является стохастической, ожидаемым значением коэффициента при х1 будет сумма первых двух членов последней формулы. Присутствие 2-го слагаемого предполагает, что математическое ожидание коэффициента при х1 будет отличаться от истинной величины b1, то есть, другими словами, оценка будет смещенной. Величина смещения определится выражением Направление смещения определяется знаками b2 и cov x1,x2 иногда

смещение бывает настолько сильным, чтобы заставить коэффициент регрессии сменить знак. Если то смещение исчезает. Другим серьезным следствием не включения переменной, которая на самом деле должна присутствовать в регрессии, является то, что формулы для стандартных ошибок коэффициентов и тестовые статистики, вообще говоря, становятся неприменимыми. 4.4. Оценка параметров модели множественной регрессииПараметры модели в классическом варианте оценивают

с помощью МНК. Предпосылки для МНК в множественной регрессии 1 математическое ожидание остатков во всех наблюдениях равняется нулю 2 отсутствие гетероскедастичности остатков 3 отсутствие автокорреляции в остатках 4 объясняющие переменные детерминированы, а у - объясняемая переменная - случайна, и остатки не коррелируют с объясняющими переменными 5 остатки должны быть распределены нормально еi N 0 у 6 регрессионная модель должна быть линейна относительно параметров 7 отсутствие интеркорреляции

и мультиколлинеарности Уравнение множественной регрессии выглядит следующим образом Обратившись к матричной форме записи, можно увидеть, что система нормальных управлений СНУ для такой множественной линейной модели будет иметь такой вид В матричной форме вектор оценки параметров запишется Дисперсия остатков отыскивается так Эти формулы справедливы для классического

МНК при гомоскедастичности остатков и отсутствии автокорреляции в остатках. Модель, где все факторы присутствуют в масштабах своих единиц измерения, не позволяет сравнить оценить степень вклада каждого фактора в результат, поэтому для исключения этого недостатка строят уравнения с использованием стандартизованных переменных и коэффициентов. Коэффициенты регрессии такой модели имеют тот же смысл, что и в парной регрессии, только каждый коэффициент

отвечает за свой фактор. Они показывают на сколько своих СКО изменится в среднем результат y, если соответствующий фактор изменится на одно свое СКО при неизменном среднем уровне остальных факторов. Долю влияния j-го фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэффициентов Качество уравнения множественной регрессии можно оценить с помощью коэффициента множественной корреляции

или его квадрата - коэффициента детерминации Если число наблюдений n недостаточно велико по сравнению с количеством факторов p, то величина R2 считается завышенной, и в таких случаях вычисляют исправленное значение R2 4.5. Оценка надёжности результатов множественной регрессии Вычислим F-статистику . Значимость уравнения в целом можно оценить с помощью статистики Фишера, а значимость каждого фактора оценивают с помощью t-статистик

Стьюдента Здесь вначале выдвигаются гипотезы Н0 о незначимости уравнения и или его коэффициентов, а затем производится сравнение расчетных и критических значений статистик F и t аналогично тому, как это делается для парной регрессии. Интервальные оценки коэффициентов множественной регрессии и среднего значения прогноза будут иметь вид 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ 5.1. Функции и их характеристики

Наиболее популярные функции регрессии приведены в табл. 5.1. Таблица 5.1 Вид функции у Первая производная Коэффициент эластичности 1.Парабола второй степени y a bx cx2 е b 2cx b 2cx x a bx cx2 2.Гиперболическая y a b x е -b x2 -b ax b 3.Показательная y a bx е lnb abx x lnb 4.Степенная y a xb е abxb-1 b 5.Полулогарифмическая y a blnx е b x b a blnx 6.Логистическая y a 1 b-cx е a b c e-cx 1 be-cx 2 7.Обратная y 1 a bx е -b a

bx 2 -bx a bx 5.2 Корреляция при нелинейной регрессии Уравнение нелинейной регрессии дополняется показателем корреляции - индексом корреляции. Для любых моделей, в том числе и нелинейных, показатель корреляции вычисляется так Если модель нелинейная относительно объясняющей переменной приводится к виду парной или множественной регрессии, то линейный коэффициент корреляции совпадает с индексом корреляции.

Иначе дело обстоит, если линеаризация связана с преобразованием результативной переменной у. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям признака числено не совпадает с индексом корреляции. Тем не менее, в большинстве практических случаев эти значения бывают достаточно близки. Индекс детерминации R2 можно использовать для расчёта F-статистики Фишера, по значению которой оценивается существенность уравнения в целом.

Пусть для некоторой зависимости построены линейные и нелинейные модели. Тогда индекс детерминации можно сравнить с коэффициентом детерминации линейной модели . Чем больше кривизна линии регрессии, тем более будет меньше, чем и наоборот. Близость этих показателей означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию. Если разность - не превышает 0,1 0,15, то предположение о линейной форме

связи вполне оправдано. В противном случае существенность этого различия оценивают по t-статистике Стьюдента. На практике считают, что если t 2, то вполне подходит линейная регрессия. 6. МОДЕЛИ ANCOVA МОДЕЛИ КОВАРИАЦИОННОГО АНАЛИЗА .ФИКТИВНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ Модели, в которых объясняющие переменные носят как качественный, так и количественный характер, называются ANCOVA-модели. Влияние качественного фактора обычно выражают в виде так называемой фиктивной

переменной или переменных, если таких факторов несколько . Такими факторами могут быть пол, возрастная группа, сезон, национальность. Фиктивная переменная отражает два противоположных состояния качественного фактора либо фактор действует, либо не действует D 0 или D 1. Фиктивную переменную иногда называют индикатором. Рассмотрим простейшую модель с одним индикатором, принимающим два значения ,

D 0, если сотрудник - женщина, D 1, если сотрудник - мужчина, y - размер заработной платы, x - стаж работы. Тогда ожидаемое значение заработной платы сотрудников при стаже х будет выражаться так что иллюстрируется рис. 6.1. Рис. 6.1 Если свободные члены окажутся статистически значимыми, то обнаружится дискриминация по поводу полового признака c 0 - в пользу мужчин, c 0 - в пользу женщин. В рассмотренном примере пол сотрудников имеет два альтернативных значения женщины или мужчины и в модели

это отражается одной фиктивной переменной. Что будет, если вместо одной возьмём две фиктивные переменные? Между фиктивными переменными D1 и D2 существует строгая функциональная линейная зависимость, а именно D2 1-D1 или D1 1-D2. Видно, что в этом случае имеет место совершенная мультиколлинеарность, следовательно, с1 и с2 в модели однозначно не определяются, и одну переменную нужно отбросить - это простейший способ борьбы с мультиколлинеарностью. Существует общее правило если качественная переменная имеет k альтернативных

значений, то в модели следует использовать только k-1 фиктивных переменных. Если этому правилу не следовать, то исследователь попадает в так называемую ловушку мультиколлинеарности dummy trap . Значение качественной переменной, для которой D 0, называется базовым или сравнительным. Рассмотрим модель при наличии у качественной переменной более двух альтернатив , где у - расходы, х - доходы. Значения переменных в зависимости от альтернатив показаны

в табл. 6.1. D1 D2 Дошкольник 0 0 Младший школьник 1 Старший школьник 1 Таблица 6.1 Образуются следующие зависимости Первое уравнение - это средний расход на дошкольника, второе уравнение - это средний расход на младшего школьника, третье уравнение - это средний размер расходов на старшего школьника. Здесь три альтернативы одного качественного признака возрастная группа моделируются 3-1 2 фиктивными

переменными. Возможен случай, когда в модель включается более одного признака. Рассмотрим модель у - заработная плата, х- стаж, D1 - пол сотрудника, D2 - наличие высшего образования в о . Фиктивные переменные удобно использовать в сезонных моделях. Пример Номер квартала - это качественный признак, имеющий k 4 альтернативы, следовательно, для его моделирования может потребоваться k - 1 4 1 3 фиктивных переменных.

Значения переменных в зависимости от альтернатив показаны в табл. 6.2. Таблица 6.2 Квартал D1 D2 D3 I II III IV 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I - 000 II - 100 III - 010 IV - 001 В этой модели присутствуют ситуации, в которых квартальное различие отражается лишь в различии свободных членов. Если различия затрагивают также изменения коэффициентов пропорциональности, то может быть составлена модель следующего вида

Вообще говоря, вначале целесообразно рассмотреть эту модель и если коэффициенты f1, f2, f3 окажутся статистически незначимыми, то можно перейти к упрощённой модели . 7. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ Для оценки точности чаще всего используют два показателя, которые для линейных, так и для нелинейных моделей имеют следующий вид. 1. Средняя ошибка аппроксимации 2. Среднеквадратическая ошибка аппроксимации 8.ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ 8.1.

Сущность и причины гетероскедастичности Второе условие Гаусса-Маркова о гомоскедастичности, то есть равноизменчивости остатков - это одно из важнейших предпосылок МНК. Так как математическое ожидание остатков в каждом наблюдении равно нулю, то квадраты остатков могут служить оценками их дисперсий. Эти квадраты остатков входят в ESS которая минимизируется в МНК с одинаковыми единичными весами, а это не всегда правомерно, так как

на практике гетероскедастичность не так уж редко встречается. Например, с ростом дохода растёт не только средний уровень потребления, но и разброс в потреблении. Он более присущ субъектам с высоким доходом, так как они имеют больший простор для распределения доходов. Проблема гетероскедастичности более характерна для пространственных выборок. Очевидно, что при наличии гетероскедастичности наблюдениям с большей дисперсией следует в

ESS придавать меньший вес и наоборот, а не учитывать их равновзвешенными, как это делается в классическом МНК. Точка на диаграмме рассеяния, полученная из наблюдения с меньшей дисперсией, более точно определяет направление линии регрессии, чем точка из наблюдения с большей дисперсией. Последствия гетероскедастичности таковы 1. Оценки параметров не будут эффективными, то есть не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками при этом они будут оставаться несмещенными.

2. Дисперсии оценок будут смещены, так как будет смещена дисперсия на одну степень свободы которая используется при вычислении оценок дисперсий всех коэффициентов. 3. Выводы, получаемые на основе завышенных F- и t-статистик, и интервальные оценки будут ненадёжны. 8.2. Выявление гетероскедастичности Это достаточно непростая задача дисперсию у2 еi обычно определить не удаётся, так как для конкретного значения объясняющей переменой хi или конкретного значения вектора

x при множественной регрессии мы располагаем лишь единственным значением зависимой переменой уi и можем вычислить единственное модельное значение переменной Тем не менее, в настоящее время разработан ряд методов и тестов для обнаружения гетероскедастичности 1. Графический. Мы уже говорили, что М еi 0 это значит, что дисперсию остатка можно заменить её оценкой, а в качестве этой оценки можно взять величину . В таком случае можно построить график в координатах

есть функция от хi, и по нему изучить характер указанной зависимости. Если объясняющих переменных несколько, то проверяется зависимость по каждой переменной хj , то есть изучается зависимость Можно также исследовать зависимость , так как переменная у является линейной комбинацией всех объясняющих переменных. 2. Тест ранговой корреляции Спирмена. Значения xi и еi упорядочиваются по возрастанию, и для каждого наблюдения в ряду х и в ряду

е устанавливается свой ранг номер в соответствии с этим упорядочением. Разность di между рангами x и е для каждого номера наблюдения рассчитывается как Затем вычисляется коэффициент ранговой корреляции . Известно, что если остатки не коррелируют с объясняющими переменными, то статистика имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы df n?2. Если вычисленное значение t-статистики превышает табличное

критическое значение при назначенном уровне значимости г гипотезы Н0, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отвергается и гетероскедастичность признаётся существенной. Критическое значение t-статистики определяется по таблице как В том случае, если модель регрессии множественная, проверка гипотезы Н0 выполняется для каждой объясняющей переменной. 3.

Тест Гольдфельда-Квандта. Предполагается, что дисперсия остатков в каждом наблюдении пропорциональна или обратно пропорциональна интересующему нас регрессору, также предполагается, что остатки распределены нормально и нет автокорреляции в остатках. В случае множественной регрессии тест целесообразно проводить по каждому регрессору отдельно. Последовательность проведения теста а наблюдения строки таблицы упорядочиваются по возрастанию интересующего нас регрессора б упорядоченная таким образом выборка разбивается на 3 подвыборки

объемами при этом Можно считать, что Авторы теста предлагают следующие значения n 30, k 11 n 60, k 22 n 100, k 36 38 n 300, k 110 и так далее см. табл. 8.1 Таблица 8.1 I k k p 1 k ? n 3 II n-2k III k в выполняется регрессия объясняемой переменной y на интересующую объясняющую переменную xj в выборках I и III и вычисляются ESSI и ESSIII г рассчитывается F-статистика , если , если

Эта статистика имеет распределение Фишера с числом степеней свободы . Выдвигается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности и назначается уровень значимости гипотезы г. По таблице Фишера-Снедекора находится критическое значение . Если расчетное значение , то гипотеза отклоняется и признается наличие гетероскедастичности. 4. Тест Уайта. При проведении данного теста вначале составляется вспомогательное уравнение, которое

в целях демонстрации запишем для трех объясняющих переменных Здесь - значение остатка в модели исходного ряда. Далее проверяется статистика по критерию , где - коэффициент множественной детерминации вспомогательного уравнения регрессии. Число степеней свободы df для отыскания по таблице критического значения равно числу регрессоров во вспомогательном уравнении. Если , то гипотеза о гомоскедастичности остатков отвергается.

Тест не требует нормальности распределения остатков в основной модели. 8.3. Устранение гетероскедастичности Для устранения гетероскедастичности или смягчения этой проблемы можно использовать так называемый взвешенный МНК ВМНК . Рассмотрим ВМНК на примере парной регрессии . Предполагается, что дисперсии остатков в каждом наблюдении нам известны. В качестве оценок дисперсии можно взять квадраты остатков в наблюдениях единичных реализациях

, так как математическое ожидание остатков в каждом наблюдении нулевое. Разделим левую и правую часть уравнения на среднеквадратическое отклонение СКО остатка Это уравнение регрессии без свободного члена, но с дополнительной объясняющей переменной zi. Покажем, что для выполняется условие гомоскедастичности Если рассмотреть матричную форму записи модели множественной регрессии, то

ВМНК будет сообразован с теоремой Айткена в классе линейных несмещенных оценок вектора в для обобщенной линейной модели наиболее эффективна оценка Если остатки гомоскедастичны, то есть Ще у2I, то эффективной будет оценка Ковариационную матрицу остатков при их гомоскедастичности равноизменчивости можно записать В случае с гетероскедастичностью эта матрица будет иметь вид Ковариационные матрицы оценок для гомоскедастичного и гетероскедастичного случаев будут иметь вид

К сожалению, в большинстве случаев матрица Ще точно не известна. Иногда по результатам графического анализа гетероскедастичности можно увидеть, что Рассмотрим эти случаи на примере парной регрессии. Для остатков будет выполняться условие гомоскедастичности, и можно будет к уравнению применить классический МНК. Поясним это Для остатков будет выполняться условие гомоскедастичности, и можно будет к уравнению

применить классический МНК. Действительно Для множественной регрессии можно рассмотреть версии , так как y есть линейная комбинация всех объясняющих переменных, и далее рассмотреть регрессию 9. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ В ОСТАТКАХ 9.1 Сущность и причины автокорреляции в остатках Автокорреляция в остатках обычно встречается при регрессионном анализе временных рядов и почти не встречается при анализе пространственных выборок. Чаще встречается положительная автокорреляция.

Она в большинстве случаев вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов. При положительной автокорреляции остатки изменяются монотонно с течением времени наблюдения, а при отрицательной - следует частое изменение знака остатка. Среди основных причин автокорреляции можно выделить следующие а ошибки спецификации - неучет в модели какой-то важной объясняющей переменной или неверный выбор вида функции, что ведет к систематическим

отклонениям точек наблюдения от линии регрессии б инерция - запаздывание реакции экономической системы на изменение факторов в сглаживание данных г наличие скрытых регрессоров, влияние которых в результате проявляется через случайный член. Последствия автокорреляции в остатках такие же, как и в случае гетероскедастичности потеря эффективности, смещение дисперсий оценок параметров, занижение стандартных ошибок и завышение t-статистик параметров , а это может повлечь признание незначимых факторов значимыми.

Вследствие перечисленных обстоятельств прогнозные качества модели ухудшаются. При анализе временных рядов вместо индекса i часто будем использовать время t, а вместо числа наблюдений n будем писать -продолжительность интервала наблюдения временного ряда. Мы будем рассматривать автокорреляцию первого порядка, так как в большинстве практических случаев автокорреляционная функция быстро убывает. Коэффициент автокорреляции 1-го порядка в остатках

Если этот коэффициент корреляции существенно отличен от 0, то можно говорить о наличии автокорреляции. 9.2. Обнаружение автокорреляции в остатках 1. Графический метод. При использовании этого метода строится график еt есть функция от еt-1. Если в графике прослеживается отчетливая положительная или отрицательная тенденция, то, скорее всего, имеет место соответствующая автокорреляция в остатках.

2. Метод рядов. В моменты времени определяются знаки отклонений, например - для 20-ти наблюдений. Рядом называют непрерывную последовательность одинаковых знаков ряд ограничен скобками, в примере приведено 5 рядов . Количество знаков называют длиной ряда. Если рядов мало по сравнению с числом наблюдений, то вполне вероятна положительная автокорреляция, если рядов много то отрицательная. Для более детального анализа используется следующая процедура.

Пусть - число знаков число знаков -количество рядов. При достаточном количестве наблюдений и при отсутствии автокорреляции в остатках случайная величина имеет асимптотически нормальное распределение со следующими параметрами Тогда, если k лежит внутри интервала то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется если лежит левее данного интервала, то есть положительная автокорреляция, а если правее - то отрицательная автокорреляция.

Здесь г - уровень значимости гипотезы об отсутствии автокорреляции. Значения определяются по таблице значений функции Лаласа и составляют для г 0,01 2,575, для г 0,05 1,960, для г 0,1 1,645. При небольших значениях и существует таблица Сведа -Эйзенхарта, в которой по значениям и находятся и .

Если k 1 k k 2 , то автокорреляция отсутствует, если k k1 - есть положительная автокорреляция, если k k2 - есть отрицательная автокорреляция. 3. Тест Дарбина-Уотсона DW . Это самый популярный тест - критерий Дарбина -Уотсона. Установим связь между этим критерием и коэффициентом корреляции учитывая, что и , получим Процедура обнаружения автокорреляции по критерию DW такова 1.

Вычисляется критерий DW, для чего должна быть выполнена регрессия y на x и определены остатки. Затем выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках. 2. По таблице критических значений теста Дарбина -Уотсона для назначенного уровня значимости г, числа наблюдений n и числа факторов p определяются верхняя du и нижняя dl критические точки 3. Строятся области

I - от 0 до dl II - от dl до du III - от du до 4 -du IV - от 4-ul до 4-dl и V - от 4-dl до 4. Это поясняется табл. 9.1. Таблица 9.1 I автокорреляция II неопределенность III нет автокорреляции IV неопределенность V - автокорреляция 0 dl dl du du 4 -du 4-du 4- dl 4-dl 4 При использовании критерия следует учитывать следующие ограничения а он применим лишь для модели с ненулевым

свободным членом б остатки должны описываться авторегрессионной моделью первого порядка в временной ряд должен иметь одинаковую периодичность, то есть не должно быть пропусков наблюдений г нельзя применять для моделей авторегрессионных относительно объясняемой переменной yt, так как в этом случае окажется, что регрессор будет коррелировать с остатком. Поясним это нии регрессоры и коррелируют друг с другом, то есть объясняющая переменная коррелирует со случайной компонентой, что нарушает предпосылки

МНК. Для авторегрессионных моделей существует следующая h-статистика Дарбина где - коэффициент авторегрессии количество наблюдений дисперсия коэффициента c1 в уравнении авторегрессии yt a bxt c1yt-1 еt, c1 - коэффициент при в упомянутом уравнении. Как использовать h-статистику? Для назначенного уровня значимости г выдвигают гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках, т.е. полагают, что в модели

AR 1 остатков и статистика h имеет стандартное нормальное распределение . По таблице значений функции Лапласа определяют критическую точку такую, что . Значения uг 2 составляют для г 0,01 uг 2 2,575, для г 0,05 uг 2 1,960, для г 0,1 uг 2 1,645. Если , то отклоняется. В противном случае не отклоняется и автокорреляция не признается. 9.3. Методы устранения автокорреляции 1. Обобщенный

МНК ОМНК . Рассмотрим исходную модель в моменты времени t и t-1 - есть случайная величина, так как и - случайные величины так как и . Ряд остатков еt описывается по предположению авторегрессией первого порядка ряд остатков ut представляет собой белый шум с автокорреляционной функцией в виде дельта-функции Дирака и не будет автокоррелирован. Также остаток в уравнении не коррелирует с регрессором xt. Следовательно, к этому уравнению можно применить классический

МНК. Оценка параметра b вычисляется непосредственно, а оценка параметра a вычисляется так . Вообще говоря, найденная оценка b не всегда будет совпадать с оценкой b, найденной из исходного уравнения , так как наше предположение об авторегрессионном характере остатков не всегда строго реализуется. ОМНК может применяться для данных, начиная с момента , т.е. первое наблюдение теряется его можно восстановить для и , используя поправку Прайса-Уинстена Если наше предположение о том, что остатки описанные

AR-моделью первого порядка соответствуют действительности, то можно показать, что . При большой протяженности временного ряда значения и действительно оказываются близки друг к другу. В матричной форме отыскание столбца B с помощью ОМНК выражается так B XTЩсX -1XTЩсY, где 2. Метод Кохрана-Оркатта итерационный - уточнение значения с. Первая итерация вначале по МНК оценивается регрессия .

Определяются столбец остатков и столбец . Далее оценивается авторегрессия остатков по схеме , отсюда находится оценка . Вторая итерация введем новые переменные wt yt - сyt-1, zt xt - сxt-1. Построим регрессию По ней определим е1 t и е1 t-1. Далее опять построим авторегрессию остатков , отсюда находим оценку с1. Третья итерация опять введем новые переменные w1 t wt - с1wt-1, z1 t zt - с1zt-1 и построим регрессию

По ней определим остатки е2 t и е2 t-1. Построим авторегрессию остатков и по ней найдем оценку с2. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока разность между предыдущей и последующей оценками с не станет по модулю меньше любого наперед заданного числа. После того, как определено значение с, строится регрессия по уже знакомой модели Применяя к этому уравнению классический МНК, находим и , рассчитываем значение 3.

Метод Хилдрета-Лу. Этот метод предполагает перебор значений в интервале -1 1 с достаточно малым шагом, например, 0,01 и подстановку его в уравнение . Та величина , при которой стандартная ошибка регрессии в данной модели будет наименьшей, принимается в качестве наилучшей оценки 10. СИСТЕМЫ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 10.1. Виды переменных и уравнений СОУ В экономических, социальных и финансовых науках объекты статистических исследований достаточно сложны.

Каждое отдельное взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные взаимосвязи между переменными модели системы. Отсюда возникает необходимость создания системы одновременных уравнений СОУ ее особенность такова, что в одних уравнениях некоторая переменная рассматривается, как объясняющая, а в другое уравнение входит как объясняемая, т.е. зависимая переменная. Примеры СОУ 1. Модель спроса - предложения см. рис.

10.1 Рис. 10.1 - предложение потребление доход. 2. Кейнсианская модель - модель формирования дохода закрытая экономика без государственных расходов - потребление инвестиции доход. Переменные делят на 2 больших класса - экзогенные - переменные внешние по отношению к модели объясняющие или факторные переменные эндогенные - переменные, значения которых определяются внутри модели. Экзогенные всегда предопределены, то есть определены заранее, до рассмотрения уравнения.

К предопределенным переменным также относят лаговые значения эндогенных переменных. Уравнения, описывающие модель рассмотренным выше образом, называются структурными уравнениями, и тогда имеет смысл говорить о структурной форме модели СФМ . Уравнения подразделяются на - поведенческие функциональные уравнения-тождества. Первые из них описывают взаимодействие между переменными и содержат случайные составляющие, а также

параметры, подлежащие оцениванию. Уравнения-тождества этого не содержат и выполняются в любом случае. Можно создать систему независимых уравнений, в которой каждая эндогенная переменная будет выражена только через экзогенные и предопределенные переменные плюс случайная составляющая. Такие уравнения называются уравнениями в приведенной форме и говорят, что системы таких уравнений имеют приведенную форму ПФМ . СФМ неполная ПФМ полная Структурную и приведенную формы, описываемые данными

уравнениями, можно представить в виде графовой модели, как показано на рис. 10.2. Видно, что СФМ представляет собой систему с перекрестными связями, а ПФМ - линейную систему с параллельными каналами. Рис. 10.2 В записанных выше системах для простоты случайные составляющие не включены, а все переменные взяты центрированными, чтобы в уравнении не было свободных членов.

Напомним, что центрирование - это вычитание из истинного значения переменной ее среднего значения. Для оценки параметров ПФМ можно использовать классический МНК, так как все уравнения независимы и для них выполняются условия Гаусса-Маркова. К уравнениям СФМ применять непосредственно классический МНК нельзя, так как объясняющие переменные коррелируют со случайными составляющими.

В связи с этим оценки могут получаться несостоятельными и смещенными. Следовательно, нужно использовать специальные методы методы оценки. 10.2. Проблемы идентификации Пусть в некоторой системе содержится экзогенных переменных и N эндогенных переменных. Тогда СФМ будет содержать параметров, подлежащих оценке, а ПФМ только. Рассмотрим эту систему СФМ для полных моделей, так как .

В СФМ содержится N N M-1 коэффициентов, а в ПФМ только NM коэффициентов, и при Очевидно, что из наличествующих коэффициентов ПФМ не удается однозначно определить все коэффициенты СФМ, если СФМ является полной. В таком случае говорят, что структурная модель не идентифицируется. Можно говорить о точной идентифицируемости, неидентифицируемости и сверхидентифицируемости переопределенности

системы структурных уравнений и каждого уравнения в отдельности. Система неидентифицируема, если неидентифицируемо хотя бы одно уравнение система идентифицируема, если все ее уравнения идентифицируемы. Пусть СОУ включает в себя N уравнений относительно N эндогенных переменных и пусть в системе имеется M экзогенных либо предопределенных переменных. Пусть количество эндогенных и экзогенных переменных в

проверяемом уравнении равно n и m соответственно. Переменные, не входящие в данное уравнение, но входящие в другие уравнения, называют исключенными переменными. Количество их равно N-n для эндогенных и M-m для экзогенных переменных соответственно. Тогда необходимое условие идентифицируемости для i-го уравнения будет иметь вид Достаточные условия идентифицируемости можно определить так 1 в каждом уравнении структурной формы все

переменные со своими коэффициентами переносятся в одну часть, при этом в другой части остается нуль 2 для каждого i?го уравнения СФМ составляется матрица A коэффициентов при переменных, исключенных из данного уравнения, но входящих в другие уравнения 3 вычисляется определитель этой матрицы и устанавливается ее ранг. Если определитель отличен от нуля и ранг матрицы не меньше числа эндогенных переменных в системе минус

единица N-1 , то уравнение идентифицируемо. При строгом неравенстве, то есть когда rank, оно сверхидентифицируемо при точном равенстве rank - точно идентифицируемо, а если rank, то уравнение неидентифицируемо и однозначно его коэффициенты определить нельзя. В последнем случае в неидентифицируемое уравнение следует ввести одну или несколько экзогенных переменных. Пример y1 y2 y3 y4 x1 x2 x3 x4 I -1 0 0 b14 a11 0 0 0 II 0 -1 b23 0 0 a22 0 0 III 0 0 -1 b34 0 0 a33 0

IV b41 b42 0 -1 0 0 0 a44 Для первого уравнения матрица A запишется -1 b23 a22 0 0 0 -1 0 a33 0 b42 0 0 0 a44 rank A 3 N - 1 4 - 1- уравнение I точно идентифицируемо.10.3. Оценивание параметров структурной моделиСуществуют следующие методы оценивания 1 косвенный метод наименьших квадратов КМНК , 2 двухшаговый метод наименьших квадратов

ДМНК , 3 трехшаговый метод наименьших квадратов ТМНК , 4 метод максимального правдоподобия. Рассмотрим первые два. КМНК - этот метод применяется для точно идентифицируемой модели, так как связан с решением системы алгебраических уравнений, которое должно быть единственно. Этапы выполнения метода следующие - структурная форма преобразуется в приведенную для каждого уравнения

приведенной формы с помощью классического МНК оцениваются коэффициенты коэффициенты приведенной модели трансформируются в коэффициенты структурной модели путем решения системы алгебраических уравнений До сих пор мы для простоты выкладок использовали центрированные переменные, даже не отмечая факт центрированности особым значком также для простоты . Теперь с целью моделирования реальной ситуации введем нецентрированые величины тогда в уравнениях появятся свободные члены.

Нецентрированные величины Если классический МНК применить к каждому уравнению структурной модели, в которой некоторые эндогенные переменные выступают в качестве объясняющих переменных регрессоров , то оценки параметров получаются смещенными и несостоятельными в силу перекрестных корреляций между регрессорами и наличия случайных компонентов в регрессорах. В ряде случаев оценки могут вообще потерять экономический смысл. Опасность таких результатов возрастает при увеличении числа эндогенных переменных в правой части

системы, так как становится невозможно расщепить совместное влияние эндогенных переменных на отдельные составляющие и увидеть изолированные меры их воздействия на объясняемые переменные в соответствии с предпосылками обычного МНК. ДМНК - этот метод применяют в тех случаях, когда структурная модель не является точно идентифицируемой. Основная идея метода состоит в том, что на основе приведенной модели ПФМ получают для каждой эндогенной переменной, которая в

СФМ выступает в роли регрессора в том или ином уравнении, ее теоретическое значение, и подставляют в таблицу наблюдений выборку вместо реально наблюдаемой переменной . Таким образом, после подстановки этих найденных теоретических значений в правые части уравнений СФМ к данным уравнениям уже можно применить классический МНК. Если система точно идентифицируема, то ДМНК дает этот же результат, что и

КМНК. ДМНК - это наиболее общий и широко распространенный метод решения систем одновременных уравнений он реализован в большинстве компьютерных статистических инструментов. 11. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИПри исследовании экономических процессов часто приходится моделировать ситуации, когда значение в текущий момент времени формируется под воздействием факторов, действовавших в прошлые моменты времени Задержанные значения факторов называют лаговыми значениями, а наибольшую величину

задержки называют длиной лага Модель вида называют моделью с распределенным лагом. В качестве объясняющих причин также могут выступать лаговые значения зависимой переменной . Модель вида называются моделями авторегрессии. Может быть составлена такая модель общего вида . Она может быть разложена на 2 составляющие - составляющая с распределенным лагом длины авторегрессионная составляющая порядка . 11.1. Интерпретация параметров модели с распределенным лагомКоэффициент характеризует

средние абсолютное изменение объясняемой переменной при изменении регрессора на одну единицу собственного измерения в момент без учета воздействия лаговых значений переменной x. Поэтому называют краткосрочным мультипликатором. Сумму коэффициентов от до называют долгосрочным мультипликатором, его обозначают без индекса. Относительные коэффициенты такой модели выражаются формулой . Если все имеют знак и значение каждого коэффициента заключено между 0 и 1, а сумма всех коэффициентов

от до , то можно ввести следующие характеристики 1. Средний лаг , где - средний период, в течение которого будет происходить изменение y под воздействием изменения x. Небольшая величина говорит о быстром реагировании y на изменение фактора x и наоборот. 2. Медианный лаг он представляет такой период, в течение которого, начиная с момента , будет реализована половина общего воздействия фактора на объясняемую переменную.

Применение классического МНК к модели с распределенным лагом осложняется следующими причинами 1 текущие и лаговые значения фактора обычно тесно связаны друг с другом, и оценка параметров будет производиться в условиях сильной мультиколлинеарности 2 при большой длине лага снижается число наблюдений и увеличивается число регрессоров 3 в модели с распределенным лагом часто возникает проблема автокорреляции в остатках. 11.2. Интерпретация параметров модели авторегрессииРассмотрим простейшую модель авторегрессии, а именно

модель первого порядка . Так же, как и в модели с распределением лагом, коэффициент является краткосрочным мультипликатором. Долгосрочный мультипликатор будет вычисляться как сумма членов геометрической прогрессии К моменту времени результативный признак изменяется под воздействием изменения фактора в момент времени на величину , а под воздействием своего изменения в непосредственно предшествующий момент изменяется на величину . Таким образом, результирующее изменение результативного признака в момент будет равно

и так далее. Произведение можно рассматривать как промежуточный мультипликатор эта прогрессия возникает в силу рекуррентности формулы авторегрессии, и она будет являться бесконечной. Используя формулу для бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая является сходящимся рядом, можно найти сумму этого ряда , где . Заметим, что такая интерпретация коэффициентов регрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предположении бесконечного лага.

Соображения о выборе лаговых структур в модели с распределенным лагом таковы текущее значение фактора и его лаговые значения оказывают на результативный признак различное по силе воздействие. В большинстве моделей, описывающих реальные экономические процессы, коэффициенты регрессии при лаговых переменных убывают с ростом величины лага, но это не обязательно. Вообще говоря, в большинстве случаев строят предположения о структуре лага на основе экономической

теории или на результатах эмпирических исследований. 11.3. Полиномиальные лаговые структуры Алмон Рассмотрим модель, в которой распределенный лаг имеет конечную длину . Зависимость коэффициентов регрессии от величины лага описывается полиномом, в общем случае, некоторой степени . Для полинома 1-й степени 2-й 3-й 4-й В развернутом виде коэффициенты перепишутся так Тогда уравнение можно записать таким образом

Суммы в скобках последнего выражения можно принять за новые переменные z0, z1 zk , и тогда получим уравнение Чтобы рассчитать параметры модели с распределенным лагом, нужно выполнить следующие действия 1 определить длину лага , это можно сделать на основе имеющегося опыта или перебрать несколько значений обычно от 2 до 8 2 установить степень полинома обычно от 2 до 4 3 по записанным выше формулам и таблице наблюдений, содержащей значения , рассчитать значения новых переменных 4 выполнить регрессию на набор переменных

и определить коэффициенты 5 по формулам для рассчитать все значения параметров исходной модели Несмотря на значительную привлекательность описанного выше метода, существуют следующие проблемы. 1. Не всегда легко выбрать длину лага , но лучше ориентироваться на максимально возможную длину в разумных пределах , чем сразу ограничиваться лагами малой длины. В противном случае можно потерять существенный регрессор, то есть составить неправильную спецификацию

модели. Влияние потерянного существенного регрессора будет сказываться в остатках, то есть в модели не станут соблюдаться предпосылки МНК по случайности остатков. Оценки параметров могут оказаться не только неэффективными, но и смещенными. Если лаг выбран слишком длинным, то в модель могут попасть несущественные факторы эффективность оценок параметров может снизиться, но они останутся несмещенными.

Если аналитик располагает достаточными ресурсами времени и вычислительными ресурсами, можно построить несколько моделей с различными значениями и сравнить их качество. 2. При выборе степени полинома обычно ограничиваются значениями 2, 3, 4, руководствуясь следующим соображением степень полинома должна быть на единицу больше, чем число экстремумов в структуре лага. 3. Переменные представляют собой линейные комбинации лаговых значений фактора x и поэтому будут сильно

коррелировать между собой, если имеет место высокая степень связи между исходными данными то есть имеет место автокорреляция во временном ряду объясняющих переменных. Опыт эконометрического анализа показывает, что при определении параметров с помощью МНК мультиколлинеарность переменных сказывается меньше, чем мультиколлинеарность переменных при непосредственном определении параметров из исходного уравнения. Преимущества метода лаговых структур

Алмон 1. Существует возможность воспроизвести достаточно разнообразные структуры лага с помощью подбора полинома нужной степени. 2. При небольшом количестве переменных можно построить модели с распределенным лагом произвольной длины. 11.4. Геометрические структуры КойкаВ модели Койка предполагается, что в уравнении регрессии имеет место бесконечный лаг, но коэффициенты при лаговых переменных убывают в геометрической прогрессии, отсюда название - геометрическая структура

Койка. Последнее уравнение справедливо для всякого момента времени, в том числе и для момента поэтому можно записать . Умножим последнее уравнение на и вычтем из предыдущего Краткосрочный мультипликатор рассчитывается как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Если считать, что объясняющая переменная стремится к равновесию , то значения и будут также стремиться к своему равновесному значению . Здесь возможны следующие проблемы.

В уравнении регрессии регрессор в принципе носит случайный характер, так как содержит остаток , а значит, нарушается одна из предпосылок МНК. Для случайных остатков будет иметь место автокорреляция. Если учесть случайный характер регрессора и автокорреляция в остатках выражена достаточно сильно, то оценки параметров, полученные с помощью классического МНК, могут оказаться несостоятельными и смещенными.

Средний и медианный лаги модели Койка вычисляются таким образом Видно, что если то . При при. Величину объясняют как скорость, с которой происходит во времени адаптация объясняемой переменной к изменению объясняющей переменной . 11.5. Оценка параметров авторегрессионных моделей первого порядка AR 1 -моделей Такая модель выглядит следующим образом .

Авторегрессионная модель довольно часто используется в эконометрических исследованиях, но при их построении возникает 2 проблемы. Первая проблема касается выбора метода оценки параметров так как в правой части регрессионного уравнения присутствует лаговая переменная , то тем самым нарушается предпосылка МНК о делении переменных на стохастическую объясняемую переменную и детерминированную объясняющую переменную. Вторая проблема состоит в том, что регрессор явным образом коррелирует с остатком и тем самым нарушается 4-е

условие Гаусса-Маркова. Поэтому применение классического МНК для оценки параметров этой модели приводит к получению смещенной оценки коэффициента c1. Популярным методом расчета параметров AR-модели является метод инструментальных переменных ИП . Суть этого метода заключается в следующем та переменная в правой части AR-модели, для которой нарушается предпосылка МНК, заменяется на другую переменную, которая эту предпосылку

не нарушает. Применительно к AR 1 -модели заменить на инструментальную переменную следует лаговую переменную . Эта переменная должна обладать двумя свойствами 1 сильно коррелировать с , 2 быть детерминированной и не коррелировать с остатком . Рассмотрим два способа использования инструментальной переменной. Способ 1. Так как в модели переменная зависит не только от , но и от фактора , то можно построить модель

с одним регрессором и теоретическое значение , полученное с помощью такой модели, можно использовать в качестве инструментальной переменной. Параметры в последнем уравнении можно найти с помощью классического МНК. Здесь оценка тесно коррелирует с наблюдаемой переменной и является линейной функцией от фактора , для которого 4-е условие Гаусса-Маркова не нарушается. Следовательно, ИП также не будет коррелировать с остатком .

Таким образом, оценки параметров уравнения можно найти из соотношения . Способ 2. Подставим в AR-уравнение вместо его выражение , тогда получим Мы получили уравнение модели с распределенным лагом, для которой можно применить классический МНК. В результате последовательного проведения двух регрессий мы получаем следующие значения Практическая реализация метода инструментальных переменных осложняется следующими обстоятельствами -

при способе 1 возникает интеркорреляция между переменными и так как функционально связана с , то можно ожидать упомянутую выше интеркорреляцию - при способе 2 может помешать такое обстоятельство, что в исходной модели больше коррелирует с , чем с . Тогда модель , а значит, и модель , будут не вполне достоверно представлять переменную в правой части для модели по второму способу. Эти проблемы иногда удается смягчить путем включения в модель временного фактора в качестве независимой

объясняющей переменной. 11.6. Модель адаптивных ожиданий Методы, которые созданы для построения и анализа DL- и AR-моделей, можно использовать для верификации макроэкономических моделей, учитывающих определенные ожидания относительно значений экономических показателей, включенных в модель в момент времени t. Рассмотрим модель адаптивных ожиданий вида . Здесь yt - фактическое значение результативного признака

объясняемой переменной , а - ожидаемое значение факторного признака в момент t 1. Механизм формирования ожиданий в этой модели следующий Таким образом, ожидаемое значение фактора в некоторый момент времени t 1 представляет собой средневзвешенную величину его фактического и ожидаемого значений в период времени t. Видно, что в каждый период t 1 ожидания корректируются на некоторую долю от разности между фактическим

и ожидаемым значениями фактора в предыдущий период t. Параметр называют коэффициентом ожиданий. Чем ближе он к единице, тем в большей степени реализуются ожидания в отношении переменной yt, и наоборот, приближение коэффициента к нулю свидетельствует об устойчивости существующих тенденций экономического процесса. Это означает, что условия, преобладающие сегодня, будут сохраняться и на будущие периоды времени. В уравнение подставим выражение и получим .

Далее, если рассматриваемая изначально модель имеет место для момента или периода t, то она, очевидно, будет действовать и в период t-1, а значит, мы можем записать . Умножим последнее уравнение на и вычтем из уравнения . Теперь мы можем определить параметры последнего авторегрессионного уравнения и легко перейти к исходной модели. По найденному в результате регрессионного анализа коэффициенту отыскивается коэффициент , по

коэффициенту при отыскивается коэффициент b, а по свободному члену отыскивается свободный член исходного уравнения a. Различие между начальным и последним уравнениями состоит в том, что первая модель включает в себя ожидаемое значение фактора , и к ней нельзя применять классические статистические методы. Последняя же модель включает в себя только фактические, то есть наблюдаемые значения переменных, и ее параметры можно определить. Однако, как и в случае с моделью

Койка, применение классического МНК приведет к смещению оценок параметров ввиду наличия в правой части лагового значения результативного признака . 12. СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ 2.1. Метод скользящей средней В основу метода скользящей средней МА - moving average для исключения флуктуаций временного ряда заложен следующий принцип если индивидуальный разброс члена ряда вокруг среднего сглаженного значения характеризуется дисперсией , то разброс среднего

из n членов ряда вокруг того же значения будет характеризоваться меньшей дисперсией . Снижение дисперсии объясняется сглаживанием траектории ряда. Для реализации метода МА выбирают определенную как правило, нечетную длину усреднения , измеренную в числе следующих подряд членов ряда, подлежащего исследованию. При этом должно соблюдаться условие . Сглаженную функцию временного ряда вычисляют по значениям по

следующей формуле , где , а - некоторые положительные веса, сумма которых равна единице. Часто выбирают для всех значений k. Рассмотрим пример см. рис. 12.1 . Пусть 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 I - I - I - I - I - I - I - I - I - I - I - I - I - I - I 2 I I 3 I I 4 I I Рис. 12.1 Число членов сглаженного ряда .

Эту величину называют порядком преобразования по методу МА 12.2. Регрессионная модель и метод конечных разностей Кроме метода МА для аналитического сглаживания флуктуирующего временного ряда используют также классический МНК, то есть строят однофакторную регрессионную модель с объясняющей переменной t и метод конечных разностей. Последний метод основан на том, что вычисление конечных разностей различных порядков для выражений

в дискретном времени аналогично многократному дифференцированию выражений в непрерывном времени. Очевидно, что многократное дифференцирование приводит к устранению сначала постоянной составляющей, затем - скорости, далее - ускорения и так далее. Конечные разности вычисляются так 12.3. Стационарные и нестационарные временные ряды Создание модели, адекватно описывающей поведение остатков анализируемого ряда , проводят обычно в рамках класса стационарных временных рядов.

Ряд называют строго стационарным, если совместное распределение вероятностей наблюдений и наблюдений одинаково для любых m, Таким образом, свойства строго стационарного ряда не изменяются при изменении начала отсчета времени и числа наблюдений. В частности, при строгая стационарность ряда обуславливает то, что закон распределения вероятностей случайной величины не зависит от t следовательно, от t не зависят и основные числовые характеристики ряда среднее значение и дисперсия .

Ряд называют слабо стационарным, если его среднее значение и дисперсия не зависят от t, но не более того. Строго стационарный ряд одновременно слабо стационарен, но не наоборот. Для стационарных рядов характерно монотонное убывание автокорреляционной функции. Нестационарным называют ряд, отличающийся от стационарного на неслучайную, зависящую от t составляющую. При строгой стационарности совместные двумерные распределения пар совпадают и зависят только от .

Ковариация будет зависеть только от временного сдвига . 12.4. Преобразования ARMA и ARIMA Сочетание авторегрессионного преобразования и скользящей средней называют ARMA-моделью ARMA-autoregression moving average model . Модель имеет вид где - независимые друг от друга нормально распределенные случайные величины с нулевым матожиданием и постоянной дисперсией. Преобразование

ARMA в сочетании с переходом от объемных величин к приростным называется ARIMA-преобразованием или ARIMA-моделью autoregression integrated moving average model . Эту модель также называют моделью Бокса-Дженкинса. В некоторых случаях такое преобразование позволяет получить более точную и явную модель зависимости. ARIMA-модель обычно используют для описания временных рядов со следующими свойствами ряд аддитивно

включает составляющую , имеющую вид полинома от t ряд, полученный из исходного ряда после применения к нему метода конечных разностей k раз, может быть описан моделью . Таким образом, модель может быть записана в виде Величины представляют собой конечные разности порядка k переменной В преобразованиях ARMA и ARIMA текущее значение yt переменной Y выражается только через ее предыдущие значения и случайную составляющую белый шум ut.

13. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННОГО РЯДА ПРИ НАЛИЧИИ СТРУКТУРНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ Пусть временной ряд содержит n наблюдений. Построим регрессию по всему временному ряду Если ряд в качестве регрессора содержит только один фактор, например, фактор времени, то число регрессоров в модели p 1 и Далее, визуально исследуя график наблюдаемых значений ряда, разобьем ряд на m участков, каждый из которых

характеризуется своим линейным трендом затем построим m моделей, то есть m частичных регрессий, формируя таким образом кусочно-линейную модель. Имеем Обозначим сумму всех ESS кусочно-линейной модели . Отметим, что в общем случае в полной и частичных моделях временного ряда может присутствовать не единственный фактор, причем их число pk может быть различно для различных участков. Тогда для каждой частичной линейной модели число оцениваемых параметров составит ck pk 1, где k 1,2

m. Выдвинем нулевую гипотезу H0 о структурной устойчивости временного ряда, а это означает, что переход от единой модели ряда по всем наблюдениям к кусочно-линейной модели не оправдан. Составим F-статистику здесь В результате получим выражение для F-статистики Далее, по таблице Фишера-Снедекора определим критическое значение F для назначенного уровня значимости гипотезы H0 Если расчетное значение

F Fкр, то гипотеза H0 о структурной устойчивости модели временного ряда отклоняется и признается целесообразным перейти к кусочно-линейной модели. В противном случае H0 не отклоняется и можно удовлетвориться единой моделью временного ряда Если во всех частичных моделях присутствует только временной фактор t, то все pk p 1 и ck 2 при этом выражение для F упрощается Такая проверка на структурную устойчивость носит название теста

Чоу. Тест Чоу можно использовать и для оценки устойчивости модели временного ряда с точки зрения достоверности предсказаний по этой модели на будущие периоды. Считаем, что временной ряд имеет длину n l периодов здесь l - интервал прогноза для укороченного ряда длиной n l обычно не более 5 10 от n l . Из построенных моделей отыщем ESSn l и ESSn . Степени свободы ESS для этих моделей определятся так Статистика Фишера для проверки гипотезы

H0 об устойчивости регрессионной модели ряда и, следовательно, о его пригодности для предсказаний выражается формулой Критическое значение статистики Фишера находится по формуле Если расчетное значение F Fкр, то гипотеза H0 отвергается и модель признается малопригодной для целей предсказания по ней значений ряда на будущие l периодов в противном случае гипотеза H0 не отвергается. 14. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

РАБОТЫ Задание 1. Для приведенной выборки построить различные модели парной регрессии. Выбрать наилучшую модель и обосновать выбор. наблюдаемые значения производные значения x y Ln x Ln y 1 у 1 x 774 302 6,651572 5,710427017 0,003311 0,001292 780 360 6,659294 5,886104031 0,002778 0,0012821 765 310 6,639876 5,736572297 0,003226 0,0013072 892 415 6,793466 6,02827852 0,00241 0,0011211 1016 452 6,923629 6,11368218 0,002212 0,0009843 997 502 6,904751 6,21860012 0,001992 0,001003 852 355 6,747587 5,872117789 0,002817 0,0011737 908 416 6,811244 6,03068526 0,002404 0,0011013 1053 501 6,959399 6,216606101 0,001996 0,0009497 797 403 6,680855 5,998936562 0,002481 0,0012547 804 330 6,689599 5,33753808 0,004808 0,0012438 1169 462 7,063904 6,135564891 0,002165 0,0008554 1108 368 7,010312 5,908082938 0,002717 0,0009025 1051 399 6,957497 5,988961417 0,002506 0,0009515 782 342 6,661855 5,834810737 0,002924 0,0012788 885 354 6,785588 5,869296913 0,002825 0,0011299 925 451 6,829794 6,324358962 0,001792 0,0010811 Уравнения моделей линейная y a b x е y a b x е степенная y a xbе Ln y Ln a b Ln x Ln е экспоненц y a bxе Ln y Ln a x

Ln b Ln е обратная y 1 a b x е 1 y a b x н гипербол y a b x е y a b x е п логарифм y a b Ln x е y a b Ln x е Задание 2. По приведенной выборке установить наличие или отсутствие интеркорреляции и мультиколлинеарности, произвести отбор факторов и обосновать отбор. y x1 x2 x3 x4 1 0,9 53,3 18,9 43 40,9 2 1,7 35,4 13,7 64,7 40,5 3 0,7 26,5 18,5 24 38,9 4 1,7 32 4,8 50,2 38,5 5 2,6 42 21,8 106 37,3 6 1,3 37 5,8 96,6 26,5 7 4,1 159,1 99 347 37 8 1,6 39,9 20,1 85,6 36,8 9 6,9 187,4 60,6 745 36,3 10 0,4 24 1,4 4,1 35,3 11 1,3 28,8 8 26,8 35,3 12 1,9 49,1 18,9 42,7 35 13 1,9 35,4 13,2 61,8 26,2 14 1,4 31,8 12,6 212 33,1 15 0,4 41,5 12,2 105 32,7 16 0,8 28,8 3,2 33,5 32,1 17 1,8 49 13 142 30,5 18 0,9 34,4 6,9 96 29,8 19 1,1 39,7 15 140 25,4 20 1,9 34,7 11,9 59,3 29,3 21 -0,9 43,4 1,6 131 29,2 22 1,3 35,5 8,6 70,7 29,2 23 2 35,4 11,5 65,4 29,1 24 0,6 26,2 1,9 23,1 27,9 25 0,7 37,5 5,8 80,8 27,2 Задание 3 косвенный МНК . По известной приведенной форме модели

ПФМ построить с помощью КМНК структурную форму СФМ . Далее, построить СФМ с помощью ДМНК и сравнить результаты. Для этого запишем приведенную форму модели и структурную форму модели в виде регрессионных уравнений. После этого используем косвенный метод наименьших квадратов КМНК , для чего в правые части уравнений СФМ подставим выражения эндогенных переменных у1, у2, у3 ,

взятые из ПФМ. СФМ Запишем систему одновременных уравнений в виде СФМ с числовыми коэффициентами Теперь проверим правильность наших вычислений с помощью двухшагового метода наименьших квадратов ДМНК . Для этого рассчитаем у1, у2, у3 по только что приведенным формулам и сравним с теми значениями, которые были получены с помощью инструмента регрессия по формулам ПФМ. Убедимся в идентичности значений. Следовательно, структурная модель построена корректно.

Проверка расчета по КМНК с помощью ДМНК x1 x2 x3 y1п y2п y3п y1с y2с y3с 5 3 24 45 262 113 45 262 113 6 5 22 32 252 110 32 252 110 7 5 21 33 244 100 33 244 100 8 7 18 18 224 92 18 224 92 9 8 15 9 200 78 9 200 78 10 11 14 -8 204 86 -8 204 86 11 12 13 -13 200 82 -13 200 82 12 12 10 -16 172 62 -16 172 62 13 15 9 -33 176 70 -33 176 70 14 18 7 -52 170 73 -52 170 73 y1п y2п x1 x2 45 262 5 3 32 252 6 5 33 244 7 5 18 224 8 7 9 200 9 8 -8 204 10 11 -13 200 11 12 -16 172 12 12 -33 176 13 15 -52 170 14 18 y3п y2п x1 x3 113 262 5 24 110 252 6 22 100 244 7 21 92 224 8 18 78 200 9 15 86 204 10 14 82 200 11 13 62 172 12 10 70 176 13 9 73 170 14 7 Коэффициенты СФМ для проверки для у1 для у2 у2 b12 0,2 х1 a11 2,6 х2 a12 -6,8 у1 b21 2,4 у3 b23 1,04

х2 a22 12,16 для у3 у2 b32 1,5 х1 a31 -8 х3 a33 -10 Для той же модели СФМ самостоятельно сгенерировать выборку x1, x2, x3, y1, y2, y3 и определить параметры этой модели с помощью двухшагового МНК. Задание 4. Построить автокорреляционную функцию временного ряда зависимости цены от текущего года, сделать выводы о стационарности временного ряда. Год Цена 1970 249,4 1971 243,5 249,4 1972 246,2 243,5 249,4 1973 268,5 246,2 243,5 249,4 1974 293,4 268,5 246,2 243,5 249,4 1975 276,6 293,4 268,5 246,2 243,5 249,4 1976 297 276,6 293,4 268,5 246,2 243,5 249,4 1977 403,5 297 276,6 293,4 268,5 246,2 243,5 249,4 1978 373,5 403,5 297 276,6 293,4 268,5 246,2 243,5 1979 360,7 373,5 403,5 297 276,6 293,4 268,5 246,2 1980 327,1 360,7 373,5 403,5 297 276,6 293,4 268,5 1981 307,5 327,1 360,7 373,5 403,5 297 276,6 293,4 1982 288,3 307,5 327,1 360,7 373,5 403,5 297 276,6 1983 303,1 288,3 307,5 327,1 360,7 373,5 403,5 297 1984 325,3 303,1 288,3 307,5 327,1 360,7 373,5 403,5 1985 314,9 325,3 303,1 288,3 307,5 327,1 360,7 373,5 1986 312 314,9 325,3 303,1 288,3 307,5 327,1 360,7 1987 303,9 312 314,9 325,3 303,1 288,3 307,5 327,1 1988 292,7 303,9 312 314,9 325,3 303,1 288,3 307,5 1989 276,9 292,7 303,9 312 314,9 325,3 303,1 288,3 1990 269,1 276,9 292,7 303,9 312 314,9 325,3 303,1 1991 267,5 269,1 276,9 292,7 303,9 312 314,9 325,3 1992 265 267,5 269,1 276,9 292,7 303,9 312 314,9 1993 264,5 265 267,5 269,1 276,9 292,7 303,9 312 1994 275,9 264,5 265 267,5 269,1 276,9 292,7 303,9 1995 280,5 275,9 264,5 265 267,5 269,1 276,9 292,7 1996 284,1 280,5 275,9 264,5 265 267,5 269,1 276,9 1997 291 284,1 280,5 275,9 264,5 265 267,5 269,1 291 284,1 280,5 275,9 264,5 265 267,5 291 284,1 280,5 275,9 264,5 265 291 284,1 280,5 275,9 264,5 291 284,1 280,5 275,9 291 284,1 280,5 291 284,1 291

Задание 5. С помощью теста Гольдфельда-Квандта установить наличие или отсутствие гетероскедастичности остатков. Устранить гетероскедастичность с помощью взвешенного МНК. x y 3 4,5 6 8 8 13 18 20,8 60 68,5 75 104,5 80 91,5 95 88 132 151 150 156 157 209 280 343 20 15,5 23 28,9 34 38 49 48,5 105 132,5 112 122 114 99 124 115 Указание упорядочить выборку по возрастанию объясняющей переменной X. k 7 n 20 n - 2k 6 p 1 k p 1 г 0,05 df k - p - 1 5

Задание 6. С помощью теста Дарбина-Уотсона установить наличие или отсутствие автокорреляции в остатках временного ряда. Устранить автокорреляцию с помощью обобщенного МНК. t y 1 5 2 7 3 11 4 14 5 17 6 20 7 23 8 24 9 25 10 28 11 29 12 33 13 36 14 40 15 44 Задание 7. Построить авторегрессионную модель 1-го порядка с использованием инструментальной переменной и сведением к DL-модели. y x месяц п п 91,5 79,5 1 1 92,8 100,3 2 2 104,3 102,9 3 3 101,5 106,6 4 4 97,9 92,5 5 5 98,7 110,1 6 6 100,8 96,6 7 7 103,7 97,1 8 8 104,6 98,5 9 9 100,3 105,7 10 10 101,5 97,4 11 11 116 129,9 12 12 82,3 63,9 1 13 91,6 104,3 2 14 103,4 101,7 3 15 100,3 105,5 4 16 99,2 91,3 5 17 99 102,6 6 18 102,3 102,6 7 19 106,8 96,6 8 20 96,7 81,5 9 21 92,7 107,8 10 22 100,4 69,7 11 23 108,1 122,8 12 24 80 63,9 1 25 96,9 107,4 2 26 106 103,7 3 27 97,6 108,1 4 28 100,2 93,9 5 29 100,7 104,1 6 30 100 97,2 7 31 106,5 104,6 8 32 100,5 98,6 9 33 102,1 104,5 10 34 100,5 99,9 11 35 116 136,9 12 36

x - доходы населения, в к предыдущему месяцу y - товарооборот, в к предыдущему месяцу Задание 8. Построить модель временного ряда, используя лаговые структуры Алмон, при длине лага l 7 и степени приближающего полинома k 4. t t t-1 t-2 t-3 t-4 t-5 t-6 t-7 y x 1250 249,4 1321 243,5 249,4 1372 246,2 243,5 249,4 1410 268,5 246,2 243,5 249,4 1628 293,4 268,5 246,2 243,5 249,4 1457 276,6 293,4 268,5 246,2 243,5 249,4 1822 297 276,6 293,4 268,5 246,2 243,5 249,4 1900 403,5 297 276,6 293,4 268,5 246,2 243,5 249,4 1971 373,5 403,5 297 276,6 293,4 268,5 246,2 243,5 1896 360,7 373,5 403,5 297 276,6 293,4 268,5 246,2 1752 327,1 360,7 373,5 403,5 297 276,6 293,4 268,5 1646 307,5 327,1 360,7 373,5 403,5 297 276,6 293,4 1599 288,3 307,5 327,1 360,7 373,5 403,5 297 276,6 1883 303,1 288,3 307,5 327,1 360,7 373,5 403,5 297 1900 325,3 303,1 288,3 307,5 327,1 360,7 373,5 403,5 2130 314,9 325,3 303,1 288,3 307,5 327,1 360,7 373,5 2004 312 314,9 325,3 303,1 288,3 307,5 327,1 360,7 1933 303,9 312 314,9 325,3 303,1 288,3 307,5 327,1 1898 292,7 303,9 312 314,9 325,3 303,1 288,3 307,5 1796 276,9 292,7 303,9 312 314,9 325,3 303,1 288,3 1800 269,1 276,9 292,7 303,9 312 314,9 325,3 303,1 1820 267,5 269,1 276,9 292,7 303,9 312 314,9 325,3 1743 265 267,5 269,1 276,9 292,7 303,9 312 314,9 1789 264,5 265 267,5 269,1 276,9 292,7 303,9 312 1869 275,9 264,5 265 267,5 269,1 276,9 292,7 303,9 1901 280,5 275,9 264,5 265 267,5 269,1 276,9 292,7 2036 284,1 280,5 275,9 264,5 265 267,5 269,1 276,9 2183 291 284,1 280,5 275,9 264,5 265 267,5 269,1 291 284,1 280,5 275,9 264,5 265 267,5 291 284,1 280,5 275,9 264,5 265 291 284,1 280,5 275,9 264,5 291 284,1 280,5 275,9 291 284,1 280,5 291 284,1 291 15. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Предмет эконометрики. Особенности эконометрических методов и моделей. 2. Многофакторная регрессионная модель. Спецификация моделей.

Отбор существенных факторов. Интерпретация параметров моделей. 3. Линейная множественная регрессия. Матричная форма записи. Экономический смысл коэффициентов регрессии. 4. Предпосылки МНК для линейной регрессии. Условия Гаусса-Маркова. Сущность классического МНК. 5. Система нормальных уравнений.

Стандартизованная система и стандартизованные коэффициенты регрессии. 6. Частные уравнения регрессии и частные коэффициенты эластичности. 7. Индекс множественной корреляции и детерминации. Корректировка значения индекса для малых выборок. 8. Парные и частные коэффициенты корреляции, способы их вычисления.

9. Явление интеркорреляции и мультиколлинеарности. 10. Оценка существенности параметров множественной регрессионной модели. t- и F- статистики. 11. Нелинейные регрессионные модели, их классификация. Линеаризация путем переобозначения переменных или путем логарифмирования. 12. Ковариационная матрица линейной модели в случае гомо- и гетероскедастичности остатков.

Последствия гетероскедастичности. 13. Причины гетероскедастичности. Тесты на гетероскедастичность. 14. Теорема Айткена. Взвешенный МНК для устранения гетероскедастичности. 15. Обнаружение автокорреляции в остатках. Метод рядов, тест Дарбина-Уотсона DW . 16. Ограничения по применению

DW-статистики. H-статистика Дарбина для авторегрессионных уравнений. 17. Устранение автокорреляции 1-го порядка. Поправка Прайса-Уинстена. 18. Метод Кохрана-Оркатта. 19. Фиктивные переменные, ANCOVA-модели. 20. Структурная и приведенная форма системы одновременных уравнений. Эндогенные и экзогенные переменные. Поведенческие уравнения и тождества.

21. Идентифицируемость структурных моделей. Необходимое и достаточное условия идентифицируемости. 22. Косвенный МНК для точно идентифицируемой структурной модели. 23. Двухшаговый МНК для переопределенных структурных моделей. 24. DL- и AR- модели. Интерпретация параметров данных моделей. 25. Полиномиальные лаги Алмон. 26. Геометрические лаговые структуры

Койка. 27. Модели адаптивных ожиданий. 28. Оценка параметров AR-моделей с помощью инструментальных переменных и способом приведения к модели с распределенным лагом. 29. Автокорреляционная функция временного ряда. 30. Аналитическое сглаживание выделение неслучайной компоненты . Модели скользящей средней МА-модели . 31. Модель Бокса-

Дженкинса для нестационарных рядов. 32. Предсказания и прогнозы. Доверительные интервалы для предсказаний. 35. Тест Чоу на устойчивость модели временного ряда. 16. СТАТИСТИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 1. Таблица значений F-критерия Фишера при уровне значимости г 0,05 df1 df2 1 2 3 4 5 6 8 12 24 ?

1 161,45 199,50 215,72 224,57 230,17 233,97 238,89 243,91 249,04 254,32 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,37 19,41 19,45 19,50 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,84 8,74 8,64 8,53 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,04 5,91 5,77 5,63 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,82 4,68 4,53 4,36 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,15 4,00 3,84 3,67 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,73 3,57 3,41 3,23 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,44 3,28 3,12 2,93 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,23 3,07 2,90 2,71 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,07 2,91 2,74 2,54 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 2,95 2,79 2,61 2,40 12 4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3,00 2,85 2,69 2,50 2,30 13 4,67 3,80 3,41 3,18 3,02 2,92 2,77 2,60 2,42 2,21 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,70 2,53 2,35 2,13 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,64 2,48 2,29 2,07 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,59 2,42 2,24 2,01 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,55 2,38 2,19 1,96 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,51 2,34 2,15 1,92 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,48 2,31 2,11 1,88 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,45 2,28 2,08 1,84 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,42 2,25 2,05 1,81 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,40 2,23 2,03 1,78 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,38 2,20 2,00 1,76 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,36 2,18 1,98 1,73 25 4,24 3,38 2,99 2,76 2,60 2,49 2,34 2,16 1,96 1,71 26 4,22 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,32 2,15 1,95 1,69 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,30 2,13 1,93 1,67 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,44 2,29 2,12 1,91 1,65 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,54 2,43 2,28 2,10 1,90 1,64 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,27 2,09 1,89 1,62 35 4,12 3,26 2,87 2,64 2,48 2,37 2,22 2,04 1,83 1,57 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,18 2,00 1,79 1,51 45 4,06 3,21 2,81 2,58 2,42 2,31 2,15 1,97 1,76 1,48 50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,13 1,95 1,74 1,44 60 4,00 3,15 2,76 2,52 2,37 2,25 2,10 1,92 1,70 1,39 70 3,98 3,13 2,74 2,50 2,35 2,23 2,07 1,89 1,67 1,35 80 3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,06 1,88 1,65 1,31 90 3,95 3,10 2,71 2,47 2,32 2,20 2,04 1,86 1,64 1,28 100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,30 2,19 2,03 1,85 1,63 1,26 125 3,92 3,07 2,68 2,44 2,29 2,17 2,01 1,83 1,60 1,21 150 3,90 3,06 2,66 2,43 2,27 2,16 2,00 1,82 1,59 1,18 200 3,89 3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 1,98 1,80 1,57 1,14 300 3,87 3,03 2,64 2,41 2,25 2,13 1,97 1,79 1,55 1,10 400 3,86 3,02 2,63 2,40 2,24 2,12 1,96 1,78 1,54 1,07 500 3,86 3,01 2,62 2,39 2,23 2,11 1,96 1,77 1,54 1,06 1000 3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,10 1,95 1,76 1,53 1,03 ? 3,84 2,99 2,60 2,37 2,21 2,09 1,94 1,75 1,52 1,00 2. Критические значения t-критерия Стьюдента при уровне значимости г 0,10 0,05 0,01 двухсторонний df г df г 0,1 0,05 0,01 0,1 0,05 0,01 1 6,3138 12,706 63,657 18 1,7341 2,1009 2,8784 2 2,92 4,3027 9,9248 19 1,7291 2,093 2,8609 3 2,3534 3,1825 5,8409 20 1,7247 2,086 2,8453 4 2,1318 2,7764 4,6041 21 1,7207 2,0796 2,8314 5 2,015 2,5706 4,0321 22 1,7171 2,0739 2,8188 6 1,9432 2,4469 3,7074 23 1,7139 2,0687 2,8073 7 1,8946 2,3646 3,4995 24 1,7109 2,0639 2,7969 8 1,8595 2,306 3,3554 25 1,7081 2,0595 2,7874 9 1,8331 2,2622 3,2498 26 1,7056 2,0555 2,7787 10 1,8125 2,2281 3,1693 27 1,7033 2,0518 2,7707 11 1,7959 2,201 3,1058 28 1,7011 2,0484 2,7633 12 1,7823 2,1788 3,0545 29 1,6991 2,0452 2,7564 13 1,7709 2,1604 3,0123 30 1,6973 2,0423 2,75 14 1,7613 2,1448 2,9768 40 1,6839 2,0211 2,7045 15 1,753 2,1315 2,9467 60 1,6707 2,0003 2,6603 16 1,7459 2,1199 2,9208 120 1,6577 1,9799 2,6174 17 1,7396 2,1098 2,8982 ? 1,6449 1,96 2,5758 3. Критические значения корреляции при уровне значимости г 0,05 и 0,01 df г 0,05

г 0,01 df г 0,05 г 0,01 1 0,996917 0,9998766 17 0,4555 0,5751 2 0,95000 0,99000 18 0,4438 0,5614 3 0,8783 0,95873 19 0,4329 0,5487 4 0,8114 0,91720 20 0,4227 0,5368 5 0,7545 0,8745 25 0,3809 0,4869 6 0,7067 0,8343 30 0,3494 0,4487 7 0,6664 0,7977 35 0,3246 0,4182 8 0,6319 0,7646 40 0,3044 0,3932 9 0,6021 0,7348 45 0,2875 0,3721 10 0,5760 0,7079 50 0,2732 0,3541 11 0,5529 0,6835 60 0,2500 0,3248 12 0,5324 0,6614 70 0,2319 0,3017 13 0,5139 0,6411 80 0,2172 0,2830 14 0,4973 0,6226 90 0,2050 0,2673 15 0,4821 0,6055 100 0,1946 0,2540 16 0,4683 0,5897 4. Значения статистик Дарбина-Уотсона dL dU при уровне значимости г 0,05 n p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU 6 0,61 1,40 7 0,70 1,36 0,47 1,90 8 0,76 1,33 0,56 1,78 0,37 2,29 9 0,82 1,32 0,63 1,70 0,46 2,13 10 0,88 1,32 0,70 1,64 0,53 2,02 11 0,93 1,32 0,66 1,60 0,60 1,93 12 0,97 1,33 0,81 1,58 0,66 1,86 13 1,01 1,34 0,86 1,56 0,72 1,82 14 1,05 1,35 0,91 1,55 0,77 1,78 16 1,10 1,37 0,98 1,54 0,86 1,73 0,74 1,93 0,62 2,15 17 1,13 1,38 1,02 1,54 0,90 1,71 0,78 1,90 0,67 2,10 18 1,16 1,39 1,05 1,53 0,93 1,69 0,82 1,87 0,71 2,06 19 1,18 1,40 1,08 1,53 0,97 1,68 0,86 1,85 0,75 2,02 20 1,20 1,41 1,10 1,54 1,00 1,68 0,90 1,83 0,79 1,99 21 1,22 1,42 1,13 1,54 1,03 1,67 0,93 1,81 0,83 1,96 22 1,24 1,43 1,15 1,54 1,05 1,66 0,96 1,80 0,86 1,94 23 1,26 1,44 1,17 1,54 1,08 1,66 0,99 1,79 0,90 1,92 24 1,27 1,45 1,19 1,55 1,10 1,66 1,01 1,78 0,93 1,90 25 1,29 1,45 1,21 1,55 1,12 1,66 1,04 1,77 0,95 1,89 26 1,30 1,46 1,22 1,55 1,14 1,65 1,06 1,76 0,98 1,88 27 1,32 1,47 1,24 1,56 1,16 1,65 1,08 1,76 1,01 1,86 28 1,33 1,48 1,26 1,56 1,18 1,65 1,10 1,75 1,03 1,85 29 1,34 1,48 1,27 1,56 1,20 1,65 1,12 1,74 1,05 1,84 30 1,35 1,49 1,28 1,57 1,21 1,65 1,14 1,74 1,07 1,83 5. Критические значения количества рядов таблица Сведа-Эйзенхарта при уровне значимости г 0,05 Нижняя граница k1 n1 n2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 6 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 7 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 8 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 9 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 10 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 11 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9 12 2 2 3 4 4 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 13 2 2 3 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 9 10 10 10 10 14 2 2 3 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 10 11 11 15 2 3 3 4 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 11 12 16 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 9 10 10 11 11 11 12 12 17 2 3 4 4 5 6 7 7 8 9 9 10 10 11 11 11 12 12 13 18 2 3 4 5 5 6 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 19 2 3 4 5 6 6 7 8 8 9 10 10 11 11 12 12 13 13 13 20 2 3 4 5 6 6 7 8 9 9 10 10 11 12 12 13 13 13 14

Верхняя граница k2 n1 n2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4 9 9 5 9 10 10 11 11 6 9 10 11 12 12 13 13 13 13 7 11 12 13 13 14 14 14 14 15 15 15 8 11 12 13 14 14 15 15 16 16 16 16 17 17 17 17 17 9 13 14 14 15 16 16 16 17 17 18 18 18 18 18 18 10 13 14 15 16 16 17 17 18 18 18 19 19 19 20 20 11 13 14 15 16 17 17 18 19 19 19 20 20 20 21 21 12 13 14 16 16 17 18 19 19 20 20 21 21 21 22 22 13 15 16 17 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 14 15 16 17 18 19 20 20 21 22 22 23 23 23 24 15 15 16 18 18 19 20 21 22 22 23 23 24 24 25 16 17 18 19 20 21 21 22 23 23 24 25 25 25 17 17 18 19 20 21 22 23 23 24 25 25 26 26 18 17 18 19 20 21 22 23 24 25 25 26 26 27 19 17 18 20 21 22 23 23 24 25 26 26 27 27 20 17 18 20 21 22 23 24 25 25 26 27 27 28 6. Критические точки распределения df Уровень значимости г 0,01 0,05 0,95 1 6,6 3,8 0,0039 2 9,2 6 0,103 3 11,8 7,8 0,352 4 18,8 9,5 0,711 5 15,1 11,1 1,15 6 16,8 12,6 1,64 7 18,5 14,1 2,17 8 20,1 15,5 2,73 9 21,7 16,9 3,38 10 28,2 18,8 3,94 11 24,7 19,7 4,57 12 26,2 21 5,23 13 27,7 22,4 5,89 14 29,1 23,7 6,57 15 30,6 25 7,26 16 32 26,3 7,96 17 33,4 27,6 8,67 18 34,8 28,9 9,39 19 36,2 30,1 10,1 20 37,6 31,4 10,9 21 38,9 32,7 11,6 22 40,3 33,9 12,3 23 41,6 35,2 13,1 24 43 36,4 13,8 25 44,3 37,7 14,6 26 45,6 38,9 15,4 27 47 40,1 16,2 28 48,3 41,3 16,9 29 49,6 42,6 17,7 30 50,9 43,8 18,5 96 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бородич, С. А. Эконометрика учеб. пособие С. А. Бородич Минск ООО Новое знание , 2001. 2. Доугерти, К. Введение в эконометрику К. Доугерти М. ИНФРА-М 1999. 3.

Елисеева, И. И. Практикум по эконометрике под ред. чл корр. РАН И. И. Елисеевой М. ФиС, 2002. 4. Елисеева, И. И. Эконометрика учебник под ред. чл корр. РАН И. И. Елисеевой М. ФиС, 2007. 5. Замков, О. О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе курс лекций О. О. Замков М. ГУВШЭ, 2001. 6. Кремер, Н. Ш.

Эконометрика Н. Ш. Кремер, Б. А Путко М. ЮНИТИ, 2002. 7. Орлова, И. В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel И. В. Орлова М. Финстатинформ, 2000. 8. Тихомиров, Н. П. Эконометрика учебник Н. П. Тихомиров, Е. Ю. Дорохина М. ЭКЗАМЕН, 2003. Учебное издание

Безруков Анатолий ВладимировичКарякина Елена Владимировна ЭКОНОМЕТРИКА Учебное пособие Редактор Л. В. ПоповаКомпьютерная верстка Подписано в печать Формат 6084 1 16. Бумага офсетная. Усл. печ. л Уч изд. л. Тираж экз. Заказ. Бесплатно ГОУВПО Челябинский государственный университет 454021

Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129 Издательско-полиграфический центр ЧелГУ 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57б