Математическое моделирование экономики

Задача оперативного планирования производства Бригадаиз 3 рабочих обслуживает такое же количество станков за каждым рабочимзакреплен свой станок .Бригада выпускает 5 типов деталей, причем номенклатуравыпускаемой бригадой продукции ежедневно меняется. Известны следующиепоказатели количество деталей каждого типа, выпускаемых за час каждым рабочими материальные затраты каждого рабочего в течение одного часа при выпускедеталей каждого типа различия между рабочими в показателях связаны как сразличной квалификацией

рабочих, так и с тем, что на участке могут быть станкиразличных типов . Необходимо так распределить между рабочими задания натекущий день, чтобы суммарные затраты были минимальными. При этом каждомурабочему дается такое задание на день, выполнение которого не требует времени,превышающего продолжительность смены, и дневное задание бригады должно бытьполностью выполнено в требуемой номенклатуре деталей.Дано n - число рабочихn - число станковm - число типов деталейb1, b2, , bm - количестводеталей,

которое необходимо изготовить задано lij - количество деталей j-го типа, выпускаемых за час i-м рабочим задано i 1, , mj 1, , ncij - материальные затраты i-го рабочего при выпуске детали j - го типа i 1, , nj 1, , mxij - время работы i - го рабочего над деталью j - типа не известная P T, i 1, , n, j 1, , mxij 0T 8 час. n 3, m 5 Фонд вре- Тип детали 1 2 3 4 5 мени рабо- рабочего ты рабочего 1 0,1 0,2 0,09 0,4 0,35 8 2 0,2 0,15 0,1 0,5 0,4 8 3 0,3 0,25 0,15 0,6 0,3 8

детали 1 2 3 4 5 рабочего 1 2 5 3 4 3 2 3 4 6 8 4 3 5 3 7 9 5 bj 28 Известно, что за смену рабочие выпускают 40 деталей 1-готипа, 35 деталей 2-го типа, 38 деталей 3-го типа, 30 деталей 4-го типа, 28деталей 5-го типа. Возможно, что выпуск указанного количества деталей неисчерпает полностью все ресурсы

времени работы оборудования и предприятиесможет выпустить сверхплановую продукцию. В таблице приведены также затраты времени напроизводство единицы продукции для каждого рабочего, а также количество деталейвыпускаемых за час одним рабочим.Необходимо определить, какие изделия, в каком количествеи по каким вариантам изготовления выпускать, чтобы при соблюдение всех условийи ограничений выпуск каждого типа изделий был максимальный.

Составим математическую модель задачи. Пусть х1 - выпуск изделий 1 поспособу 1, х2 - выпуск тех же изделий по способу 2, х3 -их выпуск по способу 3, х4 - по способу 4, х5 - поспособу 5, х6 выпуск изделий 2 по способу 1 и т.д т.е. до х10, х11- выпуск изделий 3 по способу 1 и т.д т.е. до х15.Сформулируем неравенства, относящиеся к ограничением вовремени работы рабочих x1 x2 x3 x4 x5 8x6 x7 x8 x9 x10 8 x11 x12 x13 x14 x8Составим ограничение по выпуску. Общий выпуск изделий 1равен 2x 1 3x6 5x11.

Условие о том, что выпуск этихизделий должен быть равен 20, записывается так 2x 1 3x6 5x11 20По изделиям 2, 3, 4 и 5 подобные условия имеют вид 5x2 4x 7 3x12 153x3 6x8 7x13 184x4 8x9 9x14 10 3x5 4x10 5x8В целевую функцию входят все неизвестные скоэффициентами, представляющие собой время на выпуск одной детали конкретнымрабочим. Для х1 этот коэффициент равен 0,1, для х2 0,2,для х7 0,15 и т.д.Таким образомP 0,1x1 0,2x2 0,03x3 0,4x4 0,35x5 0,2x6 0,15x7 0,1x8 0,5x9 0,4x10 0,3x11 0,25x12 0,15x13 0,6x14 0,15x15

max Математическая модель задачи принимает вид x1 x2 x3 x4 x5 8x6 x7 x8 x9 x10 8 x11 x12 x13 x14 x15 82x 1 3x6 5x11 205x2 4x 7 3x12 153x3 6x8 7x13 184x4 8x9 9x14 103x5 4x10 5x15 8xij sup3 0P 0,1x1 0,2x2 0,03x3 0,4x4 0,35x5 0,2x6 0,15x7 0,1x8 0,5x9 0,4x10 0,3x11 0,25x12 0,15x13 0,6x14 0,15x15 maxПолученная модель задачи решаетсясимплексным методом с предварительным сведением задачи к канонической форме ввиде P 1 T, i 1, , n 2 , j 1, , m 3 xij 0T 8 час. n 3, m 5где k - число балансовых переменных х1, j n 1, , n k,добавление которых в левые части ограничений типа неравенств превращает их вравенства.

При этом в ограничения типа lt балансовые переменные добавляются со знаком , а вограничения типа gt , со знаком - .Ниже, в таблице TAB.XLS приведена каноническая форма задачи. Балансовыепеременные х16, х17 и х18 - вводятся всоответствующие неравенства lt со знаком .В общем случае задача линейногопрограммирования решается симплексным методом. Для этого необходимо, чтобы каноническаяформа представления задачи см.

TAB.XLS ,была бы сведена к базисному виду, когда явно указаны базисные и свободныепеременные. Так, в таблице TAB.XLSпеременные х16, х17, х18, х19, х20,х21, х22 и х23 являются базисными входяттолько в одно уравнение с коэффициентом 1 . Число базисных переменных должноравняться числу уравнений системы ограничений. Поэтому задачу 1 - 2 - 3 сводят к задаче с искусственными базисными переменными М - задача P 1 T, i 1, , n 2 , j 1, , m 3 где М - сколь угодно большоеположительное число в данном случае

выбрано М 1000 .В таблице TAB.XLS приведена М-задача, в которой ищется минимум целевойфункции . Искусственные переменные добавляются соответственно в 4, 5,6, 7, 8 уравнения системы ограничений см. TAB.XLS под номерами х19, х20, х21,х22 и х23. Таблица TAB.XLS представляет собой задачу 1 - 2 - 3 .Последняя строка таблицы TAB.XLS является строкой оценок, а последний столбец - столбец условий выбораразрешающего элемента для

пересчета симплексной таблицы TAB.XLS .Формулы пересчета таблицы TAB.XLS приведены там же.Ниже приведена программа Макроспозволяющая автоматически производить пересчет симплексной таблицы макрокоманды .Решение задачи о загрузки оборудования приведено в таблице Итоговый . Анализ полученных результатов Как видно изтаблицы Итоговый , где приведено оптимальное решениезадачи о загрузке оборудования, можно сделать следующую

интерпретацию решения х4 10,0 - выпускизделия 1 по способу 4 за 10,0 минут.х6 16,67 - выпускизделий 2 по способу 1 за 16,67 минут.х10 9,5 - выпуск изделий 2 по способу 5 за 9,5 минут.х12 15,0 - выпуск изделий 3 по способу 2 за 15,0 минут.х13 6,86 - выпуск изделий 3 по способу 3 за 6,86 минут.х7 1,3367 - выпуск изделий 1 по способу 1 за 0,667 часа.Остальныепеременные, не перечисленные выше, являются свободными переменными и полагаютсяравными нулю.Максимальновозможный фонд времени полностью не выработан, оставшееся

время равно 15,91 мин.