1. Совхоз для кормленияживотных использует два вида корма. В дневном рационе животного должносодержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единицпитательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно наодно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:Питательное вещество Количество питательных веществ в 1 кг корма 1 2
А
В
2
2
1
4 Цена 1 кг корма, тыс. руб. 0,2 0,3
Построитьэкономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ееэлементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решатьзадачу на максимум, и почему?
Решение:
Введем обозначения:
Х1 – количество корма 1вида;
Х2 – количество корма 2вида.
Целевая функция – F = 0,2 х1 + 0,3 х2
Ограничения: 2х1+1х2≥6
2х1+4х2≥12
х1, х2≥0
Решим задачу графическимспособом
Первое ограничение имеетвид 2х1+1х2≥6, найдем пересечение с осями координатХ1 3 Х2 6
Второе ограничение2х1+4х2≥12, найдем пересечения с осями координатХ1 6 Х2 3
Для определения направлениядвижения к оптиму построим вектор – градиента Їс (с1; с2),координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с(0,2;0,3).
Этот вектор показываетнаправление наискорейшее изменение функции.
Прямая f(х) = 0,2х1 + 0,3х2 = а1,перпендикулярная вектору – градиенту, является линией уровня целевой функции.
Для нахождения координатточки максимума решаем систему
2х1 + х2 = 6
/>2х1 + 4х2 =12
-3х2 = -6
/>х2 = 2
2х1+2=6
2х1 =4
/>х1 =2
Ответ: (2;2)
Fmin = 0,2*2+0,3*2=0,4+0,6=1
График:
Ответ: чтобы затраты былиминимальными необходимо расходовать 2ед. первого корма и 2 ед. второго корма.
Если данную задачу решатьна максимум, то задача не имеет решения, так как целевая функция не ограниченасверху, т. е Fmax=+∞
2. Для изготовления четырехвидов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода ицены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.тип сырья норма расхода сырья на одно изделие запасы сырья А Б В Г 1 1 2 1 180 2 1 3 2 210 3 4 2 4 800 цена изделия 9 6 4 7
Требуется:
1. Сформулировать прямуюоптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции,получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулироватьдвойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теориидвойственности.
3. Пояснить нулевыезначения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойствдвойственных оценок и теорем двойственности:
— Проанализироватьиспользования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
— Определить, какизменяется выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья 2 и 3видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасовсырья 1 вида;
— Оценитьцелесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовлениекоторой расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Решение:
1. Сформулируем экономико– математическую модель задачи.
Переменные:
х1 — количествоединиц продукции А,
х2 — количествоединиц продукции Б,
х3 — количествоединиц продукции В,
х4 — количествоединиц продукции Г.
Целевая функция: F=9х1+6х2+4х3+7х4→max,
Цель максимизироватьвыручку от реализации готовой продукции
Ограничение:
/>По 1 типу ресурса: 1х1+0х2+2х3+1х4≤180,
По 2 типу ресурса: 0х1+1х2+3х3+2х4≤210,
По 3 типу ресурса: 4х1+2х2+0х3+4х4≤800,
По смыслу х1; х2; х3; х4≥0.
Решение задачи выполним спомощью надстройки Excel ПоискРешения. Выбираем результат поиска решения в форме отчета Устойчивости.
Полученное решениеозначает, что максимальную выручку 2115 ден. ед., можем получит при выпуски 95ед. продукции А и 210 ед. продукции Б. При этом ресурсы 2 и 3 типа будутиспользоваться полностью, а из 180 ед. сырья 1 типа будет использоваться 95 ед.сырья.
Сформулируемэкономико–математическую модель двойственной задачи
Переменные:
у1- двойственная оценкаресурса 1 типа, или цена 1 ресурса,
у2- двойственная оценкаресурса 2 типа, или цена 2 ресурса,
у3- двойственная оценкаресурса 3 типа, или цена 3 ресурса.
Целевая функциядвойственной задачи: необходимо найти такие «цены» у на ресурсы, чтобы общаястоимость используемых ресурсов была минимальной. G=b1*y1+b2*y2+…→min
G=180у1+210у2+800у3→min
В исходной задачи четырепеременных, следовательно в двойственной задаче четыре ограничения.
/>по виду продукции А: 1у1+0у2+4у3≥9,
по виду продукции Б: 0у1+1у2+2у3≥6,
по виду продукции В: 2у1+3у2+0у3≥4,
по виду продукции Г: 1у1+2у2+4у3≥7
по смыслу у1;у2; у3≥0
2. Найдем оптимальныйплан двойственной задачи, используя теоремы двойственности:
По 2 теореме- yi*(∑aij*xj-bi)=0
у1*(1х1+0х2+2х3+1х4-180)=0
у2*(0х1+1х2+3х3+2х4-210)=0
у3(4х1+2х2+0х3+4х4-800)=0
Если х=(95;210;0;0), то
у1(95-180)=0, т.к. 95у1=0
у2(210-210)=0
у3(4*95+2*210-800)=0
хj(∑aij*уi-cj)=0, если хj>0,то ∑aijуi=cj
/>/>х1=95>0=> у1+4у3=9 у3=9/4=2,25
х2=210=> у2+2у3=6 у2=6-2*9/4=1,5
у1=0 у1=0
Результат: Оптимальныйплан у=(0;1,5;2,25)
F(х)=2115
G(y)=180*0+210*1,5+800*2,25=315+1800=2115=>первая теорема одвойственности f(х)=g(у) выполняется.
3. Поясним нулевыезначения переменных хiв оптимальном плане.
Если ∑ aijуi>сj, то хj=0
У насх3=0, х4=0=>затраты на изделия В и Г превышают цену (См. отчет поустойчивости в столбце нормируемая стоимость).
4. а) Анализиспользования ресурсов в оптимальном плане
Если уi>0, то ∑ aijxj= bi, i=1,….,m,
Если ∑ aijxj, то уi=0, i=1,….,m.
У2=1,5; у3=2,25=>сырье2 и 3 полностью используются в оптимальном плане и являются дефицитными, т.е.сдерживают рост целевой функции.
Сырье 1 используется неполностью 95 из 180 это сырье не влияет на план выпуска продукции, т.е. неограничивает рост целевой функции, общая стоимость используемых ресурсов g (0;1,5;2,25)=2115.
б) Если запасы сырьяизменить 1-120, 2-330, 3-920, то выручка составит 2565 при оптимальном плане(65;330;0;0), остаток сырья 1 типа составит 120-65=55.
в) Если включить в планизделие Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по 2 единицыкаждого сырья, то выручка составит 2268 при оптимальном плане (112;142;0;0;34),при этом сырье будет полностью израсходовано.
3. Промышленная группапредприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трехпредприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первоепредприятие специализируется на выпуске продукции одного вида: первоепредприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второепредприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьеговида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет навнутреннее потребление) остальная часть поставляется за его пределы (внешнимпотребителями, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компанииполучены экономические оценки aij(i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологическойматрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементовуi вектора конечной продукции У.
Требуется:
1.Проверить продуктивность технологическойматрицы А=(аij) (матрицыкоэффициентов прямых материальных затрат).
2.Построить баланс (заполнить таблицу)производства и распределения продукции предприятий холдинга.предприятия коэффициенты прямых затрат конечный продукт 1 2 3 1 0,0 0,1 0,2 180 2 0,1 0,2 0,1 200 3 0,2 0,1 0,2 200
Таблица матричногобаланса конечный валовый предприятие потребляющие продукт продукт производящие 1 2 3 1 33,1 72,6 180 285,7 2 28,5 66,2 36,3 200 331 3 57,1 33,1 72,6 200 362,8 усл чист продукция 200 198,7 181,3 580 валовый продукт 285,6 331,1 362,8 979,5
Используем соотношениеХ=(Е-А)’*У, полученное в соответствие модели Леонтьева для определения валовоговыпуска для этого найдем: (Е-А)’ – матрицу полных затрат (Е – единичная матрица),
/>
/>
Найдем обратную матрицу(Е-А)’ используя функцию в Excel(fx/математическая/МоБР),
/>1,0750853 0,1706485
/>0,2901024 В=(Е-А)-1 0,1706485 1,2969283 0,2047782 0,2901024 0,2047782 1,3481229
/>/>/>/>/>/>Найдем величины валовой продукции, используя в Excel (fx/математическая/МУМНОЖ 1,0750853 0,1706485 0,2901024 * 180 285, 66553 В=(Е-А)-1*У 0,1706485 1,2969283 0,2047782 200 =331,05802 0,2901024 0,2047782 1,3481229 200 362,79863
Рассчитаем величиныпроизводственных затрат по формуле
Xij=aij*xj
aij- технологическая матрица
xj-строка валового выпуска, Х11=0,0*285,66553=0 Х12=0,1*331,05802=33,105802 Х13=0,2*362,79863=72,559726 Х21=0,1*285,66553=28,566553 Х22=0,2*331,05802=66,211604 Х23=0,1*362,79863=36,279863 Х31=0,2*285,66553=57,133106 Х32=0,1*331,05802=33,105802 Х33=0,2*362,79863=72,559726
Для расчета величин условно чистой продукции используем соотношение баланса для производства:
Z=xj-∑xij
xij – по столбцу
Z1=285,66553-(0+28,566553+57,133106)=199,965871
Z2=331,05802-(33,105802+66,211604+33,105802)=198,634812
Z3=362,79863-(72,559726+36,279863+72,559726)=181,399315
Проверим баланс конечнойи условно чистой продукции
∑YI=∑ZJ, ∑Xi=∑Xj,
Z=199,965871+198,634812 +181,399315=580 =Y=180+200+200=580
Xi=285,66553+331,05802+362,79863=979,52218=Xj=285,66553+331,05802+
+ 362,79863=979,52218
Заполняем таблицу,подготовленную выше, матричного баланса полученными данными.
4. В течение девятипоследовательных недель фиксировался спрос У(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании.Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Спрос на кредитные ресурсы 43 47 50 48 54 57 61 59 65
Требуется:
1. Проверить наличиеаномальных наблюдений.
2. Построить линейнуюмодель Y(t)=a0+a1tпараметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированныезначения временного ряда).
3. Оценить адекватностьпостроенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты,случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R\S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
4. Оценить точностьмоделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. Фактические значенияпоказателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Решение:Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Спрос на кредитные ресурсы 43 47 50 48 54 57 61 59 65
Построим график:
/>
Проверим на анормальность- 9 неделю, у9=65
Оставшиеся наблюденияНедели 1 2 3 4 5 6 7 8 Спрос на кредитные ресурсы 43 47 50 48 54 57 61 59
Для оставшихсярассчитаем: уср — среднее значение; Sy – средне квадратичное отклонение,используя функции Excel;
Вычислим статистикуСтьюдента – tнаб=| y*-yср|/Sy
уср=52,375
(fx/статистические/СРЗНАЧ)
Sy= 6,3681686 (fx/статистическая/СТАНДОТКЛОН)
При L=5%, K=n-2=9-2=7,
tкр= 1,8945786 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР)
tнаб= |65-52,375|/6,37=1,9819466
tнаб=1,98>tкр=1,89
Следовательно,наблюдаемое у9 не является аномальной и не требует замены.
С помощью программыРЕГРЕССИИ (в Excel сервис/анализ данных/РЕГРЕССИЯ)рассчитаем и получим:Регрессионная статистика Множественный R 0,970013862 R-квадрат 0,940926893 Нормированный R-квадрат 0,932487878 Стандартная ошибка 1,895064601 Наблюдения 9 Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 1 400,4166667 400,4166667 111,497238 1,4929E-05 Остаток 7 25,13888889 3,591269841 Итого 8 425,5555556 Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0% Y-пересечение 40,8611 1,3767325 29,6798 1,27E-08 37,60566 44,1166 37,6057 44,11657 Неделя t 2,58333 0,2446518 10,5592 1,493E-05 2,004824 3,16184 2,00482 3,161843 ВЫВОД ОСТАТКА Наблюдение Предсказ Спрос Y(t) Остатки 1 43,4444 -0,4444444 2 46,0278 0,9722222 3 48,6111 1,3888889 4 51,1944 -3,1944444 5 53,7778 0,2222222 6 56,3611 0,6388889 7 58,9444 2,0555556 8 61,5278 -2,5277778 9 64,1111 0,8888889
Модель построена, ееуравнение уt=a+b*t, t-момент времени, уt — теоретическое моделированиезначения У, а,b- коэффициенты модели
a=40,8611, b=2,6, следовательно уt=40,8611+2,6t
коэффициент регрессии b=2,6, т. е. с каждым годом спрос накредитные ресурсы финансовой компании в среднем возрастают на 2,6 млн. руб.
Рассмотрим столбецОстатки и построим с помощью «мастер диаграмм» в Excel график остатков:
/>
1. Подсчитаем количествоповоротных точек р для рядов остатков – р=5
2. Критическое количествоопределим формулой — ркр=[2*(n-2)/3-1,96*√16*n-29/90]
[ ] – целая часть; n- количество исходных данных
ркр=[2*(9-2)/3-1,96*√16*9-29/90]=2,451106=2
3 сравним фактическое р сркр
р=5 > ркр=2 следовательно,свойство случайности выполняется.
Для проверкинезависимости уровней ряда остатков:
1 вычислим d- статистику (критерий Дарбина –Уотсона)
2 вычислить первый коэффициентавтокорреляции r(1)
для расчетов подготовим –
∑e2(t) =25,14 — используем Excel fx/математическая/СУММКВ),
∑(e(t)-e(t-1))2 = 69,72–используем Excel fx/математическая/СУММКВРАЗН) – 1 массив кроме 1-го, 2 массивкроме последнего.
d=∑(e(t)-e(t-1))2 / ∑e2(t) =69,72/25,14=2,77327
По таблице Значения d-критерия Дарбина – Уотсонаопределим, что d1= 1,08 и d2= 1,36
Т.е. наше d=2,77327 € (1.08;1,36), следовательнонужна дополнительная проверка, найдем d’=4-d=4-2,77327=1,22673, т.е d’ € (1,36;2)
следовательно, свойствонезависимости уровней ряда остатков выполняются, остатки независимы.
Для проверки нормальногораспределения остатков вычислим R/S – статистику
R/S=emax-emin/ Se
еmax — максимальный уровень ряда остатков,
еmin — минимальный уровень ряда остатков,
S- среднеквадратичное отклонение.
еmax=2,055555556 используем Excel fx/статистическая/МАКС),
еmin=-3,194444444 используем Excel fx/статистическая/МИН),
Se=1,895064601 1-я таблица Итоговрегрессии строка «стандартная ошибка»
Следовательно, R/S=2,770354107
Критический интервал(2,7;3,7), т.е R/S=2,770354107 € (2,7;3,7), свойствонормального распределения остатков выполняется.
Подводя итоги проверкиможно сделать вывод, что модель ведет себя адекватно.
Для оценки точностимодели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Еотн = |e(t)/Y(t)|*100% по полученным значениямопределить среднее значение (fx/математическая/СРЗНАЧ)относит. погр-ти
-1,033591731
2,06855792
2,777777778
-6,655092593
0,411522634
1,1208577
3,369763206
-4,284369115
1,367521368
Е ср.отн= -0,095228093
Для вычисления точечногопрогноза в построенную модель подставим соответствующие значения t=10 и t=11:
у10=40,8611+2,6*10=66,8611
у11=40,8611+2,7*11=70,5611,
Ожидаемый спрос накредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю должен составить около66,8611 млн. руб., а на 11 неделю около 70,5611 млн. руб.
При уровне значимости L=30%, доверительная вероятность равна70%, а критерий Стьюдента при к=n-2=9-2=7,равен
tкр(30%;7)=1,119159128 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР),
Se=1,895064601 1-я таблица Итоговрегрессии строка «стандартная ошибка»,
t’ср = 5(fx/математическая/СРЗНАЧ)-средний уровень по рассматриваемому моменту времени,
∑(t-t’ср)=60 (fx/статистическая/КВАДРОТКЛ),
Ширину доверительногоинтервала вычислим по формуле:
U1=t*Se*√1+1/n+(t*-t’)2/∑(t-t’ср)=1,119159128*1,895064601* √1+1/9+(10-5)2/60= =2,621476416
U2=t*Se*√1+1/n+(t*-t’)2/∑(t-t’ср)=1,119159128*1,895064601*√1+1/10++(11-5)2/60==2,765287696
Далее вычислим верхнюю инижнюю границы прогноза uниж=y10-u1; uверх=у10+u1;uниж=y11-u1;uверх=у10+u1
uниж=66,8611-2,621476416=64,239623584
uверх=66,8611+2,621476416=69,482576416
uниж=70,5611-2,765287696=67,795812304
uниж=70,5611+2,765287696=73,326387696
Спрос на кредитныересурсы финансовой компании на 10 неделю в пределах от 64,239623584 млн. руб.до 69,482576416 млн. руб., а на 11 неделю от 67,795812304 млн. руб. до 73,326387696млн. руб.
Строим график:
/>