Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

В.Кинетические Свойства 6. Кинетическое уравнение Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы - нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс.

В этой главе мы рассмотрим обычные кинетические свойства, наблюдаемые при наложении постоянных полей. Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении, или уравнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию fk r - локальную концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется обширная литература по этому вопросу, но она

относится скорее к формальному аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела. Посмотрим теперь, какими способами функция fk r может изменяться во времени. Возможны процессы трех типов 1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее. Пусть vk - скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь tvk.

Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t равно числу их в окрестности точки r - tvk в момент времени 0 fk r, t fk r - tvk, 0 . 35 Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии есть fk t diff - vkfk r - vkfk. 2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя, согласно равенству 37 Величину можно рассматривать как скорость носителя заряда в k-пространстве, так

что по аналогии с равенством 35 имеем 38 следовательно, под действием полей функция распределения меняется со скоростью 39 мы использовали здесь обозначение fk k для градиента в k-пространстве - оператора k . 3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция fk меняется со скоростью fk t scatt ? fk 1 - fk - fk l - fk

Q k, k dk . 40 Процесс рассеяния из состояния k в состояние k приводит к уменьшению fk. Вероятность этого процесса зависит от величины fk - числа носителей в состоянии k, и от разности 1 - fk - числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k в k, который ведет к увеличению функции fk он пропорционален величине fk 1 - fk . Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям k .

Для каждой пары значений k и k существует, однако, собственная вероятность перехода Q k, k , равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k вакантно. Согласно принципу микроскопической обратимости, та же функция дает и скорость перехода из k в k, поэтому под интегралом появляется общий множитель. Кинетическое уравнение выражает следующее для любой точки r и для любого значения k полная скорость изменения функции fk r равна нулю, т. е. fk t scatt fk t field

fk t diff 41 Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но не обязательно равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается через f0k, оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры. Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не слишком сильно отличается от равновесного. Положим gk fk - f0k. 42 где f0k 1 exp E k - kT 43 Здесь нужно проявить некоторую осторожность.

Именно, как определить функцию f0k в случае, когда температура зависит от координат? Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную температуру T r , и положим gk r fk r - f0k 3T r . 44 Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, например gk r dk 45 Подставляя выражение 42 в кинетическое уравнение 41 и используя равенства 7.2 и 7.5 ,

получаем - vkfk r - e h E 1 c vk H fk k - fk t scatt , 46 или - vkfk T T - e h E 1 c vk H f0k k - fk t scatt vkgk r e h E 1 c vk H gk k. 47 С помощью формулы 43 это уравнение можно переписать в виде f0 E vk E k - TT e E - 1 e - fk t scatt vkgk r e hc vk H gk k. 48 Это - линеаризованное уравнение Больцмана.

В нем опущен член Egk k порядка E2, соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член vk vk H , тождественно равный нулю в левую часть уравнения магнитное поле явно не входит. Подставляя выражение 40 в уравнение 48 , можно убедиться, что мы получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно добавки gk r к функции распределения. Функция gk r определяется интенсивностью электрического поля и величиной градиента температуры, входящими

в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличения сложности. 7. Электропроводность Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в бесконечной среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения 40 получаем - f0 E vkeE - f0 t scatt fk- fk

Q k,k dk gk- gk Q k,k dk 49 Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции gk. Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем феноменологическое предположение - fk t scatt gk 50 Тем самым мы вводим время релаксации . При выключении поля любое отклонение gk от равновесного распределения будет затухать по закону - gk t gk , 51 или gk t gk 0 e - t . 52 Подставляя определение 50 в уравнение 49 , находим gk - f0

E vkeE 53 Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока 54 Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что f0kevk r dk 0, использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в k-пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии. В металле функция - f0 E ведет себя как -функция от E поэтому остается только проинтегрировать по поверхности

Ферми. Таким образом, 55 Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой J E, 56 где - тензор. Получим 57 Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии,при этом тензор электропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В случае, когда оба вектора E и J направлены по оси х, подынтегральное выражение в 55 есть vk vk E v2xE, 58 что дает 1 3 вклада от квадрата скорости, v2E.

Поэтому 59 где мы ввели длину свободного пробега v. 60 Это есть основная формула для электропроводности. Интересно посмотреть фиг. 97 , как выглядит функция распределения fk, заданная выражением 7.8 . Как видно из равенства 53 , функция gk велика только вблизи поверхности Ферми. Фиг.97. а - смещенная поверхность Ферми б - смещенное распределение

Ферми. Небольшая добавка появляется с той стороны, где vkeE 0, т. е. там, где электроны ускоряются полем. Та же величина вычитается с противоположной стороны. Фактически по теореме Тейлора можно написать 61 Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сдвинулась в k-пpoстранстве на величину e h E. Это несколько неверная интерпретация. В действительности поле не действует на состояния вблизи дна

зоны, в глубине сферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорения электронам в таких состояниях по этой же причине они не рассеиваются примесью. Отметим, однако, что электропроводность не зависит от температуры если не считать возможной температурной зависимости . Эта же формула справедлива при T 0, когда распределение Ферми имеет совершенно четкую границу. Можно сказать, что электропроводность выражается через смещение

жесткой поверхности Ферми. Заметим также, что выражение 61 можно представить в виде fk f0 Ek evkE , 62 как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась величина Ek evkE. 63 Это в точности соответствует классической ситуации, которая имела бы место, если бы электрон со скоростью vk двигался в поле E в течение интервала времени . Это замечание лежит в основе кинетического метода решения подобных задач.

Добавочная энергия, приобретаемая в промежутках между столкновениями с примесями, соответствует наличию дрейфовой скорости v в направлении поля именно v E v evE, 64 или для классической частицы массы m v E v evE mv. 65 Пусть концентрация частиц есть n, тогда полная плотность тока равна J nev, 66 и, сравнивая формулы 65 , 66 и 56 , находим ne2 m.

7.33 Легко показать, что в случае свободного электронного газа формулы 67 и 59 эквивалентны в металле последняя формула принципиально значительно лучше. Она показывает, что электропроводность зависит только от свойств электронов на уровне Ферми, а не от полной концентрации их. Большую электропроводность металлов следует объяснять скорее наличием небольшой группы очень быстрых электронов на вершине распределения

Ферми, а не высоким значением полной концентрации свободных электронов, которым можно придать небольшую дрейфовую скорость. Основная формула 59 показывает также, что происходит, когда площадь свободной поверхности Ферми уменьшается в результате взаимодействия с границами зоны, и учитывает влияние решетки, ограничивающее эффективную скорость электронов на поверхности Ферми. Такие эффекты действительно можно наблюдать в металлах типа

Bi. С другой стороны, формула кинетической теории 67 удобна для полупроводников. При этом под п следует понимать концентрацию свободных носителей заряда. Обычно пишут n е 68 где e m 69 есть подвижность носителей. В более общем случае считают, что электроны и дырки вносят независимые вклады в полный ток и определяют их подвижности равенством nh е h ne е e . 70 Нетрудно вывести формулу 68 , скажем, из 54 , принимая

в качестве f классическую функцию распределения. При этом мы допускаем, что время релаксации может зависеть от энергии в формулу 69 надо подставить его среднее значение 71 где N E есть плотность состояний в рассматриваемой зоне. Таким образом, e e e me 7.38 где те - эффективная масса электронов. Аналогичная формула справедлива и для дырок. Из этих формул видно, что подвижность может зависеть от

температуры. С ростом T распределение размазывается и среднее время релаксации изменяется. В случае металла то обстоятельство, что т зависит от энергии, не играет большой роли, ибо существенно только значение EF .