Міністерство освіти і науки України
Національний авіаційний університет
Інститут аеропортів
Кафедра комп’ютерних технологій будівництва
Розрахунково-графічна робота №1
Виконав: ст. групи ІАП 308
Шепа В. В.
Перевірив: Яковенко І. А.
Київ 2010р.
Задача №1
Визначення об’ємного напруженого стану в точці тіла
Для напруженого стану в точці тіла задано 6 компонентів:
=65 кН; кН;
кН; кН;
; кН;
Необхідно знайти зн-ня головних напружень та положення головних площадок.
Рішення:
(1.1)
1.З р-ня (1.1) коефіцієнти є інваріантами перетвор. Координат
/>
Р-ня (1.1) підстановкою зводимо до наступного вигляду:
; (1.3)
У р-ні (1.3) нові коефіцієнти відповідно дорівнюють:
P= (1.4)
q= —
Корені кубічного рівняння (1.3) виражаємо через допоміжний кут />, який визначаємо з р-нь:
=/>r=/>=78,12;
/>
(1.4)
/>
Перевірка:
=0;
+/>+/>
2. Визначимо головні напруження за формулою:
/>
(1.7)
/>
Цим трьом головним напруженням в подальшому робимо наступне позначення: />.
кН,
кН,
кН,
Контроль якості вирішення кубічного рівняння (1.1) проводимо, використовуючи інваріантність коефіцієнтів щоб:
/>
/>
3.З системи 1.9 з трьох рівнянь тільки 2 невідомих />і із рішення двох рівнянь третє використовується для перевірки знайдених відношень. Запишемо рішення системи 1.9 в загальному вигляді:
/>
/>
/>
Значення співвідношення
;
і з цього рівняння знаходимо 2 корені />
Перевірка:
-65(-1,42608)+65(-0,751526)+(65-144,83)=0.
З р-ня 1.1 маємо:
/>
.
Тоді:
/>
/>
/>
м.
/>
;
/>
/>
Тоді: />/>
/>
/>
/>--PAGE_BREAK--
/>
Тоді: />/>
Перевірка напрямних косинусів:
;
-0,75183+(-0,3962)
/>
Рис.1.3
На рисунку 1.3 зображено нормалі до головних площадок />, />головні площадки та головні напруження .
Задача №2
Плоска задача теорії пружності
Нехай задано прямокутну балку довжиною l, висотою h та товщиною, що дорівнює 1.
Необхідно:
Перевірити можливість використовувати ф-ї f=(x, y) для рішення плоскої задачі теорії пружності.
Знайти вирази для напружень />
Побудувати епюри напружень перерізів x=
Визначити внутрішні сили (нормальні та дотичні, які прикладені до всіх чотирьох граней балки, дати їх зображення на рисунку.
Виконати статичну перевірку для знайдених сил (зовнішні).
Теоретичні відомості:
Ф-я f=(x, y) повинна задовольняти наступне дегармонічне рівняння.
(2.1)
З цього рівняння вирази для напружень />знаходимо за формулою:
(2.2)
Для визначення зовнішніх сил нормальних та дотичних, які прикладені до всіх чотирьох граней балки, використовуєм умови на поверхні тіла (умови на контурі тіла або статичні і граничні умови).
(2.2)
/>
У рівнянні (2.3 ) />— проекції на вісі Ox і Oy внутрішніх сил, що діють на грані балки.
— нормаль до грані, — напрямні косинуси нормалі
Для перевірки знайдених зовнішніх сил можна використовувати умови рівноваги балки під їх дією:
/>
/>
/>
Рішення:
1.Нехай задана балка з ф-ю напруження:
/>
a=2, b=1, l=5,
/>
2ay;
/>
0;
;
;
/>
/>
2.;
2ay; />
3. Побудуємо епюри напружень в перерізах.
/>
При x==2,5 м.
/>2ay=4y;
4. Визначимо зовнішні сили (нормальні та дотичні).
Верхня грань:
y= />
;
;
;
2. Нижня грань:
y= />
;
;
;
l=0; l=5.
Ліва грань: x=0;
/>
;
;
;
l=-; l=.
Права грань:x=l=5 м
/>
; продолжение
--PAGE_BREAK--
;
;
l= -; l=/>
/>
5. Перевіримо умови рівноваги балки:
/>
/>
+/>+/>=0.
Отже, умови рівноваги балки зберігаються, а значить зовнішні сили та напруження в перерізах знайдені правильно.
Для визначення зовнішніх сил нормальних та дотичних, які прикладені до всіх чотирьох граней балки, я використала умови на поверхні тіла (умови на контурі тіла або статичні і граничні умови).
Побудувала епюри напружень в перерізах, визначила зовнішні сили (нормальні та дотичні). Перевірила умови рівноваги балки.
Міністерство освіти і науки України
Національний авіаційний університет
Інститут аеропортів
Кафедра комп’ютерних технологій будівництва
Розрахунково-графічна робота №2
Виконав: ст. групи ІАП 308
Шепа В. В.
Перевірив: Яковенко І. А
Київ 2010р.
Задача №1
Изгиб прямоугольной пластинки
Прямоугольная пластинка изгибается под действием поперечной нагрузки интенсивности q (x, y):
;
/>
Задано уравнение упругой поверхности пластинки
;
C=const; a=4 м, b=2 м, =0,21.
Жесткость пластинки D=const. Требуется: установить, каким граничным условиям удовлетворяет предложенное уравнение упругой поверхности w(x,y); определить постоянный коэффициент C; составить выражения моментов и поперечных сил, построить эпюры моментов и поперечных сил в сечении
Решение:
Определяем условия на контуре пластинки (граничные условия):
При x=/>a w=0;
y= w=0;
Следовательно, пластинка оперта по всем четырем краям. Выясним, как она оперта: шарнирно или жостко. Уравнение углов поворота в направлении, паралельном Ox,
=C/>
При x=/>
Это значит, что левый и правый края защемлены.
Уравнение углов поворота в направлении, параллельном />,
=-C/>;
При y=/>
Получаем, что верхний и нижний края тоже защемлены. Итак, пластинка жестко защемлена по всем четырем краям.
Определяем постоянную С. Для этого воспользуемся уравнением и составим соответствующие производные:
/>;
/>
;
/>=C/>;
;
;
;
;
/>;
/>
Левая часть уравнения принимает следующий вид
+2/>;
; (4.2)
Подставив в уравнение левую и правую части, после сокращений получаем
/>
Составляем выражение для внутренних усилий по формулам:
Изгибающие моменты:
/>
/>
Крутящий момент:
/>
Поперечные силы:
/>
/>
/>
/>
;
/>
(/>
Выражения для внутренних усилий с учетом найденного значения С имеют вид
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Отже, я побудував епюри моментів і поперечних сил, знайшов граничне значення напруги, що задовольняє рівнянням пружної поверхні, />визначив постійний коефіцієнт C; склав вираз моментів і поперечних сил, побудував епюри моментів і поперечних сил в розрізі />Склав вираз для внутрішніх зусиль.