Введение
Сейчас уже невозможнопроверить легенду о том, как Галилей, стоя на молитве в соборе, внимательнонаблюдал за качением бронзовых люстр. Наблюдал и определял время, затраченноелюстрой на движение туда и обратно. Это время потом назвали периодом колебаний.Часов у Галилея не было, и, чтобы сравнить период колебаний люстр, подвешенныхна цепях разной длины, он использовал частоту биения своего пульса.
Маятники используют длярегулировки хода часов, поскольку любой маятник имеет вполне определенныйпериод колебаний. Маятник находит также важное применение в геологической разведке.Известно, что в разных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля — не вполнеправильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, напримернекоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью математического маятникаиногда позволяют обнаружить такие месторождения.
Целью данной курсовойработы является изучение колебаний маятника с различными механизмами затуханияна примерах физического и пружинного маятников, где физический маятник — тело,совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижнойгоризонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела, а пружинный маятникможет быть осуществлен в виде груза массой m и невесомой пружиныжесткостью k.
Реализовать поставленнуюцель можно решив ряд задач:
— определение исходныхтеоретических положений;
— изучение и анализлитературы, посвященной данным проблемам;
Объектом данной курсовойработы является маятник. Предметом – колебания маятника с различными механизмамизатухания.
Для решенияпостановленных задач использовались научные труды следующих авторов: АндроноваА.А., Витта А.А., Хайкина С.Э., Анищенко В.С., Боголюбова Н.Н., МитропольскогоЮ.А., Владимирова С.Н., Майдановского А.С., Новикова С.С., Горелика Г.С.,Дмитриева А.С., Кислова В.Я., Капранова М.В., Кулешева В.Н., Уткина Г.М., ЛандаП.С., Мигулина В.В., Медведева В.И., Неймарка Ю.И., Рабиновича М.И., ТрубецковаД.И. и некоторых других.
1.Уравнения собственных затухающих колебаний маятника
1.1 Общиехарактеристики колебаний
Колебаниями называютсяпроцессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, напримеркачания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательномдвижении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного токаколеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может бытьразной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристикамии одинаковыми уравнениями.[1] Далее рассмотрим затухающиеколебания.
Затухающимиколебаниями называют собственные колебания, амплитуда А которых убывает со временем t позакону экспоненты А(t)=Аоexp (-?t) (? — показатель затухания из-за диссипацииэнергии благодаря силам вязкого трения для механических затухающих колебаний иомическому сопротивлению для электромагнитных затухающих колебаний).Количественно затухающие колебания характеризуются декрементом затухания ?,добротностью Q = ?/? и временем затухания? = 1/?, за которое амплитудазатухающих колебаний убывает в e = 2,73 раза.[2]
Затуханиеколебаний, уменьшениеинтенсивности колебаний с течением времени, обусловлено потерей энергииколебательной системой. Простейшим случаем уменьшения энергии колебанияявляется превращение ее в тепло вследствие трения в механических системах исопротивления в электрических системах. В последних, затухание колебанийпроисходит также вследствие излучения электромагнитной энергии. Закон затуханияколебаний определяется характером потерь энергии и другими свойствами системы.Наиболее изученным является случай, когда затухание колебаний обусловленоуменьшением энергии, пропорциональным квадрату скорости движения в механическойсистеме или соответственно квадрату силы тока в электрической системе, этосправедливо для линейных систем. В этом случае затухание колебаний имеетэкспоненциальный характер, т.е. размахи колебаний убывают по законугеометрической прогрессии.
Потериэнергии в системе, вызывая затухание колебаний, нарушают их периодичность,поэтому затухающие колебания не являются периодическим процессом и, строгоговоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако, когда затуханиемало, состояния в системе приблизительно повторяются и можно условнопользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующимипрохождениями колеблющейся физической величины (тока, напряжения, размахаколебаний маятника и т.д.) в одну и ту же сторону через максимальное значение.Оценку относительного уменьшения амплитуды колебаний за период даетлогарифмический декремент затухания. Скорость затухание колебаний связана с добротностьюколебательной системы.
/>Декремент затухания – количественная характеристика быстроты затуханияколебаний. Декремент затухания dравен натуральному логарифму отношения двух последующих максимальных отклоненийх колеблющейся величины в одну и ту же сторону:.
Декремент затухания – величина,обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда убывает в е раз.Например, если d=0,01, то амплитудауменьшится в е раз после 100 колебаний. Декремент затухания характеризует числопериодов, в течение которых происходит затухание колебаний, а не время такогозатухания. Полное время затухания определяется отношением Т/d.[3]
Добротностьколебательной системы,отношение энергии, запасенной в колебательной системе, к энергии, теряемойсистемой за один период колебания. Добротность характеризует качество колебательнойсистемы, т.к. чем больше Добротность колебательной системы, тем меньше потериэнергии в системе за одно колебание. Добротность колебательной системы Qсвязана с логарифмическим декрементом затухания d. При малых декрементах затухания Q»p/d. В колебательномконтуре с индуктивностью L, емкостью C и омическим сопротивлением R добротностьколебательной системы
/>
/>где w — собственная частота контура. В механической системе с массой m,жесткостью k и коэффициентом трения b.
Добротностьколебательной системы
Добротность — количественная характеристика резонансных свойств колебательной системы,указывающая, во сколько раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний при резонансепревышает амплитуду вынужденных колебаний вдали от резонанса, т. е. в областистоль низких частот, где амплитуду вынужденных колебаний можно считать независящей от частоты. На этом свойстве основан метод измерения Добротностьколебательной системы величина добротности характеризует также иизбирательность колебательной системы. Чем больше добротность, тем уже полоса частот внешней силы, которая может вызватьинтенсивные колебания системы.
Экспериментальнодобротность колебательной системы обычно находят как отношение частотысобственных колебаний к полосе пропускания системы, т.е. Q=w/Dw.
Численныезначения добротности колебательной системы:
— длярадиочастотного колебательного контура 30 — 100;
— длякамертона 10000;
— дляпластинки пьезокварца 100000;
— для объемногорезонатора СВЧ колебаний 100 — 100000.[4]
1.2 Уравнениесобственных затухающих колебаний физического и пружинного маятников
Рассмотрим движениегруза, жестко зафиксированного на подвесе (металлическом стержне), закрепленномв точке O (см. приложение 1). Система «груз –подвес» в общем случае представляет собой физический маятник. Точку крепленияэтого маятника условно назовем точкой подвеса.
Опыт показывает, чтофизический маятник, выведенный из положения равновесия, совершает вращательныеколебания. Согласно основному закону динамики вращательного движенияпроизведение момента инерции системы «груз – подвес» на угловое ускорениемаятника равно равнодействующему моменту внешних сил: силы тяжести m·g и силы сопротивления Fc (момент силы деформации растяжения тела N равен нулю). Спроецировав этоуравнение на направление оси вращения, для случая малых колебаний получимследующее выражение:
I·a" = M + Mc = — k·a — h·a', (1)
где α(t) — угол отклонения колеблющегосягруза, отсчитываемый от положения равновесия;
α' и α" — соответственноугловая скорость и угловое ускорение маятника;
k и h — размерныеконстанты;
I — момент инерциисистемы «груз – подвес»;
М = -m.g.r.sin(α) = -k.sin(α)- момент возвращающей силы (для малых колебаний М = -k.α);
Mc = -h.α' — момент сил сопротивления(выражение справедливо для малых угловых скоростей).[5]
Поделив левую и правуючасти уравнения (1) на величину I и перенесявсе слагаемые в левую часть, получим соотношение, аналогичное выражению,описывающему движение собственных затухающих колебаний груза на пружине.
a" + w02·a + 2b·a' =0, (2)
где b = h/2I — коэффициент затухания;
w0= (k/I)1/2 — собственная частота колебаний груза.
Решение уравнения (2)имеет вид:
a(t) = a0·e-bt·sin(w·t + j), (3)
где w=(w02 — b2)1/2 — частота затухающихколебаний груза.
Как видно из уравнения(3) амплитуда углового смещения будет уменьшаться (затухать) с течением временипо экспоненциальному закону. Коэффициент затухания определяет быстроту этогопроцесса. Он равен промежутку времени по истечении которого, амплитудаколебаний уменьшается в e раз.
Далеерассмотрим уравнение собственных затухающих колебаний пружинного маятника.
Пружинным маятником называется система,состоящая из груза массой m и невесомой пружиныжесткостью k.
Пусть масса маятника m,коэффициент упругости пружины k, сила сопротивления, действующая намаятник, F = — bv, v — скорость маятника, b — коэффициент сопротивления среды, в которой находится маятник. Так какрассматриваем только линейные системы, b = const, k = const.x — смещение маятника от положения равновесия.
/>
(второй законНьютона)
Данное уравнение и есть дифференциальноеуравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Принятозаписывать его в следующем, так называемом каноническом виде:
/>/>
/>
— коэффициент затухания, — собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника, то,что раньше мы обозначали просто w.
Уравнение затухающихколебаний в таком (каноническом) виде описывает затухающие колебания всехлинейных систем; конкретная колебательная система отличается только выражениямидля b и j0.
2. Движения маятника с различными механизмамизатухания
При исследованиисобственных колебаний предполагается отсутствие внешней среды. Наличие средыприводит к появлению диссипативной силы, которая, как мы показали, постепенноуменьшает первоначально переданную системе энергию. Это выражается черезуменьшение собственной частоты колебаний ω0, также какпостепенным уменьшением амплитуды колебаний.
Примечание: во избежаниепутаницы нумерация формул останется такой же как в научной литературе.[6]
Пусть на колеблющеесятело действует сила мокрого трения:
/>/>/>/>,
Уравнение движениячастицы примет следующий вид:
/>/>/>/>, (1.35)
где
/>/>/>/>
/>/>/>/>. (1.36)
Подставляя последнее в(1.35), получим:
/>/>/>/> (1.37).
Так как полученноеуравнение верно для произвольного момента времени, то выражение в скобкахдолжно быть нулем. Последнее дает для неизвестной величины />/>/>/>/> следующеезначение
/>/>/>/> (1.38)
где
/> , (1.39)
Учитывая (1.38), решение(1.36) примет следующий вид:
/>/>/>/>, (1.40)
Полученное уравнениедвижения описывает затухающие колебания, где/>/>/>/>/>и />/>/>/> –постоянные, определяемые из начальных условий.
В зависимости отсоотношения коэффициента трения />/>/>/> ичастоты собственных колебаний />/>/>/>,затухающие колебания подразделяются на два класса. Они соответствуют случаям периодическогои непериодического затухания.
Периодическое затухание. Оно осуществляется при слабых силахтрения:
/> , (1.41)
когда величина (1.39)действительна. В этом случае решение (1.40) выражается формулой (вдействительной форме)
/>/>/>/>, (1.42)
Графически это колебаниепредставлено на рисунке (см. приложение 2) и является колебанием с постояннойчастотой (1.39), но убывающей с течением времени амплитудой. В этом смысле этоне только не гармоническое, но даже и не периодическое колебание, посколькуколебания не повторяются в том же виде. Тем не менее, удобно говорить о периодеэтих колебаний, понимая под этим промежуток времени
/>,(1.43)
Говоря «амплитудазатухающих колебаний» понимают величину
/>, (1.44)
/>которая есть максимальное смещениечастицы относительно положения равновесия во время колебаний. Из выражения(1.44) следует, что за время />, (1.45) амплитуда убывает в />/>/>/> раз.Этот промежуток времени называется временем затухания, а /> –декрементом затухания.
Наиболее объективнойхарактеристикой затухания колебаний является логарифмический декремент, которыйявляется отношением периода колебаний (1.43) к времени затухания (1.45)
/>/>, (1.46)
Легко заметить, чтологарифмический декремент равен натуральному логарифму отношения двухпоследующих амплитуд:
/>/>/>/>,(1.47)
Определим число N колебаний, в течение которыхамплитуда колебаний убывает в />/>/>/>,раз:
/>/>/>/>
откуда следует, что
/>/>/>/> , (1.48)
На основании этого соотношенияможно экспериментально определить логарифмический декремент затухания />/>/>/>,считая соответствующее число /> />/>/> колебаний.
Непериодическое затухание. При сильном трении
/>/>/>/> (1.49)
величина (1.43) становитсямнимой. В этом случае удобно представить (1.42) так:
/> , (1.50)
/> />,(1.51)
В рассматриваемом случаерешение (1.42) примет вид:
/>/>/>/>, (1.52)
которое не описывает какое-либоколебание, а представляет экспоненциональное убывание смещения от положенияравновесия (см. приложение 3). Непериодическое затухание маятника можнонаблюдать, если поместить его в сильно вязкую среду (глицерин, мед).
/>Специальным случаем непериодическогозатухания является случай, когда />/>/> .В этом случае решение уравнения (1.35) выражается в виде:
/>, (1.53).
Заключение
Целью данной курсовойработы являлось изучение колебаний маятника с различными механизмами затухания.Для реализации поставленной цели предполагалось решение ряда задач, чтопозволило сделать следующие выводы:
На основании анализасуществующей литературы даны определения исходных теоретических положений, аименно: колебания, виды колебаний, маятник (физический маятник, пружинныймаятник), декремент затухания, добротность колебательной системы и т.д.
Также, исходя изпроработанной литературы, сделан вывод о том, что данная тема изучалась и изучается многимиавторами, как зарубежными, так и советскими, и находит практическая применение вразличных науках.
Получены уравнениясобственных затухающих колебаний на примерах физического и пружинногомаятников.
/>,
/>
/>где - коэффициент затухания,
— собственнаячастота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника.
Таково полученноеуравнение собственных затухающих колебаний пружинного маятника. Это уравнениеописывает затухающие колебания всех линейных систем; конкретная колебательнаясистема отличается только выражениями для b и j0.
a(t) = a0·e-bt·sin(w·t + j), (3)
где w=(w02 — b2)1/2 — частота затухающихколебаний груза.
Данное уравнениеопределяет быстроту процесса затухания колебаний физического маятника.
Определены два механизмазатухающих колебаний: периодическое (осуществляется при слабых силах трения) инепериодическое (при сильном трении), а также получены формулы, для их расчета.
/> -для периодического механизма затухающих колебаний;
/>,/> -для непериодического механизма затухающих колебаний.
Список сокращений
г.– год;
пр.– прочее;
с.– страница;
см.– смотреть;
т.д.– так далее;
т.е.– то есть;
Библиографическийсписок литературы
1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теорияколебаний. М.: Наука, 1991. — 568 с.
2. Анищенко В.С. Сложные колебания в простыхсистемах. М.: Наука, 1990. – 59 с.
3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А.Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1994. — 408 с.
4. Владимиров С.Н., Майдановский А.С., НовиковС.С. Нелинейные колебания многочастотных автоколебательных систем. Томск:изд-во Томск. ун-та, 1993. — 203 с.
5. Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М.,1989. — 124 с.
6. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастическиеколебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 2001. — 280 с.
7. Капранов М.В., Кулешев В.Н., Уткин Г.М. Теорияколебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1994. — 319 с.
8. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечнымчислом степеней свободы. М.: Наука, 1991. — 360 с.
9. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р.,Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1989. — 390 с.
10. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курсдля научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. — 312 с.
11. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические ихаотические колебания. М.: Наука, 1995. — 424 с.
12. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение втеорию колебаний и волн. М.: Наука, 1994. — 431 с.
13. Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний,2 изд., М., 2002. — с. 597.
Приложение 1
/>
Приложение 2
/>
Приложение 3
/>