Вейвлет-перетворення

Реферат з теми:
вейвлет-перетворення
Вступ
Математичні перетворення застосовують до сигналу для того, щоб одержатипро ньогоякусь додаткову інформацію, недоступну у вихідному вигляді. Серед багатьох відомих перетворень сигналів найбільш популярним єперетворення Фур'є (ПФ).
Більшість сигналів,щозустрічаються на практиці, представлені в часовійобласті, тобто сигнал є функцією часу. Таким чином, при відображенні сигналу на графіку однієїз осей координат євісь часу, а іншою координатою – вісь амплітуд. Отже, ми одержуємоамплітудно-часове поданнясигналу. Для більшості додатків обробки сигналу це поданняне єнайкращим. У багатьох випадках найбільш значима інформація прихованав частотній областісигналу.
Частотний спектр є сукупністю частотних компонентів, він відображає наявність тихабо інших частот у сигналі. Як відомо, частота вимірюється в Герцах [Гц], або в числі періодів у секунду. На рис. 1 приведені три синусоїди з частотою 3Гц, 10Гц та 50Гц. Порівняємоїх.
/>
Рисунок 1 – Синусоїди з частотою 3Гц, 10Гц та 50Гц
Найчастіше інформація, не помітна в часовомуподанні сигналу, виявляєтьсяпри його частотномуподанні. Розглянемояк приклад біологічний сигнал, наприклад, електрокардіограму (ЕКГ). Типовий видЕКГдобре відомий кардіологам. Будь-яке значне відхиленнявід нього розглядається як патологія. Ця патологія, однак, не завжди може бути помітна при часовому поданнісигналу. Тому в останніх моделях електрокардіографів для аналізу використовуєтьсяй частотна областьсигналу. Рішенняпро патологію виноситься тільки звикористанням інформації частотної області.
Крім ПФіснує й багато іншихчасто застосовуваних перетворень сигналу. Прикладами єперетворення Гільберта, віконне ПФ, розподіл Вігнера, перетворення Уолша, вейвлет-перетворенняй багато інших. Для кожного перетворення можна вказати найбільш підходящуобластьзастосування, переваги й недоліки, і вейвлет-перетворення(ВП) не єв цьому випадку винятком.
Для кращого розуміння потреби у ВПрозглянемодокладніше ПФ. ПФ(так, як і ВП) єзворотним утворенням, тобто з його коефіцієнтів за допомогою зворотного перетворення може бути отриманий вихідний сигнал. Однак тільки одне з представленьдоступне для нас у кожниймомент часу: частотну інформацію не можна витягти з часової, а часову– з частотної. Виникає природне запитанння: чи можливо одержатиспільне частотно-часове подання сигналу?
Як буде показано, відповідь залежить від конкретного додатка й від природи сигналу. Нагадаємо, що ПФподає частотну інформацію, яка міститься в сигналі, тобто говоритьнам про те, який змісткожної частоти в сигналі. Однак у який момент часу виниклата або інша частота, коли вона закінчилася – на ці запитання відповідь одержатине вдасться. Втім, ця інформація не потрібна, якщо сигнал – стаціонарний.
Стаціонарними називаються сигнали, частотне наповнення яких не змінюєтьсяв часі. Тому при частотному аналізі таких сигналів не потрібна часова інформація – всі частоти присутні в сигналі протягом усього часу.
Наприклад, сигнал:
x(t)cos(210t)cos(225t)cos(250t)cos(2100t)
єстаціонарним, оскільки частоти, які є в ньому, 10, 25, 50 й 100 Гц не змінюютьсяв часі. Цей сигнал зображений нижче (рис. 2):
/>
Рисунок 2 – Стаціонарний сигнал з частотами 10, 25, 50 та 100 Гц
А тут показано його ПФ:
/>
Рисунок 3 – Частотний спектр сигналу, показаного на рис. 2
На верхньому графіку рис. 3 зображений частотний спектр сигналу, показаногона рис. 2. На нижньому графіку зображена його збільшена копія — діапазон частот, який цікавить нас. Зазначте, що чотиричастотні компоненти відповідають частотам 10, 25, 50 та 100 Гц.
Розглянемоще одинприклад. На рис. 4 показаний сигнал, що складаєтьсяз чотирьох різних частот, що зустрічаються на чотирьох різних інтервалах й, отже, єнестаціонарним. В інтервалі часу від 0 до 300 мсчастота сигналу 100Гц, від 300 до 600 мс– 50Гц, від 600 до 800 мс– 25Гц і на останньому інтервалі – 10Гц.--PAGE_BREAK--
/>
Рисунок 4 – Сигнал, що складаєтьсяз чотирьох різних частот
/>
Рисунок 5 – Спектр (ПФ) сигналу, зображеного на рис. 4
Як видно з рисунка, всі чотиричастотні компоненти чітко зображені. Відмітьте, що амплітуди високочастотних компонентів більші, ніж низькочастотних. Це пов'язане з тим, що їхня тривалість більша. ПФмає чотирипіки, які відповідають чотирьом частотам, що присутніу сигналі.
Для першого сигналу, показаногона рис. 2, розглянемотаке питання: у який момент часу (або хоча б інтервал) виниклата або інша частота? Вони існують протягом усього часу. Нагадаємо, що в стаціонарних сигналах всі частотні компоненти присутні протягом усього часу. Тобто 10, 50, 100Гц присутні на всьому часовомуінтервалі.
Тепер розглянемоте саме питання для нестаціонарного сигналу, показаногона рис. 4. У який час існують різні частоти? Зрозуміло, що не постійно. Однак, порівнявшиспектри рис. 7 і рис. 9, ми не виявимоособливої різниці. На обох графіках видночотири частотні складові 10, 25, 50 та 100Гц. Крім неоднаковості амплітуд піків, інших розбіжностейміж спектрами немає, хоча вони відповідають різним сигналам у часовійобласті. Яким чином спектри двохнастільки різних сигналів виявилисясхожі? Існує така властивість ПФ, яка дозволяє побачити частотне наповнення сигналів, але не дозволяє визначити, в який момент часу існує та або інша частота. Тому ПФнепридатне для аналізу нестаціонарних сигналів, за одним винятком: ПФможе використовуватисядля аналізу нестаціонарних сигналів, якщо нас цікавить лише частотна інформація, а час існування спектральних складових неважливий. У протилежному випадку треба шукати більшпідходящийметод аналізу.
Якщо потрібна часовалокалізація спектральних компонентів, необхідно звернутися до частотно-часового подання сигналу.
1. Віконне перетворення Фур'є
Припустимо, що нестаціонарний сигнал кусково-стаціонарний. Такий підхід одержавназву віконного (або короткочасного) перетворення Фур'є (ВПФ).
При ВПФсигнал поділяється на відрізки («вікна»), у межах яких його можна вважатистаціонарним. Для цього до сигналу застосовується віконна функція w, ширина якої має дорівнювати ширині вікна. Нехай ширина віконної функції Т сек. Тоді в момент часу t=0 вона перекривається зТ сек сигналу. Віконна функція та сигнал перемножуються. Якщо віконна функція прямокутна і одиничноївисоти, то сигнал не змінюється. У протележному випадку він зважується звіконною функцією. Потім добутокпіддається перетворенню Фур'є. У результаті ми одержуємоПФпершихТ сек вихідного сигналу. Якщо цей відрізок стаціонарний, як ми й припускали, тоотриманий результат перетворення коректно відображає частотне наповнення першихТ сек сигналу.
Наступним кроком єзміщеннявіконної функції на деяку величинуt сек. Функція із зміщенням знову множитьсяіз сигналом, виконується ПФрезультату множення. Ця процедура повторюється до досягнення кінця вихідного сигналу. Все вищесказанепро ВПФможна записати у такому вигляді:
/>,
де />– вихідний сигнал, w(/>) – віконна функція. Як видно з виразу, ВПФє ні що інше, як ПФсигналу, помноженогона віконну функцію. Отже, ми отримуємо істиннечастотно-часове перетворення (ЧЧП) сигналу.
Розглянемоприклад. По-перше, оскільки наше перетворення єфункцією як часу, так і частоти (на відміну від ПФ, що залежить тільки від частоти), то воно єдвовимірним (а з урахуванням амплітуди, то й тривимірним). Нехай заданий нестаціонарний сигнал, наприклад, показанийна рис. 6. У цьому сигналі в різні моменти часу присутні різні частотні компоненти: від 0 дo250мс– 300Гц, і, далі 200, 100 й 50Гц. Погляньтена ВПФцього нестаціонарного сигналу на рис. 7:
/>
Рисунок 6 – Заданий нестаціонарний сигнал
/>
Рисунок 7 – ВПФнестаціонарного сигналу
Це тривимірний графік. По осях «x» та «y» відкладені час і частота, відповідно. Розглянемоогинаючучастотно-часового подання. На графіку чітко виражені чотири піки, які відповідають чотирьом частотним компонентам. На відміну від ПФ, ці піки локалізовані в різних часовихінтервалах. Отже, тепер ми маємо істинне частотно-часове поданнясигналу. Ми не тільки знаємо, які частотні компоненти присутні в сигналі, але й у який момент часу вони зустрічаються.
Якщо ВПФдає частотно-часове поданнясигналу, то для чого ж нам вейвлет-перетворення? Властивий ВПФнедолікне видноз розглянутого прикладу.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Проблеми ВПФмають свої кореніу явищі, що називається принципом невизначеності Гейзенберга. Цей принцип свідчить, що неможливо одержатидовільно точне частотно-часове поданнясигналу, тобто не можна визначитидля якогось моменту часу, які спектральні компоненти присутні в сигналі. Єдине, що ми можемо знати, так це часовіінтервали, протягом яких у сигналі існують смуги частот. Ця проблема називається проблемою розрізнювання.
Проблема ВПФпов'язана з шириною віконної функції, що використовується. Ця ширина називається носієм функції. Якщо вікно досить вузьке, то говорятьпро компактний носій. Як побачимо надалі, ця термінологія особливо широко використовуєтьсяв теорії вейвлет-перетворень.
Часоваінформація при ПФвідсутня. При ВПФвікно має кінцеву довжину, накриває тільки частинусигналу, тому частотне розрізнюванняпогіршується. Отже, чим вужче вікно, тим краще часоверозрізнювання, але гірше частотне. І навпаки. Крім того, чимвужче вікно, тим більш справедливими стають наші припущення про стаціонарність сигналу в межах вікна.
Для того,щоб спостерігати ці ефекти, звернемося до прикладів. Розглянемочотиривікна різної ширини. Як віконну функціювикористовуватимемофункцію Гауса, що має вигляд:
/>,
де a визначаєширину вікна, а t – час. На рис. 8 показані чотири вікна різної ширини, обумовленоїзначенням a.
Розглянутийраніше приклад був розрахований при значенні a=0.001. Тепер розглянемоВПФтих самих сигналів при іншомузначенні ширини вікна.
/>
Рисунок 8 – Чотири вікна різної ширини
/>
Рисунок 9 – ВПФпри вузькому значенні ширини вікна
Для початку використаємоперше, найвужче вікно. Ми можемо очікувати добре розрізнюванняза часом, але поганеза частотою (рис. 9). Зазначимо, що чотирипіки, показаніна рисунку, добре розділені за часом. Також зазначимо, що в частотній областікоженпік накриває діапазон частот, а не одну якусь частоту. Тепер збільшимо ширину вікна й подивимося на наступний рисунок 10.
/>
Рисунок 10 – ВПФпри збільшеному широкому значенні ширини вікна
Як видно з рисунка, піки тепер не настільки добре розділені за часом.
Однак частотне розрізнюванняпокращилось. Збільшимо ще ширину вікна (рис. 11):
/>
Рисунок 11 – ВПФпри широкому значенні ширини вікна
Як і очікувалося, часоверозрізнювання значно погіршилося.
Наведеніприклади показали проблему розрізнювання, властиву ВПФ. Тому при застосуванні ВПФзавжди виникають питання: який видвікна використати? Вузьке вікно забезпечує краще часоверозрізнювання, а широке– краще частотне. Проблема полягає в тому, що доводитьсявибирати вікно «разі назавжди», тобто для аналізу всьогосигналу, тоді як різні його відрізкиможуть вимагати застосування різних вікон. Якщо сигнал складається з далеко віддалених один від одного частотних компонентів, то можна пожертвувати спектральним розрізнюваннямна користь часовогой навпаки.
Вейвлет-перетвореннявирішує якоюсь мірою цю проблему розрізнювання.
2. Ідея вейвлет-перетворень
Вейвлет-перетворення (ВП) відноситься саме до цього типу перетворень. Воно забезпечує частотно-часове подання сигналів. (Існують й інші перетворення сигналів, які також виконують це завдання, такі як віконнеПФ(ВПФ), перетворення Вігнерата ін.) ВПбуло розроблено до певної міри як альтернатива ВПФ. ВПбуло розроблено для подолання деяких проблем ВПФ, пов'язаних з поганим розрізнюванням.
Пропустимо сигнал через двафільтри – низькочастотні й високочастотний (фільтри з'єднані паралельно). Повторимо цю процедуру для виходу низькочастотного фільтра, залишивши вихід високочастотного фільтра незмінним. Так, якщо вихідний сигнал містивчастоти до 1000Гц, то після першого етапу одержимодвасигнали 0-500Гц та 500-1000Гц, після другого етапу – трисигнали 0-250Гц, 250-500Гц та 500-1000Гц. тощо. Ця операція називається декомпозицією. Декомпозиція триває якусь кількість разів.
В остаточному підсумку, ми одержуємобезлічсубсигналів, що являєнаш вихідний сигнал. Коженсубсигналвідповідає певнійсубсмузічастот. Можна побудувати тривимірний графік, відклавши по одній осі час, по другий– частоту й по третій– амплітуду. Таким чином, ми можемо побачити, які частоти присутні в кожному окремому інтервалі часу. Ми можемо лише говоритипро інтервал часу та про частотну смугу, що спостерігається в ньому.ВПФдає фіксоване розрізнюванняна всіх частотах, тоді як при ВПрозрізнюваннязмінюється: на високих частотах краще розрізнюванняза часом, а на низьких– за частотою. Це означає, що для високочастотного компоненти ми можемо точніше вказати її часовупозицію, а для низькочастотної– її значення частоти. Розглянемотакий графік (рис. 12):    продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
Рисунок 12 – Фазова плоскість ВП
Цей графікможна інтерпретувати в такий спосіб. Верхній рядок показує, що на високих частотах ми маємо в розпорядженні більше відліків, що відповідає меншим інтервалам часу. Нижній рядок відповідає низькочастотній компоненті, і ми бачимо, що в ній міститьсяменше точок. Отже, тимчасоверозрізнюваннядля низькочастотних компонент сигналу гірше.
У випадку дискретного часу розрізнюванняза часом поводиться так, як і у попередньому випадку. Однак тепер і розрізнюванняза частотою змінюєтьсявід рівня до рівня. На низьких частотах краще розрізнюванняза частотою, ніж на високих частотах. Відзначимо також збільшення відстані між частотними точкамиіз збільшенням частоти (рис. 13).
/>
Рисунок 13 – Фазова площина ДВП
Нижче наведеноприклад безперервногоВП(рис. 15). Нехай сигнал складається з двох синусоїд, які існують у різний час: спочатку в сигналі присутня НЧсинусоїда, потім – ВЧ рис. 14.
/>
Рисунок 14 – Сигнал, який складається з двох синусоїд різної частоти
/>
Рисунок 15 – БезперервнеВП сигналу, що складається з двох синусоїд
Відзначте, що замість осі частот на цих графіках позначена вісь масштабу. Концепція масштабу стане більшзрозумілоюз пояснення наступних розділів. Поки ж зазначимо лише, що масштаб єпоняттям, зворотнім частоті. Тобто високі шкали відповідають низьким частотам, а низькі– високим. Отже, малий пік на графіку відповідає ВЧкомпонентісигналу, а великий пік – НЧкомпоненті.
Загальноприйнятим підходом до аналізу сигналів />стало їхнє поданняу вигляді зваженої суми простих складових – базисних функцій />, помноженихна коефіцієнти />.
/>.
Оскільки базисні функції />вважаються заданими як функції цілком певноговиду, то коефіцієнти />містятьінформацію про певнийсигнал. Отже, можна говоритипро можливості поданнядовільних сигналів на основі рядів зрізними базисними функціями. Досить грубо можна представити вейвлетияк деякі хвильові функції, здатні здійснювати перетворення Фур'є не по всій часовійосі, а локально за місцемрозташування.
Базисними функціями вейвлетівможуть бути різні функції, у тому числі такі, які близько й віддалено нагадують модульованіімпульсами синусоїди, функції зістрибками рівня і т.д. Це забезпечує легке поданнясигналів злокальними стрибками й розривами і відкриваєпростір у підборінайбільш підходящихвейвлетів,виходячиз умов завдань, які необхідно розв’зати. На жаль, часто вейвлетине мають аналітичного поданняу вигляді однієїформули, але можуть задаватися ітераційними виразами, що легко обчислюються за допомогою комп’ютерів.
Вейвлетихарактеризуються своїм часовимі частотним способом. Часовий спосіб визначаєтьсядеякою psi-функцією />часу. А частотний спосіб визначаєтьсяїї Фур'є-способом />, що задає огинаючуспектра вейвлета. Фур'є-спосіб визначаєтьсявиразом:
/>.
Кількість використаних під час розкладання сигналу вейвлетівзадає рівень декомпозиції сигналу. При цьому за нульовий рівень декомпозиції, як правило, приймають сам сигнал, а наступні рівні декомпозиції утворюють зазвичай спадаюче вейвлет–дерево.
Пряме вейвлет–перетворення(ПВП), назване також безперервним, означає розкладання довільного вхідного сигналу на принципово новий базис у вигляді сукупності хвильових пакетів–вейвлетів, які характеризуються чотирма принципово важливими властивостями:    продолжение
--PAGE_BREAK--
мають вигляд коротких, локалізованиху часі (або в просторі) пакетів знульовим значенням інтегралу;
мають можливість зміщенняв часі;
здатні до масштабування (стиснення/розтягання);
мають обмежений (або локальний) частотний спектр.
3. Безперервне вейвлет-перетворення
Безперервний вейвлет-аналіз(БВП) виконується аналогічно ВПФ, у тому розумінні, що сигнал перемножується зфункцією (вейвлетом), так само, як і звіконною функцією при ВПФ. Однак існує дві істотнірізниці між ВПФі БВП:
1. Не виконується ПФзваженогозвейвлетомсигналу.
2. Ширина вікна змінюється.
Безперервне вейвлет-перетворення визначаєтьсяв такий спосіб:
/>, 1
Як видно з рівності, перетворенийсигнал є функцією двохзмінних, />і s, параметри зміщення і масштабу, відповідно. />(t) – функція перетворення,щоназивається материнськимвейвлетом.
Дослівний переклад wavelet – «коротка хвиля» не дуже зручний, іноді вейвлети називають сплесками. Слово "вейвлет"означає маленька хвиля. Під маленькою розуміється те, що ця функція (вікно) має кінцеву ширину (компактний носій). Слово «хвиля» показує той факт, що вейвлет-функціяосцилює. Термін «материнський» означає, що функції зрізною шириною носія, що використовуютьсяв перетворенні, породжуються однієюбазовою функцією— материнськимвейвлетом. Тобто материнськийвейвлетєпрототипом для всіх віконних функцій. Термін "зміщення"використовуєтьсятут у тому ж значенні, що й при ПФ: він відноситьсядо місця розташування вікна, і вікно рухається уздовж сигналу. Цей термін відноситься, таким чином, до тимчасовоїінформації, яка є в результаті перетворення. Однак при ВПми не маємо частотного параметра, як це було при ВПФ. Замість нього тут присутній параметр масштабу, якийможна визначитияк величину, зворотнучастоті.
4. Масштаб
Параметр масштабу у вейвлет-аналізімає аналогію змасштабом географічних карт. Більшізначення масштабу відповідають малій кількості деталей, глобальному поданню сигналу, а низькі значення масштабу дозволяють розрізнити деталі. Аналогічно, у термінах частоти низькі частоти відповідають глобальній інформації про сигнал (яка міститься на всій його довжині), а високі частоти – детальній інформації, прихованимособливостям, які мають звичайно малу довжину. На наступному рисунку наведенікосинуснісигнали на різних масштабах (рис. 16).
/>
Рисунок 16 – Косинуснісигнали на різних масштабах