Министерство образования Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный горный институт
имени Г.В. Плеханова
(технический университет)
Кафедра механикиРАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТАПо дисциплинеCопротивление материалов
Тема
Построениеэпюр поперечных сил, изгибающих моментов и
выбор сеченийбалокАвтор:студент гр. ИЗ-01КочетоваТ.А
ПРОВЕРИЛПреподавательдоцент Зарецкий-ФеоктистовГ. ГСанкт-Петербург 2002г.
Задача 1
Построить эпюры Q и M для консольной балки при P1=20кН; М1=25кН·м; q1=10кН/м (рис.1) и подобрать диаметр балки круглогопоперечного сечения из дерева;/>
Решение
Построение эпюр Q и М для консольных балок можнопроизвести, не вычисляя реакций.
Если рассечь балку влюбом сечении и рассматривать часть балки между сечением и свободным концом, тов выражениях для Q и М войдуттолько приложенные к балке известные нагрузки.
Балка имеет три грузовыхучастка с длинами 3,2, 4. Начало координат расположим в центре тяжести крайнеголевого сечения, ось Y направимвертикально вверх, ось X –вправо. Рассечем балку в пределах каждого грузового участка сечениями,расположенными на расстояниях x1, x2, х3 от начала координат.
Первый участок характеризуетсяизменением абсциссы x в пределах 0≤x≤3.
Поперечная сила на первомучастке постоянна: Q1=Р=20кН.
Изгибающий момент напервом участке />;
M1=-60кНм при х1=0; M1=0 при х1=3м.
На втором участкеабсцисса х изменяется в пределах 3≤х2≤5.
Здесь поперечная сила Q2=0; изгибающий момент М2=М=25кНм.
На третьем участкеабсцисса х изменяется в пределах 5≤х3≤9.
Здесь поперечная сила
Q3=-q(х3-5);Q3=0 при х3=5м; Q3=-40кН при х3=9м
Изгибающий момент на третьемучастке
/>
при х3=5м М3=25кНм;при х3=9м М3=-55кНм.
Абсолютная величинамаксимального изгибающего момента равна 60кНм (см. рис. 1). Тогда моментсопротивления
/>
Момент сопротивлениякруглого поперечного сечения относительно центральной оси
/>
тогда необходимый диаметрбалки
/>
консольныйбалка поперечный ось
/>
Рисунок 1
Задача 2
Построить эпюры Q и М для балки из дерева при q2=5кН/м; P2=10кН; M2=35кНм (рис.2) и подобрать размеры балки прямоугольного поперечногосечения с отношением высоты к ширине h/b=3; />
Решение
Для определения Q и М в любом сечении балки необходимознать все внешние силы, действующие на балку, т. е. приложенные нагрузки иопорные реакции RA и RB.
Расположим началокоординат в центре тяжести крайнего левого сечения, в точке А, ось Y направим вертикально вверх, а ось Х– горизонтально вправо (по оси балки).
На шарнирно-неподвижнойопоре А неизвестную по величине и направлению реакцию заменим двумясоставляющими: RA –вертикальной, перпендикулярной оси балки, и ХА – горизонтальной,направленной по оси Х. На шарнирно-подвижной опоре В реакция RB направлена перпендикулярно осибалки.
Составляем следующуюсистему уравнений статики:
/>
/>
Решив ее при заданныхисходных данных, получим
/>
Для проверки составим ещеодно уравнение статики, сумму проекций всех сил на ось Y
/>
Следовательно, реакцииопределены верно.
Для построения эпюр Q и М необходимо определить поперечныесилы и изгибающие моменты. Данная балка имеет два грузовых участка, границамикоторых являются опорные сечения и сечение, где приложена сосредоточенная силаР. Чтобы составить уравнения Q и М,для каждого участка проводим произвольные сечения на расстоянии х от началакоординат.
В качестве первогоучастка рассмотрим ту часть балки, на которую действует рассредоточенная сила q. На нем абсцисса х изменяется впределах 0≤х1≤4.
Здесь Q1=RA-qx1; Q1=55/9кН при х1=0; Q1=-125/9кН при х1=4м.
Уравнение моментов имеетвид
/>
при х1=0 М1=0;
при х1=4м М1=-140/9кНм.
Для уточнения вида эпюрыМ на первом участке необходимо определить экстремальное значение М в сечении,где Q=0. Абсцисса этого сечения может бытьвычислена из уравнения
Q1=RA-qx=0.
Таким образом
/>м.
Подставив это значение ввыражение М1=RAx-qx2/2, найдем Мmax=605/162=3,7кНм.
На втором участкеабсцисса х меняется в пределах 4≤х2≤9. На этом участке Q2=constи Q2=RA+P-4q=55/9+10-20=-35/9. Уравнение моментов на этом участке имеетвид
/> при х2=4м М2=55/9·4+4·5·2=-140/9кНм;
при х2=9м М2=55/9·9+10·5-4·5·7=-35кНм.
Абсолютная величинамаксимального изгибающего момента
Мmax=35кНм.
Величина моментасопротивления
/>.
Момент сопротивленияпрямоугольника относительно нейтральной оси
/>, откуда />; />
/>
/>Рисунок 2.
Задача 3
Построить эпюры Q и М для балки из стали при q2=5кН/м; P2=10кН; M2=35кНм (рис.3) и подобрать номер двутавра; />
Решение
Определяем опорныереакции. Так как приложенные нагрузки вертикальны, реакция ХА=0.
Для вычисления реакции RА составляем сумму моментов всех сил относительно точкиВ
/>
Решая это уравнениеотносительно RA и подставляя значения входящих внего величин, получим
/>
Отрицательный знакреакции RA показывает, что выбранноенаправление неверно и его следует изменить на противоположное.
Для вычисления реакции RB составляем сумму моментов всех силотносительно очки А
/>/>
Подставляя в этоуравнение исходные данные, и решая его относительно RB, получим
/>.
Для проверки правильностивычисления реакций составим сумму проекций всех сил на вертикальную ось Y:
/>
Таким образом, реакцииопределены правильно.
Для определенияпоперечных сил и изгибающих моментов выделяем четыре грузовых участка инумеруем их слева направо. Для составления уравнений Q и М необходимо в пределах каждого участка провестипроизвольное сечение и рассматривать часть балки по одну сторону от сечения.При этом для первого и второго участков проще рассматривать часть балки слеваот сечения, для третьего и четвертого – справа от сечения. В соответствии сэтим абсциссу для первого и второго участков будем отсчитывать от точки А, длятретьего и четвертого – от точки С.
/> /> /> /> /> /> /> />
-45
/>Рисунок 3.
Из рисунка 3 видно, что Мmax=45кНм.
Вычисляю моментсопротивления
/>