Омскийгосударственный технический университет
Кафедра “Авиа-и ракетостроение”
Специальность160801 — “Ракетостроение”
Курсоваяработа
по дисциплине
“Строительнаямеханика летательных аппаратов”
Основырасчёта оболочек
Омск 2005
Содержание
1. Расчетцилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами
2. Исследованиенапряжённо-деформированного состояния полусферической оболочки, заполненнойжидкостью
3. Исследованиенапряжённо-деформированного состояния сферической оболочки, заполненнойжидкостью
4. Расчётсферического топливного бака с опорой по экватору
5. Расчёт бака на прочность
Список литературы
1. РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ,ПОДКРЕПЛЕННОЙ ШПАНГОУТАМИ
Условие задачи. Рассмотрим цилиндрическую оболочкупостоянной толщины />, радиуса />, подкрепленнуюшпангоутами, равномерно расположенными по её длине. Сечение шпангоута: />. Оболочка нагруженаизбыточным давлением />/> (рис.1).
Цель расчета. Определить минимальное расстояниемежду шпангоутами />, котороепозволяет исключить взаимное влияние на оболочку двух соседних шпангоутов.
/>
Рис.1. Расчетная схема
Исходные данные
Погонная нагрузка /> МПа;
Радиус оболочки /> м;
Толщина оболочки /> м;
Ширина шпангоута />, м;
Толщина шпангоута />, м;
Материал оболочки:
марка ВТ6С (О);
коэффициент Пуассона />;
модуль Юнга />
Выполнение расчёта
Расчётная схема 1.Шпангоуты абсолютно жёсткие
Определим цилиндрическуюжёсткость оболочки /> по формуле:
/>;
/>
Вычислим коэффициентзатухания /> гармонической функции />по формуле:
/>;
/>
Определим силувзаимодействия /> междушпангоутами и оболочкой:
/>
/>
Определим перерезывающуюсилу /> на краю оболочки:
/>
/>
Определим погонныйизгибающий момент /> в местеустановки шпангоута:
/>
/>/>
Погонный изгибающиймомент /> по длине оболочки,затухающий по периодическому закону, вычислим по следующей формуле:
/>
/>
где /> — число расчётных точек навсей области существования функции />.
Принимаем />.
Так как областьсуществования гармонической функции /> определяетсяусловием />, то находим шаг вычислений/> момента /> из выражения:
/>;
/>
Результаты расчётазаносим в таблицу 1 и вычерчиваем график функции /> (рис.2,рис.3).
С использованием графика /> определяем координату /> второй точки пересеченияграфика функции /> с осью абсцисс инаходим минимальное расстояние между шпангоутами />:
/>
/>
/>
Расчётная схема 2.Расчёт подкреплённой оболочки с податливыми (упругими) шпангоутами
Найдём площадьпоперечного сечения шпангоута />:
/>
/>
Определим коэффициентподатливости шпангоута />:
/>
/>
Погонный изгибающиймомент по длине оболочки /> сучётом податливости шпангоута:
/>
Результаты вычисленийзаносим в таблицу 1 и строим график функции />,совмещённый с графиком /> (рис.2, рис.3).
/>
/>
Определим в процентахснижение величины изгибающего момента /> приучёте податливости шпангоута:
/>;
/>
Таблица 1
/>
2. ИССЛЕДОВАНИЕНАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛУСФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙЖИДКОСТЬЮ
Условие задачи: Тонкостенный сосуд (рис.1),выполненный в виде полусферы, частично заполнен жидкостью. Закрепление оболочкипо диаметру окружности – свободное.
Цель расчета:
1. Построить эпюрыпогонных меридиональных /> икольцевых />усилий.
2. Определить толщинустенки оболочки, без учёта её собственного веса.
/>
Исходные данные:
Радиус сферы: /> м;
Угол зеркала жидкости: />;
Плотность жидкости(горючее):/>;
Коэффициент безопасности />;
Материал оболочки:
Марка ВТ6С (О);
предел прочности />.
Выполнение расчёта
1. Расчёт участкаоболочки над уровнем жидкости
Рассмотрим участокоболочки /> (рис. 1). На расстоянии /> от полюса /> отсекаем часть оболочки нормальнымконическим сечением с углом широты /> (рис.2).
1.1 Определяем границыучастка BC: />.
1.2 Составляем уравнениеравновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось дляотсечённой части оболочки:
/>,
где /> — вес жидкости, заполняющейполусферу; /> - координаты расчётногосечения; /> — меридиональная погоннаясила.
/>
1.3 Определяем высотустолба жидкости в полусферической оболочке:
/>
1.4 Находим объёмшарового сегмента, заполненного жидкостью:
/>
1.5 Вычисляем весжидкости по формуле:
/>
1.6 Определяем текущийрадиус кольцевого сечения оболочки:
/>
1.7 Находим погонноемеридиональное усилие /> из уравненияравновесия отсечённой части оболочки:
/>.
1.8 Определяем погонноекольцевое усилие /> для участка />, используя уравнениеЛапласа:
/>,
где />, /> – главные радиусы кривизнырасчётного сечения оболочки;
/> – интенсивность внешней нагрузки настенку в расчётном сечении оболочки.
Для сферы R1 = R2 и для участка /> /> />= -/>.
Результаты расчётазаносим в таблицу 1 при условии />.
Таблица 1№ точки
/>, град.
/>, Н/м
/>, Н/м 1 90 1035 -1035 2 87 1037 -1037 3 84 1046 -1046 4 81 1061 -1061 5 78 1081 -1081 6 75 1109 -1109 7 72 1144 -1144 8 69 1187 -1187 9 66 1240 -1240 10 63 1303 -1303 11 60 1380 -1380
2. Расчёт участкаоболочки под уровнем жидкости
Рассмотрим участокоболочки /> (рис.1). Построим нормальноеконическое сечение на расстоянии /> отполюса оболочки. Положение расчётного сечения определяется углом широты/>
/>
2.1 Определим границыучастка />: />.
2.2 Составляем уравнениеравновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось для отсечённойчасти оболочки:
/>,
где /> — вес жидкости, заключённойв шаровом сегменте высотой />; /> — давление жидкости в расчётномсечении; /> — площадь поперечногосечения оболочки на уровне />; /> — радиус поперечногосечения оболочки на уровне />.
2.3 Определяемсоставляющие уравнения равновесия:
Объём шарового сегмента:
/>,
где />.
Вес жидкости: />.
Давление жидкости науровне /> от зеркала жидкости:
/>.
Площадь поперечногосечения
/>,
где />.
Значения составляющихуравнения равновесия заносим в таблицу 2.
Таблица 2№ точки
/>, град.
Vшс, м3 G, Н q, Па
S, м2 r, м 1 60 0,932 7313 3,443 0,974 2 54 0,656 5145 775,06 3,217 0,910 3 48 0,436 3419 1493 2,955 0,836 4 42 0,270 2118 2147 2,661 0,753 5 36 0,153 1199 2728 2,337 0,661 6 30 0,077 601,96 3232 1,988 0,563 7 24 0,032 254,83 3651 1,617 0,458 8 18 0,011 82,72 3982 1,229 0,348 9 12 0,00212 16,64 4222 0,827 0,234 10 6 0,000134 1,05 4366 0,416 0,118 11 4415
2.4 Подставим найденныезначения/> в уравнение равновесияи определим меридиональное усилие
/>: />.
2.5 Получим выражение дляпогонного кольцевого усилия /> изуравнения Лапласа при
R1 = R2= R,
/>.
Результаты расчётазаносим в таблицу 3 при условии />.
Таблица 3№ точки φ, град.
/>, Н/м
/>, Н/м 1 60 1380 -1380 2 54 1548 -676,2 3 48 1716 -35,93 4 42 1877 538,4 5 36 2026 1,044 6 30 2158 1477 7 24 2272 1836 8 18 2363 2118 9 12 2429 2320 10 6 2470 2442 11 2483 2483
По данным таблиц строимэпюры погонных усилий. Схема эпюры приведена на рис. 4.
С помощью эпюрыопределяем наиболее напряжённое сечение оболочки и максимальные усилия
/>.
3. Определение толщины стенкиоболочки
3.1 Найдём допускаемоенапряжение материала оболочки:
/>
3.2 Определим толщинустенки:
/>,
/>
/>
3. ИССЛЕДОВАНИЕНАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ
Условие задачи: Построить эпюры безмоментныхнапряжений /> и /> для сферического сосуда(рис. 1), полностью заполненного жидкостью.
Исходные данные:
Радиус оболочки: /> м;
Плотность жидкости(окислитель):
/>;
Толщина стенки оболочки:
/>.
/>
Рис. 1. Схема оболочки
Выполнение расчёта
1. Выводы расчётныхзависимостей для верхней полусферы
В верхней полусфереотсечём часть оболочки нормальным коническим сечением с углом /> при вершине конуса исоставим уравнение равновесия отсеченной части оболочки (рис. 2):
/>,
где /> – равнодействующая силдавления жидкости /> на стенкуоболочки в проекции на
вертикальную ось.
Жидкость действует настенку оболочки переменным давлением. Равнодействующую сил давления жидкости навертикальную ось определим по формуле:
/>,
где />– объём цилиндра; />– объём шарового сегмента,рис. 2.
/>
/>,
где /> — высота столба жидкости врасчётном сечении.
/>
Рис. 2. Расчётная схема
Получаем:
/>.
Из уравнения равновесияпосле подстановки выражения для силы /> имеем:
/>.
Отсюда меридиональноенапряжение:
/>.
Определим кольцевоенапряжение />. Для этого обратимся куравнению Лапласа, учитывая, что для сферической оболочки R1=R2=R::
/>,
где /> - давление жидкости врассматриваемом сечении оболочки.
После подстановки вуравнение Лапласа /> получаем:
/>.
Принимая угол /> в диапазоне от 0˚ до90˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия, кольцевых имеридиональных напряжений с шагом угла />,равным 10˚, в таблицу 1.
Таблица 1
/>, град.
/>л, м3
/>, м3
/>, Н
/>, Па
/>, Па
/>, Па 10 0,002049 0,001027 11,445 191,409
2,442/>
7,350/> 20 0,032 0,016 174,869 759,818
9,616/>
2,925/> 30 0,15 0,077 818,854 1688
2,107/>
6,528/> 40 0,432 0,226 2314 2948
3,603/>
1,148/> 50 0,938 0,503 4870 4501
5,338/>
1,768/> 60 1,677 0,932 8349 6300
7,161/>
2,506/> 70 2,599 1,512 12170 8290
8,869/>
3,354/> 80 3,585 2,213 15360 10410
1,019/>
4,307/> 90 4,473 2,982 16700 12600
1,074/>
5,371/>
2. Выводы расчётныхзависимостей для нижней полусферы
/>
Рис. 3. Расчётная схема
Отсечём нормальнымконическим сечением часть сферы (рис. 3). Вес жидкости в объёме шаровогосегмента /> и равнодействующая отгидростатического давления жидкости />, находящейсявыше рассматриваемого сечения, уравновешиваются реакцией опоры N и результирующим меридиональнымусилием от погонных меридиональных сил, распределённых по круговому контурушарового сегмента в сечении />. Отсюдаполучим следующее уравнение равновесия:
/>,
где /> - реакция опоры, равнаявесу жидкости в объёме шара.
/>Н;
/> - гидростатическое давлениежидкости;
/> - площадь поперечного сечения;
/> - вес жидкости в объёме шарового сегмента.
После подстановкиполучим:
/>
Отсюда имеем:
/>.
Для нижней частиполусферы /> определяем из уравненияЛапласа:
/>, где />.
Отсюда:
/>.
Принимая угол /> в диапазоне от 90˚ до0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия, кольцевых имеридиональных напряжений с шагом угла />,равным 10˚, в таблицу 2.
Таблица 2
/>, град.
/>, Па
S, м2
/>, Н
/>, Па
/>, Па 90 12600 3,976 33410
1,074/>
5,371/> 80 14790 3,856 24790
9,958/>
6,568/> 70 16910 3,511 16940
6,922/>
7,957/> 60 18910 2,982 10440
-1,908/>
9,667/> 50 20700 2,333 5633
-1,411/>
1,2/> 40 22260 1,643 2529
-4,314/>
1,57/> 30 23520 0,994 859,303
-1,095/>
2,298/> 20 24450 0,465 178,593
-3,038/>
4,288/> 10 25020 0,12 11,508
-1,361/>
1,489/> 25210
-1,362/>
1,362/>
Выводы
В опорной точке сферыбезмоментные напряжения обращаются в бесконечность. Это является следствиемобращения в ноль площади сечения, по которой действуют напряжения />. В реальных условияхсосредоточенных в точке сил не существует, и поэтому эта особенность имеетместо лишь в расчётной схеме.
/>
Рис. 4. Эпюра напряжений /> и />
4. РАСЧЁТСФЕРИЧЕСКОГО ТОПЛИВНОГО БАКА С ОПОРОЙ ПО ЭКВАТОРУ
Условие задачи: Сферический топливный бак с опорой поэкватору, заполненный жидкостью, находится под давлением наддува (рис.1, рис.2).
Цель расчёта: Определить толщину стенки и массуконструкции бака при заданных размерах и нагрузке.
/>
Исходные данные:
Радиус оболочки: /> м;
Плотность жидкости(горючее): />;
Давление наддува: />;
Уровень жидкости: />;
Коэффициент осевойперегрузки: />;
Коэффициент безопасности:/>;
Материал оболочки:
марка ВТ6С (О);
предел прочности />;
плотность />.
Примечание: Для упрощения принимаем: />.
Выполнение расчёта
1. Расчёт оболочки надопорой
Формулы для расчётапогонных меридиональных /> икольцевых /> усилий над опорой /> от действия давленияжидкости и давления наддува имеют вид:
/>;
/>,
где /> – угол, отсчитываемый вплоскости меридиана от верхнего полюса;
/> – ускорение свободного падения.
Принимая угол /> в диапазоне от 0˚ до90˚, занесём значения кольцевых и меридиональных усилий с шагом угла />, равным 10˚, в таблицу1.
Таблица 1
/>, град
/>, Н/м
/>, Н/м 140600 140600 10 140800 141000 20 141100 142200 30 141800 144100 40 142600 146800 50 143500 150200 60 144500 154100 70 145400 158700 80 146100 163900 90 146400 169600
2. Расчёт оболочки подопорой
Выведем расчётные формулыдля погонных меридиональных и кольцевых усилий от действия давления жидкости идавления наддува под опорой топливного бака />.Составим уравнение равновесия внешних и внутренних сил для выделенного сеченияоболочки (рис. 2) в проекции на вертикальную ось />.Получим:
/>,
где /> – давление врассматриваемом сечении; S– площадь расчётного поперечного сечения;
/>– вес жидкости в шаровом сегменте,отсечённом нормальным коническим сечением с углом />;
/>– равнодействующая погонныхмеридиональных усилий /> в проекции наось />.
Давление /> в произвольном сеченииоболочки равно давлению наддува плюс давление столба жидкости надрассматриваемым сечением:
/>,
где h – высота столба жидкости от зеркалажидкости до расчётного сечения.
/>,
/>,
где /> - радиус рассматриваемогосечения.
Определим вес жидкости вшаровом сегменте: />,
где />– объём шарового сегмента,отсечённого нормальным коническим сечением с углом />.
/>.
Спроектируем погонныемеридиональные усилия /> в расчётномсечении на вертикальную ось />: />.
Величина равнодействующей/> от распределённых покольцу радиуса r меридиональныхсил /> определяется по формуле:
/>.
Окончательно получаем />.
Принимая угол /> в диапазоне от 90˚ до0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия с шагом угла />, равным 10˚, в таблицу2.
Таблица 2
/>, град
/>, МПа
S, м2
/>,/>
/>, Н 90 0,2809 3,976 2,982 81910 80 0,2863 3,856 2,213 60790 70 0,2915 3,511 1,512 41530 60 0,2964 2,982 0,932 25600 50 0,3008 2,333 0,503 13810 40 0,3046 1,643 0,226 6201 30 0,3077 0,994 0,077 2107 20 0,3099 0,465 0,016 437,881 10 0,3113 0,120 0,001027 28,215 0,3118
Подставляем полученныевыражения />, S, />,/> в уравнение равновесия ипреобразовываем.
Получаем формулу длявычисления погонных меридиональных усилий:
/>.
Подставляя полученноевыражение /> в уравнение Лапласа,определим погонные кольцевые усилия />.Уравнения Лапласа в усилиях имеет вид:
/>,
где />,/> – главные радиусы кривизныоболочки; />– давление врассматриваемом сечении.
Для сферического бака R1 = R2= R, поэтому уравнение Лапласа принимает вид:
/>.
Подставив выражение /> в уравнение Лапласа ипроведя преобразования, получим формулу для вычисления />:
/>.
Принимая угол /> в диапазоне от 90˚ до0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия с шагом угла />, равным 10˚, в таблицу3.
Таблица 3
/>, град
/>, Н/м
/>, Н/м 90 169600 146400 80 169900 152200 70 170600 157300 60 171500 161900 50 172500 165900 40 173400 169200 30 174300 171900 20 174900 173800 10 175300 175000 175400 175400
Погонные усилия всферическом баке принимают наибольшее значение в нижнем полюсе. Кроме того, внижнем полюсе /> = />. Сравнивая результатывычислений значений />, /> на экваторе для участковнад опорой и под опорой, делаем вывод: усилия />,/> терпят разрыв.
Определение толщины стенки бака
Расчёт на прочностьпроизводим по максимальным погонным усилиям.
Определяем напряжения внижнем полюсе бака: />,
где />– толщина стенки бака.
Подставив в эти формулывыражения для погонных меридиональных и кольцевых усилий, получим:
/>.
Минимальную толщинуоболочки можно получить по формуле:
/>,
где /> – допускаемые напряжения.
Определяем массу оболочкибака:
/>,
где /> – площадь поверхностиоболочки;
/>– плотность материала оболочки.
Построим эпюру погонныхусилий />,/> (рис. 3):
/>
Рис. 3. Эпюра погонныхусилий />,/>
5. РАСЧЁТБАКА НА ПРОЧНОСТЬ
Условие задачи: Цилиндрический бак с верхнимполуэллиптическим и нижним полусферическими днищами (рис.1) находится поддействием давления наддува /> и заполненжидкостью до уровня H.
Цель расчёта:
1. Определить величинубезмоментных напряжений />;
2. Определить толщинуобечайки и днищ бака.
Исходные данные:
Радиус бака: /> м;
Размеры эллиптическогоднища: />
/>
Высота столба жидкости: />;
Плотность жидкости(окислитель): />;
Давление наддува: />;
Коэффициент безопасности: />;
Материал оболочки:
марка ВТ6С(О);
предел прочности />;
/>.
Выполнение расчёта
Участок верхнегоэллиптического днища
/>
Рис. 2. Схемаэллиптического днища
В днище нормальнымконическим сечением I– I отсечёмверхнюю часть оболочки и составим для неё уравнение равновесия. Выбираем осикоординат так, как показано на рис. 2. Из уравнения равновесия и уравненияЛапласа получаем выражения для /> в расчётномсечении эллиптического днища в виде:
/> />,
где />, />– радиусы кривизнырассматриваемого сечения оболочки,
/>,
/>,
где x, y– координаты точки в рассматриваемом сечении оболочки.
Для построения эпюрзадаёмся значениями x. Координату y определяем из уравнения эллипса />. Отсюда получаем
/>.
Меньшую полуось b разбиваем на 5 равных частей, длякаждого сечения производим расчёты, результаты расчётов заносим в таблицу 1.
Таблица 1№ сечения
x, м
y, м
R1, м
R2, м
/>, МПа
/>, МПа 1 1,125 0,18 1,125
/>
/> 2 0,09 1,102 0,24 1,238
/>
/> 3 0,18 1,031 0,449 1,526
/>
/> 4 0,27 0,9 0,884 1,913
/>
/> 5 0,36 0,675 1,639 2,349
/>
/> 6 0,45 2,813 2,813
/>
/>
Участок цилиндра надзеркалом жидкости
/>
Рис. 3. Сечение II– II
Нормальным сечением к осибака II– II отсечём часть цилиндра, расположенную над зеркаломжидкости (рис. 3). Составим уравнение равновесия для верхней отсеченной частиоболочки в проекции на вертикальную ось:
/>.
Отсюда меридиональноенапряжение:
/> Па.
Для цилиндра />; />, поэтому из уравненияЛапласа получаем кольцевое напряжение:
/> Па.
Участок цилиндра подзеркалом жидкости
/>
Рис. 4. Сечение III– III
Для сечения III– III расчётная схема (рис. 4) будет отличаться отпоказанной на рис. 3 тем, что здесь необходимо дополнительно учесть давление настенку цилиндрической части бака со стороны жидкости.
Уравнение равновесия впроекции на вертикальную ось бака остаётся без изменений:
/>.
Поэтому меридиональноенапряжение не меняется:
/>Па.
Окружное напряжениеопределяем из уравнения Лапласа
/>,
где />Па.
Отсюда /> Па.
Участок нижнегополусферического днища
/>
Рис. 5. Сечение IV– IV
Для нижнего днищанормальным коническим сечением IV– IVс углом /> при вершине отсечём нижнюючасть сферической оболочки (рис. 5). Составим для неё уравнение равновесиявнешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось оболочки:
/>,
где r – радиус кольцевого сеченияоболочки, />;
S – площадь поперечного сечения, />;
/> - давление в расчётном сеченииоболочки, />;
G – вес жидкости в объёме шаровогосегмента, />;
Vc – объём шарового сегмента, />.
Подставляя значения r, S, />, G в уравнение равновесия определяем меридиональное напряжение />:
/>
Уравнение Лапласа длясферической оболочки имеет вид:
/>.
Подставляя в уравнениеЛапласа />, находим кольцевоенапряжение /> в сечении IV– IV:
/>.
Построим таблицу 2значений /> и />в зависимости от угла /> в диапазоне от 0˚ до90˚ с шагом в 15˚:
Таблица 2
/>, град
/>, МПа
/>, МПа
/>
/> 15
/>
/> 30
/>
/> 45
/>
/> 60
/>
/> 75
/>
/> 90
/>
/>
По полученным напряжениямв характерных сечениях бака строим эпюры напряжений /> и/> (рис. 6).
Определение толщиныстенок бака
Для определения толщиныднищ и обечайки бака используем следующее условие:
σmax ≤ [σ], где [σ] = />Па
Толщина стенки />.
Получаем: для верхнегоднища /> м;
для обечайки бака />м;
для нижнего днища />м.
Из расчётов видно, что δmax = δ2 = 0,518мм – окончательная толщина стенки бака. По расчётной толщине стенки подбираемтолщину листа согласно ГОСТ 22178 – 76:
/>.
/>
Рис.6. Эпюры безмоментныхнапряжений /> и />
Списоклитературы
1. Расчёт безмоментных оболочек:Методические указания по дисциплине “Основы расчёта оболочек” дляспециальностей: 130600-Ракетостроение, 130400-Ракетные двигатели/ Сост.Л.И. Гречух, И. Н. Гречух.- Омск: Изд-во ОмГТУ, 2002.- 32 с.