Организация и содержание элективного курса "Основы теории вероятностей и математической статистики" в классах оборонно-спортивного профиля

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательноеучреждение высшего профессионального образования
«Вятский государственный гуманитарныйуниверситет»
Физико-математический факультет
Кафедра дидактики физики и математики
Выпускная квалификационная работа
Организация и содержание элективногокурса «Основы теории вероятностей и математической статистики» в классах оборонно-спортивногопрофиля
Выполнил
студент V курса физико-математического факультета
(специальность 050201.65 Математика)
Селюнин Александр Геннадьевич
Научный руководитель:
канд. пед. наук, ст. преп. кафедры
дидактики физики и математики
Горев Павел Михайлович
Рецензент:
канд. пед. наук, доцент кафедры
дидактики физики и математики
Шилова Зоя Вениаминовна
Работа допущена к защите вгосударственной аттестационной комиссии
«___»__________2008 г. Зам. зав.кафедройМ.В. Крутихина
«___»__________2008 г. ДеканфакультетаЕ.В. Кантор
Киров, 2008

Содержание
 
Введение
Глава 1. Элективные курсы в профильной школе
1.1… Профильная школа в условияхмодернизации образования
1.2… Предпрофильная подготовкаучащихся средней школы
1.3… Элективныеи факультативные курсы
1.4… Особенностиэлективных курсов по математике
Глава 2. Методика изучения элективного курса «Основы теориивероятностей и математической статистики» в классах оборонно-спортивногопрофиля
2.1. Содержание элективного курса «Основы теории вероятностейи математической статистики»
2.2. Основные принципы построения методики изученияэлективного курса
2.3… Методика использования практико-ориентированныхзадач
2.4. Методика преподавания теории вероятностей иматематической статистики в средней школе
2.5. Содержание и анализ результатов опытной работы
Заключение
Библиографический список
Приложения

Введение
В настоящее времяневозможно представить спорт и физическую культуру без науки. Правильноорганизованное физическое воспитание школьника, способствующее укреплению егоздоровья, эффективная тренировка спортсмена, результатом которой является ростспортивных рекордов, строится на научных основах.
Наука – это точноезнание, собирающее факты, и во всех них присутствуют цифры. При оценкеуспеваемости учеников учителем, при подсчитывании результатов на соревнованияхи т.д. – при всем этом оперируют числами, и в этом уже есть зачатки науки. Еще болеенаучным является сбор материала для того, чтобы выявить некоторуюзакономерность, систему. Например, при систематизации спортивных рекордов вбеге, плавании, конькобежном спорте привело к установлению общегоматематического закона. Подсчет количества килограммов, поднимаемыхтяжелоатлетами на тренировках, и сопоставление его со спортивными достижениямипозволили определить тренировочную нагрузку, которая дает наилучший результат.При анализе индивидуальной тренировочной нагрузки элементами исследуемойсовокупности могут быть отдельные значения интенсивности или объема нагрузки,зарегистрированные у конкретного спортсмена в различные периоды времени. Каждыйэлемент совокупности может обладать рядом признаков, при этом одни признакимогут быть однородными, а другие могут изменяться. Например, элементамисовокупности могут быть спортсмены – представители одного вида спорта,одинаковой квалификации, одинакового возраста, но различными могут бытьпоказатели роста, веса, скорости движения и т.д.
Предметом изучения какраз и являются изменяющиеся признаки. Значение, принимаемое данной величиной, вкаждом случае зависит от ряда факторов, которые обычно заранее не известны.Закономерности присущие подобным величинам, получили название случайных,изучаются теорией вероятностей и математической статистикой [15].
Математическая статистикаустанавливает перспективность спортсменов, условия более благоприятные длятренировок и их эффективность. Также статистика помогает сделать объективные инаучно обоснованные выводы при анализе спортивной деятельности. Использованиеметодов математической статистики помогает сделать объективные, научнообоснованные выводы при анализе спортивной деятельности.
Все сказанное вышепозволяет сделать вывод об актуальности вероятностно-статистической линии длялиц, занимающихся спортом высоких достижений и необходимости включения впрограмму классов оборонно-спортивного профиля элективного курса «Основы теориивероятностей и математической статистики».
Цель данной работы – на основе анализа психолого-педагогической,математической и методической литературы определить содержание и разработатьметодику изучения основ теории вероятностей и математической статистики дляшкол и классов оборонно-спортивного профиля.
Для достиженияпоставленной цели нужно решить следующие задачи:
1) изучитьпсихолого-педагогическую и математико-методическую литературу  по темеисследования;
2) разработатьметодические рекомендации для преподавания элективного курса «Основы теориивероятностей и математической статистики» для классов оборонно-спортивногопрофиля;
3) разработать системузадач элективного курса «Основы теории вероятностей и математическойстатистики»  и адаптировать ее к условиям, близким к классамоборонно-спортивного профиля;
4) проверитьэффективность предлагаемой методики в опытном преподавании в условиях, близкихк классам оборонно-спортивного профиля.
Гипотеза исследования заключается в том, чтосистематическое и целенаправленное изучение теории вероятностей иматематической статистики в классах оборонно-спортивного профиля способствуетосознанному умению применять полученные знания на практике, повышает уровеньэффективности обучения, способствует развитию и поддержанию интереса кматематике, а так же развитию различных форм мыслительной деятельностишкольников.
Объект исследования – процесс обучения математике вклассах оборонно-спортивного профиля в средней школе. Предмет исследования –изучение вероятностно-статистической линии в профильных классах.
Для реализациипоставленной цели и доказательства сформулированной гипотезы при осуществленииисследования применялись следующие методы исследования:
· изучение учебныхпособий и методических материалов по теме исследования;
· анализпсихологической, педагогической и математико-методической литературы порассматриваемой проблеме исследования;
· наблюдение задеятельностью учащихся;
· опытноепреподавание.
Работа состоит извведения, двух глав, заключения, библиографического списка (27 источников) иприложений.

/>/>/>/>/>/>Глава 1. Элективные курсы в профильной школе/>/>/>/> 1.1. Профильная школа в условиях модернизации образования
В последние годы резкоповысилась роль образования в жизни каждого человека. Учение на протяжении всейжизни как единственно возможный в современных условиях способ жизнедеятельностичеловека – необходимая предпосылка и условие для эффективной деятельности вовсех сферах общественного и личного бытия, а также поступательного развитиячеловеческого общества. Для выполнения данных задач требуется образование иногокачества, чем раньше [13].
В условиях постоянноговозрастания объема информации человеку нужно уметь ориентироваться в ней, уметьставить перед собой цель, достигать ее, уметь адекватно оценивать себя ипрогнозировать развитие дальнейших событий. Но в массовой школе преобладаеттрадиционная модель обучения, ориентированная на усвоение знаний, умений инавыков в каждой области знаний. В результате этого в образовании появляютсяразличные противоречия. Также у многих учащихся школ не сформированапотребность в своём дальнейшем саморазвитии и получении образования послеокончания школы, нет также устойчивой мотивации на приложение усилий дляполучения качественного профессионального образования, слишком рано, уже вшкольный период, наступает замедление процессов развития учащихся как личности.Это и есть неудовлетворительные результаты, которые должна устранить профильнаяшкола.
В наше время активномодернизируется вся система образования. Данная модернизация направлена назначительное обновление содержания и процесса обучения, а именно:
·  введение системно-деятельностного иличностно-ориентированного подходов к обучению и воспитанию;
·  формирование самостоятельнойучебно-познавательной активности учащихся.
Таким образом, послемодернизации школа должна будет предоставить учащимся возможность самообучения,саморазвития и самосовершенствования в различных направлениях.
Одним из направлений длямодернизации является переход к профильной школе. Профильное обучениепредоставляет новые возможности в организации учебно-воспитательного процесса вшколе. Профильная школа может способствовать осознанному профессиональномусамоопределению и необходимой социальной зрелости ученика.
Согласно реформеобразования в двух последних классах каждому гражданину России должна бытьпредоставлена возможность выбора одной из 5-6 программ: гуманитарной,естественнонаучной, математики и информатики, экономики и права, технической,эколого-аграрной. Каждый школьник должен иметь возможность получить профильноеобразование за счет государства. Профильная школа позволит преодолеть не толькоформальный универсализм старшей школы, но и объективный разрыв между требованиямивуза и возможностями системы общего образования. Такую школу предполагалосьсделать к 2004-2005 годам. На данный момент во многих школах сделаны профильныеклассы, однако вопросы перехода к профильному образованию не достаточнопроработаны.
Исследования показали,что в школах по-разному понимают особенности профильного обучения, как правило,затруднения связаны с преодолением его содержания, комплектования методическогосопровождения. Также, согласно исследованиям, профильное обучение даетположительные результаты [13].
В соответствии содобренной Минобразованием России «Концепцией профильного обучения на старшейступени общего образования» дифференциация содержания обучения в старшихклассах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трех типов:базовых, профильных, элективных. Каждый из курсов этих трех типов вносит свойвклад в решение задач профильного обучения. Однако можно выделить круг задач,приоритетных для курсов каждого типа [9].
Базовыеобщеобразовательные курсы отражают обязательную для всех школьников инвариативнуючасть образования и направлены на завершение общеобразовательной подготовкиобучающихся.
Профильные курсыобеспечивают углубленное изучение отдельных предметов и ориентированы, в первуюочередь, на подготовку выпускников школы к последующему профессиональномуобразованию.
Элективные же курсысвязаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательныхинтересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Именно они по существуи являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательныхпрограмм, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьникомсодержания образования в зависимости от его интересов, способностей,последующих жизненных планов. Элективные курсы как бы «компенсируют» во многомдостаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов вудовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников.
Ранее было сказано, чтопрофильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированногоучебного процесса, таким образом, переход к профильному обучению преследуетследующие цели:
·  обеспечить углублённое изучениеотдельных дисциплин программы полного общего образования;
·  создать условия для значительнойдифференциации содержания обучения старшеклассников, с широкими и гибкимивозможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;
·  способствовать установлению равногодоступа к полноценному образованию разным категориям учащихся в соответствии сих индивидуальными склонностями и потребностями;
·  расширить возможности социализацииучащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональнымобразованием, в том числе более эффективно подготовить выпускников школы косвоению программ высшего профессионального образования.1.2. Предпрофильная подготовка учащихся средней школы
Как уже было сказано, встаршей школе каждый учащийся может выбрать один из 5-6 профилей: гуманитарный,естественнонаучный, математики и информатики, экономики и права, технический,эколого-аграрный. У многих школьников выбор является случайным, не вполнесоотносится с реальными способностями и возможностями. Недостаточны знаниявыпускников о рынке труда и востребованных профессиях, о тех способах образования,которыми их можно получить. Школьники не владеют знаниями, необходимыми длявыстраивания реалистичных жизненных планов [22].
Именно на решения таких проблеми направлена предпрофильная подготовка. Для начала выясним, что понимается подэтими словами.
Под предпрофильнойподготовкой понимается система педагогической, психолого-педагогической,информационной и организационной деятельности, способствующей самоопределениюучащихся относительно профилей дальнейшего обучения и сферы профессиональногоразвития.
В связи с этим можновыделить задачи предпрофильной подготовки:
· подготовитьученика к осознанному выбору профиля;
· организоватьпробы выбора;
· познакомитьучащихся с различными профессиями.
В предпрофильнойподготовке большое значение имеют курсы по выбору, среди них выделяют предметные,межпредметные и ориентировочные.
 Содержание предметныхкурсов основывается на определенной предметной области и своей целью имеетуглубление или расширение программного материала или его существенноедополнение, цель таких курсов – подготовить к поступлению в профильные классы исовершить осознанный выбор.
В межпредметных курсахсодержание интегрирует различные предметные области: русский язык и литературу;историю и литературу; математику и физику. Целью этих курсов являетсярасширение познавательного интереса учащегося, развитие интереса к предмету,создание условий для осознанного выбора профиля в 10-11 классах.
Последний вид курсов повыбору – это ориентировочные курсы содержание таких курсов ориентировано насоздание условий для ознакомления с какой-либо областью будущей профильнойподготовки или погружение в специфическую профессиональную область. Цель – помочьопределиться с выбором профиля обучения в 10-11 классах или с выбором будущейпрофессии.
Курсы по выбору могутреализовываться в различных формах: урок, практикум, погружение и так далее. Ихпродолжительность может быть различной (от 7 до 28 учебных часов), но онидолжны укладываться в рамки одной четверти, с тем, чтобы после проведенияпромежуточной аттестации учащийся мог выбрать другие курсы.
Учащемуся старшей школыне может быть отказано в выборе того или иного курса, предлагаемого даннымобразовательным учреждением. Учитывая разный уровень качества образовательныхуслуг в силу ресурсов, которыми располагает та или иная школа, а также другихпричин, можно предположить, что, в первую очередь в городах зачисление всехжелающих учащихся в том или ином учебном году в конкретное образовательноеучреждение может оказаться невозможным.
Для того чтобы сделатьпроцедуру приема в конкретное образовательное учреждение для обучения настаршей ступени при наличии конкурса прозрачной и объективной, необходимадополнительная форма итоговой аттестации учащихся по окончанию основной школы.Поскольку данные этой аттестации могут потребоваться лишь в отдельных случаях,она должна быть минимально ресурсозатратна для учащегося и образовательногоучреждения. Предлагается комплексная «внутришкольная» и «внешняя» аттестации. К«внутришкольной» относятся: итоговые оценки, портфолио, портфели личныхдостижений. К «внешней» аттестации относится ЕГЭ.
Таким образом, осваиваяпробные курсы, учащиеся приспосабливаются к выбираемому профилю обучения.Очевидно, что присутствие курсов по выбору повышает вероятность того, чтоучащийся сделает осознанный выбор будущего профиля обучения в старшей школе. 1.3. Элективные и факультативные курсы
Перспективы введенияпрофильного обучения в старшей школе вызвали интерес к такой формеобразовательной деятельности как элективные курсы. Это достаточно новый виддополнительных занятий в школе, поэтому выясним, чем они отличаются отфакультативных курсов.
Выясним что такоефакультативный курс. Это курс, в котором представляется материал, выходящий зарамки программ основных курсов, или углубляющий требования программ основныхкурсов. Также перед факультативным курсом обычно ставились задачи обученияучащихся решению определённого типа задач, на овладение которым не остаётсявремени в основные часы [2]. В последние годы, в ситуации сокращения часов насистематические курсы по многим предметам, факультативные курсы использовалисьуже для освоения основного учебного материала. Если говорить о месте факультативовв сетке расписания, то следует отметить, что факультативные курсы проводилисьза счёт регионального и школьного компонента. Посещение факультативных курсовучащимися строилось на их свободном выборе.
Определим, что такоеэлективные курсы.
Согласно проектустандарта общего образования, элективные курсы должны обеспечить как подготовкук выбору профиля в основной школе, так и сам процесс профильного обучения встаршей школе.
У них, действительно,есть общие черты с факультативами. По своему содержанию, они такжеориентированы на углубление или дополнение материала систематических курсов, тоесть на реализацию принципа дополнительности материала. По месту в сетке часов,они также схожи. Но ориентация элективных курсов во многом иная. Элективныекурсы в основной школе должны помочь учащимся сформировать культуру выбораобразовательного профиля. Этому должны служить курсы, с которыми знакомятсяучащиеся в 8, 9 классах основной школы. На эту же цель, в конечном счёте,должны быть сориентированы и элективные курсы пропедевтического характера,реализуемые в 6, 7 классах. В старших классах элективные курсы, с однойстороны, должны выполнять функцию углубления знаний (в этом они схожи сфакультативными курсами). С другой стороны, элективные курсы продолжают игратьроль своеобразного компаса в выборе образовательно-профессиональной траектории.
Формирование культурывыбора у человека ещё на школьной скамье – это серьёзная проблема сегодняшнегообщества. Например, наиболее типичные факторы выбора. Этот выбор определяетсячасто семьей, родителями. Симптоматичны и факторы выбора самих родителей. Частоони не помогают ребёнку самоопределиться в этой ситуации, а решают за негоисходя из собственных представлений о будущем ребёнка. Часто учащийся вситуации выбора действует по принципу подражания: «Мой друг пошёл в гуманитарныйкласс – и я с ним», «Сосед по площадке идёт в физико-математический класс – ачем я хуже?». Типичной так же является ситуация, когда дети связывают выборобразовательного профиля не с содержанием профиля образования, и не со своимисобственными способностями и ценностными ориентирами, а с личностью учителя,ведущего тот или иной предмет. Любовь к учителю, восхищение им, обожание его – являютсяпорой решающими факторами выбора для учащегося. Это особый вариант личностногоподражания. Таким образом, ведущими факторами выбора образовательного профиляучащегося являются внешние, по отношению к личностному «я» школьника, факторы [19].
Элективные курсы призваныпомочь развить навыки выбора образовательного профиля у учащихся.Предусмотренные небольшие объёмы элективных курсов (от 8 до 36 часов) позволяютучащемуся в течение года познакомиться с несколькими элективными курсами. Этофактор вариативности информации. Завершение обучения по элективным курсам предусматриваетотчётность по результатам обучения, но в разнообразных и безотметочных формах. Однойиз главных отличительных черт элективных курсов является то, что они обязательныпо выбору.
Главная педагогическаязадача учителя состоит в том, чтобы у учащегося на смену ценностямзаимствованным – от родителей, взрослых, друзей, – появлялись свои собственныеориентиры. И это уже – реализация аксиологического подхода в образовании.1.4. Особенности элективных курсов по математике
Как правило, элективныйкурс представляет собой глубоко рассмотренную отдельно взятую тему, котораярассматривается в течение одной четверти. Примером тем элективных курсов могутслужить: «Системы счисления», «Задачи с параметрами», «Элементы комбинаторики итеории вероятностей» и т.д.
Элективный курс можетуглублять знания учащихся в темах общего курса, но также содержание курса можетне иметь общих тем с основным курсом. Любой элективный курс нельзя представитьбез системы задач, соответствующих данному курсу. Задачи используются, какочень эффективное средство усвоения учащимися понятий, методов, теории, уменийи навыков в практическом применении. Для успешного создания системы задач влитературе выделяют следующие принципы ее построения.
1. Принциппреемственности. Спомощью задач устанавливаются взаимосвязи между различными понятиями,суждениями, между различными темами и различными предметами. Решение задач помогаетучащимся лучше понять и легче усвоить изучаемый материал. Все это говорит, отом, что задачи играют важную роль в изучении математики.
2. Принцип связитеории с практикой.Задачи должны предшествовать и сопутствовать изучению теорем и понятий, то естьдолжны выступать в качестве средства усвоения знаний.
3. Принципполноты. Стремитьсяполно, отражать в системе задач математические идеи, а также устанавливатьмежпредметные связи.
4. Принципконтрастности. Он ориентированна то, что при подборе заданий надо не допускать повторяемости одних и тех жевидов, при этом задания должны быть как с положительными и отрицательными ответами.Данный принцип предполагает уже на начальном этапе решать нестандартныеупражнения. Количество нестандартных заданий должно быть не меньше трети отобщего количества задач.
5. Принципобучения эвристическим приемам. В процессе решения задач происходит овладение методаминаучного познания. Среди эвристических приемов часто встречаются следующие:аналогия, индукция, прием элементарных задач, прием моделирования, введениевспомогательного элемента, нового неизвестного, обобщения, подстановки, и такдалее. При этом одни приемы являются способом решения задачи, а другиепоказывают решения отдельных фрагментов задачи.
6. Принципформирования исследовательских умений. Под учебными исследованиями будем понимать видпознавательной деятельности, который связан с выполнением учебных заданий,предполагающих самостоятельный поиск учащимися новых для них знаний. Учебныеисследования состоят из следующих этапов: постановка проблемы, выдвижениегипотез, доказательство или опровержение гипотез. Как правило, проблема формулируетсясамим учителем, доказательство или опровержение сводиться к доказательствуматематического факта. Основная задача ученика это выдвижение гипотез. Даннаязадача в учебных исследованиях основывается на основных эвристических приемах(аналогия, сравнение, анализ и так далее). Задания исследовательского характераобладают большой развивающей ценностью и имеют большую методическую значимость.Они помогают ученику глубже освоить материал, также дают толчок ксамостоятельному изучению материала необходимого для данного исследования [12].
По завершению всегоматериала необходимо провести контроль усвоения изученного материала. Он можетбыть осуществлен выполнением учениками проекта по изученной теме, выполнениемконтрольной работы.
Создание элективных курсов– важнейшая часть обеспечения введения профильного обучения.

Глава 2. Методика изучения элективного курса «Основы теориивероятностей и математической статистики» в классах оборонно-спортивногопрофиля2.1. Содержание элективного курса «Основы теории вероятностейи математической статистики»
Как уже ранее говорилось,в научно методической литературе выделяют три типа элективных курсов:предметные, межпредметные и не входящие в базисный учебный план.
Наша задача составитьсодержание элективного курса, не входящего в базисный учебный план. Для того,чтобы определить содержание элективного курса по теме«Вероятностно-статистические методы в спорте», необходимо выяснить, как и гдетеория вероятностей и статистика применятся в спорте.
1) Графическое представлениерезультатов измерений. Применяется для повышения наглядности эмпирическихраспределений.
2) Расчет основныхстатистических характеристик. Графическое представление результатов дает тольконаглядное представление о том, как варьирует признак в выборочной совокупности.Числовые характеристики дают количественное представление об эмпирическихданных и позволяют сравнивать их между собой.
3) Проверкастатистических гипотез. Применяется для проверки каких-либо теоретическихпредположений, связанные с эффективностью мероприятий, направленных насовершение какого-либо процесса. Исследователь выдвигает предположение исходяиз анализа конкретного явления, затем справедливость предположений проверяетсяна основании данных соответствующего эксперимента, условии которогоконтролируются.
4) Корреляционный ирегрессионный анализ. Применяется с целью установления наличия и степени связи,например, между спортивным результатом и определенным показателемтренированности, между силой мышц и скоростью их сокращения, между спортивнымдостижением в одном и другом виде спорта и так далее.
Теперь можно составитьсодержание элективного курса «Основы теории вероятностей и математическойстатистики» для классов оборонно-спортивного профиля.
1. Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики: оперемножении шансов, о выборе с учетом порядка, перестановки с повторениями,размещения с повторениями, выбор без учета порядка. Правило суммы, правило произведения.
2. Вероятность. Основные понятия теории вероятностей. Операции над событиями.Классический, статистический подход к определению вероятности. Основные правилавычисления вероятностей. Формулы полной вероятности, Бейеса.
3. Случайныевеличины.Понятиедискретной и непрерывной случайной величины. Закон распределения вероятностейдискретной случайной величины. Вычисление математического ожидания и дисперсии.
4. Математическаястатистика.Общиесведения. Вариационные ряды и их графические представления. Дискретные инепрерывные ряды. Проверка статистических гипотез. Основы корреляционно-регрессионногоанализа.
В результате изученияданного элективного курса учащиеся должны овладеть следующими умениями:
· рациональнорешать комбинаторные задачи, применяя формулы;
· рациональнорешать задачи, применяя формулы комбинаторики и основные правила вычислениявероятностей;
· вычислятьматематическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины;
· изображатьвариационные ряды;
· находитьэмпирические линии регрессии и уравнение линии регрессии. Также применять на практикеполученные знания и умения.2.2. Основные принципы построения методики изученияэлективного курса
Так как изучение теориивероятностей и статистики в школьный курс было введено недавно, то в настоящеевремя существуют проблемы с реализацией этого материала в школьных учебниках. Также,в связи со специфичностью элективного курса, количество методической литературытоже невелико.
Практически во всейлитературе считается, что главным при изучении данной темы должен статьпрактический опыт учащихся, поэтому обучение желательно начинать с вопросов, вкоторых требуется найти решение поставленной проблемы на фоне реальной ситуации.В процессе обучения не следует доказывать все теоремы, так как на это тратитьсябольшое количество времени, кроме того, наша задача сформировать профессиональнозначимы навыки, а умение доказывать теоремы к таким навыкам не относится.
Изучение должноначинаться с изучения основ комбинаторики, причем параллельно должна изучатьсятеория вероятностей, так как комбинаторика используется при подсчете вероятностей.Начинать обучения комбинаторике целесообразно с решения простых комбинаторныхзадач методом перебора. Операция перебора раскрывает идею комбинирования,служит основой для формирования комбинаторных понятий. Основными комбинаторнымипонятиями являются: сочетания, перестановки, размещения. На первом этапе самитермины можно не вводить, главное чтобы учащийся осознавал наборы какого типанужно составить в данной задаче.
После того как учащиесянаучаться составлять наборы из элементов заданного множества по заданномусвойству, появляется следующая задача – подсчет количества возможных наборов.Такие задачи решаются с помощью применения принципа умножения. Хорошейнаглядной иллюстрацией правила умножения является дерево возможных вариантов.Данная тема хорошо изложена в учебниках [4] и [27].
Далее предлагаетсяперейти к теории вероятностей. Одной из главных задач является формированиепонятия случайного события. Сформировать данное понятие удобно на различныхпримерах из жизни. Также необходимо сформировать у учащихся представления обосновных понятиях теории вероятностей, а именно: достоверные события, невозможные,равновероятные. Все эти понятия нужно вводить, опираясь на понятные примеры изжизни.
Необходимо развить уучащихся понимание степени случайности различных явлений и событий. Для этогоможно использовать эмпирические методы, для того чтобы извлечь очевидныезакономерности. Следующим шагом в продолжение вероятностной линии идет введениеклассического и статистического определения вероятности. Необходимо чтобыучащиеся понимали разницу между этими двумя подходами. Чтобы осознавали, чтоодно это определение вероятности, а другое – способ вычисления вероятности.Таким образом, можно сделать вывод, что определение классической вероятности нетребует, чтобы испытания производились в действительности, определение жестатистической вероятности предполагает, что испытания были произведены.
После введенияклассического определения вероятности в учебниках обычно вводитьсягеометрическая вероятность, но в нашем случае ее можно не рассматривать, таккак она не используется для решения задач в области спорта.
На следующем этапеизучаем формулу полной вероятности и формулу Бейеса. Важно рассмотретьприменения данных формул на различных примерах, для того чтобы сформировать уучащихся умения применять данные формулы к решению задач.
Также изучается понятиедискретной случайной величины и непрерывной случайной величины. Правилавычисления основных характеристик этих величин. Важно показать практическийсмысл этих характеристик. Так как вычисления математического ожидания идисперсии не вызывает никакой сложности, то затрачивать большое количествовремени на эту тему не стоит.
На последнем этапепереходим к изучению статистики, используя ранее полученные знания. На этомэтапе появляется много новых терминов, здесь учителю можно посоветоватьследующее: попросить учащихся завести словари, куда бы они заносили новыепонятия и по мере надобности могли бы туда заглядывать, также можно предложитьсделать таблицу, аналогичную таблице приведенной в учебнике [17].
Статистическиеисследования являются завершающим этапом изучения элективного курса. Здесьрассматриваются примеры статистических исследований в области спорта,полученные ранее. Изучаются основные методы оценки статистических гипотез,регрессионный анализ. Также учащимся может быть предложено самостоятельнопровести несложное статистическое исследование.2.3. Методика использования практико-ориентированных задач
Для успешного освоенияучащимися материала необходимо показать, что получаемые на занятиях поматематике знания и умения, им понадобятся в их практической деятельности.
Было установлено, чтонегативное отношение студентов к математике во многом объясняется тем, что онине видят практического применения математических знаний умений [11].
Легче всего показатьзначимость изучения теории вероятности и статистики на сюжетных задачах,сформулированных в виде профессиональных проблемных ситуаций. Для спортсменовэто могут быть различные ситуации в разных видах спорта. Задачи должныподбираться таким образом, чтобы для их решения требовались определенныематематические умения. Кроме того, математические задачи являются одним изсредств формирования профессионально значимых умений. Такие задачи можно найтив учебниках [10], [15]. Так как данные в этих учебниках сильно устарели,учителю можно использовать различные данные из области спорта из [20], такжедостаточно новые данные можно найти в учебнике [24].
Например, одной изпроблемной задач может служить следующая.
Известно, что среди 40участников имеются 10 мастеров спорта. Среди всех участников случайным образомвыбрали первую пятерку, найдите вероятность, что в этой пятерке присутствуютровно 2 мастера спорта.
Для решения такой задачинеобходимы знания в области комбинаторики и теории вероятности.
При использовании такихзадач достигаются следующая цель: студентам наглядно демонстрируются проблемныеситуации, следовательно, у них появляется заинтересованность в изучении математики.
Целесообразноиспользовать задачи, в которых предлагается недостающие данные получитьсамостоятельно. Например, для спортсменов такими данными могут служитьрезультаты соревнований или тренировок. Таким образом, при решении задачподразумевающих самостоятельное получение данных, создается предпосылка дляразвития профессиональных умений проводить опросы, работать со справочнойлитературой и так далее. Кроме того, решая такие задачи, учащиеся реально видятсвязь изучаемого ими материала с практикой [11].
Среди способовсамостоятельного получения исходной информации выделяют следующие.
· Использованиеопубликованной информации (справочная литература, журналы, Интернет и т.д.).Решение таких задач развивает у учеников умение работать со специальнойлитературой. Также модно предлагать задачи связанные с динамическимпрогнозированием: студентам нужно взять опубликованные сведения о развитиинекоторого явления (спортивного результата, роста детей, количество детейзанимающихся в секциях), на их основе построить математическую модель развитияэтого явления во времени, спрогнозировать уровень развития на текущий период исравнить с реальным значением.
· Самостоятельноеполучение данных в результате эксперимента. Данный тип задач рекомендуется дляспортсменов, так как они часто сдают различные нормативы, поэтому им нетребуется проводить опыты специально.
Предлагаемые задачиподходят для аудиторной и для домашней работы, так как сбор данных не отнимаетмного времени и не отвлекает от решения задачи.
Так как нетспециализированной литературы, которая бы содержала задачи, удовлетворяющимвыше перечисленным требованиям, то учителю придется самостоятельно составлятьзадачи. Достаточно много интересных задач, которые после переработки можноиспользовать, находятся в следующих источниках: [18], [6], [16], [3], [23], [1].2.4. Методика преподавания теории вероятностей иматематической статистики в средней школе
Изучение понятия событиязачастую сопряжено у учащихся с трудностями психологического характера. Егообычно ученики воспринимают как единичное выполнение какого-либо действия.Поэтому формирование представления о данном понятии должно начинаться срассмотрения простейших вероятностных моделей.
Первые труды, связанные стеорией вероятности принадлежали Галилею [26]. В нашей жизни часто приходитсяиметь дело со случайными явлениями, то есть ситуациями, исход которых нельзяточно предвидеть. Например, мы не можем точно сказать при подбрасывании монетыупадет она вверх гербом или цифрой [8]. Аналогично не можем точно сказать,сколько очков выбьет стрелок на соревнованиях.
Тогда случайным событиембудет называться любое событие, связанное со случайным экспериментом.
Под испытанием в теориивероятностей принято принимать наблюдение какого-либо явления при соблюденииопределенного набора условий, который каждый раз должен выполняться приповторении данного испытания. Если то же самое испытание производиться придругом наборе условии, то считается, что это уже другое испытание.
Результаты испытанийможно охарактеризовать качественно и количественно.
Качественнаяхарактеристика заключается в регистрации какого-либо явления, которое можетнаблюдаться или нет при данном испытании. Любое из явлений называется событием.
Еще одним элементом,способствующим формированию представления о понятие «событие», является следующаяклассификация. Событие бывает:
· достоверным(всегда происходит в результате испытания);
· невозможным(никогда не происходит);
· случайным (можетпроизойти или не произойти в результате испытания).
После определения этихпонятий следует привести пример.
При подбрасываниикубика невозможное событие – кубик станет на ребро, случайное событие – выпадениекакой либо грани.
Количественнаяхарактеристика испытания выражает значения некоторых величин, которымиинтересуются при данном испытании (например, число подтягиваний, время набеговой дистанции). До испытания нельзя сказать чему будет равна даннаявеличина, поэтому она называется случайной.
Далее опираясь навведенные определения и на жизненный опыт учащихся необходимо рассмотретьзадачи на определение типа события.
Оцените, какие изперечисленных событий являются достоверными, невозможными и какие случайными.Объясните почему.
1. Насоревнованиях по прыжкам в длину с места легкоатлет прыгнул на расстояние 300 метров.
2. СборнаяРоссии по футболу едет на чемпионат Европы.
3. Прибросании игральных кубиков выпадет четное число очков.
Важно рассмотреть большоеколичество примеров событий и случайных экспериментов.
Кроме случайного события,с опытом связано еще одно важное понятия – понятие элементарного исхода. Когдамы говорим о соблюдении набора условий данного испытания, мы имеем в видупостоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но приэтом может быть большое количество неконтролируемых факторов (например, погода,ветер и т.д.), которые трудно или невозможно учесть. Следовательно, значениенеконтролируемых факторов могут быть различными при каждом повторениииспытания, поэтому результаты испытания оказываются случайными. Событие можетпроизойти или не произойти.
Теория вероятностейрассматривает именно такие события, при этом предполагается, что испытаниеможет быть повторено любое количество раз.
Например, выполнениештрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо – исход. Другойпример исхода – это выпадение определенного числа очков при бросании игральнойкости. В отличии от других событий исходы еще называют элементарными событиями,желая подчеркнуть, что эти события состоят только из одного исхода и не делимына более мелкие.
Далее следует сказать,что в теории вероятностей события обозначаются прописными (заглавными)латинскими буквами: A, B, C, D…
После введения трехважных понятий: случайный эксперимент, случайное событие, исход, моднопереходить к определению вероятности.
Первым должно бытьрассмотрено статистическое понятие вероятности.
Рассмотрим некотороеколичество испытаний, в результате которых появилось событие А. Пустьбыло произведено N испытаний, в результате которых событие Апоявилось ровно n раз. Тогда отношение /> называютотносительной частотой (частость).
При большом количествеповторений испытания частость событий мало изменяется и стабилизируется околоопределенного значения, а при небольшом количестве повторений она можетпринимать различные значения. Поэтому интуитивно ясно, что при большомколичестве повторений испытания частость события будет стремиться копределенному числовому значению. Такое значение принято называть вероятностьюсобытия А и обозначают Р(А).
Таким образом,вероятностью случайного события А называется число Р(А), ккоторому приближается относительная частота этого события при большомповторении числа экспериментов.
В математикенеограниченное число повторений принято записывать в виде предела при N стремящегосяк бесконечности: />.
Данное определениеназывают статистическим определением вероятности. Далее следует объяснить, чтонайти вероятность с помощью этого определения нельзя, так как нет гарантий, чтоотносительная частота будет к чему-то приближаться; также нельзя сказать,насколько много повторений эксперимента нужно сделать, чтобы полученная частотадостаточно хорошо приближала вероятность.
Исходя из этогоопределения, учащиеся могут установить, что вероятность заключена в интервале: />. Так как n всегдабольше либо равно N.
Следует предложитьзадания на проведение серии экспериментов с целью оценить вероятности возможныхисходов эксперимента. При этом можно использовать групповую форму работы и вконце объединить результаты всех групп для получения выводов об относительнойчастоте событий. Примером такого задания может служить подбрасывание монеты.Это является простым и наглядным испытанием. Практика человека говорит о том,что при большом числе бросаний примерно в 50% испытаний выпадет «орёл», а в 50%– «решка».
После этого следуетперейти к изучению классической вероятности. Введение другого определения можнообосновать тем, что не в каждом случае можно провести длинную сериюэкспериментов. В некоторых случаях вероятности событий могут быть легкоопределены исходя из условий испытаний. Здесь необходимо вспомнить понятияэлементарного исхода.
Пусть испытание имеет nвозможных исходов, то есть событий, которые могут появиться в результатеданного испытания. При каждом повторении возможно появление только одного изданных исходов (то есть все n исходов несовместны). Кроме того, поусловиям испытания нельзя сказать какие исходы появляются чаще других, то естьвсе исходы являются равновозможными. Допустим теперь что при nравновозможных исходах интерес представляет событие А, котороепоявляется только при m исходах и не появляется при остальных  исходах. Принятоговорить, что в данном испытании имеется n случаев, из которых mблагоприятствуют появлению события А.
В таком случаевероятность можно вычислить, как отношение числа случаев благоприятствующихпоявлению события А (то есть m), к общему числу всех исходов n:/>.
Данная формулапредставляет собой определение вероятности по Лапласу, которое пришло изобласти азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективывыигрыша.
После рассмотренияпростейших примеров вычисления вероятности учащимся может показаться, чтовычисление вероятностей любого события не вызывает особого труда, поэтомуучителю нужно предостеречь учащихся от ошибок. Для этого учащимся может бытьпредложен следующий алгоритм при решении задач на нахождение вероятности.
1. Перечислитьвозможные исходы опыта (полное или частичное).
2. Обосноватьравновозможность перечисленных исходов (можно опираться на прямые указания в текстезадачи: случайно, наугад и т.д.).
3. Вычислить общееколичество исходов (то есть число n).
4. Описатьблагоприятные исходы для данного события и вычислить их количество.
5. Вычислитьвероятность по формуле.
6. Оценитьполученный результат.
На первых этапах следуетпредлагать задачи, в которых число исходов опыта можно пересчитать вручную, безиспользования формул комбинаторики. После получения ответа необходимо обсудитьс учащимися его реальный смысл. Выяснить совпадает ли полученная величина синтуитивным представлением учеников о вероятности, удовлетворяет ли основнымсвойствам.
Для того чтобы определитьвероятность нужно знать количество исходов, а также количество благоприятныхисходов. Если количество испытаний мало, то можно вручную перебрать все исходыи выявить среди них благоприятные. Что делать в том случае, если количествоиспытаний велико?
В таком случае на помощьприходит комбинаторика.
Комбинаторика – разделматематики, который изучает различные комбинации и перестановки предметов [5].Начинать изучение комбинаторики следует с введения простейших формул. Перед темкак дать ученикам формулу следует поставить какую-либо проблемную задачу,например, перед тем как дать учащимся формулу перестановок можно дать решитьследующую задачу.
Сколько чисел можно составитьиз цифр 1, 2, 3?
Решая данную задачусистематическим перебором, мы найдем, что количество таких чисел будет равношести. Далее следует изменить условие задачи, увеличив количество цифр до 10. Исказать, что решать данную задачу перебором нерационально, так как на это уйдетслишком много времени. Для решения задач такого вида используется следующаятеорема.
Пусть имеется, k группэлементов, причем каждая группа элементов содержит определенное количествоэлементов, например, 1-ая содержит n1 элемент, 2-ая группа – n2элементов, тогда i-я группа содержит niэлементов. Тогда общее число Nспособов, которыми можно произвести такой выбор, равняется />.
Учитель должен обратитьвнимание учащихся на то, что правило умножения подсчитывает упорядоченныенаборы, то есть порядок в них важен.
Данную формулу можноприменить к решению следующей задачи.
Сколько существует пятизначныхнатуральных чисел.
Решение. Как известновсего 10 цифр. Представим пятизначное число, как, где вместо первой звездочкиможно подставить все цифры кроме 0, так как если подставим 0, то получимчетырехзначное число (нам надо пятизначное). Вместо второй звездочки можноподставить любую из 10 цифр, аналогично вместо оставшихся можно подставлятьлюбую из 10 цифр. Таким образом, у нас имеется 5 групп элементов, первая группасодержит 9 элементов, а оставшиеся 4 группы содержать по 10 элементов. Тогда,используя формулу, найдем количество пятизначных чисел: />.
Нужно дать несколькоупражнений на вычисление выражений с факториалами, чтобы учащиеся лучшеовладели навыками работы с ними.
Далее рассматривается теоремао выборе с учетом порядка.
Общее количество выбора kэлементов из n элементов с учетом порядка определяется формулой /> и называется числомразмещений из n элементов по k элементов.
Приведем пример.
В областныхсоревнованиях по футболу участвует 8 команд. Требуется определить сколькимиспособами можно составить группу их 4 команд.
Другими словами, намнужно выбрать 4 футбольных команды из 8 команд, то есть: />.
Далее рассматриваетсятеорема о выборе без учета порядка.
Общее количество выборокв схеме выбора k элементов из n без возвращения и без учетапорядка определяется формулой /> иназывается числом сочетаний из n элементов по k элементов.
Рассмотрим пример.
На занятии пофизкультуре присутствовало 20 человек. Учитель попросил двух человек принестииз раздевалки мячи. Сколькими способами можно выбрать учеников, для того чтобыони принесли мячи?
Решение. Порядок вкотором будут выбраны ученики не существенен, следовательно: /> способов.
После изучения основныхформул комбинаторики следует дать учащимся задачи на вычисление вероятности,для решения которых необходимо применять комбинаторные формулы.
Далее вводим основныеоперации над событиями. При введении не следует пользоваться кругами Эйлера,так как учащиеся мало знакомы с теорией множеств. После определения операцииможно привести пример описывающий данную операцию.
Событие Сназывается суммой А+В, которое представляет собой событие,состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В.
Бросается кубик. СобытиеА – выпадет число 2. Событие В – выпадет нечетное число. Тогда событие С=А+В.Будет состоять в выпадении двойки или нечетного числа.
Событие C называетсяпроизведением A и B, если оно состоит из всех событий,входящих и в A, и в B.
С=А∙В (А –выпадет 3, В – выпадет нечетное число). Тогда С состоит в выпадении толькочисла 3, так как 3 является нечетным числом.
Противоположным событию A, называетсясобытие, состоящее в непоявлении события А. Обозначается противоположноесобытие символом />.
Противоположнымисобытиями являются промах и попадание при выстреле, или выпадении герба илицифры при одном подбрасывании монеты.
Далее дадим определениясовместных, несовместных событий и зависимых, независимых событий.
СобытияA и B называются несовместными, если они не могутпроизойти в результате одного испытания. События А и В называютсясовместными, если они могут произойти в результате одного испытания.
Здесь также следуетрассмотреть примеры, для лучшего усвоения этих понятий.
Испытание – один разподбрасываем монету. События: А – выпадет орел; В – выпадет решка. События А иВ несовместны, так как при подбрасывании одной монеты одновременно не выпадеторел и решка.
Событие Аназывается независимым от события В, если вероятность появлениясобытия А не зависит от того, произошло событие В или нет.Событие А называется зависимым от события В, есливероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие Вили нет.
Уточним понятиенезависимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тотфакт, что первая монета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом,событие C – на одной (и только на одной) монете выпадет герб. Тогда события A,B, C попарно независимы, но два из них полностью определяют третье.Действительно, A и B независимы, так как результаты второго броска никак независят от первого броска, A и C (а также B и C) могут показаться зависимыми,но перебором вариантов можно получить, что />, значит, они поопределению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые двасобытия однозначно определяют третье.
На этом примере хорошовидно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.
Изучив основные операциинад событиями, можно перейти к вероятности. А именно привести основные правила,позволяющие определить вероятность появления сложного события, состоящего изболее простых событий, вероятность которых нам известна.
Вероятностьдостоверного событияравна единице: Р(E) = 1.
Вероятность суммынесовместных событийравна сумме их вероятностей: Р(А1+ А2+…+ Аn) = Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).
Эти два равенстваявляются аксиомами, то есть не требуют доказательства. На основе этих равенствстроится вся теория вероятностей. Приведенные ниже формулы можно вывести припомощи этих аксиом.
Вероятностьневозможного событияравна 0: Р(Ø) = 0.
Вероятностьпротивоположного события равна: Р(Ā) = 1 – Р(А).
Вероятность суммы произвольныхсобытий равна суммеих вероятностей без вероятности произведения событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ).
Теперь вспомнимопределения независимых событий.
Событие А и Вназываются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)Р(В).
На практике часто путаютнезависимые и несовместные события, это разные понятия. Другими словами можносказать, если события связаны независимыми экспериментами, то и сами событиябудут независимыми.
Показать применениеизученных правил можно при решении следующей задачи.
На соревнованиях пострельбе из лука три стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятностьпопадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, для другого – 0,7, длятретьего – 0,93. Найти вероятность того, что: а) хотя бы один из стрелковпопадет в мишень; б) только один из стрелков попадет в мишень; в) ни один изстрелков не попадет в мишень.
Решение. Пусть событие А– первый стрелок попал в мишень, тогда Р(A)=0,6; Событие В – второйстрелок попал в мишень, тогда Р(В)=0,7; Событие С – третийстрелок попал в мишень, тогда Р(С)=0,93.    
В данной задаче всесобытия являются независимыми, так как стреляют, независимо друг от друга.
а) Пусть событие S– хотя бы один из стрелков попадет в мишень. Вспомним определение суммысобытий: событие С называется суммой А+В, которое представляетсобой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В.Данное определение можно применить и к большему числу событий. Следовательнособытие S=А+В+С. То есть нам нужно найти Р(А+В+С). А таккак все события независимые то, применяя формулу суммы и произведениянезависимых событий, получаем:
Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС)=0,99.
б) Пусть событие S– только один из стрелков попадет в мишень. Данное событие можно представитькак сумму следующих событий: />.Рассмотрим подробно событие />, но дляначала вспомним определение произведения событий: событие C называетсяпроизведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих ив A, и в B. Итак, событие /> означает,что первый игрок попадет, а два других промажут, аналогично рассматриваются двадругих слагаемых. Данные слагаемые является несовместным, так как появление одногоиз них исключает появление двух других. Значит можно применить формулу суммынесовместных событий, а затем формулу произведения независимых событий:
Р(/>)=Р(/>)+Р(/>)+Р(/>)=
= Р(А)Р(/>)Р(/>)+Р(/>)Р(В)Р(/>)+Р(/>)Р(/>)Р(С)
Однако такую вероятностьможно вычислить легче. Вспомним, как вычисляется вероятность противоположногособытия: Р(Ā)=1–Р(А). Применив данную формулу, вычислимвероятность и в итоге получим, что
Р(/>)= 0,1438.
в) Составим отрицание к событию,рассматриваемому в пункте а). Если событие S – хотя бы один из стрелковпопадет в мишень, то тогда />– ни одиниз стрелков не попадет в мишень. Следовательно для решении данной задачитребуется найти Р(/>). Вычислимпри помощи формулы противоположного события: Р(/>)=1 – Р(/>)=1 – 0,99 = 0,01.
Возникает вопрос, каквычислять вероятность зависимого события. То есть вероятность события, приусловии, что другое событие уже произошло. Для этого ввели понятие условнойвероятности.
Условной вероятностью события А, при условии, чтоуже произошло событие В, называется отношение вероятностей P(АВ)к Р(А) и обозначается />: />.
Изэтой формулы можно вывести формулу вероятности произведения двух зависимыхсобытий: />.
Решим следующую задачу.
Бросается игральныйкубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событиеА), если известно, что выпала четная грань (событие В)?
Решение. Событию Всоответствует выпадение чисел 2, 4, 6. Событию А выпадение чисел 4, 5,6. Событию АВ – 4, 6. Поэтому, используя формулу условной вероятности,получим: />.
Пусть некоторое событие Аможет наступить при условии появлении одного из несовместных событий В1,В2, …, Вn.Причемизвестны вероятности этих событий и известны условные вероятности />, />, …, />. Как можно найтивероятность события А?
Ответ на этот вопрос даеттеорема:
Вероятность события А,которое может наступить лишь при условии появлении одного из несовместныхсобытий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу, равнасумме произведений вероятности каждого из этих событий на собственную условнуювероятность:/>.
Эту формулу такженазывают формулой полной вероятности.
Данную формулу можноприменить для решения следующей задачи.
Для контроля продукциилыжной фабрики из трех партий лыж взята на проверку одна деталь. Каковавероятность выявления бракованной продукции, если в одной партии 2/3 лыжбракованные, а в двух других все доброкачественные?
Решение. Пусть событие В– взятая деталь бракованная, Ак – деталь берется из к-ойпартии, тогда вероятность Р(Ак)=1/3, где к =1; 2;3.
Пусть в первой партиинаходятся бракованные лыжи, значит />, тогдав двух других партиях нет бракованных лыж, то есть: />.
Применяя формулу полнойвероятности получим:
/>.
Для введения формулыБейеса составим задачу.  Пусть дано событие А, оно может наступить припоявлении одного из несовместных Событий В1, В2, …, Вn, которые образуют полную группу. Так,как нам заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами.Допустим, что произведено испытание в результате, которого появилось событие А.Поставим своей задачей определить, как изменились вероятности гипотез, в связис тем, что событие А уже наступило. Другими словами определим следующиеусловные вероятности: />, />, …, />.
Определить данныевероятности можно при помощи формулы Бейеса:
/>.
Заменив />, получим: />.
Прибор состоит из двухузлов; работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. Надежность(вероятность безотказной работы) в течении времени t первого узла равна p1,второго р2. Прибор испытывался в течении времени t, в результатечего обнаружено, что он отказал. Найдите вероятность того, что отказал первыйузел, а второй исправен.
Решение. Пусть событие В– прибор отказал, событие А1 – оба узла исправны, А2 –первый узел отказал, а второй испарвен, А3 – первый узелисправен, а второй узел отказал, А4 – оба узла отказали. Этисобытия образуют полную группу событий. Найдем их вероятности: Р(А1)=р1р2; Р(А2)=(1-р1)р2; Р(А3)=р1(1-р2); Р(А4)=(1-р1)(1-р2).Так как наблюдалось событие В, то />,/>. Применяя формулу Бейесаполучим:
/>.
Изучение случайныхвеличин требует связи этих величин с определенными событиями, которыезаключаются в попадании случайной величины в некоторый интервал и для которыхопределены вероятности. Другими словами необходимо связать случайную величину сполем данного испытания.
Для лучшего понимания, учителюследует привести пример.
При бросании костимогли появиться цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед определить число выпавших очковневозможно, так как это зависит от многих случайных величин, которые полностьюне могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; ичисла 1, 2, 3, 4, 5, 6 – есть возможные значения этой величины.
Случайной называют величину, которая врезультате испытания примет одно и только одно возможное значение, напереднеизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут бытьучтены.
Будем обозначатьслучайные величины прописными (заглавными) буквами: X, Y, Z, а ихвозможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z. Есливеличина Х имеет три значения то они будут обозначены так: х1,х2, х3 .
Обычно рассматриваютсядва типа случайных величин: дискретные и непрерывные. Рассмотрим следующийпример.
 Число мальчиковпошедших в секцию бальных танцев среди 100 пришедших туда людей есть случайнаявеличина, которая может принимать следующие значения 0, 1, 2, …, 100. Этизначения отделены друг от друга промежутками, в которых нет возможных значенийХ.
Таким образом, в этомпримере случайная величина принимает отдельные изолированные значения. Приведемвторой пример.
Расстояние, которое пролетитдиск при метании, есть величина случайная. Действительно величина зависит отмногих факторов, например от ветра, температуры и других факторов, которые немогут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежатнекоторому промежутку (а; b).
В данном примереслучайная величина может принять любое из значений промежутка (а; b).Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, несодержащим возможных значений случайной величины.
Уже из сказанного можнозаключить о том, что целесообразно будет различать случайные величины,принимающие лишь отдельные изолированные значения, и случайные величины,возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток. Далее следуетдать четкое определение дискретной и непрерывной случайной величины.
Дискретной (прерывной) называют случайнуювеличину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения сопределенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайнойвеличины может быть конечным или бесконечным.
Непрерывной называют случайную величину, котораяможет принимать все значения из некоторого конечного или бесконечногопромежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величиныбесконечно.
Примерами непрерывныхслучайных величин могут быть спортивный результат в беге или прыжках, рост имасса тела человека, сила мышц и другие.
Для задания дискретнойслучайной величины не достаточно перечислить все возможные ее значения, нужноеще указать их вероятности.
Законом распределениядискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениямии их вероятностями; его можно задать таблично, в виде формулы и графически.
При табличном заданиипервая строка содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:
Х
х1
х2
…
хn
p
p1
p2
…
p2
Сумма вероятностей второйстроки таблицы равна единице: />.Еслимножество возможных значений Х бесконечно, то ряд /> сходится и его сумма равнаединице.
Для закрепления следуетрешить задачу.
В денежной лотереевыпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 р. и десять выигрышей по1 р. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможноговыигрыша для владельца лотерейного билета.
Решение. Напишемвозможные значения Х: х1=50; х2=1; х3=0.Вероятности этих возможных значений равны: р1=0,01; р2=0,1; р3=1-(0,01+0,1)=0,89.
Напишем исходный закон распределения:
Х 50 10
p 0,01 0,1 0,89
Контроль: 0,01+0,1+0,89=1
Для наглядности законраспределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, длячего в прямоугольной системе координат строят точки (хi; pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученнуюфигуру называют многоугольником распределения. Также следует привестипример построения такого многоугольника.
Как мы ранее сказали,закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако частозакон распределения неизвестен, и приходится ограничиваться меньшимисведениями. Также для решения многих задач не нужно знать распределенияслучайной величины, а достаточно знать лишь некоторые обобщающие числовые характеристикиэтого распределения.
Одной из таких характеристикявляется математическое ожидание. Для более наглядного определения рассмотримподход к этому понятию на конкретном примере.
Пусть имеется дискретнаяслучайная величина Х, которая может принимать значения x1, x2, …, xn. Вероятности которых соответственноравны р1, р2, …, рn. Тогда математическое ожидание М(Х)случайной величины Х определяется равенством: />.
После определенияматематического ожидания ученикам может быть непонятно, где оно можетпригодиться. На самом деле математическое ожидание приближенно равно (темточнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемыхзначений случайной величины.
Для введения дисперсииможно привести следующий пример. На практике часто требуется оценить рассеяниевозможных значений случайно величины вокруг ее среднего значения. Например, вартиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, котораядолжна быть поражена. Именно такие задачи решает дисперсия.
Дисперсией случайнойвеличины Х называется математическое ожидание квадрата отклоненийслучайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия обозначается, как D(x):D(Х)=M[X-М(Х)]2.
Для вычисления дисперсиичасто бывает удобно пользоваться следующей формулой: дисперсия равна разностимежду математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратомее математического ожидания
D(Х)=M(X)2-[М(Х)]2.
Для оценки рассеяниявсевозможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кромедисперсии служат и другие величины.
Средним квадратичнымотклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии />.
Найти дисперсиюслучайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:
Х 1 2 5
p 0,3 0,5 0,2
Решение. Найдемматематическое ожидание: />.
Найдем всевозможныезначения квадрата отклонения: />, />, />.
Напишем закон квадратаотклонения:
[Х-М(Х)]2 1,69 0,09 7,29
p 0,3 0,5 0,2
По определению />.
Используя формулу D(Х)=M(X)2-[М(Х)]2можно найти дисперсию гораздо быстрее: />.
Далее следует продолжитьизучать статистику. Математическая статистика – это раздел математики, вкотором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатовнаблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей[21]. Необходимо основательно остановиться на изучении статистическиххарактеристик и их практического применения. Рассмотреть понятия, составляющиесуть выборочного метода в статистике (выборка, варианта и пр.). Также следуетрассмотреть способы их графического представления.
В практике статистическихнаблюдений различают два вида наблюдений:
· сплошное(изучаются все объекты);
· выборочное (несплошное, когда изучается часть объектов).
Примером сплошногонаблюдения является перепись населения, охватывающее все население страны.Выборочными наблюдениями является, например, проводимые социологическиеисследования, охватывающие часть населения страны, области, района и т.д.
Вся подлежащая изучениюсовокупность объектов называется генеральной совокупностью. Частьобъектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральнойсовокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой.
Числа объектов вгенеральной или выборочной совокупности называют их объемами. Генеральнаясовокупность может иметь конечный и бесконечный объем.
Сущность выборочного методасостоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке)выносить суждение о ее свойствах в целом. Обычно ограничиваются 5-10% всейизучаемой совокупности.
Так как в дальнейшем мыбудем рассматривать выборочный метод, поэтому целесообразно выделить преимуществавыборочного метода:
· экономия затратыресурсов;
· единственновозможный в случае бесконечной генеральной совокупности или в случае, когдаисследовании связано с уничтожением наблюдаемых объектов (например,исследование долговечности электрических лампочек и т.д.);
· возможностьуглубленного исследования за счет расширения программы исследования при тех жезатратах;
· снижение ошибокрегистрации;
· неизбежные ошибки,возникающие в связи с изучением части объектов, могут быть заранее оценены ипосредством правильной организации выборки сведены к незначимым величинам.
Между тем, использованиесплошного наблюдения часто приводит к снижению точности наблюдения, а это у жевызывает неустранимые ошибки, и может привести к снижению точности сплошногонаблюдения по сравнению с выборочным. Чтобы по данным выборки иметь возможностьсудить о генеральной совокупности, она должна быть отобрана случайно. Напрактике отбор может выполняться с помощью жеребьевки (лотереи) или с помощьюслучайных чисел.
Основной недостатоквыборочного метода – ошибки исследования, называемые ошибкамирепрезентативности.
Выборка называется репрезентативной(представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит генеральнуюсовокупность. Виды выборок:
· случайная выборка(случайный выбор элементов без расчленения на части или группы);
· механическаявыборка (элементы отбираются через определенный интервал);
· типическаявыборка (выбор случайным образом элементов из типических групп, на которые понекоторому признаку разбивается генеральная совокупность);
· серийная выборка(случайным образом отбираются целые группы совокупности, а сами серииподвергаются сплошному наблюдению).
Способы образования выборки:
· повторный выбор –каждый элемент, случайно отобранный и обследованный, возвращается в общуюсовокупность и может быть повторно отобран.
· бесповторныйотбор – когда обратный элемент не возвращается в общую совокупность.
Затем учащимся можно датьтаблицу с основными характеристиками генеральной совокупности и выборки. Наименование характеристики Генеральная совокупность Выборка Математическое ожидание
/>
/> Дисперсия
/>
/> Доля
/>
/>
Здесь хi – значение признака; N и n– объемы генеральной и выборочной совокупностей; Ni и ni – число элементов генеральной ивыборочной совокупностей со значением признака хi; M и m – числоэлементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих данным признаком.
На несложном примерепокажем, как вычисляются введенные характеристики.
Генеральная совокупностьзадана таблицей распределения:
Xi 2 4 5 6
Ni 8 9 10 3
Найти дисперсию.
/>
/>
Важнейшей задачейвыборочного метода является оценка параметров генеральной совокупности поданным выборки.
Далее введем понятиевариационного ряда. Для начала рассмотрим пример.
Необходимо изучитьизменение результатов спортсменов, занимающихся легкой атлетикой, по сравнениюс предыдущим годом. Получены следующие данные результатов в процентах кпредыдущему году: 97,8; 97,10; 101,17;…;142,3;141,02.(всего 100 значений.).
Различные значенияпризнака (случайной величины Х) называется вариантами (обозначаем ихчерез х).
Первый шаг к осмыслению –упорядочивание. Расположение вариантов в порядке возрастания (убывания), т.е.ранжирование вариантов ряда.
Следующим шагомпроизведем группировку, то есть разобьем на отдельные интервалы. Числоинтервалов не следует брать большим. Числа показывающие, сколько развстречаются варианты из данного интервала, называются частотами (ni), а отношение их к общему числунаблюдений частостями />. Частоты ичастости называют весами.
Составим таблицу.Д
Результаты в процентах к предыдущему году х
Частота (количество спортсменов)ni
Частость (доля рабочих) />
Накопленная частота
niнак
Накопленная частость /> 1 94,0-100 3 0,03 3 0,03 2 100,0-106,0 7 0,07 10 0,10 3 106,0-112,0 11 0,11 21 0,21 … … … … … … 8 136,0-142,0 2 0,02 100 1,00 100 1,00
 
Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастанияили убывания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами иличастостями). Накопленная частота niнак показывает, сколько наблюдалосьвариантов со значениями признака меньших х. Накопленная частость –отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений: />.
Теперь полученныйвариационный ряд позволяет выявить закономерности.
Для задания вариационногоряда достаточно указать варианты и соответствующие им частоты или частости.
Аналогично с определениемдискретной и непрерывной случайной величины, мы даем определение дискретного инепрерывного вариационного ряда.
Вариационный рядназывается дискретным, если любые его варианты отличаются на постояннуювеличину. Вариационный ряд называется непрерывным, если варианты могутотличаться один от другого на сколь угодно малую величину.
В примере мы привелинепрерывный ряд.
Для графическогоизображения вариационного ряда используются:
· полигон – служит для изображения дискретноговариационного ряда и представляет собой ломаную, в которой концы отрезков имеют(хi, ni);
· гистограмма служит для изображения интервальныхвариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников соснованиями, равными интервалам значений признака к=х2-х1.И высоты равные частотам. Если соединить середины верхних основанийпрямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения;
· кумулятивная прямая (кумулята) – кривая накопленныхчастот. Для дискретных рядов кумулята представляет ломаную, соединяющую точки (хi, niнак) или (хi, wiнак). Для интервального вариационного ряда ломанаяначинается с точки, абсцисса, которой равна началу первого интервала, аордината – накопленной частоте, равной нулю. Другие точки соответствуют концаминтервалов.
Теперь переходим еще кодной важной теме – проверка статистических гипотез. Сформулируем принциппрактической уверенности. Если вероятность события А в данном испытанииочень мала, то при однократном выполнении испытания можно быть уверенным в том,что событие А не произойдет, и в практической деятельности вести себятак, как будто событие А вообще невозможно.
Отправляясь самолетомв другой город, мы не рассчитываем на возможность погибнуть в авиа катастрофе,хотя вероятность такого события имеется.
При многократномповторении испытаний мы не можем считать маловероятное событие Апрактически невозможным.
Статистическойгипотезой называетсялюбое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.
Проверяемую гипотезуобычно называют нулевой и обозначают Н0. Также рассматриваютальтернативную (конкурирующую гипотезу) Н1, являющуюся отрицанием Н0.
Суть проверкистатистической гипотезы состоит в вычислении статистики данной выборки. Затемпо выборочному распределению определятся критическое значение. Если статистикабольше критического значения, то событие можно считать практически невозможным.
Сравнение двухсовокупностей имеет важное практическое значение. На практике часто встречаетсяслучай, когда средний результат одной серии эксперимента отличается от среднегорезультата другой серии.
В промышленностиданная задача возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленныхна разных установках или при различных технологических режимах.
Рассмотрим, какпроверятся гипотеза.
Пусть имеются двесовокупности, характеризуемые генеральными средними х и у. Идисперсиями. Для которых найдены средние арифметические и выборочные дисперсии.Необходимо проверить гипотезу Н0о равенстве генеральных средних.Тогда статистика находится по следующей формуле:
/>
Если t>tкрто гипотеза Н0отвергается. Если нет, то делается вывод, что нулеваягипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.
Еще одной важной темойдля формирования профессионально значимых навыков у учащихся являетсякорреляционный анализ.
Корреляционнойзависимостью междудвумя переменными величинами называется функциональная зависимость междузначениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.
Корреляционнаязависимость может быть представлена в виде />.
Это уравнение называютуравнением регрессии, а их графики линиями регрессии. Для отыскания уравненийрегрессий необходимо знать закон распределения двумерной случайной величины.
Данные о статистическойзависимости удобно задавать в виде корреляционной таблицы.
Вес
(кг)
(Х)
Середины
интервалов Рост (см) (у) 155-160 160-165 165-170 170-175
Всего
(ni)
Групповая
Средняя />
Хi                    yj 157,5 162,5 167,5 172,5 40-45 42,5 2 1 7 10 168,5 45-50 47,5 3 6 4 6 19 165,9 50-55 52,5 3 11 1 15 166,8 60-65 62,5 2 1 2 5 162,5 70-75 72,5 1 1 172,5
Всего nj 7 11 17 15 50
Групповая средняя
/> 50,4 49,8 52,5 47,2
Вычисленные групповыесредние изобразим графически в виде ломанной, называемой эмпирической линиейрегрессии.
По виду ломанной можнопредположить наличие линейной функциональной зависимости между случайнымивеличинами Х и Y,то есть имеется функция y=kx+b, где />.
Здесь /> выборочная ковариация иравна />.
Вычислим для даннойтаблицы основные характеристики и найдем уравнение линии регрессии.
/>,
/>,
/>,
/>, k= – 46,09, b= 2471,02.
 
Тогда уравнение линиирегрессии запишется как: y = – 46,09 х + 2471,02.
Если построить линиюрегрессии можно будет спрогнозировать какие-либо результаты исследований, накакой-то период времени вперед. Другая важная область применения регрессионногоанализа в спортивных исследованиях также связана с прогнозированием. Оченьчасто предметом исследования является такой признак, который измеритьзатруднительно или невозможно, но в то же время известно, что изучаемый признаксвязан с другими признаками. Тогда пытаются подобрать модель предполагаемойзависимости по этой модели спрогнозировать значения неизмеряемого зависимогопризнака. Прогнозируемые таким образом значения называют предикторами. Спортивноепрогнозирование – одна из важных областей применения регрессионного анализа вспортивных исследованиях.
На закрепления изученнойтемы учащимся можно дать следующие задачи для решения.
В ходе исследованиярезультатов забега на 100 метров юношами одиннадцатых классов двух групп –экспериментальной и контрольной – были получены данные, представленные втаблице.
 Время (секунды) 12,3-13,9 13,9-15,5 15,5-17,1 17,1-17,7 Число юношей экспериментальной группы 3 20 20 2 Число юношей контрольной группы 1 8 18 3
 
1. Изобразитьданные графически, построив гистограммы для каждой группы.
2. Для каждойгруппы определить среднее значение, дисперсию, моду и медиану.
3. Проверитьгипотезу о равенстве средних двух групп учащихся, используя критерий Стьюдентаи полагая критическое значение статистики 1,67.2.5. Содержание и анализ результатов опытной работы
Опытная работа,проведенная нами, заключалась в применении данных методических рекомендаций приобучении спортсменов теории вероятностей и математической статистике.
Цель опытной работы: наоснове использования разработанных методических материалов сделать вывод об эффективностиих использования.
В связи с отсутствием вгороде школ со специализированными классами опытно-экспериментальной базой сталпервый курс специальности АФК факультета физической культуры ВятГГУ.
Основные трудности припроведении опытной работы:
1) не высокийуровень знаний студентов в области математики;
2) низкая заинтересованностьстудентов при изучении данного предмета.
Было проведено 8 часовлекционных занятий:№ Тема лекционного занятия Содержание занятия 1 Основы теории вероятности Основные определения. Классическое и статистическое определение вероятности. Вычисление вероятности. 2 Правила вычисления вероятностей Основные правила вычисления вероятности. Формула полной вероятности, формула Бейеса. 3 Случайные величины Определение и примеры случайных величин, закон распределения случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия. 4 Статистика. Общие сведения Основные понятия. Вариационные ряды. 5 Дискретные и непрерывные ряды Графическое изображение вариационного ряда, дискретные и непрерывные ряды. 6 Проверка статистических гипотез. Корреляционный анализ. Основные определения. Примеры. 7-8 Контрольная работа
Параллельно с этим былипроведены 16 часов практических занятий. В результате учащиеся изучилиследующие темы.№ Тема занятия Содержание занятия 1-2 Комбинаторика. Основные теоремы, применение их на практике. 3 Нахождение вероятности. Решение задач на нахождение вероятности, используя основные формулы комбинаторики. 4-5 Нахождение вероятности, использующие основные правила. Вычисление вероятности сложных событий, условная вероятность. Вероятность нахождения хотя бы одного события 6-7 Формула полной вероятности и формула Бейеса. Вычисление вероятностей, используя данные формулы. 8 Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной величины и его изображение. 9-10 Характеристики случайной величины Вычисление основных характеристик дискретной случайной величины. 11-14 Корреляционный анализ. Корреляционная таблица, вычисление основных характеристик закона распределения двумерной случайной величины. Эмпирические линии регрессии и нахождение уравнения регрессии. 15-16 Подготовка к контрольной работе
Подробное содержаниезанятий можно найти в Приложении 1 к настоящей работе. Опытное преподаваниепроводилось в двух группах студентов. Лекционные занятия проводились для групп совместно,а практические занятия для каждой группы в отдельности. Это позволило получитьболее объективные результаты исследования. В начале каждого практическогозанятия проводился контроль по усвоению знаний, полученных на предыдущихзанятиях. Данный контроль показал, что материал, который предлагался дляизучения доступен для учащихся и практически не вызывает никаких трудностей. Вконце изучения всего курса была проведена контрольная работа, по всем изученнымтемам, с которой все успешно справились. Все результаты, полученные в ходепроверки самостоятельных работ и итоговой контрольной работы, представлены ввиде диаграмм (Приложение 2). На основании полученных результатов опытногопреподавания можно считать, что в целом разработанные методические рекомендацииспособствуют достижению поставленной ели и подтверждают гипотезу исследования.

Заключение
Выпускнаяквалификационная работа посвящена проблемам методики обучения основам теориивероятностей и математической статистики в рамках элективного курса дляпрофильной школы, в частности для оборонно-спортивного профиля.
В первой главе мырассмотрели, что такое профильная школа, для чего она нужна. Также былорассмотрено значение элективных курсов в современной школе, его отличие отфакультативов.
Во второй главе быларассмотрена методика преподавания теории вероятностей и математической статистикидля спортсменов на основе анализа различной учебной литературы. Также былразработан элективный курс по данной теме и описано опытное преподаваниеданного курса.
Таким образом, целиработы были достигнуты.
На наш взгляд,разработанный элективный курс по теории вероятности и математической статистикипоможет качественно усвоить школьнику этот материал, а главное, – осознанно применятьполученные знание в своей практической деятельности.

Библиографическийсписок
 
1. Афанасьев, В.В.Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей [Текст]: дляучащихся 8-11 классов / В.В. Афанасьев, М.А. Суворова. – Ярославль:Академия развития, 2006. – 192 с.
2.  Баранников, А.В. Элективные курсы впрофильном обучении [Текст]: информационное письмо об элективных курсах всистеме профильного обучения на старшей ступени общего образования / А.В.Баранников. – 2003. – 3 с.
3.  Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения потеории вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – М.: Высшая школа,2002. – 445 с.
4.  Виленкин, Н.Я. Комбинаторика [Текст]/Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. – М.: МЦНМО, 2006. – 400 с.
5.  Виленкин, Н.Я. Популярнаякомбинаторика [Текст] / Н.Я. Виленкин. – М.: Наука, 1975. – 208 с.
6.  Глеман, М. Вероятность в играх и развлеченияхЭлементы теории вероятностей в курсе сред. школы [Текст]: пособие для учителя/М. Глеман, Т. Варга. – М.: Просвещение, 1979. – 176 с.
7.  Гмурман, В.Е. Руководство по решениюзадач по теории вероятностей и математической статистики [Текст] / В.Е. Гмурман.– М.: Высшая школа, 1999. – 400 с.
8.  Гмурман, В.Е. Теория вероятностей иматематическая статистика [Текст] / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа,2000. – 479 с.
9.  Днепров, Э.Д. Сборник нормативныхдокументов. Математика [Текст] / Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. – М.: Дрофа,2004. – 79 с.
10.  Иванов, В.С. Основы математическойстатистики [Текст]: учебное пособие для институтов физической культуры /В. С. Иванов. – М.: Физкультура и спорт, 1900. – 176 с.
11.  Караулова, Л.В. Математическиезадачи, как средство формирования профессионально значимых умений студента[Текст]: дисс. на соискание степени канд. пед. наук / Л.В. Караулова. –Киров, 2004. – 184 с.
12.  Крутихина, М. В. Элективные курсы поматематике [Текст]: учебно-методические рекомендации / М. В. Крутихина, З. В.Шилова. – Киров: ВятГГУ, 2006. – 40 с.
13.  Маркова, В.И. Деятельностный подход вобучении математике в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения[Текст] / В.И. Маркова. – Киров: КИПК и ПРО, 2006. – 200с.
14.  Маркова, В.И. Элементы комбинаторики,статистики и теории вероятностей в курсе математики основной школы [Текст]:методическое пособие / В.И. Маркова. – Киров: Изд-во Кировского ИУУ, 2004. – 58с.
15.  Масальгин, Н. А. Математико-статистическиеметоды в спорте [Текст] / Н. А. Масальгин. – М.: Физкультура испорт, 1974. – 151 с.
16.  Матальский, М.А. Теория вероятностейв примерах и задачах [Текст]: учебное пособие / М.А. Матальский, Т.В. Романюк.– Гордно: ГрГУ – 2002. – 248 с.
17.  Мордкович, А.Г. События. Вероятности.Статистическая обработка данных [Текст]: дополнительные параграфы к курсуалгебры 7-9кл. общеобразовательных учреждений /А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. –М.: Мнемозина, 2003. – 46 с.
18.  Мостеллер, Ф. Пятьдесят занимательныхвероятностных задач с решениями [Текст] / Ф. Мостеллер. – М.: Наука, 1975. –112 с.
19.  Наше образование – Элективные курсы икультура выбора [Электронный ресурс]. – Режим доступа: www.gluki-obrnauki.ru/Cult.html.
20.  Паршиков, А.Т. Спортивная школа каксоциально-педагогическая система: социальное проектирование [Текст] / А.Т. Паршиков.– М.: Советский спорт, 2003. – 352 с.
21.  Письменный, Д.Т. Конспект лекций потеории вероятностей и математической статистике [Текст] / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2005. – 256 с.
22.  Проект «Профильная школа» России [Электронный ресурс]. – Режимдоступа:www.rkodm.chita.ru/experiment/profil-proekt.htm.
23.  Солодовников, А.С. Теориявероятностей [Текст] / А.С. Солодовников. – М.: Просвещение, 1978. – 192 с.
24.  Тюрин, Ю.Н. Теория вероятностей истатистика [Текст] / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В.Ященко. – М.: МЦНМО, 2008. – 256 с.
25.  Фадеев, Д.К. Элементы высшейматематики для школьников [Текст] / Д.К. Фадеев. – М.: Наука, 1987. – 335 с.
26.  Шибасов, Л.П. За страницами учебникаматематики. Мат. анализ. Теория вероятностей. Старин. и занимат. задачи[Текст]: кн. для учащихся 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Л.П. Шибасов,З.Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 1997. – 269 с.
27.  Шихова, А.П. Обучение комбинаторике иее приложениям в средней школе [Текст] / А.П. Шихова. – Киров: Вятка, 1994. –62 с.

Приложение 1
 
Программа элективного курса по математике
«Основы теориивероятностей и математической статистики»
 
Пояснительная записка
Элективный курс «Основы теории вероятностей и математическойстатистики» разработан для обеспечения старшеклассников занятиями по выбору извариативного компонента базисного учебного плана в старшей профильной школе.Предлагаемый элективный курс позволяет осуществлять задачи профильнойподготовки старшеклассников, обучающихся в классах оборонно-спортивного профиля.
Курспозволяет выпускнику средней школы приобрести необходимый и достаточный наборумений в области теории вероятностей и статистики.
Цель –  формированиеновых знаний у учащихся в области комбинаторики, теории вероятности и статистики,формирование у школьников компетенций, направленных на выработку навыковсамостоятельной и групповой исследовательской деятельности.
Задачи:
1) научитьсярешать основные комбинаторные задачи;
2) научитьсяприменять полученные знания в области комбинаторики к решению различных задачтеории вероятности.
3) научиться решатьпростейшие задачи корреляционного анализа.
4) интеллектуальноеразвитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных дляматематической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни вобществе. Развитие мыслительных способностей учащихся: умения анализировать,сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать.
5) воспитаниеличности в процессе освоения математики и математической деятельности, развитиеу учащихся самостоятельности и способности к самоорганизации.
Требования к уровню освоения содержания курса. В результате изучениякурса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способамидеятельности:
· имеютпредставление о математике как форме описания и методе познаниядействительности;
· умеютанализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;
· умеютсамостоятельно работать с математической литературой;
· знаютосновные правила комбинаторики;
· знаютосновные понятия теории вероятности и статистики;
· умеютрешать задачи по теории вероятности и статистики, применяя формулыкомбинаторики;
· умеютпредставлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссиях;
· умеютпроводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.
Содержаниеи требования курса
Тема1. Комбинаторика.
Основныеформулы комбинаторики: о перемножении шансов, о выборе с учетом порядка,перестановки с повторениями, размещения с повторениями, выбор без учетапорядка. Правило суммы, правило произведения.
Учащиеся должны знать: что такое факториал числа, его основные свойства; как записываются формулы комбинаторики, и понимать их.
Учащиеся должны уметь: рационально решать комбинаторные задачи, применяяформулы.
Тема2. Вероятность.
Основныепонятия теории вероятности. Операции над событиями. Классический,статистический подход к определению вероятности. Основные правила вычислениявероятностей. Формула полной вероятности, Бейеса.
Учащиеся должны знать: что такое событие, зависимые (независимые) события,совместные (не совместные) события; определения суммы, произведения событий ипротивоположного события; в чем отличия между статистическим и классическим подходомк определению вероятности событий; определение условной вероятности, каквычислять произведение (сложение) независимых или зависимых (совместных илинесовместных) событий; запись формулы полной вероятности и формулы Бейеса.
Учащиеся должны уметь: рационально решать задачи, применяя формулыкомбинаторики и основные правила вычисления вероятностей.
Тема3. Случайные величины.
Понятиедискретной и непрерывной случайной величины. Закон распределения вероятностейдискретной случайной величины. Вычисление математического ожидания и дисперсии.
Учащиеся должны знать: что такое случайная величина; определения дискретной инепрерывной случайной величины, уметь различать их; что такое законраспределения случайной величины; определения математического ожидания идисперсии, понимать их практический смысл.
 Учащиеся должны уметь: вычислять математическое ожидание идисперсию дискретной случайной величины.
Тема4. Статистика.
Общиесведения. Вариационные ряды и их графические представления. Дискретные инепрерывные ряды. Проверка статистических гипотез.
Учащиеся должны знать: основные определения статистики; как вычислять дисперсию иматематическое ожидание для генеральной совокупности и выборки; определениестатистической гипотезы и основы корреляционного анализа.
Учащиеся должны уметь: изображать вариационные ряды; находить эмпирические линиирегрессии и уравнение линии регрессии.
Календарно-тематическийплан курса№ Тема тип 1 Случайные события, операции над событиями, вероятность событий. Лекция 2 Комбинаторика. Основные теоремы. Применение их на практике Практика 3 Комбинаторика. Основные теоремы. Применение их на практике. Практика 4 Решение задач, использующие классическое определение вероятности Практика 5 Основные правила вычисления вероятностей, формула полной вероятности, формула Бейеса. Лекция 6 Задачи, использующие теорему сложения и умножения вероятностей. Вероятность нахождения хотя бы одного события. Практика 7 Задачи, использующие теорему сложения и умножения вероятностей. Вероятность нахождения хотя бы одного события. Практика 8 Основные правила вычисления вероятностей, формула полной вероятности, формула Бейеса. Практика 9 Случайные величины, дискретные и непрерывные случайные величины. Лекция 10 Закон распределения случайной величины, построение полигона частот Практика 11 Математическое ожидание и дисперсия Лекция 12 Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин практика 13 Статистика. Общие сведения Лекция 14 Вариационные ряды и их графическое изображение Лекция 15 Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез. Лекция 16 Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез. Лекция 17 Корреляционный анализ. Лекция 18 Корреляционный анализ. Лекция 19 Корреляционный анализ. Практика 20 Корреляционный анализ. Практика 21 Подготовка к контрольной работе Практика 22 Подготовка к контрольной работе Практика 23 Контрольная работа Практика 24 Контрольная работа Практика

Занятие 1
В нашей жизни частоприходится иметь дело со случайными явлениями, то есть ситуациями, исходкоторых нельзя точно предвидеть, например мы не можем точно сказать приподбрасывании монеты упадет она вверх гербом или цифрой. Аналогично не можемточно сказать, сколько очков выбьет стрелок на соревнованиях. Говоря ослучайных событиях в нашем сознании возникает представление о вероятностиявления.
Под испытанием в теории вероятностей принятопринимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного набораусловий, который каждый раз должен выполняться при повторении данногоиспытания. Если то же самое испытание производиться при другом наборе условии, тосчитается, что это уже другое испытание.
Пример: бросаем кубик – это испытание.Бросаем два кубика – другое испытание.
Результатом испытанияявляется событие.
Событие бывает:
· достоверное(всегда происходит в результате испытания);
· невозможное(никогда не происходит);
· случайное (можетпроизойти или не произойти в результате испытания).
Например:
1) выпадет восемьочков (невозможное);
2) выпадет не более6 очков (достоверное);
3) выпадет число три(случайное).
Когда мы говорим особлюдении набора условий данного испытания, мы имеем в виду постоянствозначений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом можетбыть большое количество неконтролируемых факторов (например, погода, ветер ит.д.), которые трудно или невозможно учесть. Следовательно, значениенеконтролируемых факторов могут быть различными при каждом повторениииспытания, поэтому результаты испытания оказываются случайными. Событие можетпроизойти или не произойти.
Теория вероятностейрассматривает именно такие события, при этом предполагается, что испытаниеможет быть повторено любое количество раз.
Например, выполнение штрафного броска вбаскетболе есть испытание, а попадание в кольцо – событие. Другой примерсобытия – это выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости.
В теории вероятностисобытия обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C, D…
Определение: События A и Bназываются несовместными, если они никогда не могут произойти врезультате одного испытания.
События А и Вназываются совместными, если они могут произойти в результате одногоиспытания.
Пример: испытание – один раз подбрасываеммонету. События: а) выпадет орел; б) выпадет решка.
События А и Вне совместны так как при подбрасывании одной монеты одновременно не выпадеторел и решка.
Определение: Событие А называется независимымот события В, если вероятность появления события А не зависит оттого, произошло событие В или нет.
Событие Аназывается зависимым от события В, если вероятность события Аменяется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Пример: Уточним понятие независимых событий.Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что перваямонета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом, событие C– на одной (и только на одной) монете выпадет герб. Тогда события A, B, Cпопарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, Aи B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят отпервого броска, A и C (а также B и C) могутпоказаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что p(AC)= 1/4 = p(A)p(C), значит, они по определению независимые. С другойстороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье.На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, нозависимы в совокупности.
Операции над событиями
1.Сумма
Событие Сназывается суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее изпоявлении хотя бы одного из событий А и В.
Пример: Бросается кубик событие А – выпадетчисло 2. Событие В – выпадет нечетное число. Тогда событие С=А+В.Будет состоять в выпадении двойки или нечетного числа
 2. Произведение
 Событие Cназывается произведением A и B, если оно состоит из всех событий,входящих и в A, и в B.
Пример: С=А∙В (А — выпадет 3, В – выпадет нечетное число). Тогда С состоит ввыпадении только числа 3, так как 3 является нечетным числом.
3.Противоположное
 Событие называетсяпротивоположным событию A, называется событие, состоящее в непоявлениисобытия А. Обозначается противоположное событие символом />.
Пример: Противоположными событиями являютсяпромах и попадание при выстреле, или выпадении герба или цифры при одномподбрасывании монеты.
Вероятность событий
а)статистическийподход.
Рассмотрим некотороеколичество испытаний, в результате которых появилось событие А. Пустьбыло произведено n испытаний, врезультате которых событие А появилось ровно m раз. Тогда отношение />-называют относительной частотой.
Также при большомколичестве повторений испытания частость событий мало изменяется и стабилизируетсяоколо определенного значения, а при небольшом количестве повторений она можетпринимать различные значения. Каждое такое значение в конкретном случае принятоназывать вероятностью события А и обозначают Р(А).
Так как n всегда больше либо равно N, то вероятность заключена винтервале: />.
Примером может служить выпадение герба илицифры при бросании монеты, которое является простым и наглядным испытанием.Практика человека говорит о том, что при большом числе бросаний примерно в 50%испытаний выпадет герб, а в 50% – цифра. А это уже определенная закономерность.Здесь нас интересует не результат отдельного подбрасывания, а то, что получитсяпосле многократных подбрасываний.
б)классическоеопределение.
В некоторых случаявероятности событий могут быть легко определены исходя из условий испытаний.Пусть испытание имеет nвозможных исходов, то есть событий, которые могут появиться в результатеданного испытания. При каждом повторении возможно появление только одного изданных исходов (то есть все nисходов несовместны). Кроме того, по условиям испытания нельзя сказать какиеисходы появляются чаще других, то есть все исходы являются равновозможными.Допустим теперь что при nравновозможных исходах интерес представляет событие А, котороепоявляется только при mисходах и не появляется при остальных n-m исходах. И принято говорить, что в данном испытанииимеется n случаев, из которых m благоприятствуют появлению события А.В таком случае вероятность можно вычислить, как отношение числа случаевблагоприятствующих появлению события А (т.е. m), к общему числу всех исходов n: />.
Пример 1. Из колоды с 36 перемешанными картаминаудачу извлекается одна карта. Извлечение каждой карты из 36 являетсяравновозможным событием. Поэтому вероятность извлечения «короля»составляет 4/36 = 1/9, карты выбранной масти – 9/36 = 1/4, карты выбранногоцвета – 18/36 = 1/2.
Пример 2. Бросают две игральные кости.Требуется найти вероятность того, что сумма очков делится на 5. Возможные суммыочков, делящиеся на 5, равны 5 и 10. Событию «сумма очков равна 5»благоприятствуют события (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1), а событию «суммаочков равна 10» – события (4; 6), (5; 5), (6; 4). Таким образом, числоблагоприятствующих исходов равно 7, общее число равновозможных исходов – 6" 6 = 36, поэтому вероятность события «сумма очков делится на 5»будет 7/36.
Пример 3. Вероятность извлечения белого шара(событие Б) из урны, содержащей три черных и четыре белых шара: p(Б) = 4/7.Занятие 2
1. В 9 классе 10учебных предметов. Сколькими способами можно поставить в среду первый и второйуроки?
2. Для составлениядвух команд из 40 человек надо выбрать капитанов команд. Каким числом способовэто можно сделать?
3. На три призовыхместа претендуют Вася, Дима и Коля. Каким числом способов могут распределитьсяпризовые места?
4. Сколькосуществует трехзначных чисел, оканчивающихся тройкой?
5. В партии 10лотерейных билетов выигрышными являются 5. Приобретено 3 билета. В сколькихслучаях среди них есть хотя бы один выигрышный?
6. Четыре футболиста,четыре хоккеиста и два баскетболиста хотят сфотографироваться, стоя в один ряд,но так чтобы представители одного вида спорта стояли рядом. Каким числомспособов они могут сделать это?
7. В некоторомцарстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов. Каково максимальноеколичество жителей этого государства?
8. В урне лежат 10жетонов с числами 1, 2, 3, 4, …, 10. Из нее вынимают три жетона. Во сколькихслучаях сумма написанных на них чисел равна 9? Не меньше 9.Занятие 3
1. Сколькимиспособами можно разложить в два кармана пять купюр достоинством в 10, 50, 100,500 и 1000 рублей?
2. Из десятиволейбольных мячей, обозначенных цифрами от 1 до 10, нужно выбрать пять мячейтак, чтобы среди выбранных был элемент мяч с номером 5. Сколькими способами этоможно сделать?
3. Сколько можносоставить пятибуквенных слов из 7 гласных и 25 согласных букв, если гласные исогласные должны чередоваться?
4. Сколькимиспособами можно разбить 20 футболистов на две команды так, чтобы одна содержала3 человека, а другая 15 ?
5. Во сколькихдевятизначных числах все цифры различны?
6. Сколько различныхпятизначных чисел можно записать из цифр числа 273485961 так, чтобы четные инечетные цифры в числе чередовались?
7. Двадцатьразличных книг отдано двум продавцам. Сколькими способами они могутраспределить, если все книги могут быть отданы одному продавцу?Занятие 4
1. Брошены двеигральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков равнасеми; б) сумма выпавших очков равна 8, а разность четырем; в) сумма выпавшихочков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) суммавыпавших очков равна пяти, а произведение – четырем?
2. В ящике имеется10 одинаковых деталей, помеченные номерами 1, 2, …, 10. Наудачу извлечены шестьдеталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся: а)деталь №1; б) детали №1 и №2.
3. Каковавероятность того, что из шести отмеченных чисел в карточке «Спортлото» (игра из49) k чисел будут выигрышными.
4. Известно, чтосреди 40 участников имеются 10 мастеров спорта. Среди всех участников случайнымобразом выбрали первую пятерку, найдите вероятность, что в этой пятеркеприсутствуют ровно 2 мастера спорта.
5. На карточкахнаписаны буквы: А, З, И, К, Л, Т, У, У, Ф, Ь. Вынимают наугад одну карточку задругой и раскладывают в том порядке в каком они были вынуты. Найти вероятностьтого, что на карточках будет написано слово ФИЗКУЛЬТУРА.
6. Во всероссийскомдне бега каждому участнику присваивался определенный четырехзначный номер. Ибыла проведена акция всем тем у кого на номере встречаются два раза цифра 7получают в подарок кружку. Определите сколько кружек должен приготовитьспорткомитет.Занятие 5
Приведем основныеправила, позволяющие определить вероятность появления сложного события,состоящего из более простых событий, вероятность которых нам известна.
1.Вероятностьдостоверного события равна единице: P(E)=1.
2. Вероятностьневозможного события равна 0: P(Ø)=0.
3. Вероятностьпроизведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Пример: Преступник имеет 3 ключа. В темнотеон открывает дверь, выбирая ключ случайным образом. На открытие каждой издверей он тратит 5 секунд. Найти вероятность того, что он откроет все двери за15 секунд.
Решение. Пусть событие А– “открыты все двери”. Разобьем это событие на более простые. Пусть В –“открыта 1-я“, С – “ открыта 2-я“, а D – “ открыта 3-я“. Тогда, А=ВСD поопределению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(ВСD). По теореме овероятности произведения независимых событий Р(ВСD) = Р(В)Р(C)Р(D).
Определение. Условной вероятностью события А,при условии, что произошло событие В, называется отношение вероятностей P(АВ) к Р(В) и обозначается РА(В):/>.
Пример: Бросается игральный кубик. Каковавероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), еслиизвестно, что выпала четная грань (событие В)?
Решение. Событию Всоответствует выпадение чисел 2,4,6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. СобытиюА/>В – 4, 6. Поэтому,используя формулу условной вероятности получим: />.
4. Вероятностьпроизведения зависимых событий равна:
P(AВ)=Р(А)РА(В).
Пример: Изменим задачу: считаем, чтопреступник – забывчивый человек. Пусть преступник открыв дверь, оставляет ключв ней. Какова тогда вероятность, что он откроет все двери за 15 сек?
Решение. Событие А –“открыты все двери”. Опять, А=ВСD по определению произведения событий.Следовательно Р(А)=Р(ВСD). Но, теперь события В, C и D – зависимы. По теореме овероятности произведения зависимых событий Р(ВСD) = Р(В)Р(C|B) Р(D|BC).
Вычислим вероятности:Р(В)=1/3, РВ(С)=1/2 (ключа осталось только два и один из нихподходит!), РBC(D)=1/1 и, значит, Р(А)=1/6 .
5. Вероятность суммынесовместных событий равна сумме их вероятностей.
Р(А1+ А2+…+Аn)=Р(А1)+ Р(А2)+…+Р(Аn).
 Пример: В урне 5белых, 20 красных и 10 черных шаров, не отличающихся по размеру. Шары тщательноперемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, чтовынутый шар окажется белым или черным?
Решение. Пусть событие А– появление белого или черного шара. Разобьем это событие на более простые.Пусть В1 – появление белого шара, а В2 – черного. Тогда, А=В1+В2 по определениюсуммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В1+В2). Так как В1 и В2 – несовместныесобытия, то по теореме о вероятности суммы несовместных событий Р(В1+В2) =Р(В1)+Р(В2).
6.Вероятность суммыпроизвольных событий равна сумме их вероятностей без вероятности произведениясобытий
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
В общем случае даннаяформулы выглядит так:
/>.
Пример: Ведутся поиски двух преступников.Каждый из них независимо от другого может быть обнаружен в течение суток свероятностью 0,5. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаруженхотя бы один преступник?
Решение. Пусть событие А– “обнаружен хотя бы один преступник”. Разобьем это событие на более простые.Пусть В1 – обнаружен первый преступник, а В2 – обнаружен второй преступник.Тогда, А=В1+В2 по определению суммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В1+В2). Таккак В1и В2 – совместные события, то по теореме о вероятности суммы событий
Р(В1+В2) =Р(В1)+Р(В2)-Р(В1 В2) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75.Занятие 6
1. Задуманодвузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а)случайно названное двузначное число: б) случайно названное двузначное число,цифры которого различны?
2. Монета брошенадва раза найти вероятность, что хотя бы один раз появится герб.
3. В коробке имеетсяшесть одинаковых жетонов с различными номерами. По одному наудачу извлекают всекубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся ввозрастающем порядке.
4. В ящике имеется15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали.Найдите вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
5. В волейбольнойкоманде 6 мастеров спорта и 4 кандидата. Наудачу выбранным семи человекам далипремию. Найти вероятность того, что среди получивших премию окажутся трикандидата в мастера спорта?
6. В коробке пятьодинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия.Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одноокрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенноеизделие.
7. В ящике 10деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найтивероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
8. Два стрелкастреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле дляпервого стрелка равна 0,7, а для второго 0,8. Найти вероятность того, что приодном залпе в мишень попадет только один из стрелков.
Домашнее задание
1. Монету бросаютдва раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.
2. Какова вероятностьтого, что из шести отмеченных чисел в карточке «Спортлото» (игра из 49) k чисел будут выигрышными.
3. Вероятностьодного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найтивероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно,что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.Занятие 7
1. Отделтехнического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, чтоизделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность, того, что из двух проверенныхизделий только одно стандартное.
2. Брошены триигральные кости. Найти вероятность следующих событий: а) на двух выпавшихгранях появиться одно очко, а на третьей грани – другое число очков.
3. Вероятностьпопадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстреловдолжен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4 можно былоожидать, что не будет ни одного промаха?
4. В читальном залеимеется шесть учебников по теории вероятности, из которых три в переплете.Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что обаучебника окажутся в переплете.
5. Среди 100лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачувыбранные билета окажутся выигрышными.
6. В цехе работают 7мужчин и три женщины. Наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того,что все отобранные лица окажутся мужчинами.
7. Студент знает 20из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знаетпредложенные ему экзаменаторам три вопроса.
Домашнее задание
1. В ящике 10 деталей,среди которых шесть окрашенных. Сборщик наудачу извлекает четыре детали. Найтивероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.
2. Вероятности того, чтонужная деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящикесоответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятности того, что детальсодержится: а) не более чем в трех ящиках; б) не менее чем в двух ящиках.Занятие 8
Определение. Совокупность событий А1, А2,…, Аnназывается полной группой событий,если выполняются следующие условия:
а) она описывает всевозможные исходы;
б) события попарнонезависимы и не совместны.
Пусть дано событие А, ономожет наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2,…,Вn, которые образуют полную группу. Намтакже известны вероятности />, />, …, />. Как можно найтивероятность события А? Ответ на этот вопрос дает.
Вероятность события А,которое может наступить лишь при условии появлении одного из несовместныхсобытий В1, В2,…, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведенийвероятности каждого из этих событий на собственную условную вероятность:
/>.
Эту формулу такженазывают формулой полной вероятности.
Пример: В проведении операции поосвобождению заложников участвуют 2 группы снайперов: 10 человек с винтовкойОП21 и 20 человек с АКМ47. Вероятность поражения из ОП21 – 0,85, а АКМ47 –0,65. Найти вероятность того, что при одном выстреле произвольного снайперапреступник будет поражен.
Решение. Пусть событие А– “преступник поражен”. Разобьем это событие на более простые. Преступник можетбыть поражен либо из ОП21, либо из АКМ47. Вероятность того, что произвольныйснайпер вооружен ОП21 (событие Н1) равна 10/30. Вероятность того, чтопроизвольный снайпер вооружен АКМ47 (событие Н2) равна 20/30.
Вероятность того, чтопреступник поражен равна:
/>
Составим задачу: Пустьдано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместныхСобытий В1, В2,…, Вn, которые образуют полную группу. Так как нам заранеене известно, какое событие наступит, их называют гипотезами. Допустим, чтопроизведено испытание в результате, которого появилось событие А. Поставимсвоей задачей определить как изменились вероятности гипотез, в связи с тем чтособытие А уже наступило. Другими словами определим следующие условныевероятности:
/>, />,…, />.
Определить данныевероятности можно при помощи формулы Бейеса:
/>,
Заменив /> получим:
/>.
Пример: На склад поступило 1000 подшипников.Из них 200 изготовлены на 1-м заводе, 460–на 2-м и 340 – на 3-м. Вероятностьтого, что подшипник окажется нестандартным, для 1-го завода равна 0,03, для2-го – 0,02, для 3-го – 0,01. Взятый наудачу подшипник оказался нестандартным.Какова вероятность того, что он изготовлен 1-м заводом?
Решение: Пусть A –событие, состоящее в том, что взятый Подшипник нестандартный, а – Н1,Н2, Н3, гипотезы, что он изготовлен соответственно 1-м,2-м или 3-м заводом. Вероятности указанных гипотез составляют: P(H1)=200/1000=0.2, P(H2)=460/1000=0.46, P(H1)=340/1000=0.34.
Из условия задачиследует, что р1=РН1(А)=0,03; р2=РН2(А)=0,02;р3=РН3(А)=0,01.
 Найдем вероятность того,что подшипник, оказавшийся нестандартным, изготовлен 1-м заводом. По формулеБейеса имеем:
/>Занятие 9
1. Среди Nэкзаменационных билетов n «счастливых». Студенты подходят за билетами один задругим. У кого больше вероятность взять счастливый билет: у того, кто подошелпервым, или у того, кто подошел вторым? Какова вероятность взять «счастливый»билет у последнего студента?
2. Экзаменационныхбилетов содержат по 2 вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся можетответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будетсдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или наодин вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другогобилета.
3. Во времяиспытаний было установлено, что вероятность безотказной работы прибора приотсутствии повреждений равна 0,99, при перегреве – 0,95, при вибрации – 0,9,при вибрации и перегреве – 0,8. Найти вероятность P1 отказа этого прибора вовремя работы в жарких странах (вероятность перегрева – 0,2, вибрации – 0,1) ивероятность P2 отказа во время работы в передвигающейся лаборатории(вероятность перегрева – 0,1, вибрации – 0,3), если считать перегрев и вибрациюнезависимыми событиями.
4. По каналу связипередают символы A, B, C с вероятностями 0,4; 0,3; 0,3 соответственно.Вероятность искажения символа равна 0,4, и все искажения равновероятны. Дляувеличения надежности каждый символ повторяют четыре раза. На выходе воспринялипоследовательность ВАСВ. Какова вероятность того, что передали АААА, ВВВВ,СССС?
5. На наблюдательнойстанции установлены 4 радиолокатора различных конструкций. Вероятностьобнаружения целей с помощью первого локатора равна 0,86, второго 0,9, третьего0,92, четвертого 0,95. Наблюдатель наугад включает один из локаторов. Каковавероятность обнаружения цели?
6. Вероятность того,что двое близнецов будут одного пола 0,64, а вероятность рождения в двойнепервым мальчика 0,51. Найти вероятность того, что второй из близнецов будетмальчиком, при условии, что первый из них мальчик.
Домашнее задание
1. Некоторая детальпроизводиться на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в краз превышает объем второго. Доля брака на первом заводе 0,3, на втором 0,2.Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что этадеталь выпущена первым заводом?
2. Среди женщин –избирателей 70% поддерживают кандидата А, а среди мужчин 60%. Используя данныепереписи, согласно которым доля женщин избирателей составляет 55%, оценитьвероятность победы на выборах кандидата А.
3. Трое сотрудниковфирмы выдают соответственно 30%, 50%, 20% всех изделий, производимой фирмой. Упервого брак 2%, второго 5%, третьего 1%. Какова вероятность, что случайновыбранное изделие дефектно?Занятие 10
Изучение случайныхвеличин требует связи этих величин с определенными событиями, которыезаключаются в попадании случайной величины в некоторый интервал и для которыхопределены вероятности. Другими словами необходимо связать случайную величину сполем данного испытания.
Для лучшего понимания рассмотримпример. При бросании кости могли появиться цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Напередопределить число выпавших очков невозможно, так как это зависит от многихслучайных величин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле числоочков есть величина случайная; и числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 – есть возможныезначения этой величины.
Определение: Случайнойназывают величину,которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение,наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могутбыть учтены.
Будем обозначатьслучайные величины прописными (заглавными) буквами: X, Y, Z, а их возможные значениясоответствующими строчными буквами x, y, z. Если величина Х имеет три значения то они будут обозначенытак: х1, х2, х3 .
Обычно рассматриваютсядва типа случайных величин: дискретные и непрерывные.
Рассмотрим следующий пример:Число мальчиков пошедших в секцию бальных танцев среди 100 пришедших туда людейесть случайная величина, которая может принимать следующие значения 0, 1, 2, …,100. Эти значения отделены друг от друга промежутками, в которых нет возможныхзначений Х. таким образом в этом примере случайная величина принимаетотдельные изолированные значения.
Приведем второй пример:расстояние, которое пролетит диск при метании, есть величина случайная.Действительно величина зависит от многих факторов, например от ветра,температуры и других факторов, которые не могут быть полностью учтены.Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а;b).
В данном примереслучайная величина может принять любое из значений промежутка (а;b). Здесь нельзя отделить одновозможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значенийслучайной величины.
Уже из сказанного можнозаключить о том, что целесообразно будет различать случайные величины,принимающие лишь отдельные изолированные значения, и случайные величины,возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.
Дискретной (прерывной)называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированныевозможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значенийдискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Непрерывной называютслучайную величину, которая может принимать все значения из некоторогоконечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значенийнепрерывной случайной величины бесконечно.
Еще примерами непрерывныхслучайных величин могут быть спортивный результат в беге или прыжках, рост имасса тела человека, сила мышц и другие.
Законраспределения вероятностей дискретной случайной величины.
Для задания дискретнойслучайной величины не достаточно перечислить все возможные ее значения, нужноеще указать их вероятности.
Законом распределениядискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениямии их вероятностями; его можно задать таблично, в виде формулы и графически.
При табличном заданиипервая строка содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:Х
x1
x2 …
xn p
p1
p2 …
pn
Сумма вероятностей второйстроки таблицы равнеа единице:
/>.
Если множество возможныхзначений Х бесконечно, то ряд /> сходитсяи его сумма равна единице.
Для наглядности законраспределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, длячего в прямоугольной системе координат строят точки (хi; pi), а затем соединяют их отрезкамипрямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
Для непрерывной случайнойвеличины график выглядит в виде кривой непрерывной на данном промежутке.Занятие 11
Как известно законраспределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто законраспределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Такжедля решения многих задач не нужно знать распределения случайной величины, адостаточно знать лишь некоторые обобщающие числовые характеристики этогораспределения.
Одной из такиххарактеристик является математическое ожидание. Для более наглядногоопределения рассмотрим подход к этому понятию на конкретном примере.
Пусть имеется дискретнаяслучайная величина Х, которая может принимать значения х1, х2,…, хn. Вероятности которых соответственноравны р1, р2, …, рn. Тогда математическое ожидание М(Х) случайнойвеличины Х определяется равенством:
/>.
Пример: Найти математическое ожиданиедискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
Х
-4
6
10
Р
0,2
0,3
0,5
 
Решение: М(Х)=-4∙0,2+6∙0,3+10∙0,5=6
Математическое ожиданиеприближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднемуарифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
На практике частотребуется оценить рассеяние возможных значений случайно величины вокруг еесреднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягутснаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Именно такие задачи решаетдисперсия.
Определение: Дисперсиейслучайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклоненийслучайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия обозначается, как D(x)
D(Х)=M[X-М(Х)]2=M[(x-x)2]
Пример: Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим закономраспределения:Х 1 2 5 p 0,3 0,5 0,2
Решение. Найдемматематическое ожидание:
/>.
По определению:
/>.
Используя формулу D(Х)=M(X)2-[М(Х)]2можно найти дисперсию гораздо быстрее:
/>.
Для оценки рассеяниявсевозможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кромедисперсии служат и другие величины.
Средним квадратическимотклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии />Занятие 12
1. Найтидисперсию дискретной случайной величины Х и построить многоугольникраспределения, заданной законом распределения:Х -4 6 10 р 0,2 0,3 0,5
а)                                                     б)Х 0,21 0,54 0,61 р 0,1 0,5 0,4
 
В денежной лотереевыпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 р. и десять выигрышей по1 р. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможноговыигрыша для владельца лотерейного билета.
2. Дискретнаяслучайная величина имеет только 2 возможных значения х и у, причем xЗанятие 13
В практике статистическихнаблюдений различают два вида наблюдений:
· Сплошное(изучаются все объекты);
· Выборочное (несплошное,когда изучается часть объектов).
Примером сплошногонаблюдения является перепись населения, охватывающее все население страны.Выборочными наблюдениями является, например, проводимые социологическиеисследования, охватывающие часть населения страны, области, района и т.д.
Определение: Вся подлежащая изучению совокупностьобъектов называется генеральной совокупностью.
Определение: Часть объектов, которая отобрана длянепосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочнойсовокупностью или выборкой.
Числа объектов вгенеральной или выборочной совокупности называют их объемами.Генеральная совокупность может иметь конечный и бесконечный объем.
Сущность выборочного методасостоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке)выносить суждение о ее свойствах в целом.
Преимущества выборочногометода:
· Экономия затратыресурсов
· Единственновозможный в случае бесконечной генеральной совокупности или в случае, когдаисследовании связано с уничтожением наблюдаемых объектов (например исследованиедолговечности электрических лампочек и т.д)
· Возможностьуглубленного исследования за счет расширения программы исследования при тех жезатратах.
· Снижение ошибокрегистрации.
Неизбежные ошибки,возникающие в связи с изучением части объектов, могут быть заранее оценены и посредствам правильной организации выборки сведены к незначимым величинам.
Между тем использованиесплошного наблюдения часто приводит к снижению точности наблюдения, а это у жевызывает неустранимые ошибки, и может привести к снижению точности сплошногонаблюдения по сравнению с выборочным.
Чтобы по данным выборкииметь возможность судить о генеральной совокупности, она должна быть отобранаслучайно. На практике отбор может выполняться с помощью жеребьевки (лотереи)или с помощью случайных чисел.
Основной недостатоквыборочного метода – ошибки исследования, называемые ошибкамирепрезентативности.
Выборка называемаярепрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводитгенеральную совокупность.
Виды выборок:
· собственно –случайная выборка (случайный выбор элементов без расчленения на части илигруппы)
· механическаявыборка (элементы отбираются через определенный интервал)
· типическаявыборка (выбор случайным образом элементов из типических групп, на которые понекоторому признаку разбивается генеральная совокупность)
· серийная выборка(случайным образом отбираются целые группы совокупности, а сами серииподвергаются сплошному наблюдению)
Способы образованиявыборки:
· повторный выбор –каждый элемент, случайно отобранный и обследованный, возвращается в общуюсовокупность и может быть повторно отобран.
· Бесповторныйотбор – когда обратный элемент не возвращается в общую совокупность.Наименование характеристики Генеральная совокупность Выборка Математическое ожидание
/>
/> Дисперсия
/>
/> Доля
/>
/>
Где хi – значение признака.
N и n – объемы генеральной и выборочной совокупностей.
Ni и ni – число элементов генеральной ивыборочной совокупностей со значением признака хi
M и m – число элементов генеральной и выборочной совокупностей,обладающих данным признаком
Пример: генеральная совокупность заданатаблицей распределения:
Xi 2 4 5 6
Ni 8 9 10 3
Найти дисперсию.
/>
/>
Важнейшей задачейвыборочного метода является оценка параметров генеральной совокупности поданным выборки.Занятие 14
Рассмотрим пример:
Необходимо изучитьизменение результатов спортсменов, занимающихся легкой атлетикой, по сравнениюс предыдущим годом. Получены следующие данные результатов в процентах к предыдущемугоду: 97,8; 97,10; 101,17;,,,;142,3;141,02.(всего 100 значений.).
Различные значенияпризнака (случайной величины Х) называется вариантами (обозначаем их через х).
Первый шаг к осмыслению –упорядочивание. Расположение вариантов в порядке возрастания (убывания), т.е. ранжированиевариантов ряда.
Следующим шагомпроизведем группировку, то есть разобьем на отдельные интервалы. Числоинтервалов не следует брать большим.
Числа показывающие,сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются частотами(ni), а отношение их к общему числунаблюдений частостями wi=n/ni. Частоты и частости называют весами.I Результаты в процентах к предыдущему году х
Частота (количество спортсменов)ni
Частость (доля рабочих)wi=n/ni
Накопленная частота
niнак
Накопленная частость wiнак= niнак/n 1 94,0-100 3 0,03 3 0,03 2 100,0-106,0 7 0,07 10 0,10 3 106,0-112,0 11 0,11 21 0,21 … … … … … … 8 136,0-142,0 2 0,02 100 1,00 100 1,00

Определение: Вариационным рядом называетсяранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов ссоответствующими им весами (частотами или частостями).
Определение: накопленная частота niнак показывает сколько наблюдалосьвариантов со значениями признака меньших х.
Накопленная частость –отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений: wiнак= niнак/n
Теперь полученный намивариационный ряд позволяет выявить закономерности.
Для задания вариационногоряда достаточно указать варианты и соответствующие им частоты или частости.Занятия 15-16
Вариационный ряд называетсядискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину.
Вариационный рядназывается непрерывным, если варианты могут отличаться один от другогона сколь угодно малую величину.
В примере мы привелипример непрерывного ряда.
Для графическогоизображения вариационного ряда используются:
Полигон – служит для изображения дискретноговариационного ряда и представляет собой ломаную, в которой концы отрезков имеют(хi, ni).
Гистограмма служит для изображения интервальныхвариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников соснованиями, равными интервалам значений признака к=х2-х1.И высоты равные частотам. Если соединить середины верхних основанийпрямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения.
Кумулятивная прямая(кумулята) – криваянакопленных частот. Для дискретных рядов кумулята представляет ломаную,соединяющую точки (хi, niнак ) или (хi, wiнак). Для интервального вариационногоряда ломаная начинается с точки, абсцисса, которой равна началу первогоинтервала, а ордината – накопленной частоте, равной нулю. Другие точкисоответствуют концам интервалов.
Сформулируем принциппрактической уверенности:
Если вероятность событияА в данном испытании очень мала, то при однократном выполнении испытания можнобыть уверенным в том, что событие А не произойдет, и в практическойдеятельности вести себя так, как будто событие А вообще невозможно.
Например: отправляясьсамолетом в другой город, мы не рассчитываем на возможность погибнуть в авиа катастрофе,хотя вероятность такого события имеется.
Но при многократномповторении испытаний мы не можем считать маловероятное событие А практическиневозможным.
Определение:Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного законараспределения.
Проверяемую гипотезуобычно называют нулевой и обозначают Н0. Также рассматриваютальтернативную (конкурирующую гипотезу) Н1 являющуюся отрицанием Н0.
Суть проверкистатистической гипотезы состоит в вычислении статистики данной выборки. Затемпо выборочному распределению определятся критическое значение. Если статистикабольше критического значения, то событие можно считать практически невозможным.
Сравнение двухсовокупностей имеет важное практическое значение. На практике часто встречаетсяслучай, когда средний результат одной серии эксперимента отличается от среднегорезультата другой серии.
Пример: В промышленности данная задачавозникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разныхустановках или при различных технологических режимах.
Пусть имеются двесовокупности, характеризуемые генеральными средними х и у. И дисперсиями длякоторых найдены средние арифметические и выборочные дисперсии. Необходимопроверить гипотезу Н0о равенстве генеральных средних. Тогдастатистика находится по следующей формуле:
/>
Если t>tкр то гипотеза Н0отвергается. Если нет, то делаетсявывод что нулевая гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.Занятия 17 – 18
Определение: Корреляционной зависимостью междудвумя переменными величинами называется функциональная зависимость между значениямиодной из них и условным математическим ожиданием другой.
Корреляционнаязависимость может быть представлена в виде:
/>
Это уравнение называютуравнением регрессии, а их графики линиями регрессии.
Для отыскания уравненийрегрессий необходимо знать закон распределения двумерной случайной величины.
Данные о статистическойзависимости удобно задавать в виде корреляционной таблицы.
Вес
 (кг)
 (Х)
Середины
интервалов Рост (см) (у) 155-160 160-165 165-170 170-175
Всего
(ni)
Групповая
Средняя />
Хi yj 157,5 162,5 167,5 172,5 40-45 42,5 2 1 7 10 168,5 45-50 47,5 3 6 4 6 19 165,9 50-55 52,5 3 11 1 15 166,8 60-65 62,5 2 1 2 5 162,5 70-75 72,5 1 1 172,5
Всего nj 7 11 17 15 50
Групповая средняя
/> 50,4 49,8 52,5 47,2
Вычисленные групповыесредние изобразим графически в виде ломанной, называемой эмпирической линиейрегрессии.
По виду ломанной можнопредположить наличие линейной функциональной зависимости между случайнымивеличинами Х и У, то есть имеется функция y=kx+b, где
/>
Где /> выборочная ковариация иравна:
/>
/>
/>
/>
/> К=-46,09 В=2471,02 У=-46,09х+2471,02Занятия 19-20
1. В ходеисследования результатов забега на 100 метров юношами одиннадцатых классов двух групп – экспериментальной и контрольной – были получены данные, представленныев таблице.
2. Время (секунды) 12,3-13,9 13,9-15,5 15,5-17,1 17,1-17,7 Число юношей экспериментальной группы 3 20 20 2 Число юношей контрольной группы 1 8 18 3
1) Изобразить данныеграфически, построив гистограммы для каждой группы.
2) Для каждой группыопределить среднее значение, дисперсию, моду и медиану.
3) Проверитьгипотезу о равенстве средних двух групп учащихся, используя критерий Стьюдентаи полагая критическое значение статистики 1,67.
Домашняя работа.
В ходе исследованиярезультатов высоты прыжка с места спортсменов – велосипедистов двух групп –экспериментальной и контрольной – были получены данные, представленные втаблице.Высота прыжка (см) 37-45 45-53 53-61 61-69 Число юношей экспериментальной группы 4 20 10 1 Число юношей контрольной группы 2 15 20 3
1) Изобразить данныеграфически, построив гистограммы для каждой группы.
2) Для каждой группыопределить среднее значение, дисперсию, моду и медиану.
3) Проверить гипотезу оравенстве средних двух групп учащихся, используя критерий Стьюдента и полагаякритическое значение статистики 1,67.Занятия 21-22
 
Подготовка кконтрольной работе.
Комбинаторика:
1. Сколькочетырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если каждая цифравходит в изображение числа только один раз.
2. Сколько можносоставить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?
3. Сколькимиспособами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?
4. Сколькосуществует двузначных чисел, у которых цифра десятков меньше цифры единиц?
5. В нашемраспоряжении есть три различных флага. На флагштоке поднимается сигналсостоящий не менее, чем из двух флагов. Сколько различных сигналов можноподнять на флагштоке, если порядок флагов в сигнале учитывается.
6. В карточке игры«Русское лото» нужно зачеркнуть 6 чисел от 1 до 99. Сколькими способами этоможно сделать?
7. Сколько различныхимен – отчеств можно составить из имен Надежда, Иван, Андрей, Наталья, Дмитрий,Людмила, Александр?
8. Шесть ящиковзанумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этимящикам 20 одинаковых шаров так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?
Вероятность:
1. В партии 10 издеталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачудеталей 4 стандартных.
2. В конверте среди100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.
3. В группе 12студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов.Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.
4. В урне 30 шаров:10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
5. Стрелок стреляетпо мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую областьравна 0,45, во вторую 0,35. Найти вероятность, того, что стрелок при одномвыстреле попадет либо в первую область, либо во вторую.
6. Брошены двеигральные кости. Найти вероятность того, что: а) на каждой из выпавших гранейпоявиться пять очков. Б) на всех выпавших гранях появиться одинаковоеколичество очков.
7. Найти вероятностьсовместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения целипервым орудием 0,8, а вторым 0,7.
8. Имеется 3 ящика,содержащие по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найтивероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.
9. В урне 5 белых, 4черных, 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекаютодин шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первомиспытании появиться белый шар, при втором – черный и при третьем – синий.
10. В мешочке имеется10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному трикубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами1, 2, 3, если кубики извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением.
11. Вероятностипопадания в цель при стрельбе из трех орудий: 0,8, 0,7, 0,9. Найти вероятностьхотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.
12. вероятностипопадания в цель при стрельбе первого и второго орудий равны 0,7 и 0,8. Найтивероятность попадания при одном залпе хотя бы одним орудием.
13. Имеется дванабора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна0,8, а второго 0,9. Найти вероятность того, что взятая на удачу деталь (из наудачувзятого набора) – стандартная.
14. В первой коробкесодержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных, во второй коробке 10 ламп, изних 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую.Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будетстандартной.
15. Детали,изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одномуиз двух контроллеров Вероятность того, деталь попадет к первому контроллеруравна 0,6, а ко второму 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признанастандартной первым контроллером 0,94, а вторым 0,98. Годная деталь при проверкибыла признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверилпервый контроллер.
16. Батарея изтрех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятностьтого, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания цель первым,вторым и третьим орудиями равны: 0,4, 0,3 и 0,5.

Приложение 2
 
Самостоятельная работа№ 1
1. Сколькосуществует двузначных чисел, у которых цифра десятков меньше цифры единиц?
2. В нашемраспоряжении есть три различных флага. На флагштоке поднимается сигналсостоящий не менее, чем из двух флагов. Сколько различных сигналов можноподнять на флагштоке, если порядок флагов в сигнале учитывается.
3. В карточке игры«Русское лото» нужно зачеркнуть 6 чисел от 1 до 99. Сколькими способами этоможно сделать?
4. Сколько различныхимен – отчеств можно составить из имен Надежда, Иван, Андрей, Наталья, Дмитрий,Людмила, Александр?
5. Шесть ящиковзанумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этимящикам 20 одинаковых шаров так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?
/>
/>
Самостоятельная работа№ 2
1. Найти вероятностьтого, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадает на одной(безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числаочков, не совпадающие между собой (и не равные шести).
2. Набирая номертелефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифрыразличны, набрал их на удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
3. Из партии изделийтоваровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятоеизделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трехпроверенных изделий только два изделия высшего сорта.
4. Вероятностипопадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны:0,7 и 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотябы одним из орудий.
5. У сборщикаимеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затемвторой. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, авторой эллиптический.
/>
/>

Самостоятельная работа№ 3
1. В сборочный цехзавода поступает 40% деталей из первого цеха и 60 процентов из второго. В цехеномер 1 производиться 90% стандартных деталей, а во втором 95%. Найтивероятность, того, что наудачу взятая деталь окажется стандартной? Найтивероятность того, что стандартная деталь изготовлена вторым цехом.
2. Из 40экзаменационных билетов студент выучил только 30. Каким выгоднее ему зайти наэкзамен, первым или вторым?
3. Прибор содержитдве микросхемы. Вероятность выхода из строя в течение 10 лет первой микросхемыравна 0.007, а второй 0.1. Известно, что из строя вышла одна микросхема. Каковавероятность того, что вышла из строя первая микросхема?
/>
/>

Самостоятельная работа№ 4
1. Монета бросается4 раза. Построить многоугольник распределения случайной величины Х – числавыпадений герба.
2. В урне 8 шаров,из которых 5 белых, остальные – черные. Из нее наудачу вынимают 3 шара. Найтизакон распределения числа белых шаров. Вычислить Математическое ожидание идисперсию.
3. Вероятность сдачиэкзамена первым студентом 0.6, а вторым 0.9. Составить ряд распределения ивычислить ее математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числастудентов, успешно сдавших экзамен в случае, когда: а) экзамены пересдаватьнельзя; б) экзамен можно один раз пересдать.
/>
/>
Контрольная работа
1. На каждой изсеми одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв о, п, т, к, н, и, с.Найдите вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных водну линию, карточках можно будет прочитать слово «кино».
2. В фирмеработают 9 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобрали 7 человек.Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 2 женщины.
3. Два стрелкастреляют по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле дляпервого стрелка равна 0.7, для второго 0.85. Найти вероятность того, что приодном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
4. В магазинзавезли 3 коробки импортной обуви и 5 коробок отечественной. Вероятность того,что импортная обувь без брака – 0.8; отечественная – 0.7. Найти вероятностьтого, что наудачу извлеченная пара обуви из наудачу взятой коробки без брака.
5. В ходеисследования результатов забега на 100 метров юношами одиннадцатых классов двух групп – экспериментальной и контрольной – были получены данные, представленныев таблице.Время (секунды) 12,3-13,9 13,9-15,5 15,5-17,1 17,1-17,7 Число юношей экспериментальной группы 3 20 20 2 Число юношей контрольной группы 1 8 18 3
Изобразить данныеграфически, построив гистограммы для каждой группы. Для каждой группыопределить среднее значение, дисперсию, моду и медиану. Проверить гипотезу оравенстве средних двух групп учащихся, используя критерий Стьюдента и полагаякритическое значение статистики 1,67.
/>
/>