Актуальные методы и приемы, позволяющие осознанно решать задачи

ГБОУ СПО Пензенскийпрофессионально — педагогический колледж
Курсовая работа
Тема: Актуальныеметоды и приемы, позволяющие осознанно решать задачи
Пенза, 2010 г.

Введение
В общей системеобучения математике решение задач является одним из видов наиболее сложных иэффективных упражнений. Решить задачу — значит раскрыть связи между данными иискомым, заданные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем выполнитьарифметические действия и дать ответ на решение задачи. Решение задач имеетчрезвычайно важное значение прежде всего для формирования у детей полноценныхматематических понятий, для усвоения ими теоретических знаний, определяемыхпрограммой. Задачи являются тем конкретным материалом, с помощью которогоформируются у детей новые знания и закрепляются в процессе применения ужеимеющиеся. Сам процесс решения задач оказывает значительное положительное влияниена умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственныхопераций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения иобобщения.
Процесс обучениярешению задачи наиболее сложны период обучения математике. В настоящее времядети обучаются по различным программам, которые дополняются и усложняются,значит, должна совершенствоваться методика обучения решению задач. Появляютсяновые методы, объединяя в себе опыт прошлого и современные разработки. Решениемпроблемы обучения решения задач занимались Н.Б. Истомина, М.И. Моро, А.М.Пышкало и др. Они пришли выводу, что вопрос о том, как научить детейустанавливать связи между данными и искомыми в текстовой задаче и всоответствии с этим выбрать, а затем выполнить арифметические действия,решается по- разному, с помощью различных методов и приемов. Цель курсовойработы – изучить, какие актуальные методы и приемы решения задач, используемыев современных начальных школах, позволяющие детям осознанно решать задачи. Дляраскрытия цели сформулированы следующие задачи:
1. Раскрытьформирование учебных умений младших школьников в процессе обучения решениютекстовых задач.
2. Рассмотретьметод варьирования текстовых задач как средство повышения осознанности знанийучащихся начальных классов.
3. Рассмотретьразвитие математического мышления учащихся посредством решения эвристическихзадач.

Формирование учебныхумений младших школьников в процессе обучения решению текстовых задач
Обучение предполагаетне только овладение учащимися определенной суммой знаний и умений, но иформирование общеучебных умений, которые связаны с самостоятельным получениемзнаний и их применением в практической деятельности. В публикациях, посвященныхобщеучебным умениям, приведены их разные классификации. Наш многолетний опытработы в начальной школе свидетельствует, что удобнее использовать традиционноевыделение следующих общеучебных умений: учебно-организационные,учебно-информационные и учебно-интеллектуальные. Часто к ним добавляются еще и учебно-коммуникативныеумения.
Кучебно-организационным относят умения:
-  намечатьзадачи деятельности и рационально планировать их выполнение;
-  создаватьусловия, обеспечивающие успешное выполнение работы (режим дня, организациярабочего места);
-  работатьв заданном темпе;
-  осуществлятьсамоконтроль и самоанализ учебной деятельности;
-        оцениватьучебную деятельность. Под учебно-информационными понимают умения работать сучебной книгой и с основными компонентами учебника (оглавлением, вопросами,заданиями к учебному тексту, приложениями, образцами, схемами, таблицами ит.п.), а также осуществлять наблюдения.
Учебно-интеллектуальныеумения — это главные и вместе с тем самые сложные умения, посколькуони связаны с развитием таких качеств мышления, как глубина, гибкость,устойчивость, самостоятельность. Уровень интеллектуального развития учащегосяопределяется главным образом степенью сформированности умений:
—оцениватьсвои знания и осознавать необходимость новых знаний;
—добыватьновые знания;
—приобретатьполученные знания (анализировать, синтезировать, обобщать, классифицировать,сравнивать, выделять причины и следствия) для необходимого результата;
—преобразовыватьинформацию из одной формы в другую (текст, таблица, схема, график, иллюстрацияи др.) и выбирать наиболее удобную для себя форму;
—передаватьсодержание информации в сжатом или развернутом виде.
Учебно-коммуникативныеумения — это умения, которые формируются и используются вучебной работе и в процессе общения людей друг с другом; более того, развитые учебно-коммуникативныеумения помогают общению, делают его более содержательным, интересным,целенаправленным. К ним относятся умения:
—слушать(одно из самых трудных умений, требующее сосредоточенности, равномерногораспределения внимания на довольно большой период времени);
—слушатьи одновременно записывать;
—читатьтекст и одновременно слушать инструктаж о работе над ним;
—выражатьлитературным языком свои мысли, пользоваться специальным языком той науки,которая лежит в основе учебного предмета;
—доноситьсвою позицию до других, владея приемами монологической и диалогической речи;
—задаватьвопросы;
—аргументироватьи доказывать.
Общеучебныеумения и навыки являются универсальными способами получения и применения знанийи создают условия для формирования у младшего школьника практических навыковосуществления учебной деятельности, что, в свою очередь, способствуетформированию общего умения учиться.
Охарактеризуемвозможности формирования общеучебных умений при решении текстовых задач вучебно-методическом комплекте Н.Б. Истоминой. Н.Б. Истомина рассматриваетпроцесс решения задач (простых и составных) как переход от словесной модели кматематической. В основе этого перехода лежит семантический (смысловой) анализтекста и выделение в нем математических понятий и отношений (математическийанализ текста). Учащиеся должны быть подготовлены к этой деятельности, поэтомузнакомство с текстовой задачей следует проводить после специальной работы поформированию математических понятий и отношений, которые будут использованы прирешении задач. До знакомства с решением задач ученики должны достигнутьопределенного уровня развития логических приемов мышления (анализа и синтеза,сравнения, обобщения), а также приобрести определенный опыт в соотнесениипредметных, текстовых, схематических и символических моделей, который можетиспользоваться для интерпретации текстовой модели. Таким образом, готовностьшкольников к знакомству с текстовой задачей предполагает определенный уровеньсформированности:
1)навыков чтения;
2)  представленийо смысле действий сложения и вычитания, их взаимосвязи, о понятиях увеличить(уменьшить) на, о разностном сравнении;
3)  основныхмыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения);
4)умения описывать предметные ситуации и переводить их на язык схем иматематических символов;
5)умения чертить, складывать и вычитать отрезки;
6)умения переводить текстовые ситуации и схематические модели.
Вотличие от других авторов учебников, Н.Б. Истомина впервые вводит понятие текстовойзадачи только в третьей четверти Iкласса. Происходит это при изучении темы «Увеличить на… Уменьшить на…Состав однозначных чисел». В задании: «На одной тарелке 9 яблок, а на другой —на 2 яблока меньше. Обозначь каждое яблоко кругом и покажи на рисунке, сколькояблок на каждой тарелке»- вербальная модель впервые переводится в предметную,но здесь учащиеся еще не знакомятся с термином «задача», с ее структурой ирешением, а только готовятся к этому. Выполнение этого задания направлено наформирование у учащихся нескольких видов общеучебных умений. Это и учебно-организационныеумения: понимать действие, сравнивать полученный результат (в данном случае ввиде условного рисунка) с задачей, оценивать свою учебную деятельность идеятельность в данном случае героев учебника, Маши и Миши (далее в учебникепредлагается оценить, кто из них правильно выполнил условный рисунок, исравнить со своим вариантом). Это и учебно-информационные умения: сознательно иправильно читать текст с соблюдением норм литературного произношения,логических ударений, пауз; осуществлять качественное и количественное описаниекомпонентов объекта после наблюдения. Это и учебно-интеллектуальные умения: перерабатыватьзнания (анализировать, обобщать, сравнивать) для необходимого результата,преобразовывать информацию из одной формы (вербальной или письменной) в другую(иллюстративную).
Приизучении темы «Число и цифра О» первоклассники продолжают выполнять подготовительныеупражнения к решению текстовых задач. Одно из них такое: «Петя сделал 7корабликов и З из них подарил Саше. Обозначь каждый кораблик квадратом ипокажи, сколько корабликов Петя подарил Саше и сколько корабликов у негоосталось». В ходе выполнения этого упражнения, а именно обозначения корабликовквадратами, у школьников формируется учебно-информационное умение строитьпростейшие модели после осуществления наблюдения. Далее автор учебникапредлагает вновь определить, кто из героев учебника (Маша или Миша) правильновыполнил задание. Сравнение приведенных здесь условных рисунков способствуетформированию таких качеств ума, как глубина, гибкость, устойчивость,самостоятельность, т.е. формированию учебно-интеллектуальных умений.
Тема«Сложение и вычитание отрезков» полезна для учащихся Iкласса не только в плане формирования обобщенных представлений о конкретномсмысле сложения и вычитания, но и для осознанного использования схем прирешении задач. Одно из заданий этой темы звучит так: «Подумай! Как начертитьотрезок, равный разности отрезков АВ и CD?»Героиучебника Маша и Миша предлагают свои решения, а учащиеся должны объяснить, ктоиз них прав. Выполнение этого задания помогает формированию следующих умений:
а)учебно — коммуникативных (выражать мысли на языке математики, аргументировать идоказывать);
б)учебно-интеллектуальных (перерабатывать знания для необходимого результата,преобразовывать информацию);
в)учебно-организационных (осуществлять самоконтроль и самоанализ своей учебнойдеятельности, оценивать свою деятельность и деятельность других).
Приизучении темы «На сколько...?» в учебнике встречаются задания, выполняя которыеучащиеся должны соотнести предметную модель с математической (равенством). Этиупражнения нацелены на усвоение смысла действий сложения и вычитания понятияразностного сравнения и являются подготовительными к решению текстовых задач.Одно из таких заданий: «В букете 4 желтых розы и 5 белых.
Второклассникиучатся показывать решение текстовых задач уже не только с помощьюсимволического рисунка, но и рисунками-схемами. Выполняя задание: «Карандашдлиннее ручки на 2 см. Догадайся, как показать это, пользуясь отрезками», учащиесясамостоятельно приходят к правильному ответу, опровергая высказывания герояучебника Маши, которая думает, что это нельзя сделать, ведь неизвестна длинаручки. Ученики соглашаются с другим персонажем учебника (Мишей) в том, чтодлину ручки знать не нужно и что соотношение длин можно показать с помощьюотрезков. Нетрудно видеть, что в данной ситуации у учащихся формируется умениепреобразовывать одну информацию в другую, передавать содержание задания всжатом виде, что способствует формированию учебно -методических умений. Приработе над задачей: «У Вовы 74 марки, а у Миши на 8 марок больше. Каким отрезкомобозначены марки Вовы? Каким отрезком — марки Миши? Построй отрезок, которыйбудет показывать, сколько марок у Вовы и Миши вместе. Построй отрезок, которыйбудет показывать, на сколько марок у Миши больше, чем у Вовы» у учениковформируются все виды общеучебных умений:
а)учебно-организационные (соблюдение последовательности действий, использованиеучебных принадлежностей);
б)учебно-информационные (работа с вопросами и заданиями к учебному тексту;осуществление наблюдения объекта в соответствии с целями и способами,предложенными учителем);
в)учебно-интеллектуальные (в большей степени анализ и синтез, в меньшей —сравнение).
Вовторой четверти II класса учащиесязнакомятся со структурой задачи, с записью ее решения и ответа. Эта работаначинается с формирования умения читать текст задачи, т.е. устанавливатьвзаимосвязь между ее условием и вопросом. С этой целью в учебниках включеныспециальные задания на сравнение, преобразование и конструирование, т.е. на формированиеучебно-интеллектуальных умений. Если при подготовке к решению текстовых задач вучебнике уделяется больше внимания формированию таких умений, как анализ исинтез, то при знакомстве со структурой задачи развиваются умения сравнивать,обобщать и классифицировать.
Такимобразом, при обучении младших школьников решению задач формируются такиеспециальные умения, как умение читать текст задачи, устанавливать взаимосвязимежду условием и вопросом, данным и искомым, выбирать арифметическое действиедля решения, а также развиваются и общеучебные умения. Следовательно, приподготовке к уроку математики учитель должен продумать, какие общеучебныеумения следует формировать в ходе организации той или иной формы работы.

Методварьирования текстовых задач как средство повышения осознанности знанийучащихся начальных классов
Особуюактуальность в настоящее время имеет развивающая парадигма образования. Напервый план выдвигаются личностные достижения ученика, а знания рассматриваютсякак средство развития. Процесс обучения должен способствовать формированию осознанныхи прочных знаний учащихся, которые, в свою очередь, являются движущей силойразвития потенциала личности и необходимым условием предметной иинтеллектуальной компетентности как нового результата школьного образования.
ПедагогиИ.Я. Лернер, М.Н. Скаткин, В.В. Краевский рассматривают следующие показателикачества знаний: полноту и глубину, свернутость и развернутость, конкретность иобобщенность, оперативность и гибкость. Они являются предпосылками инеобходимыми условиями формирования качеств, стоящих как бы на вершине пирамидызнаний, а именно осознанности и прочности. В методике обучения математикеосознанность знаний рассматривается преимущественно как умение школьниковобосновывать решение задач, а проверяется осознанность и прочность по умениюрешать задачи. Решение текстовых задач является одним из наиболее эффективныхсредств, реализующих цель образования, связанную с формированием инициативной,творческой личности, так как только при решении текстовых задач реализуются всетри этапа применения математики: формализации знаний; решения задачи внутрипостроенной математической модели; интерпретации полученного решения задачи(В.В. Фирсов).
Вкачестве одного из важных средств формирования осознанных и прочных знаний поматематике можно использовать разработанный метод варьирования текстовых задачкак способ конструирования учебного материала и как метод организации учебнойдеятельности учащихся. Выделяются следующие основные свойства осознанности, которыецелесообразно формировать при обучении математике: осмысление связей иотношений между знаниями; осознание одних знаний как базовых для других знаний.Это позволило в ходе исследования конструировать эти связи и отношения междутекстовыми задачами, а также выделять или составлять 11  базовую (основную)задачу по теме. В результате было сформулировано определение методаварьирования текстовых задач и определение базовой задачи.
Методварьирования текстовых задач — это способ конструирования изодной задачи (назовем ее базовой) цепочки взаимосвязанных задач.
Опираясьна обязательные результаты обучения математике и учитывая математическуюподготовку класса, изначально выбираем или конструируем базовую (основную)задачу по теме. Базовая задача — это задача с несложными математическимизависимостями, заданными явно. Решение этой задачи необходимо для решениядругих задач по теме. Базовая задача по теме служит подготовительной,«трамплинной» задачей для решения всех последующих сконструированных задач.Каждая новая задача соотносится и с базовой задачей, и с ранее составленнымизадачами. Организуя коллективную познавательную учебную деятельность учащихсяпо конструированию задач, педагог широко использует активность и инициативусамих учеников в данном виде деятельности. Формирование осознанных и прочныхзнаний при решении текстовых задач происходит в процессе преобразующей учебнойпознавательной деятельности, в ходе конструирования на уроке, на глазах уучащихся цепочек взаимосвязанных задач с помощью метода варьирования текстовыхзадач. Повышение осознанности и прочности знаний достигается через установлениесвязей между задачами (в сконструированной цепочке задач), через осмыслениеучащимися важности умения решать базовую задачу, за счет формирования ушкольников мыслительной операции преобразования в ходе изменения структурызадачи и ее формы предъявления.
Наосновании теоретического анализа методической литературы и многолетнего опытаработы нами выделены следующие приемы варьирования текстовых задач.
Прием1. Изменениесюжета задачи и (или) числовых значений величин задачи.
Прием2. Изменениематематических зависимостей между величинами, заданными в условии.
Прием3. Добавлениеданных в условие задачи при том же требовании.
Прием4. Изменение(добавление) требований задачи при том же условии .
Прием5. Составлениеобратных задач.
Прием6. Составлениезадач с недостающими или избыточными данными.
Передхарактеристикой отдельных приемов варьирования задач остановимся на краткоманализе уровней осознанности знаний.
Опираясьна разработанные уровни осознанности знаний в педагогике (М.Н. Скаткин, В.В.Краевский), психологический подход к показателям качества знаний (умениеосуществлять переходы между предметным, знаковым и модельно-образным планомсодержания знаний), а также учитывая важность операции преобразования для формированияосознанных знаний, разработали уровни осознанности знаний при решении текстовыхзадач.
Первыйуровень осознанностихарактеризуется умением воспроизвести знания по образцу, т.е. в стандартнойситуации. Поэтому в исследовании для проверки сформированности умений первогоуровня осознанности конструируется текстовая задача, аналогичная базовой задачепо выбранной теме. Ученик осуществляет переход между предметным планом (текстзадачи), модельно-образным (схема задачи, краткая запись текста задачи) изнаковым (математическая модель задачи) планами содержания знаний, чтоудовлетворяет психологическим требованиям к диагностическим работам,направленным на проверку осознанности знаний (В.А. Львовский).
Второйуровень осознанностихарактеризуется умением проводить операцию сравнения, противопоставления,обобщения, умением интерпретировать и доказывать. Поэтому конструированиезадачи 2 для проверки сформированности умений второго уровня осознанностиосуществляется на основе преобразования зависимостей в структуре задачи 1.Усложнение структуры задачи проводится за счет изменения первоначальныхвзаимосвязей в базовой задаче, за счет введения дополнительных элементов вусловие задачи, в требование задачи, т.е. за счет применения второго, третьегои четвертого приемов варьирования. В математически подготовленном классевозможно предъявление схемы задачи обратной структуры с использованием пятогоприема варьирования.
Третийуровень осознанностихарактеризуется наличием умений первых уровней, а задачи данного уровняосознанности должны содержать преобразование и включение новых знаний в ужеимеющиеся структуры. Поэтому конструирование задачи 3 для проверкисформированности умений третьего уровня осознанности осуществляется с помощьювторого, третьего, четвертого и пятого приемов варьирования. Сконструированнаязадача 3 предъявляется ученикам в знаковом плане, т.е. в виде математическоймодели. Ученик осуществляет переход между знаковым, модельно-образным ипредметным планами содержания знаний. Он должен сравнить математическую модельпредложенной задачи с математической моделью предыдущей задачи и преобразоватьсодержание задачи 2 так, чтобы оно соответствовало предложенной математическоймодели. На третьем уровне осознанности кроме отработанных умений предыдущихуровней формируются следующие умения: переводить задачу из абстрактного плана вконкретный план; интерпретировать абстракцию — математическую модель задачи,т.е. разбивать математическую модель на подзадачи и соотносить их с текстами и сосхемами предыдущих задач; сравнивать, сопоставлять предложенную математическуюмодель задачи с математическими моделями решенных ранее задач; привести всоответствие факты действительности (текст задачи, схему задачи) стеоретической интерпретацией (математическая модель задачи); проводить анализчерез синтез всей сконструированной цепочки задач, делать обобщения.
Задачныйматериал к каждому приему варьирования должен удовлетворять разработаннымуровням осознанности знаний, способствовать созданию в сознании учащихсяправильного взаимоотношения между содержанием задач и их внешним выражением(предметным, знаковым, модельно-образным).
Вначальных классах широко используется первый прием варьирования текстовыхзадач, на характеристике которого остановимся подробнее.
Выделивуровни осознанности знаний учащихся, мы отметили, что первый уровеньосознанности знаний предполагает умение применять знания по образцу, в схожейситуации. В обучении решению задач с помощью метода варьирования ученикидостигают первого уровня осознанности знаний, если могут самостоятельно решитьбазовую задачу или аналогичную ей. Данный прием варьирования как раз ипредполагает: изменяя сюжет задачи и (или) изменяя числовые значения данных,школьники получают задачу, аналогичную базовой. Таким образом, применяя первыйприем варьирования, можно сформировать у школьников знания на первом уровнеосознанности.
Исследуяпути повышения качества усвоения знаний по математике в начальной школе, Н.А.Менчинская и Д.Н. Богоявленский предостерегали от возможности формированиястереотипа при решении задач и предлагали для снятия данного недостаткавыполнять некоторые правила. Анализируя рекомендации данных авторовприменительно к формированию осознанности знаний школьников, сформулированыследующие требования, которых нужно придерживаться при составлении задач первымприемом варьирования.
Требование1. Изменяясюжет (фабулу) задачи, желательно применять различные глаголы для описанияопераций, выполняемых заданным действием, например, отдали, отнесли, потеряли,съели, истратили и т.д.
Требование2. Изменяясюжет задачи, необходимо следить, чтобы определенные данные не присутствовали взадачах в постоянном сочетании. Если это требование не соблюдать, то школьники,решая задачу по аналогии, проводят сразу привычный синтез, игнорируя анализзадачи. Например, рассмотрим задачи 1 и 2.
Задача1. В первой цистерне 11О т нефти. Во второй цистерне нефти больше, чем впервой, в 4 раза. Сколько нефти в двух цистернах вместе?
Задача2. В первой корзине было в 4 раза больше слив, чем во второй. Сколькокилограммов слив было вместе в двух корзинах, если во второй было 12 кг?
Вовторой задаче при изменении сюжета взаимосвязь между данными (в 4раза больше) осталасьпрежней. Однако здесь видны два изменения: во-первых, поменялись местамиизвестное количество и неизвестное (стало известно количество слив во второйкорзине, а не в первой); во-вторых — отношение в 4 раза больше поставлено напервое место, а известное количество слив во второй корзине встроено в вопросзадачи, что потребует от ученика умения вычленить это данное из вопроса задачи,т.е. провести анализ, а не решить задачу по образцу.
Требование3. Изменяясюжет задачи, необходимо фиксировать связи между величинами не только в явной,но и в косвенной форме.
Приведемпримеры.
Задача1. В первой коробке 27 карандашей. Сколько карандашей в трех коробках вместе,если во второй коробке в 3 раза меньше карандашей, чем в первой, а в третьейкоробке на 17 карандашей больше, чем во второй коробке?
Задача2. В первом ящике 57 кг яблок, во втором ящике в 3 раза меньше, чем в первом ина 17 кг меньше, чем в третьем ящике. Сколько килограммов яблок вместе в трехящиках?
Требование4. Меняячисловые данные в задаче, некоторые из них можно записывать в словесной форме.Так, вместо «в 3 раза», можно записать «в три раза». Это приучает учащихсяосмысливать текст задачи, а не пользоваться чисто внешними проявлениями исоотносить между собой только данные, записанные цифрами.
Требование5.Переводить задачи из конкретного плана в абстрактные значения (заменятьчисловые величины буквенными). Эта форма работы важна, особенно в IV-Vклассах, так как она приучает учащихся самостоятельно «переводить» на языкматематических терминов различные соотношения, записанные в конкретнойжизненной форме. Приведем пример.
Задача1. Купили 10 тетрадей по 7 р. и 8 карандашей по 4 р. Сколько стоит вся покупка?
Задача2. Цена тетради а копеек, а карандаша bкопеек.Сколько надо заплатить за х тетрадей и у карандашей?
Здесьобобщение рассматривается как переход от конкретного плана к абстрактномуплану.
Требование6. Переводзадачи из абстрактного плана в конкретный план. Например, дана задача: «Суммадвух чисел равна а, одно число больше другого на b.Найтиэти числа». Конкретизируем задачу, придумав в ходе коллективной деятельностисюжет: «У Васи и Коли вместе 20 орехов, причем у Васи больше, чем у Коли, на 4ореха. Сколько орехов у каждого мальчика?»
Выполняяописанные выше требования конструирования задач с 16 помощью первого приемаварьирования, педагог активизирует процесс мышления учащихся (за счетпродуманного преобразования структуры задачи), а не только формируетрепродуктивную деятельность, в ходе которой, как известно, перегружаетсяпамять, что приводит к повышенной утомляемости и утрате интереса к обучению[4].
Первыйприем варьирования используется учителем в основном как механизм построениятекстовых задач. В меньшей степени он подходит для организации преобразующейдеятельности учащихся на уроке, которую целесообразно развивать приконструировании задач с помощью остальных приемов варьирования. Рассмотримиспользование второго и шестого приемов варьирования для конструированияцепочки взаимосвязанных задач по теме «Периметр и площадь прямоугольника».
Технологиясоставления упражнений с недостающими данными проста: из обычной учебнойтекстовой задачи учитель убирает одно данное. Далее работа с задачей на урокеможет быть построена разными способами.
Способ1: доопределить условие задачи, используя субъектный опыт учащихся и ранееприобретенные знания.
Способ2: доопределить условие задачи, используя таблицы, графики, диаграммы.
Способ3: оставить задачу с неполным условием и получить исследовательскую задачу, таккак она будет иметь неоднозначное решение [3].
Рассмотримработу с такой задачей третьим способом. Предварим составление задачи снеполными данными составлением трех задач с использованием второго приемаварьирования.
Задача1 (базовая, первый уровень осознанности). Длина прямоугольника равна 9 см, аего ширина на 6 см меньше длины. Найти периметр и площадь данногопрямоугольника. Составь краткую запись (схему) задачи, запиши решение подействиям.
Задача3 (третий уровень осознанности). По равенству Р = (5 + (5 + 2) • 2 составьзадачу с похожим сюжетом. Выполни краткую запись задачи, запиши ее решение подействиям, составь равенство для нахождения периметра прямоугольника, сравниполученное равенство с данным. На равенство в какой задаче похоже данноеравенство? Чем отличается равенство задачи 3 от равенства задачи 1? Какизменится текст задачи 3 по сравнению с задачей 1?
Присоставлении задачи по равенству внимание учащихся направлено на анализ зависимостеймежду величинами, определяемых данным выражением. Это, в свою очередь,оказывает положительное влияние и на те случаи, когда впоследствии учащиесясамостоятельно будут решать готовые задачи, так как они осознанно вникли вструктуру задачи, разложив на составные части данное выражение и восстановиввзаимосвязи между сторонами прямоугольника. Использование второго приемаварьирования при составлении данной цепочки задач позволяет школьникампроводить постепенное сокращение промежуточных звеньев рассуждений при решениипоследующих задач.
– Чемпохожи задачи 1, 2 и 3? (Одинаковый периметр.) Какая площадь у этихпрямоугольников? (Разная.) Сколько существует прямоугольников с периметром 24см?
Такимобразом, в ходе беседы получена задача 4 с неполным условием: «Периметрпрямоугольника 24 см. Найти его площадь».
– Сколькорешений этой задачи уже получено? Выпишем их.
Еслипри решении данной задачи возникают затруднения, то учитель может задатьнаводящий вопрос: «Чему равна сумма длины и ширины?» На доске и в тетрадяхучащихся появляются записи.
школьник умение математический текстовый задача
Р=(9+ 3) • 2,       S = 27.
Р=(8+ 4) • 2,       S=32.
Р=(7+ 5) • 2,       S=35.
Р=(11+ 1) • 2,     S=11.
Р=(10+ 2) • 2,     S=20.
Р=(6+ 6) • 2,       S=36.
Ответ:задача имеет 6 решений.

Осуществляяперебор возможных вариантов, учащиеся проводят элементы исследовательскойдеятельности и отвечают на вопросы: «У какого прямоугольника самая большаяплощадь? Как его можно назвать по-другому?» В старших классах мы докажем, чтоиз всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.Используя данный факт, можно решить практическую задачу 5: «Для ограждениядачного участка купили 92 м сетки. Какой формы участок выгоднее обнести этойсеткой? Чему равна площадь такого участка?»
Еслизадачу 4 дать без предварительно решенной цепочки из трех задач, то это будетисследовательская задача. Решение трех предварительных задач позволило включитьв исследовательскую деятельность всех учащихся класса, так как эти три задачииграли роль подзадач, а исследовательская задача возникла естественным путем назаключительном этапе их решения. Таким образом, при конструировании такойцепочки задач возможно формирование осознанных знаний всех рассмотренных трехуровней.
Упражнениядолжны формулироваться учителем так, чтобы их выполнение требовалосамостоятельной мысли ученика, т.е. было направлено на творческий поискученика. Именно такой подход использует в своей работе учитель начальныхклассов школы № 249 Санкт-Петербурга Е.В. Милейко, работающая по программе«Школа 2100». Рассмотрим, как она использовала групповую работу на урокематематики в III классе при изучениитемы «Скорость, время, расстояние» на этапе закрепления материала.
Каждаягруппа получила конверт, в котором находились 8 листов бумаги. На четырех изних были записаны задачи с недостающими данными, а на четырех — саминедостающие данные. Ученики должны были собрать задачи и решить их.
Задачис недостающими данными
1.Длина садовой дорожки равна 120 м. Сколько метров проползала черепаха за однуминуту?
2.Длина садовой дорожки равна 120 м. Сколько метров пробегала собака за однусекунду?
3.Длина садовой дорожки равна 120 м. Какова ширина дорожки?
4.Длина садовой дорожки равна 120 м. Во сколько раз дорожка длиннее моста?
Недостающиеданные задач
1.Черепаха проползла этот путь за 40 мин.
2.Собака пробежала этот путь за 40 с.
3.Ее ширина в 40 раз меньше.
4.Длина моста 40 м.
Вовремя коллективной проверки сконструированные задачи прочитываются вслух,высказываются замечания, возражения по составлению задач.
– Естьли среди данных задач такие, в которых требуется найти скорость? Почему вы такрешили? Чем похожи эти задачи? Чем они отличаются?
Послевысказываний учащихся предлагается следующее задание:
– Маша,Катя, Толя и Вася решали каждый только одну из предложенных задач и получилиследующие результаты.
Надоске открывается запись: 3 м/мин, 31 м/с, 3 м, 3 раза.
– Можноли определить, кто какую задачу решал? Соотнесите данные ответы с каждой изпредложенных задач.
Обобщениеизученного материала проходит через составление и решение задачи: на подборсоответствующего данного.
Педагогпредлагает вписать недостающую часть условия следующей задачи: «Длина веткиравна 90 см. Ответ: скорость муравья 30 см/мин» и сформулировать вопрос.
Деформированныеупражнения с недостающими данными, предложенные учителем на уроке, способствуютстановлению гибкости мышления, что обусловливает, в свою очередь, формированиеосознанных и прочных знаний учащихся.
Развитиематематического мышления учащихся посредством решения эвристических задач
Напервых занятиях для самостоятельного решения всем детям предлагалась одна и таже задача. После того как дети познакомились с особенностями решения задачкаждого вида, методика работы была изменена. На последующих занятияхраздавались индивидуальные карточки, например:
Карточка-задание№ 1
1.В доме живут Коля и Наташа. Около дома гуляет только Наташа. Где Коля?
2.На сколько минут ты опоздаешь в школу, если твои часы будут отставать на 10минут, а ты думаешь, что они спешат на 10 минут, и вышел из дома так, чтобыприйти точно?
3.У Толи на 8 яблок больше, чем у Оли. Сколько яблок должен Толя отдать Оле,чтобы яблок у них стало поровну?
4.Как отмерить 1 л воды, если есть кружки емкостью 5 л и 2 л?
5.Какое слово лишнее и почему:
а)      лошадь,корова, волк, кошка, собака;
б)      молоко,масло, сало, сливки, простокваша.
6.      Нарисуйотдельно простые фигуры, из которых состоит эта фигура:
Наиболееуспешно дети справлялись с решением задач логического типа, в которых им былхорошо знаком или материал (числа, геометрические фигуры, конкретные предметы),или операции (анализ признаков геометрических фигур, продолжениепоследовательности чисел с определенной закономерностью чередования и др.).Задачи, требующие исключительно внутреннего плана действий, установлениясложных отношений, перестановки и комбинирования простых элементов, переборавариантов, решались на первых порах с большим трудом. Однако следует отметить,что именно эти действия особенно заметно прогрессировали в процессе работы.
Завремя занятий отношение детей к эвристическим задачам, а также к другимзаданиям по математике существенно изменилось. Значительно повысился интерес кобучению. Подход к решению любых задач стал более гибким и самостоятельным.Рассуждения стали более последовательными и доказательными. Особенно заметноразвился навык учащихся по решению задач, имеющих несколько вариантовправильных ответов, и задач с использованием активного поиска решения методомперебора вариантов отношений.
Нанаш взгляд, для детей младшего школьного возраста одним из эффективныхдидактических средств, способствующих формированию гибкости мышления, являютсятакже дидактические игры, логические и занимательные задачи, головоломки,которые составлены на основе знания законов мышления и в которых догадке какспособу решения предшествует тщательный анализ существенных признаков.
Покажем,как мы осуществляем обучение младших школьников приемам умственной деятельностина примере решения задач-головоломок с палочками.
Входе обучения мы выделили пять последовательных этапов в развитии поисковыхдействий.
Напервом этапе у детей формировалось умение воспринимать задачу(что надо сделать) и в результате практических поисков приходить к решению(составить, видоизменить фигуру), видеть и называть получившиеся геометрическиефигуры (квадрат, треугольник, четырехугольник, многоугольник и т.д.), пониматьзначение слова «общая» по отношению к стороне, «смежная» — для двух фигур, атакже значение слова «присоединил», говоря о способе составления.
Дляэтого можно использовать задачи на составление фигур из палочек. Составить:
1) флажок,лопатку из 5 палочек;
2) домикиз 6 палочек;
3) 2равных треугольника из 5 палочек;
4) 2равных квадрата из 7 палочек;
5) 3равных треугольника из 7 палочек;
6) 3равных квадрата из 10 палочек;
7) 4равных треугольника из 9 палочек;
8) из5 палочек квадрат и 2 равных треугольника.
Решениесостоит в пристраивании к одной фигуре другой (из меньшего количества палочек)или в делении одной фигуры для получении новой.
Педагогпредварительно предлагает детям наметить возможные построения, обучая детейчастичному планированию поиска в уме. У ребенка должна возникнуть идея и способрешения (какие палочки и куда положить). На этом этапе обучения можно научитьдетей осуществлять осознанные практические действия, отбрасывать способы, неприводящие к правильному решению, не бояться необычных подходов. В результате удетей воспитывается гибкость, подвижность мышления.
Навтором этапе обучения ставятся новые цели: учить детей рациональному способурешения задач (преобразованию). Постепенно способ решения задач путем проб иошибок должен быть заменен более эффективным, основанным на предварительнымобдумывании, выдвижении предположений. На этом этапе педагог иначе руководитпроцессом решения задачи. Если на первом этапе обучения он поощрял пробныеориентировочные действия ребенка, то теперь он предлагает проанализироватьзадачу, высказать предположения, прежде чем действовать практически. Анализсостоит в пересчитывании фигур, из которых составлена задача, самостоятельномвыделении необходимых преобразований. Затем педагог предлагает подумать, какнужно решать задачу, высказать свое предположение, а затем проверить егопрактически. Необходимо так организовать руководство процессом поиска решения,чтобы при анализе практических проб ребенок пришел к идее решения и высказалее. Если решение ошибочно, он должен убедиться в этом и искать новый путь.
Наэтом этапе содержание задач усложняется. Используются такие задания, длякоторых надо убрать заданное количество палочек.
Задача1.В фигуре, состоящей из 6 квадратов, убрать 2 палочки, чтобы осталось 4квадрата. (Слева изображена начальная конфигурация, справа — ответ.)
/>
Задача2. Вфигуре из 5 квадратов убрать 3 палочки, чтобы осталось 3 квадрата. (Слеваизображена начальная конфигурация, справа — ответ.)
/>
Третийэтап обучениянаправлен на то, чтобы постепенно подводить детей к решению задач в уме. Детямпредлагают: «Рассмотрите составленную фигуру. Подумайте, что надо сделать икак. Сначала скажите, как вы собираетесь решать задачу. Проверьте правильностьэтого способа решения и только потом перекладывайте палочки». Для развитиятворческой мыслительной деятельности надо учить детей догадываться о решении.Это возможно при глубоком понимании постановки задачи. Педагог предлагает:«Подумай и догадайся, как решить эту задачу».
Натретьем этапе даются задачи на более сложные преобразования.
Задача3. Из9 спичек сложите весы (как на рисунке слева). Переложив 5 спичек, сделайте так,чтобы весы оказались в состоянии равновесия. (Ответ дан на рисунке справа.)
/>
Начетвертом этапе даются задания на добавлениенеобходимого числа палочек к исходной фигуре для получения нужного результата.Подобные задачи часто имеют несколько решений.
Задача4. Изгородьквадратного сада составлена из 16 спичек. В саду расположен дом, представленныйквадратом из 4 палочек, как на рисунке слева. Взяв еще 10 спичек, попробуйтеразделить сад (без дома) на 5 равных одинаковых участков. (Ответданна рисунке справа.)
/>
Напятом этапе детям предлагается самостоятельно сконструироватьподобные задачи, представить свой проект и организовать решение составленнойзадачи.
Проведеннаяработа и ее результаты позволяют сделать вывод о том, что систематическоерешение эвристических задач на внеклассных занятиях является эффективнымсредством повышения интереса детей к обучению математике, развития ихумственной инициативы и творческой активности.

Заключение
Такимобразом, трудно переоценить роль математики в обучении и развитии мышления ипознавательной активности школьников. Благодаря прикладной особенностиматематический аппарат используется при изучении различных предметов, чтоспособствует их более глубокому усвоению. При этом активизируется учебнаядеятельность школьников, в процессе которой они овладевают методами познания,расширяется их кругозор и формируется научное мировоззрение. Работа выполнена сцелью изучить, какие актуальные методы и приемы решения задач, используемые всовременных начальных школах, позволяющие детям осознанно решать задачи. Возможностиформирования общеучебных умений при решении текстовых задач рассматриваетсяпроцесс решения задач как переход от словесной модели к математической.
Воснове этого перехода лежит семантический (смысловой) анализ текста и выделениев нем математических понятий и отношений (математический анализ текста).Учащиеся должны быть подготовлены к этой деятельности. Выделяются основныесвойства осознанности: осмысление связей и отношений между знаниями; осознаниеодних знаний как базовых для других знаний. Это позволило в ходе исследованияконструировать эти связи и отношения между текстовыми задачами, а такжевыделять или составлять базовую (основную) задачу по теме. В результате былосформулировано определение метода варьирования текстовых задач и определениебазовой задачи.
Методварьирования текстовых задач — это способ конструирования изодной задачи (назовем ее базовой) цепочки взаимосвязанных задач.
Наиболееуспешно дети справлялись с решением задач логического типа, в которых им был хорошознаком или материал, или операции. Задачи, требующие исключительно внутреннегоплана действий, установления сложных отношений, перестановки и комбинированияпростых элементов, перебора вариантов, решались на первых порах с большимтрудом. Однако следует отметить, что именно эти действия особенно заметнопрогрессировали в процессе работы.

Литература
1.  Давыдов.В.В. Содержаниеи структура учебной деятельности школьника / В.В. Давыдов // Формированиеучебной деятельности школьника; под. ред. В.В. Давыдова и др. — М.:Педагогика, 1982.
2.  ЕленьскаЛ. Методикаизучения арифметики и геометрии. М., 1960.
3.  Зайцева.СЛ. Методикаобучения математике в начальной школе: учебно-метод. пос. / С.А. Зайцева, И.И.Целищева, И.И. Румянцева. — М.: Владос, 2008. — 192 с.
4.  ИвановаТ.С. Экологическоеобразование и воспитание в начальной школе. М., 2003.
5.  ИстоминаН.Б. Методические возможности калькулятора при обучении младших школьниковматематике. – М.: Просвещение, 2000 г.- 110 с.
6.  КрутецкийВ.А. Психологияматематических способностей школьников. М.; Воронеж, 1998.
7.  МороМ.И. и др. Математика: Учеб. для IVкл. Ч. 2. М., 2002.
8.  МороМ.И. Пышкало А.М. Методика обучении математике в 1-4 классах. – М.:Просвещение,1995 г.
9.  СмирноваА.А. Методварьирования текстовых задач по математике как средство повышения качествазнаний учащихся: Дис. канд. пед. наук. СПб., 2007.
10.  ТарасовJI.B.Модельшколы «Экология и диалектика» // Школьные технологии. 1997. №1.
11.  ФоминыхЮ.Ф., Худякова МЛ. Перспективы преподавания математики пообогащающей модели // Проблемы и перспективы развития методики обученияматематике. СПб., 1999. Фоминых Ю.Ф., Худякова МЛ. Роль обучающих заданий вповышении математической компетентности учащихся // Содержание и методыобучения математике в школе и вузе на рубеже столетий: исторический и методологическийаспекты. Брянск, 2000 г.
12.  Фридман.,JI.M.Наглядностьи моделирование в обучении / Л.М. Фридман. — М.: Знание, 1984. Целищева, И.И. Использованиемоделирования в процессе работы с текстовой задачей в 1 классе / И.И. Целищева,С.А. Зайцева // Начальная школа. — 2008. — № 1. — С. 55-63. Целищева., И.И.Моделирование простых текстовых задач: уч. Пос. /И.И. Целищева, С.А. Зайцева.М.: Чистые пруды, 2006. – 32 с. (Библиотечка «Первое сентября», серия«Начальная школа»). Целищева. И.И. Организация работы над текстовой задачей наоснове модели / И.И. Целищева, С.А. Зайцева. // Начальная школа. — 2007. — № 4- 6. Фридман Л.М. Логико- психологический анализ школьных учебных задач. –М.:Просвещение, 1991 Эрдниев П.М. взаимообразные действия в математике. – М.:Просвещение,1991 г.- 254 с.
13.  ЭрдниевП.М. Факторвремени в процессе обучения и проблема «укрупнения единицы усвоения знания» //Вопросы философии. 1974. №4.
14.  Леснаягазета. 2005. № 61 (9607). Июль.- с. 15