Формування та розвиток математичних здібностей

Міністерствоосвіти і науки України
Вінницькийдержавний педагогічний університет
ІменіМихайла Коцюбинського

Курсоваробота
натему:
 
Формуваннята розвиток математичних здібностей
Виконала:
студентка спеціальності
Математика та основи інформатики
групи 4Бм
Мазур О.С.
Керівник: Чала Катерина Олександрівна
2010р
м.Вінниця

Зміст
Вступ.
Розділ 1. Загальна характеристика здібностей.
1.1 Поняття проздібності
1.2 Задатки як природні передумови здібностей італанту та їх відмінність.
1.3 Розвиток здібностей
Розділ 2. Математичні здібності
2.1 Основні поняття та загальна схема структуриматематичних здібностей
2.2 Вікові особливості формування та розвиткуматематичних здібностей
2.3 Про статеві відмінності в характеристиціматематичних здібностей
2.4 Розвиток творчих здібностей учнів та дослідження
Висновки
Список використаної літератури
Додатки

Вступ
Однією з важливихрис сучасного розвитку суспільства є швидкий ріст потреби у науково-технічнихкадрах, які володіють глибокими знаннями і здатні здійснювати творчий,дослідницький підхід до розв'язання різноманітних теоретичних і практичнихзавдань. Правильний добір і розстановка кадрів передбачають максимальнуреалізацію можливостей кожної людини, а для цього необхідно виявляти ціможливості та розвивати їх. Виходячи із сказаного, можна зрозуміти той інтерес,який за останні 20-30 років проявляється в психолого-педагогічній літературі допроблеми здібних та обдарованих дітей, діагностики та формування здібностей нарізних вікових етапах розвитку людини. Для вітчизняної психології останні рокибули досить продуктивними щодо використання існуючих у світовій науці тастворенні нових методик, спрямованих на об'єктивне вивчення психічних явищ і націй основі надання кваліфікованої допомоги конкретній людині.
Коли минамагаємося зрозуміти і пояснити, чому різні люди обставинами життя поставленів однакові, або приблизно однакові умови, досягають різних успіхів, мизвертаємося до поняття “здібності”, вважаючи, що різницю в успіхах можна цілкомдостатньо пояснити ними. Це ж поняття використовується нами тоді, коли потрібноусвідомити, у силу чого одні люди швидше і краще, ніж інші, опановують знання,уміння і навички. Що ж таке здібності?
Здібності −визначаються як індивідуально-психологічні особливості людини, що виражають їїготовність до оволодіння визначеними видами діяльності і до їхнього успішноговиконання, що є умовою їхнього успішного виконання. Під ними розумієтьсявисокий рівень інтеграції і генералізації психічних процесів, властивостей,відношень, дій і їхніх систем, що відповідають вимогам діяльності.
У даній роботірозглядається формування і розвиток математичних здібностей. А саме віковіособливості формування і розвиток математичних здібностей, відмінністьматематичних здібностей у дівчаток і хлопчиків та ін.
Об'єктомдослідження сталиучні школи
Предметомдослідженнястали математичні здібності як психологічна особливість особистості.
Мета роботи полягає у детальномувивченні математичних здібностей учнів школи.
Гіпотезадослідження:ефективність формування дослідницьких математичних здібностей старшокласниківзначно зростає, якщо забезпечуватиметься системний підхід у цьому процесі, щопередбачає своєчасне виявлення дослідницьких здібностей старшокласників,розвиток інтересу до математично структурованого матеріалу, врахуванняіндивідуальних та вікових особливостей прояву цих здібностей.
Загальна гіпотезазнаходить свій прояв у таких часткових: 1) науково-теоретичне обґрунтуванняпсихології дослідницьких математичних здібностей полягає в тому, що вони єскладовою наукової математичної творчості; 2) математичні дослідницькіздібності є системним утворенням, в якому можна виділити такі визначальні складові:взаємозв'язок конвергентного і дивергентного мислення як здатності індивіду доаналітико-синтетичної діяльності, зокрема операцій класифікації таузагальнення, що пов'язане з вмінням знаходити нові, нестандартні та інваріантнірішення математичних задач; 3) індивідуальні прояви дослідницьких здібностей якінтерес до специфічно дослідницьких математичних задач проявляється вже в учнівсереднього шкільного віку, але найвищого рівня проявів він досягає в юнацькомувіці і полягає у схильності до математики, зокрема до того типу задач, яківимагають творчого, інваріантного розв'язку; 4) формування дослідницькихматематичних здібностей буде значно ефективнішим в умовах діяльного підходу дозмісту і методів вивчення математики, урахування індивідуального інтересустаршокласників до дослідницької математичної діяльності та володінняпрактичними навичками.
Стандослідження.В даний час темі здібності, в тому числі й математичні присвячено багато книг іоглядів, величезне число сторінок в інтернеті і велика кількість науковоїстатті, опублікованої в провідних наукових журналах світу по психології, де насторінках обговорюється багато проблем, які торкаються даної теми, і міститьсявеличезна кількість різної методики формування і розвитку математичнихздібностей
Актуальність. Цікаво зазначити, щорозвиток і формування здібностей в тому числі й математичних переживають періодінтенсивного розвитку. Завдяки різним методикам ми здатні постійно розвивати таформувати свої математичні здібності так і здібності учнів. За допомогою різнихтестів, кожна людина має можливість визначити чи є в неї ті чи інші здібності.

Розділ 1.Загальна характеристика здібностей
1.1 Поняттяпро здібності
 
Термін “здібності”,незважаючи на його давнє і широке застосування в психології, наявність улітературі багатьох його визначень, неоднозначний. Якщо сумувати його дефініціїі спробувати уявити їхню компактну класифікацію, то вона буде виглядати так:
Здібності − властивості душілюдини, що розуміються як сукупність усіляких психічних процесів і станів. Ценайбільш широке і найстаріше з існуючих визначень здібностей.
На даний час нимуже практично не користуються в психології.
Здібності являютьсобою високий рівень розвитку загальних і спеціальних знань, умінь і навичок,що забезпечують успішне виконання людиною різних видів діяльності.
Дане визначенняз'явилося і було прийняте в психології XVIII-XIX ст., часто використовується ізараз.
Здібності −це те, що не зводиться до знань, умінь і навичок, але пояснює (забезпечує) їхшвидке набуття, закріплення й ефективне використання на практиці.
Це визначенняприйняте зараз і найбільше поширене. Водночас воно є найбільш вузьким інайбільш точним з усіх трьох.
Проблемаздібностей є складною та багатогранною. Її комплексне дослідження проводитьсяна психофізіологічному, психологічному і соціально-психологічному рівнях. Однаксьогодні ми ще не можемо сказати, що вона у психології є повністю розв'язаною.У вітчизняних і зарубіжних психологів існують значні розбіжності при тлумаченнісамого поняття «здібності». Продовжуються дискусії про рольбіологічного і соціального в структурі здібностей, залишається нерозв'язанимпитання діагностики і вимірювання здібностей, продовжуються наполегливі пошукиефективних стратегій формування і розвитку здібностей до конкретних видівдіяльності.
Кожен з авторів(Б.М. Теплов, К.К. Платонов, О.Г. Ковальов та ін.) дає своє визначення поняття«здібності», яке, в принципі, є вірним і разом з тим неповним.
Так, О.Г.Ковальов під здібностями розуміє синтез властивостей людської особистості, щовідповідає вимогам діяльності і забезпечує високі досягнення в ній. Дещо іншоїточки зору дотримується Б.М. Теплов, який зазначає, що здібності − цетакі індивідуально-психологічні особливості, які мають відношення до успішностівиконання однієї чи декількох діяльностей. Вони не зводяться до наявнихнавичок, умінь і знань, але можуть пояснити легкість і швидкість їх набуття.Схожу позицію займають Г.С. Костюк і А.В. Петровський. Г.С. Костюк підздібностями розуміє такі істотні психологічні властивості людської особистості,які виявляються в її цілеспрямованій діяльності і зумовлюють її успіх.
Отже, визначаючипоняття здібності, всі автори сходяться в тому, що здібності − це не однаякась психологічна властивість особистості, а цілий її комплекс, що проявляєтьсяв активній діяльності людини.
Здібності, вважавБ.М. Теплов, не можуть існувати інакше, як у процесі постійного розвитку.Здібність, що не розвивається, якою людина перестає користуватися на практиці,згодом втрачається. Тільки завдяки постійним вправам, пов'язаним ізсистематичними заняттями такими складними видами людської діяльності, якмузика, технічна і художня творчість, математика, спорт тощо, ми підтримуємо всебе і розвиваємо відповідні здібності.
Успішністьбудь-якої діяльності залежить не від якоїсь однієї, а від сполучення різнихздібностей, причому це поєднання дає той самий результат і може бутизабезпечено різноманітними способами. За відсутності необхідних задатків дорозвитку одних здібностей їх дефіцит може бути поповнений за рахунок більшсильного розвитку інших.
Розглянемопитання про класифікацію здібностей людини. У першу чергу необхідно розрізнятиприродні, або натуральні, здібності (в своїй основі біологічно обумовлені) іспецифічні здібності, що мають суспільно-історичне походження.
Багато природнихздібностей є спільними для людини і тварин, особливо вищих, наприклад мавп.Такими елементарними здібностями є сприйняття, пам'ять, мислення, здатність доелементарних комунікацій на рівні експресії. Ці здібності безпосередньопов'язані з уродженими задатками, але не тотожні їм, а формуються на їх основіпри наявності елементарного життєвого досвіду через механізми навчання типуумовно-рефлекторних зв'язків, оперантного обумовлювання, імпринтингу і рядуінших. Зрештою за своїми здатностями, за їх набором і механізмом формуваннялюдина і тварини принципово відрізняються. У людини, крім біологічнообумовлених, є здібності, що забезпечують її життя і розвиток у соціальномусередовищі. Це загальні і спеціальні вищі інтелектуальні здібності, заснованіна користуванні мовою і логікою, теоретичні і практичні, навчальні і творчі,предметні і міжособистісні.
Загальніздібності включають ті, якими визначаються успіхи людини в найрізноманітнішихвидах діяльності. До них, наприклад, належать розумові здібності, тонкощі іточність ручних рухів, розвинута пам'ять, досконала мова і ряд інших.Спеціальні здібності визначають успіхи людини в специфічних видах діяльності,для здійснення яких необхідні задатки особливого роду та їх розвиток. До такихздібностей можна віднести музичні, математичні, лінгвістичні, технічні,літературні, художньо-творчі, спортивні і ряд інших. Наявність у людинизагальних здібностей не виключає розвитку спеціальних і, навпаки, нерідкозагальні і спеціальні здібності співіснують, взаємно доповнюючи й збагачуючиодна одну.
Теоретичні іпрактичні здібності відрізняються тим, що перші визначають схильність людини доабстрактно-теоретичних міркувань, а другі − до конкретних, практичнихдій. Такі здібності, на відміну від загальних і спеціальних, навпаки, частішене поєднуються і зустрічаютьсь разом тільки в обдарованих, різнобічноталановитих людей.
Вчені і творчіздібності відрізняються тим, що перші визначають успішність навчання івиховання, засвоєння людиною знань, умінь, навичок, формування якостейособистості, другі − створення предметів матеріальної і духовноїкультури, продукування нових ідей, відкриттів і винаходів, словом −індивідуальну творчість у різних галузях людської діяльності.
Здібності доспілкування, взаємодії з людьми, а також предметно-діяльнісні, абопредметно-пізнавальні, − найбільшою мірою соціально обумовлені. Прикладиздібностей першого виду − мова людини як засіб спілкування (мова в їїкомунікативній функції), здібності міжособистісного сприйняття й оцінки людей,здібність соціально-психологічної адаптації до різноманітних ситуацій,здібності входити в контакт з різними людьми, приваблювати їх до себе, впливатина них тощо.
Прикладиздібностей предметно-пізнавального плану добре відомі. Вони традиційновивчаються в загальній і диференціальній психології й іменуються здібностями дорізноманітних видів теоретичної і практичної діяльності. Дотепер у психологіїпереважно увага зверталася саме на предметно-діяльнісні здібності, хочаздібності міжособистісного характеру мають не менше значення для психологічногорозвитку людини, її соціалізації і набуття нею необхідних форм суспільноїповедінки. Без володіння мовою як засобом спілкування, наприклад, без умінняадаптуватися до людей, правильно сприймати й оцінювати їх самих та їхні вчинки,взаємодіяти з ними і налагоджувати гарні взаємовідносини в різноманітнихсоціальних ситуаціях, нормальне життя і психічний розвиток людини були б простонеможливими. Відсутність у людини такого роду здібностей стало б непереборноюперепоною на шляху перетворення її з біологічної істоти в соціальну.
Не окреміздібності безпосередньо визначають успішність виконання якоїсь діяльності, алише вдале їх поєднання, саме таке, яке необхідне для даної діяльності.Практично немає такої діяльності, успіх в якій визначався б лише однієюздібністю. З іншого боку, відносна слабість будь-якої однієї здібності невиключає можливості успішного виконання тієї діяльності, з якою вона пов'язана,тому що відсутня здібність може бути компенсована іншими, що входять укомплекс, який забезпечує дану діяльність. Наприклад, слабкий зір частковокомпенсується особливим розвитком слуху та шкірної чутливості, а відсутністьабсолютного звуковисотного слуху − розвитком тембрального слуху.
Здібності не тількиспільно визначають успішність діяльності, але й взаємодіють, випливаючи одна зодної. Залежно від наявності і ступеня розвитку інших здібностей, що входять вкомплекс, кожна з них набуває іншого характеру. Такий взаємний впливвиявляється особливо сильним, коли мова йде про взаємозалежні здібності, якіразом визначають успішність діяльності. Сполучення різноманітнихвисокорозвинених здібностей називають обдарованістю, це характеристика людини,здатної до багатьох різноманітних видів діяльності.
 
1.2 Задатки якприродні передумови здібностей і таланту та їх відмінність
Розглядаючипроблему здібностей, більшість авторів вводять поняття «здатність додіяльності» і «задатки».
Так, В.А.Крутецький і С.Л. Рубінштейн вважають, що здатність до діяльності може бутиобумовлена лише всім комплексом необхідних властивостей особистості, якістосуються інтелектуальної, емоційної і вольової сфер. Під задатками більшістьавторів розуміють певні природні передумови здібностей. Так, С.Л. Рубінштейн,О.Г. Ковальов, Г.С. Костюк, В.М. Мясищев, Н.С. Лейтес, К.К. Платоновстверджують, що не відповідають дійсності як ті теорії, які стверджують провродженість здібностей і зводять їх до задатків (теорія успадкованихздібностей), так і теорії, які повністю ігнорують природні передумовиздібностей, вважаючи їх залежними лише від середовища і виховання (теоріянабутих здібностей). У першому випадку детермінація здібностей зводиться лишедо внутрішніх, а в другому − лише до зовнішніх умов. Вказані авторинаполягають на тому, що при формуванні здібностей зовнішні умови діютьопосередковано − через внутрішні природні фактори.
Отже, у питанніпро співвідношення вродженого і набутого в здібностях вітчизняні психологидотримуються думки про вирішальну роль у розвитку здібностей соціальногодосвіду людини, умов її життя і діяльності, не відкидаючи при цьому значенняіндивідуально-природних передумов психічного розвитку, найбільш вивченими зяких є властивості типу вищої нервової діяльності. Б.М. Теплов, вивчаючи цепитання, довів, що вони є природними передумовами здібностей, отже, є такзваними задатками. Саме задатки − вроджені, а здібності є наслідком їхрозвитку.
Аналізуючипроблему взаємозв'язку вродженого і набутого, О.М. Леонтьєв стверджує пронеобхідність розрізняти в людині два види здібностей: природні (біологічні) іздібності специфічно людські (суспільно-історичного походження). Розвиток,формування психічних функцій, специфічно людських, відбувається в онтогенезі, уформі процесу активного присвоєння індивідом досвіду попередніх поколінь.Людина наділена від природи лише однією здатністю − здатністю доформування специфічно людських здібностей. Задатки відіграють значнішу роль упроцесі формування таких здібностей, як музичні, математичні, лінгвістичні. Небез підстав автор вважає, що чим вищий рівень досягнень, тим більшу роль у цьомупроцесі відіграють задатки.
Думка про задаткияк необхідні внутрішні передумови, від яких залежить розвиток здібностей,висловлена в багатьох роботах провідних психологів (О.Р. Лурія, Г.С. Костюк,С.Л. Рубінштейн).
До них відносять,крім типологічних властивостей нервової системи, функціональну асиметріюпівкуль головного мозку, природні властивості аналізаторів, індивідуальніваріанти будови кори мозку, ступінь функціональної зрілості її окремих ділянок.Г.С. Костюк, О.Г. Ковальов, В.М. Мясищев вважають, що під задатками слідвважати не стільки анатомо-фізіологічні властивості мозку, скількипсихофізіологічні, в першу чергу ті, які виявляються на найбільш ранніх стадіяхрозвитку дитини. Здібності пов'язані також з вродженими анатомічнимиособливостями структури мозку, в першу чергу з особливостями йогомікроструктури. Дослідження Н.С. Преображенської і С.А. Саркісова показали, щоіснують суттєві індивідуальні відмінності в розміщенні клітинних полів у корівеликих півкуль головного мозку людини, що, певне, важливе для функціонуваннямозку і, зокрема, функціонування здібностей.
Під часобговорення вище поняття “здібності” неодноразово згадувалися задатки.Спробуємо тепер з'ясувати детальніше, що це таке, і який зв'язок існує міжзадатками людей та їхніми індивідуальними відмінами у здібностях.
«У людини єдва види задатків: уроджені і набуті. Перші іноді називають природними, а другі− соціальними. Усякі здібності в процесі розвитку проходять ряд етапів, ідля того, щоб деяка здібність піднялася у своєму розвитку на більш високийрівень, необхідно, щоб вона була вже достатньо оформлена на попередньому рівні.Цей останній стосовно більш високого рівня розвитку виступає у виглядісвоєрідного задатку, наприклад, для того, щоб добре опанувати вищу математику,треба обов'язково знати елементарну, і ці знання стосовно вищих математичнихздібностей є задатком. Знання задатків важливе тому, що вони обумовлюють деякііндивідуальні особливості процесу формування здібностей, його кінцевийрезультат.
Багато увагипроблемі вивчення індивідуальних психологічних відмінностей у дітей буловиділено в дослідженнях, проведених Б.М. Тепловим та його учнями. У цихдослідженнях експериментально перевірялася гіпотеза про те, що одним зуспадковуваних, генетично обумовлених чинників є тип нервової системи людини,що, у свою чергу, залежить від сполучення її основних властивостей.
Під властивостяминервової системи розуміються такі стійкі її якості, що є природженими. До числатаких властивостей належать:
Сила нервовоїсистеми стосовно порушення, тобто її здатність тривалий час витримувати, невиявляючи позамежного гальмування, інтенсивні і часто повторювані навантаження.
Сила нервовоїсистеми стосовно гальмування, тобто здатність витримувати тривалі і частоповторювані гальмуючі впливи.
Врівноваженістьнервової системи стосовно збудження і гальмування, що виявляється в однаковійреактивності нервової системи у відповідь на збуджувальні і гальмуючі впливи.
Лабільністьнервової системи, що оцінюється за швидкістю виникнення і припинення нервовогопроцесу збудження або гальмування.
Досліджуючизв'язки властивостей нервової системи людини з розв'язуванням завдань(мисленням), психологи дійшли висновку, що лише формально-динамічні характеристикипсихічної активності людини детермінують переважно (але теж не виключно!) збіологічними факторами.
Таким чином,властивості нервової системи не визначають наперед психічні якості і формиповедінки людини, і тому їх не можна розглядати як задатки розвитку здібностей.Водночас, як писав Б.М. Теплов, вони “утворюють грунт, на якому легшеформуються одні форми поведінки, важче − інші”.
Оскільки основнівластивості нервової системи людини досить стійкі, практичне завдання їхвивчення у зв'язку з проблемою індивідуальних відмінностей полягає не в пошукуїх зміни, а в знаходженні найкращого для кожного типу нервової системи шляху іметоду навчання дітей з даним типом нервової системи.
Розвиваючи вцьому плані ідеї Б.М. Теплова, В.Д. Небиліцин висловив думку про те, щоособливе поєднання основних властивостей нервової системи, тобто кожний її тип,має свої достоїнства і недоліки. Наприклад, в умовах монотонної роботи кращірезультати показують люди зі слабким типом нервової системи, а при переході дороботи, пов'язаної з великими і несподіваними навантаженнями, навпаки, люди ізсильною нервовою системою.
Наявний у людиникомплекс індивідуально-типологічних властивостей нервової системи в першу чергувизначає темперамент, від якого далі залежить індивідуальний стиль діяльності.
Такихпсихологічних властивостей, що з упевненістю можна було б вважати спадковообумовленими, не так уже багато. Серед характеристик, що мають явну генотиповупередумову, відзначається, наприклад, темп роботи людини, від якого, у своючергу, залежить темперамент. Особливо великий вплив генотипу виявляється прививченні деяких фізіологічних показників, наприклад, електроенцефалограми.
Проте − іце дуже важливий факт − жодна з відомих властивостей нервової системи неє залежною виключно від генотипу, оскільки на неї деякою мірою впливаєсередовище.
Дослідження,проведені в спеціальних, суворо контрольованих експериментальних умовах, даютьпідставу для висновку про те, що соціально-культурні чинники, пов'язані зрозвитком здібностей, роблять на них набагато сильніший вплив, ніж біологічні.Середні відмінності між групами людей, які виросли в різних культурах, частішеусього набагато більші від тих, що є між людьми різної статі.
1.3 Розвитокздібностей
Будь-які задатки,перед тим, як перетворитися на здібності, повинні пройти великий шлях розвитку.Для багатьох здібностей цей розвиток починається з перших днів життя людини і,якщо вона продовжує займатися тими видами діяльності, в яких відповідніздібності розвиваються, не припиняється до кінця життя. У процесі розвиткуздібностей можна виділити ряд етапів. На одних відбувається підготовкаанатомо-фізіологічної основи майбутніх здібностей, на інших − йдестановлення задатків небіологічного плану, на третіх − складається ідосягає відповідного рівня потрібна здібність. Усі ці процеси можуть протікатипаралельно, тією або іншою мірою накладатися один на одного. Спробуємопростежити ці етапи на прикладі розвитку таких здібностей, в основі яких лежатьявно виражені анатомо-фізіологічні задатки, хоча б в елементарній форміпредставлені з народження.
Первинний етап урозвитку будь-якої такої здібності пов'язаний з дозріванням необхідних для неїорганічних структур або з формуванням на їх основі потрібних функціональнихорганів. Він зазвичай припадає на дошкільне дитинство, що охоплює період життядитини від народження до 6-7 років. У цей час відбувається удосконалення роботивсіх аналізаторів, розвиток і функціональна диференціація окремих ділянок кориголовного мозку, зв'язків між ними й органами руху, насамперед руками. Цестворює сприятливі умови для початку формування і розвитку в дитини загальнихздібностей, певний рівень яких є передумовою (задатками) для наступногорозвитку спеціальних здібностей.
Становленняспеціальних здібностей активно починається вже в дошкільному дитинстві іприскореними темпами продовжується в школі, особливо в молодших і середніхкласах. Спочатку розвитку здібностей допомагають різного роду ігри, потімістотний вплив на них починає справляти навчальна і трудова діяльність. В іграхдітей початковий поштовх до розвитку одержують багато рухових,конструкторських, організаторських, художньо-образотворчих, інших творчихздібностей. Різноманітні види творчих ігор у дошкільному дитинстві набуваютьособливого значення для формування спеціальних здібностей у дітей.
Важливим моментому розвитку здібностей у дітей є комплексність, тобто одночасне удосконалюваннядекількох здібностей, що взаємно доповнюють одна одну. Розвивати якусь одну зіздібностей, не турбуючись про підвищення рівня розвитку інших, пов'язаних ізнею здібностей, практично не можна. Наприклад, хоча тонкі і точні ручні рухисамі по собі є здібністю особливого роду, але вони ж впливають на розвитокінших, які вимагають відповідних рухів. Уміння користуватися мовою, досконалеволодіння нею також може розглядатися як відносно самостійна здібність. Але теж саме уміння як органічна частка входить в інтелектуальні, міжособистісні,більшість творчих здібностей, збагачуючи їх.
Многоплановість ірізноманітність видів діяльності, в які одночасно включається людина, −найважливіші умови комплексного і різнобічного розвитку її здібностей. Узв'язку з цим варто обговорити основні вимоги, які виставляються до діяльності,що розвиває здібності людини. Ці вимоги такі: творчий характер діяльності,оптимальний рівень її важкості для виконавця, належна мотивація і забезпеченняпозитивного емоційного настрою під час і по закінченні її виконання.
Якщо діяльністьдитини носить творчий, не рутинний характер, то вона постійно змушує її думатиі сама по собі стає досить привабливою справою як засіб перевірки і розвиткуздібностей. Така діяльність завжди пов'язана зі створенням чого-небудь нового,відкриттям для себе нового знання, виявленням в собі нових можливостей. Вонастає сильним і дійовим стимулом до занять нею, до докладання необхідних зусиль,спрямованих на подолання виникаючих труднощів. Така діяльність зміцнюєпозитивну самооцінку, підвищує рівень домагань, породжує впевненість у собі іпочуття задоволеності від досягнутих успіхів.
Якщо виконуванадіяльність знаходиться в зоні оптимальної трудності, тобто на межі можливостейдитини, то вона спричинює розвиток її здібностей, реалізуючи те, що Л.С.Виготський називав зоною потенційного розвитку. Діяльність, що не знаходиться вмежах цієї зони, набагато меншою мірою призводить до розвитку здібностей. Якщовона занадто проста, то забезпечує лише реалізацію вже існуючих здібностей,якщо ж вона надмірно складна, то стає нездійсненною і, відповідно, такожпризводить до формування нових умінь і навичок.
Підтримуванняінтересу до діяльності через стимулюючу мотивацію означає перетворення метивідповідної діяльності в актуальну потребу людини. У руслі теорії соціальногонавчання, що вже розглядалася, особливо підкреслювалася та обставина, що длянабуття і закріплення в людини нових форм поведінки, необхідне навчання, а вонобез відповідного підкріплення не відбувається. Становлення і розвитокздібностей − це теж результат навчання, і чим сильніше підкріплення, тимшвидше буде йти розвиток. Що ж стосується потрібного емоційного настрою, то вінстворюється таким чергуванням успіхів і невдач у діяльності, що розвиваєздібності людини, при якому за невдачами (вони не виключені, якщо діяльністьзнаходиться в зоні потенційного розвитку) обов'язково слідують емоційнопідкріплювані успіхи, причому їх кількість у цілому є більшою, ніж числоневдач.
Основні правила врозвитку здібностей людини сформулював С.Л.Рубінштейн, а саме: розвитокздібностей відбувається по спіралі, а реалізація можливості, яку пропонуютьздібності одного рівня, відкриває можливості для подальшого їх розвитку, отже,для розвитку здібностей більш вищого рівня.
Однією з умоврозвитку здібностей є поєднання навчання з працею, систематичнапрофорієнтаційна робота з учнями, що дасть змогу кожному школяреві вільновибирати стосовно своїх нахилів та здібностей спеціальність і розпочатиготуватись до неї вже в шкільний період життя.
Загалом,основними психологічними передумовами формування здібностей у школярів можнавважати наступні: діагностика наявного рівня певних здібностей;проблемно-евристичне навчання та особливе конструювання учбового процесу,виходячи з системного підходу, що сприятиме розвитку самостійності, творчогопідходу; спеціально організоване навчання основам наукових методів дослідницькоїроботи; диференційований підхід в процесі навчання; перехід відмасово-репродуктивного до індивідуально-творчого підходу в роботі з учнями таін.

Розділ 2.Математичні здібності
2.1 Основні поняття та загальна схема структури математичних здібностей
Перш ніж визначити основні поняття, з якими ми будемо мати справу надалі,необхідно відзначити, що математичні здібності можуть мати свій вираз на,різних рівнях діяльності. Поняття математичні здібності ми трактуватимемо вдвох аспектах:
а) як творчі (наукові) здібності − здатності до науковоїматематичної діяльності, що дає нові і об'єктивно значущі для людстварезультати, досягнення, цінний в суспільному відношенні продукт;
б) як учбові здібності − здібності до вивчення (навчанню,засвоєнню) математики (в даному випадку шкільного курсу математики), швидкого іуспішного оволодіння відповідними знаннями, уміннями, навиками.
Зрозуміло, якщо розглядати питання в загальному плані, то можна сказати,що здібності в порівнянні з уміннями і навиками в більшості випадків формуютьсяі змінюються повільніше, насилу, є стійкішими утвореннями. Але ставити цейпринцип в основу розрізнення вказаних категорій все-таки неможливо, оскількирозрізнення по параметрах «більше — менше», «швидше — повільніше» абсолютнобеззмістовно і якісно невизначено.
У дослідженні математичних здібностей виходити з іншого розуміння істотиздібностей і умінь, навиків. Початковим при цьому був факт, що при аналізіздібностей завжди мають на увазі якості, особливості людини, що виконує ту або іншу діяльність, а прианалізі умінь і навиків − якості, особливості діяльності, яку здійснюєлюдина. У основі визначення поняття «здатність» в будь-якому радянськомупідручнику психології, майже в будь-якій праці, що стосується психологіїздібностей, завжди лежить характеристика індивідуально-психологічнихособливостей людини. З іншого боку, всі визначення навиків, умінь виходять зпоняття дії
Здібності — це не навики і уміння, а ті індивідуально-психологічні особливості,від яких заві легке і успішне оволодіння уміннями і навиками у відповіднійдіяльності.
Загальна схема структури математичних здібностей в шкільному віціпредставляється таким чином (розглядати її будемо, як і раніше, виходячи зосновних етапів вирішення завдань):
1.Отримання математичної інформації
а) Здібність до формалізованого сприйняття математичного матеріалу,схоплювання формальної структури завдання.
2.Переробка математичної інформації
а) Здібність до логічного мислення у сфері кількісних і просторовихстосунків, числовою і знаковою символіки. Здатність мислити математичнимисимволами.
б) Здібність до швидкого і широкого узагальнення математичних об'єктів,стосунків і дій.
в) Здібність до згортання процесу математичного, міркування і системивідповідних дій. Здатність мислити згорнутими структурами
г) Гнучкість розумових процесів в математичній діяльності
д) Прагнення до ясності, простоти, економності ірраціональності рішень.
е) Здібність до швидкої скованої перебудови спрямованості розумовогопроцесу перемиканню з прямого на зворотний хід думки (оборотність розумовогопроцесу при математичному міркуванні).
3. Зберіганняматематичної інформації
а) Математична пам'ять (узагальнена пам'ять на, математичні стосунки,типові характеристики, схеми і доказів, методи вирішення завдань і принципипідходу до них.)
4. Загальнийсинтетичний компонент
а) Математична спрямованість розуму.
Виділені компоненти тісно зв'язані, впливають один на одного і утворюютьв своїй сукупності єдину систему, цілісну структуру, своєрідний синдромматематичної обдарованості, математичний склад розуму.
Не входять в структуру математичної обдарованості.те компоненти,наявність яких в цій структурі не обов'язково (хоча і корисно). У цьому сенсівони є нейтральними по відношенню до математичної обдарованості. Проте їх наявністьабо відсутність в структурі (точніше, ступінь розвитку) визначають типматематичного складу розуму. Не є обов'язковими в структурі математичноїобдарованості наступні компоненти:
Швидкість розумових процесів як тимчасова характеристика. Індивідуальнийтемп роботи не грає вирішального значення. Математик може роздумуватинеквапливо, навіть поволі, але дуже докладно і глибоко.
Обчислювальні здібності (здібності до швидких і точних обчислень, часто вдумці). Відомо, що є люди, здатні проводити в думці складні математичніобчислення (майже миттєве зведення в квадрат і куб тризначних чисел, витяганнякубічного кореня з шестизначних чисел), але не уміючі вирішити скільки-небудьскладного завдання. Відомо також, що існували і існують феноменальні «лічильники»,не що дали математиці нічого, а видатний французький математик А. Пуанкареписав про себе, що без помилки не може зробити навіть додавання.
Пам'ять на цифри, числа, формули. Як указував академік А. Н. Колмогоров,багато видатних математиків не володіли видатною пам'яттю такого роду.
Здібність до просторових уявлень.
Здатність наочно представити абстрактні математичні стосунки ізалежності.
Слід підкреслити, що схема структури математичних здібностей має на увазіматематичні здібності школяра. Не можна заздалегідь, до спеціального вивчення,сказати, якою мірою її можна вважати за загальну схему структури математичнихздібностей, якою мірою її можна віднести до обдарованих математиків, що цілкомсклалися.
Зрозуміло, конкретний зміст структури здібностей неабиякою мірою залежитьвід методів навчання, оскільки вона складається в процесі навчання. Алевстановлені нами компоненти за всіх умов повинні входити в цю структуру.Неможливе прсдставіть наприклад, щоб при якій-небудь системі навчання здібністьдо узагальнення або математична пам'ять не входили в структуру математичнихздібностей.
Аналізуючи схему структури математичної обдарованості, ми можемовідмітити, що певні моменти в характеристиці перцептивні, інтелектуальні імнемічні сторони математичної діяльності мають загальне значення. Наприклад,формалізоване сприйняття завдання − це сприйняття узагальнене, згорнуте,гнучке; математична пам'ять − це пам'ять на узагальнені, згорнуті ігнучкі системи. Якщо ми говоримо про формалізоване (узагальненому) сприйняттяумов завдання, то можна говорити і про формалізоване (узагальненому) рішення,про формалізоване (узагальненому) запам'ятовування. Тому розгорнену схемуструктури можна представити і в іншій, надзвичайно стислій формулі: математичнаобдарованість характеризується узагальненим, згорнутим і гнучким мисленням усфері математичних стосунків, числової і знакової символіки і математичнимскладом розуму. Ця особливість математичного мислення приводить до збільшенняшвидкості переробки математичної інформації і, отже, економії нервово-психічнихсил. В термінах асоціативної теорії це звучало б так: математичні здібності −це здібності до освіти на математичному матеріалі узагальнених, згорнутих,гнучких, і оборотних асоціацій і їх систем. Вказані здібності різною міроювиражені у здібних, середніх і нездібних учнів. У здатних за деяких умов такіасоціації утворюються «з місця», при мінімальній кількості вправ. У нездібнихже вони утворюються з надзвичайною працею. Для середніх же що вчатьсянеобхідною умовою поступового утворення таких асоціацій є система спеціальноорганізованих вправ, тренування. Провівши первинний аналіз математичних,здібностей, отримавши уявлення про їх структуру, ми не вважаємо що на цьомудослідження компонентів математичних здібностей може бути закінчене. Необхіднепоглиблення вивчення кожного компоненту з метою проникнути в його природу;виявити його фізіологічні основи.
2.2 Віковіособливості формування та розвитку математичних здібностей
У зарубіжнійпсихології до нашого часу широко розповсюджено представлення про віковіособливості математичного розвитку школяра, які виходять з різних досліджень Ж.Піаже. В той час, як відомо, Піаже вважав, що дитина тільки до 12 років стаєздатною до абстрактного мислення. Аналізуючи стадії розвитку математичногомислення підлітка, Л. Жоанно прийшов до висновку, що в наглядно-конкретномуплані школяр мислить до 12 – 13 років, а мислення в плані формальної алгебри(пов’язане з володінням операціями, символами) складається лише до 17 років.
Ф. Отіа в своїйроботі також доводить, що лише з 11 – 12 років дитина починає проявляти вматематиці здатність до абстракції і починає міркувати в відвернутою формі.
Дослідження радянськихпсихологів дають зовсім інші результати. Ще П.П. Булонський писав проінтенсивний розвиток у підлітка (11 – 14 років) узагальнювального іабстрактного мислення, вміння доводити і розбиратися в доведеннях.
Останнім часомбуло проведено ряд досліджень деяких вікових особливостей математичногомислення школярів, в тому числі дослідження А.В. Скрипченко, О.Я. Лихачової,А.А. Бодалева. Л.Н. Проколієнко виявив деякі особливості мислення підлітка істаршого школяра в процесі розв’язування геометричних задач. Але виявляється,що Л.Н. Проколієнко дуже чітко визначив рамки віку, ігноруючи при цьомуіндивідуальні відмінності, — не одразу можна погодитись з таким різким поділом:учні 6-го класу відрізняються репродуктивним підходом до розв’язку задач, а7-го класу – творчим; учні 9-го класу міркують індуктивним способом і їхмислення розвернене, а учні 10-го класу частіше використовують дедуктивнийметод і міркують в скороченій формі.
Вченідосліджували розвиток математичних здібностей протягом всього періоду шкільногонавчання від молодшого до старшого шкільного віку. Були досліджені віковіособливості структури математичних здібностей, специфіка прояву формуючихкомпонентів на різних вікових етапах в молодшому, середньому і старшомушкільному віці під впливом шкільного навчання.
Виникаєзапитання: в якій мірі можна говорити про математичні здібності по відношеннюдо учнів 1 – 2 – 3 класів?
Дослідження І.В.Дубровіної, дають можливість відповісти на це запитання наступним чином.Звичайно, не враховуючи випадки особливої обдарованості, не можна говорити проскільки-небудь сформованої структурі математичних здібностей саме для цьоговіку. Тому поняття «математичні здібності» умовно у застосуванні до молодшихшколярів – дітей 8 – 10 років, і при дослідженні компонентів математичнихздібностей в цьому віці мова може йти лише про елементарні форми таких компонентів.Але окремі компоненти математичних здібностей формуються вже у початковихкласах. Звичайно, вікові особливості розвитку математичних здібностей вивчалисьна основній масі середніх і здібних учнях. При цьому потрібно відмітити, щоіндивідуальні відмінності у вікових межах (особливо, якщо порівнювати найбільшсильних і найбільш слабких учнів) виявлялись значно помітними.
Виявленніособливості розвитку математичних здібностей не надто сильно прив’язані доконкретного віку. Дослідження Д.Б. Ельконіна, В.В. Давидова, А.В. Скрипченко таінших показали, що при зміненні змісту і методики викладання можливі серйозніздвиги цих здібностей у таки широких межах в більш молодший вік.
Досвідчененавчання, яке здійснюють в школах співробітники інституту психології показує,що при спеціальній методиці навчання молодші учні здобувають набагато більшуздатність мислити, ніж прийнято думати. Однак, хоч вікові можливості учнів вбільшості залежать від умов, в яких здійснюється навчання, вважати, що воницілком створюються навчанням, було б не правильним. Тому неправильна крайняточка зору на це запитання, висловлена, наприклад, Г. П. Щедровицьким, якийвважає, що не існує ніякої закономірної лінії звичайного психічного розвитку.Існує думка, що більш ефективна, ніж зараз існуюча, система навчання може«стиснути» весь процес, але до відомих меж, може змінити декількапослідовностей розвитку, але не може надати лінії розвитку абсолютно іншогохарактеру. Довільності тут бути не може. Не може, наприклад, здібність до узагальненняскладних математичних співвідношень і методів сформуватися раніше, ніжздатність до узагальнення простих математичних співвідношень.
Таким чином,вікові особливості розвитку математичних здібностей, про які йде мова, −це умовне поняття. Взагалі то, задача полягала в дослідженні загальноїтенденції, загального напрямку розвитку головних компонентів структуриматематичних здібностей під впливом навчання.
Аналіз віковихособливостей розвитку математичних здібностей проводиться за наступнимипараметрами:
1) Формалізованесприйняття математичного матеріалу.
Даний компонентпочинає проявлятися вже в 1 – 3 класах. У більш здібних учнів під впливомнавчання формується цікавість розібратися в умові задачі, співставити її дані.Їх починають цікавити в задачі не просто окремі величини, а саме співвідношеннявеличин. Якщо менш здібні учні сприймають окремі, конкретні елементи задачі, якне зв’язані один з одним, і відразу після того, як прочитали задачу, починаютьвиконувати різні дії зі всіма даними числами, не задумуючись над змістомзадачі, то у більш здібних з’являється потреба при прийнятті умов задачізв’язувати окремі показники і величини.
Поступово більшздібні учні починають бачити в задачі співвідношення між конкретнимивеличинами. Тому вони часто не приділяють уваги тому, про які конкретніпредмети йде мова в задачі. Менш здібні учні тримаються за точну назвупредметів. В задачі вони бачать не математичні співвідношення, а лише конкретніпредмети, з якимим потрібно щось робити.
У більш здібнихучнів 4-го класу І.В. Дубровіна спостерігала явно виражену тенденцію до своєрідномуаналітико-синтетичному сприйняттю умов задачі. Вони сприймають не лише одиничніелементи, а й комплекси взаємозв’язаних математичних величин і категорій.Мається на увазі, вказана особливість проявляється на порівняно нескладномуарифметичному матеріалі і, поступово, на більш чи менш елементарному рівні.
В середньомушкільному віці помічається, а в старшому − досягає значного розвитку щеодна особливість сприйняття здібним учням математичного матеріалу, мається наувазі те, коли одна і таж сама задача сприймається, оцінюється з різних точокзору.
2) узагальненняматематичного матеріалу.
Здібність доузагальнення математичного матеріалу як здатність уловлювати в різних завданняхі прикладах загальне і відповідно бачити різне, загалом починає складатисяраніше всіх інших компонентів. Уже у 1 класі можна спостерігати її прояви,зрозуміло, що у елементарних формах. На цьому етапі ще важко говорити про цюздібність як специфічну здатність до узагальнення саме математичного матеріалу.Швидше, тут можна говорити про загальну здібність до узагальнення, як одну зпроявів навчальної властивості. Сказане не відноситься до дуже обдарованихучнів − в тому числі і в 1 класі, і навіть в старшому дошкільному віціздібність до узагальнення виступає як специфічна здатність. Цей висновокдозволяють зробити експерименти, проведені І.В. Дубровіною на математичному інематематичному матеріалі, вивчення розвитку групи дуже обдарованих школярів.
На початкових ступеняхшкільного навчання, математичні узагальнення зазвичай «визрівають» поступово ірозповсюджуються на порівняно обмежений круг явищ. З віком узагальненя стає всебільш широким і розповсюджується на більший круг однорідних математичних явищ.У молодшому шкільному віці спостерігається відносно простіший вид узагальнення −рух від частинного до відомого загального − уміння побачити в частинномувже відоме загальне, інакше кажучи, підвести частинний випадок під загальнеправило. Цей вид узагальнення досягає великого розвитку в середньому шкільномувіці. Чим більше здатний учень, тим успішніше справляється він із завданнями навідповідне узагальнення. Як правило, тільки на початку середнього шкільноговіку вчені спостерігали узагальнення індуктивного характеру − відчастинного до невідомого загального.
Розвитокздібності до узагальнення йде по лінії поступового скорочення кількостіспеціальних однотипних вправ, що є передумовою такого узагальнення. У найбільшздатних учнів середнього шкільного віку таке узагальнення наступає відразу,шляхом аналізу одного окремо узятого явища у ряді схожих явищ, як здатністьугледіти ще невідоме загальне в одиничному.
Для здатнихпідлітків взагалі характерне узагальнене вирішення завдань. У елементарнійформі ця тенденція може бути відмічена і у здатних молодших школярів. Такі учнібез утруднень переходять до вирішення завдань в буквеній формі.
Нарешті, буловстановлено, що здібні до математики старшокласники піднімаються до рівняузагальнення методів, принципів підходу до аналізу і розв'язання задач різнихтипів. Ці методи відрізняються різним ступенем узагальненості.
3) стисненістьматематичного мислення – тенденція мислити в процесі математичної діяльностіскороченими структурами.
Скороченнямислення і системи відповідних дій в процесі математичної діяльності являєтьсяспецифічною для здатних до математики учнів в основному старшого шкільноговіку. Як показало дослідження І.В. Дубровіної, вказаний компонент математичнихздібностей в молодшому шкільному віці проявляється лише в самій елементарнійформі.
Існує дві лініїрозвитку вказаного компоненту від середнього до старшого шкільного віку. Зодного боку багатократність повторення однотипного міркування і системивідповідних дій, являються на різних вікових етапах необхідною умовою початкупроцесу скорочення, поступово перестає бути такою необхідною умовою. Міркуванняі система відповідних дій починають скорочуватись відразу при розв’язуваннінавіть нового типу задач. Щодо найбільш здібних до математики учнів 7-го, 8-гоі особливо старших класів, то у них часто взагалі неможливо прослідкуватипроцес скорочення. Вони в математиці міркують вже скороченими структурами, щозабезпечує їм велику швидкість переробки математичної інформації.
Друга лініярозвитку стосується осмислення учнями опущених міркувань. Наскількиосмислюється ними ті ходи думки і дій, які випалди із системи?
4) гнучкістьмислення.
У початковійформі цей компонент був виявлений лише у здібних до математики молодшихшколярів. Майже ні у кого з досліджених школярів 2 класу не виявлено явноїтенденції, наприклад, шукати декілька різних шляхів рішення однієї і тієї жзадачі, перемикаючись з одного ходу думки на іншій.
Такий перехідвиявлявся для них важким. Відповідна вимога експериментатора часто викликала уних подив. Для багатьох з них неприйнятна сама думка про те, що завдання можемати декілька рішень (і всі правильні). Але здібні до математики учні 3-х та4-х класів вже демонструють відому гнучкість розумових процесів шляхом пошукуінших рішень (правда, ніколи це не відбувалося за власною ініціативою, завждипісля навідних питань експериментатора). Менш здібні до математики учні навітьбільш старших класів важко перемикаються з однієї розумової дії на іншу (якісноіншу), вони зазвичай дуже скуті, спочатку знайденим способом розв'язку, схильнідо шаблонних і трафаретних ходів думки. Цікаво, що у подібних випадках справаполягає не в тому, що важко перемкнутися з простого на складніший спосіб розв'язання.Часто важко перемкнутися і з важчого на легший спосіб, якщо перший є звичним,знайомим, а другий − новим і незнайомим. Один спосіб розв'язкугальмується іншим.
Розвитокгнучкості мислення йде шляхом все більш повного звільнення від впливупопереднього ходу думки. У більш здібних до математики підлітків істаршокласників перебудова способів мислення, що склалися, здійснюються швидкоі безболісно. Вони вже за власною ініціативою знаходять різні шляхи вирішеннязавдань.
5) математичнапам'ять.
Проявів власнематематичної пам'яті її розвинених формах (коли пам'яталися б тількиузагальнення розумові схеми) в молодшому шкільному віці нами не спостерігалося.Здібні учні в цьому віці, за спостереженнями І.С. Дубровіної, зазвичай рівнозапам'ятовують і конкретні дані і відношення. У їх пам'яті зберігаєтьсязагальне і часткове, істотне і неістотне, потрібне і непотрібне. Але основнимдля них все-таки поступово стає відношення Даних завдання. Якщо вони щось ізабудуть, то це швидше не математичні відношення, а числа та конкретні дані.
З роками всебільше значень набуває запам'ятовування відношень, все менше −запам'ятовування конкретних даних. Пам'ять поступово звільняється відзберігання часткового, конкретного, непотрібного для подальшого розвитку.Пам'ять, здатних, до математики підлітків виявляється по відношенню до різнихелементів математичних систем (завдань). Вона носить узагальнений і«терміновий» характер. Швидко запам'ятовуються і міцно зберігаються типизавдань і узагальнені способи їх розв'язання, схеми міркувань, доказів.Конкретні дані запам'ятовуються добре, але в основному лише на термін розв'язаннязадачі, після чого швидко забуваються. Зайві, непотрібні дані запам'ятовуютьсяпогано. Запам'ятовується не вся математична інформація, а переважно та, яка«очищена» від конкретних значень.
Якісно новихособливостей набуває математична пам'ять у здібних до математикистаршокласників. Тут слід зазначити дві особливості, вивчені С. І. Шапіро.Перша з них полягає в наступному. Вище вже вказувалося, що у здатнихстаршокласників узагальнення утворюються і функціонують на різних рівняхспільності. До цього треба додати, що один і той же математичний матеріал можезберігатися в пам'яті одночасно на різних рівнях узагальнення, які співіснуютьодин з одним. Наприклад, в пам'яті зберігається найширший функціональний образформули без деталей, що відображає найзагальніший характер функціональноїзалежності, разом з цим − конкретніша її форма і, нарешті, власнеформула. Це дозволяє, по-перше, легко вивести формулу (якщо вона забулася),виходячи із загального характеру функціональної залежності і, по-друге, легкозаздалегідь «прикидати» можливість застосування даної формули в тому абоіншому, конкретному випадку.
Дослідженняпоказало, наприклад, що формула площі трикутника зберігалася в пам'яті деякихздатних десятикласників одночасно на трьох рівнях: 1) найширший функціональнийобраз формули − площа трикутника є функцією двох сторін і кута між ними;2) менш узагальнений образ, але що не містить ще самої формули − площатрикутника є функцією двох сторін і синуса кута між ними; 3) власне формула площі.
Більшість здатнихдесятикласників також пам'ятали формулу тангенса подвійного кута на двохрівнях:
1) /> та 2) />.
Інша особливістьматематичної пам'яті здатних старшокласників полягає в тому, що вони добре пам'ятаютьзагальні методи підходу до розв'язування завдань, часто у виглядінайзагальніших вказівок, без деталей. Жодній з них він не міг пригадати, як нестарайся. Зберігся в пам'яті тільки сам метод, сама ідея.
Таканайзагальніша і орієнтовна картина вікового розвитку компонентів, що займаютьістотне місце в структурі математичних здібностей школярів. На різних віковихступенях ці компоненти відрізняються якісною своєрідністю, специфічною формоюпрояву.
Дослідженняпоказали наявність закономірних кількісних і якісних змін в прояві цихкомпонентів, з віком. Кожен новий етап підготовлений попереднім шляхомрозвитку, виникає на основі його і є передумовою для переходу на новий, вищийрівень розвитку. Ця лінія розвитку складається.під вирішальним впливом шкільногонавчання, хоча і не тільки ним визначається.
6) Прагнення іекономії розумових зусиль, раціональності
Тенденція дооцінки ряду можливих способів розв'язку і вибору з них найбільш зрозумілого,простого і економного, найбільш раціонального розв'язку в молодшому шкільномувіці ще не чітко виражена. Лише найбільш здатні учні оцінювали різні рішення як«простіше» і «складніше», «краще»,і «гірше», виходячи при цьому тільки зкількості зроблених дій. Тільки 31% досліджених І. В. Дубровіною, більш здатнихучнів 2-х, 3-х класів вирішували задачу відразу простішим і економнішимспособом, зрозуміло побачивши при цьому і інші способи і оцінюючи відносну їхраціональність.
Вказана тенденціяпочинає помітно виявлятися лише в: середньому шкільному віці. Якщодля учнів з середніми здібностями мета полягає в тому, чтоб розв'язатизавдання, то для здібних до математики вона полягає в тому, щоб вирішити їїякнайкращим, найбільш економним способом. Хоча підліткам і не завжди вдаєтьсязнайти найбільш раціональне вирішення завдань в більшості випадків вониобирають шлях, який швидше і легше приводить до мети.
Особливогорозвитку відмічений компонент досягає в старшому шкільному віці. С. І. Шапіропідкреслює, що вказана тенденція властива всім дослідженим їм здібним доматематики старшокласникам і виявляється при цьому в дуже яскравій і виразнійформі. Після першого вирішення завдань зазвичай починаються творчі пошуки,направлені на дослідження і поліпшення знайденого способу, з метою знайтинайбільш економний і раціональний.
 
2.3 Простатеві відмінності в характеристиці математичних здібносте
Чи роблятьякий-небудь вплив на характер розвитку математичних здібностей і на рівеньдосягненні у відповідній області статеві відмінності? Чи мають місце якісносвоєрідні особливості математичного мислення хлопчиків і дівчаток, дівчат іпарубків в шкільному віці? Відповідні дослідження в радянській психологіївідсутні. Мабуть, вважається за само собою зрозумілий, що ніяких принциповихвідмінностей в цій області немає, а існуючі відмінності цілком пояснюютьсятрадицією, умовами виховання і навчання. У зарубіжній психології є деяка,(відносно невелика) кількість робіт, де зроблена спроба виявити окремі якісніособливості математичного мислення хлопчиків (парубків) і дівчаток (дівчат). Удеяких роботах прямо мовиться про перевагу хлопчиків над дівчатками в цьомувідношенні, в інших заперечується це, хоча і указується на ті або іншіособливості мислення хлопчиків та дівчаток.
Ще В. Штерн всвоїй відомій книзі, присвяченій аналізу обдарованості дітей і підлітків,говорить про свою незгоду з тією точкою зору, згідно якої відмінності врозумовій області чоловіків і жінок є результатом неоднаковості виховання,шкільної освіти. На його думку, причини криються в різних внутрішніх задатках.Тому можна говорити, помічає Штерн, про те, що жінки менш схильні доабстрактного, логічного, відвернутого мислення і менш здатні в цьомувідношенні.
У 1963 р. булаопублікована робота Е. П. Торранс. Автор пропонував хлопчикам і дівчаткамрізного шкільного віку різні завдання, що вимагають нескладних форм творчогонаукового мислення. За даними автора, хлопчики перевершували дівчаток взнаходженні ідей і принципів творчого вирішення завдань (вони указують набільшу кількість можливостей, ідеї їх оцінюються вище і т. д.).
Що стосуєтьсявласного математичного мислення, то певні вислови із цього приводу, заснованіна спостереженнях і експериментах, є у Ч. Спірмена і Е. Торндайка. Спірменвисловив думку, що статеві відмінності в математичному мисленні, якщо ііснують, то вони, по-перше, незначні, а по-друге, можуть залежати відсередовища більше, ніж від внутрішніх умов. Торндайк в книзі «Психологіяалгебри» пише, посилаючись на повсякденний досвід і спеціальні дослідження, щоміж хлопчиками і дівчатками не існує скільки-небудь помітних відмінностей вздібності до алгебри. Разом з цим Торндайк відзначає у хлопчиків більшийінтерес до алгебри, зв'язуючи це з цікавістю їх до фізики і інженернихспеціальностей. У книзі «Принципи навчання, засновані на психології», Торндайктакож пише, що «відносно здібностей великої різниці між дівчатками і хлопчикамине помічається». Але при цьому він відзначає велику схильність дівчаток додеталізації, запам'ятовування подробиць, точніше відтворення ними даних.
А. Кеймерон вроботі 1925 р. також, вважаючи, що немає істотних відмінностей в математичнихздібностях хлопчиків і дівчаток, указує разом з тим на відмінність між ними вздібності до просторових уявлень − у хлопчиків вона розвиненіша. Авторуказує, що можливе ця відмінність є результатом навчання, вправ, оскільки, якщохлопчики і дівчатка навчалися разом, то ця перевага стає мало помітною. Але і вцьому випадку, відзначає Кеймерон «перевага хлопчиків в уяві більш; складнихгеометричних форм зберігається»
А. Блекуелл. у1940 р., досліджуючи за допомогою факторного аналізу результати рішення 100хлопчиками і 100 дівчатками різних тестів, виділив у хлопчиків 3 специфічнихчинника, а у дівчаток в цих же умовах − 4. У дівчаток був виділенийспеціальний чинник, відсутній у хлопчиків, умовно названий чинником />, −чинник точності і акуратності, здатність утримувати і зберігати дані відноснопедантично точній формі. Крім того, виявилися нібито відмінності і в проявівербального чинника. У дівчаток це − чисто вербальний чинник, а ухлопчиків він швидше має бути названий чинником вербального міркування (як«здатність маніпулювати думками у вербальній формі»). Автор припускає, що саметому словесно-логічна робота хлопчиками проробляється з більшою легкістю, чимдівчатками. Інше факторне дослідження, проведене на десятиліття пізніше, −в 1951 р. (Б. Мак-Аллістер), також виявило деякі відмінності між хлопчиками ідівчатками. У формальній стороні арифметичних операцій досягнення булиприблизно однакові, але хлопчики виявили перевагу над дівчатками в двох тестах −в одному з тестів на загальний інтелект і в одному пз тестів на арифметичнеміркування.
У великійузагальнювальній праці по диференціальній психології А. Анастасі (1958г.)наводяться дані, що показують, що хлопчики перевершують дівчаток в тестах наобчислювальні операції і в тестах на арифметичні міркування, причому цієїрізниці не спостерігається в елементарній школі, а в середній школі і особливов коледжах вона стає вельми помітною. Нарешті, згадаємо опубліковану в 1956г.статтю Ф. Отіа, де: наводяться результати експериментів на нескладнематематичне міркування. Хлопчики перевершували дівчаток по рівню рішення −більше в процентному відношенні число хлопчиків, чим дівчаток, розв'язализадачу на вищому, узагальненому рівні.
Узагальнюючирезультати всіх цих досліджень, можна сказати, що, за їх даними, хлопчикиперевершують дівчаток в здібності до логічного міркування, а дівчатка −хлопчиків в точності, строгості, акуратності, свого роду «педантичності»мислення. Залишається, звичайно, відкритим питання, наскільки ці данідостовірні і наскільки ці особливості є «природними» − на це указують ісамі дослідники.
Вченістверджують, що їх дослідження, й дослідження Й.В. Дубровіної і С.І. Шапіро невиявили яких-небудь якісних, специфічних особливостей в математичному мисленніхлопчиків; і дівчаток.
Зрозуміло,фактично хлопчики частіше виявляють математичні (так само як і технічні)здібності. У молодших класах це майже непомітно, в старших стає вельмивідчутним. Переможцями в математичних олімпіадах частіше бувають хлопчики, чимдівчатка, більше їх вчиться і в спеціальних математичних школах і класах.
Але це фактичнавідмінність, як нам здається, треба віднести за рахунок різниці в традиціях, увихованні хлопчиків і дівчаток, за рахунок поширеного погляду на чоловічі іжіночі професії. Це приводить до того, що математика часто виявляється позаспрямованістю інтересів дівчаток. Принаймні сьогодні ми не маємо в своєму розпорядженнініяких даних, які зобов'язали б нас зробити інший висновок.
2.4 Розвитоктворчих здібностей учнів та дослідження
Коли йдеться прозміст шкільного курсу математики, то, звичайно, мають на увазі засвоєння учнямипевної системи математичних знань, умінь і навичок. Але не можна зводити всематематичне навчання в шкоді до передачі учням визначеної суми знань і навичок.Це обмежувало б роль математики в загальній освіті. Тому перед школою стоїтьважливе завдання математичного розвитку учнів.
Математичніздібності —це здатність утворювати на математичному матеріалі узагальнені, згорнуті,гнучкі й обернені асоціації та їх системи. До складових математичних здібностейслід віднести:
а) здатність доформалізації математичного матеріалу, відокремлення форми від змісту,абстрагування від реальних ситуацій і їх кількісних відношень та просторовихформ; оперування структурами відношень і зв'язків;
б) здатність доузагальнення матеріалу;
в) здатність дооперування числовою і знаковою символікою;
г) здатність дологічних міркувань, пов'язаних з потребою доводити, робити висновки; здатністьдо скорочення процесу міркувань;
д) здатність допереходу від прямого до оберненого ходу думки;
е) гнучкістьмислення незалежно від впливу шаблонів.
Математика сприяєвиробленню особливого виду пам'яті − пам'яті, спрямованої наузагальнення, творення логічних схем, формалізованих структур, виховуєздатність до просторових уявлень. Наявність математичних здібностей в однихучнів і недостатня розвинутість їх в інших вимагає від учителя постійногопошуку, шляхів формування і розвитку таких здібностей у школярів. Рівневідиференціації з урахуванням психології математичних здібностей учнів збільшуєможливості роботи вчителя. Такий підхід створює умови для розвитку здібностейучнів, які мають природжені задатки до занять математикою, і забезпечуєпосильною роботою учнів, які не мають таких задатків. Виконуючи посильнізавдання, учень отримує впевненість у своїх силах.
Усі задачіподіляються на три типи:
а) задачі, якірозв'язую для кращого засвоєння теорії;
б) тренувальнівправи, мета яких − виробити навички;
в) задачі, задопомогою яких розвиваються математичні здібності учнів.
Розв'язуваннязадач − це робота дещо незвичайна, адже вона є розумовою. А щоб навчитисябудь-якій роботі, треба спочатку добре вивчити той матеріал, над якимдоведеться працювати, ті інструменти, з допомогою яких буде виконуватисьробота.
Отож, для тогощоб навчити учнів розв'язувати задачі, потрібно розібратись в тому, що вонисобою являють, як побудовані, з яких частин складаються, що потрібно знати, щоброзв'язати ту чи іншу задачу. Учні п'ятого класу вже знають, що підматематичною задачею розуміють будь-яку вимогу обчислити, побудувати, довестищо-небудь, пов'язане з числовими величинами або геометричними фігурами.Арифметичною задачею називають вимогу знайти числове значення деякої величини,якщо дано числове значення інших величин і залежність, яка зв'язує їх як міжсобою, так і з шуканою величиною. У початкових класах в основному розглядаютьсятак звані сюжетні задачі, в яких описується кількісна сторона деяких явищ.
Сюжетну задачу,для розв'язання якої треба виконати дві чи більше пов'язаних між собоюарифметичних дій, називають складеною. Щоб розв'язати складену задачу,пропонують учням спочатку скласти план розв'язування. План складається наоснові аналізу задачі, який проводять від числових даних або від запитання.Аналізу задачі передує ґрунтовне вивчення умови і запитання задачі.
Наприклад,задача. Велосипедист їхав 4 години із швидкістю 12 км/год. Йому залишилосяпроїхати на 16 км менше, ніж він проїхав. Яку відстань потрібно було проїхативелосипедисту?
Аналіз відчислових даних. Відомо, що велосипедист їхав 4 години із швидкістю 12 км/год.За цими даними можна дізнатися, яку відстань проїхав велосипедист. Для цьоготреба швидкість помножити на час. Знаючи відстань, яку вже проїхаввелосипедист, і те, що залишилося проїхати на 16 км менше, можна знайти відстань, яку залишилося проїхати. Для цього відстань, яку вже проїхаввелосипедист, треба зменшити на 16 км. Знаючи, скільки кілометрів залишилосяїхати, можна знайти весь шлях. Для цього треба виконати додавання знайденихвідстаней.
Аналіз відзапитання. У задачі треба знайти весь шлях, який має проїхати велосипедист. Мине можемо одразу відповісти на це запитання, бо не відомо, скільки велосипедиствже проїхав і скільки йому залишилося їхати. Щоб знайти пройдений шлях, требазнати швидкість і час руху. Це в задачі відомо. Помножимо швидкість на час ідізнаємося про пройдений шлях. Відстань, яку велосипедист ще має проїхати,можна також знайти. Для цього знайдену відстань треба зменшити на 16 км. Отже, план розв'язування задачі такий:
Скількикілометрів проїхав велосипедист за 4 години?
Скількикілометрів велосипедисту залишилося проїхати?
Яку відстань мавпроїхати велосипедист?
Отже, підвищенняефективності навчання математики можна досягти, продуктивно реалізуючи всідидактичні функції математичних задач. Велику роль відіграють задачі, які учніскладають самі. Складання задачі часто вимагає роздумів, які під час розв'язкуготових задач не потрібні. Тому складання задач сприяє розвитку творчогомислення учнів. Щоб вивчення математики викликало в учня задоволення, треба,щоб він заглибився у суть ідеї цієї науки, відчув внутрішній зв'язок усіх ланокміркувань, які дають можливість зрозуміти і саме доведення, і його логіку. Якщоучень хоча б раз досяг ясності в розумінні суті, проник у внутрішній зв'язокпонять і логічних висновків, то йому буде важко задовільнитися потімзаучуванням без. розуміння. І тоді він здійснятиме відкриття: процес власноїдумки вимагає значно менших зусиль і витрат часу, ніж вивчення напам'ять. Щобпривчити учнів самостійно мислити, викликати в них віру у власні сили і розумнатакож виховати впевненість у своїх можливостях, необхідно примусити їх пройтичерез певні труднощі, а не подавати все в готовому вигляді.
У системірозвиваючого навчання під час вивчення математики важливе місце посідаєобчислювальна практика. На 5-6 класи припадає основний обсяг роботи обчислень зраціональними числами. У наступних класах ці навички розвиваються ізакріплюються, зростає питома вага наближених обчислень, використовуєтьсяприкидка, оцінювання результатів обчислень. Широке використаннямікрокалькуляторів не зменшує ролі обчислень без них і особливо усноговиконання дій. Адже, користуючись мікрокалькуляторами, треба вміти робитиприкидку очікуваного результату й округлювати його до потрібної точності,замінюючи деякі операції усним виконанням, уміти проаналізувати здобутуінформацію.
Слід мати наувазі і розвиваючу функцію усних обчислень: вони активізують увагу і пам'ятьучнів, спонукають їх до раціональної діяльності. Якщо в учнів середніх класівдобре сформовані ці навички, це є запорукою того, що в старших класахрозв'язування задач не буде викликати особливих труднощів. Уміння розв'язуватиту чи іншу задачу залежить від багатьох чинників. Але передусім необхіднонавчитися розрізняти основні типи задач і уміти розв'язувати найпростіші з них.Задачі, що розв'язуються у шкільному курсі математики, можна умовно розподілитина такі типи задач:
а) задачі «нарух»;
б)задачі «насумісну роботу»;
в) задачі «напланування»;
г) задачі «назалежність між компонентами арифметичних дій»;
д) задачі «навідсотки»;
е) задачі «насуміші»;
є) задачі «нарозбавлення»;
ж) задачі «збуквеними коефіцієнтами”;
з) інші видизадач.
Природаматематичних здібностей
Математичніздібності не вроджені, а набуті в житті властивості, причому формування цихвластивостей виникає на основі певних задатків. Роль задатків різноманітна, взалежності від того, про які здібності йде мова, − ця роль мінімальна увипадках розвитку звичайних здібностей до математики, і винятково велика, колимова йде про математичні здібності вчених-математиків.
Виділяють деякіфакти, які особливий інтерес для. а саме:
1) часто дужераннє формування здібностей до математики, нерідко в не найкращих умовах і привідсутності на перших етапах систематичного і ціленаправленого навчання; 2)цікавість та схильність до вивчення математики, які також часто проявляються вранньому віці; 3) велика працездатність в області математики, яка зв’язана звідносно малою втомою в процесі напружених занять з математики; і 4)математична направленість розуму, що характеризує дуже здібних до математикилюдей.
Все це дозволяєпідкреслити гіпотезу про роль вроджених функціональних особливостей мозку увипадку особливо математично-здібної людини.
Досвід роботивчителів показує, що для поліпшення розуміння, закріплення та відтворенняінформації доцільно проводити такі уроки як: урок-змагання; урок-вікторина,урок — “круглий стіл”; урок-гра та ін. Щоб зацікавленість учнів до вивченняматематики не знижувалась, доречно систематично проводити ігри з використаннямінтерактивних технологій.
Позакласна роботаз математики дуже важлива для пробудження в учнів інтересу до математики. Томуматематичні вікторини, змагання, ігри, прес-конференції, вечори сприяютьпідвищенню математичної культури, розширюють і поглиблюють здобуті на урокахзнання, показують застосування їх на практиці, розвивають мислення, математичніздібності, допомагають ввійти у світ наукових і технічних ідей.
Так припроведенні прес-конференції “Гранітна опора наук” учні 7-9 класів багатодізналися про значення математики в різних галузях людської діяльності. Такаформа роботи сприяє розширенню кругозору учнів, розвиткові уміння самостійно йтворчо працювати з навчальною, науково-популярною літературою, формуванню в дітейінтересу до математики, а також поглибленню знань.
Учням дужеподобається брати участь в іграх, правила яких максимально наближені до умовтих ігор, за якими вони мають можливість спостерігати з екранів телевізорів.Такими іграми є “Перший мільйон”, “Поле чудес”, “Слабка логіка” та інші.
Щоб розвинутитворчі здібності учнів, поступово та систематично залучати до самостійноїпізнавальної діяльності, щоб забезпечити співпрацю між учнями та учителем,традиційного уроку недостатньо. Саме тому для проведення досліду я вибралаурок-бізнес.
Учнів класу булоподілено на три команди, і весь урок вони працювали за груповим методом. Кожнакоманда сиділа за окремим великим столом. Ідея уроку полягала в тому, що учні — гості, які приїхали у місто «Відсоток», а вчитель — бізнесмен, мешканець цьогоміста, знайомить їх з ними і його мешканцями. Під час цієї мандрівки з учнямитрапляються цікаві пригоди вони витрачають і заробляють гроші, займаютьсябізнесом, а допомагають їм у цьому відсотки. Урок проводився в класі де учнямбули знайомі усі типи задач на відсотки. Цей урок вимагає гарної підготовкивчителя. Було намальовано яскраві плакати з написами об'єктів продажу, картки ззадачами, підготовано гральний кубик. У проведенні уроку вчителеві допомагалиучні цього класу − «працівники фірми». Учень начальник фінансів −вів банківські рахунки команд на одній з відкидних дощок, троє менеджерів поодному біля кожного з трьох столів − для виплати коштів, зароблених учнемокремо та для того, щоб кидати гральний кубик.
Під часпроведення цього уроку спостерігається велика зацікавленість учнів, вониактивні, збуджені, працюють із задоволенням це можна пояснити, мабуть, тим, щоучні відчувають себе у ролі бізнесменів, мають змогу заробити і витратитивласний капітал. Це урок — міні-модель сучасного життя, де без знань відсотківта їх застосування не обійтись. Тому ми бачимо і мотиваційний бік цього уроку.Під час підведення підсумків я відзначаю не тільки командну роботу певної групиучнів, але й індивідуальні відповіді.
Така організаціяучбової діяльності на уроці дає можливість реалізувати принципи диференціаціїнавчання, оскільки гарантує участь кожного учня на тому чи іншому етапі уроку.Так, учні з низьким рівнем навчальних здібностей можуть забезпечити командібали на І етапі уроку, а учні з високими здібностями − виступи іззахистом творчих робіт. Другий етап уроку − “поле діяльності” для учнів зсередніми навчальними здібностями.
Попрацювавшидеякий час з групою учнів, я помітила, що одні учні більш здатні до математики,ніж інші. Тому я вирішила провести тест «Чи маєш ти математичні здібності?».Завдяки йому я підтвердила свої здогадки і продовжила роботу трішки інакше.Дану групку учнів я поділила на дві підгрупки. З учнями, які мали кращіздібності до математики я продовжувала роботу як і раніше, а в підгрупці, деслабші учні я почала більш розвивати в них математичні здібності використовуючирізноманітні задачі. Потім знову провела даний тест і помітила, що рейтингпіднявся. Це означає що мені вдалося розвинути в учнів математичні здібності.
Я ще разпереконалася, що з готовими здібностями діти не народжуються. Тому їх постійнопотрібно розвивати. А засвоєння дітьми знань з математики, є необхідною основоюдля вдосконалення та розвитку їх початкових математичних здібностей.

Висновок
При розглядіданої теми, ми ще раз переконалися, що Здібності − властивості душілюдини, що розуміються як сукупність усіляких психічних процесів і станів. Причому Математичні здібності— це здатність утворювати на математичномуматеріалі узагальнені, згорнуті, гнучкі й обернені асоціації та їх системи.
Ми вже знаємо, щоз готовими здібностями діти не народжуються. Вони народжуються лише звнутрішніми передумовами до розвитку здібностей — з задатками. Здібності завждиє продуктом розвитку дитини, продуктом її навчання і виховання. Будучискладними психічними властивостями, здібності починають розвиватись не зразу.Щоб у дитини в тій чи іншій галузі діяльності виявились здібності, для цьогопотрібні певний рівень фізичного та психічного розвитку, певні знання іжиттєвий досвід. В окремих випадках здібності виявляються досить рано.Математичні здібності також проявляються дуже рано, та нажаль не у кожноїлюдини вони є. Їх також потрібно постійно розвивати.
Щоб розвинутитворчі здібності учнів, поступово та систематично залучати до самостійноїпізнавальної діяльності, щоб забезпечити співпрацю між учнями та учителем,традиційного уроку недостатньо.
Здібності дітейвиявляються в допитливості, в їх інтересах і нахилах до тих чи інших формдіяльності. Перехід дітей від початкового виявлення здібностей до вищихступенів їх розвитку має своєю передумовою загальний розвиток дітей, дальшезміцнення їх фізичних та розумових сил і засвоєння ними. Засвоєння дітьми знаньз математики, є необхідною основою для вдосконалення та розвитку їх початковихматематичних здібностей. Розвиток здібностей дітей вимагає від них такожспеціальних знань, умінь та навичок, які набуваються тривалими вправами в тихчи інших спеціальних галузях діяльності.
Без правильнопобудованого навчання, без наполегливої праці над собою навіть «вундеркінди»,тобто діти з рано виявленими визначними здібностями, стають пустоцвітами.Розвитком здібностей треба систематично керувати.

Література
1. БожикЛ.М. Як розвивати розумові здібності. Година темат. спілкування.// Позакласнийчас – 2000 — №25 (додаток) – с 11 – 14.
2. ВовченкоО.І. Про здібності людини. Талант. Урок №1 з питань психології // Позакласнийчас – 2003 – березень №6 (додаток №1) – с 45 – 47.
3. ГубенкоО.В. Розвиваємо математичні здібності дитини готуючи її до школи (Порадипсихолога).//Обдарована дитина – 1999 — №4 с 42 – 47.
4. Завуч –2001 –лютий (додаток) — №6 с 2 – 16.
5. Ігри,ребуси, тести / Упоряд. О.В. Лєбора. – Х.: Веста: Видавництво «Ранок», 2007. –с.209 – 210. – (сучасна школа).
6. КрутецькийВ.А. Психология математических способностей школьников. М., «Просвещение»,1968г
7. М’ясоїдП.А. Здібності // М’ясоїд П.А. Загальна психологія: навч.посібник. – К. – 1998.– с 416 – 436.
8. Обдарованадитина-2007-№7 с 46 – 49, с 20 – 29.
9. Обдарованадитина-2005-№1 с 27 – 31.
10. Обдарованадитина-2003-№3 с 2 – 9.
11. ОлексієнкоЛ. Як розвивати розумові здібності. Бесіда психолога з дітьми.//Шкільний світ.– 2001 – червень (№23) с 6 – 7.
12. Психологічнийжурнал.-1996-№2 с 80 – 88.
13. ТерлецькаЛ.Г. Загальна характеристика здібностей людини//Психологічна газета – 2004 –листопад №22 с 3 – 4.
14. Федик О.Здібності як об'єкт психологічного аналізу// Психологія і суспільство. – 2002 –№1 – с 28 – 34.
 

Додатки
 
Чи маєш тиматематичні здібності?
Дай свій варіантвідповіді
1. У дюжині4 гарних яблука. А скільки поганих?
2. У ящику48 яблук, у кожній дюжині тільки 8 поганих. Скільки гарних яблук у ящику?
3. Яке числобільше від 50 настільки, наскільки воно менше від 60?
4. Ти зприятелем витратива половину грошей у буфеті, а половину з того, що залишилося,на проїзд. Після цього у вас залишилося 40 копійок. Скільки ви витратили вбуфеті?
5. Заскільки годин машина може проїхати відстань, що дорівнює 400 км, зі швидкістю 50 км за годину?
6. Яке числобільше від 36 настільки, наскільки воно більше від 29?
7. Твійгодинник поспішає на 4 хв за добу. Якщо він показує о пів на восьму, то скількивін буде показувати опівдні?
8. Сума В іС дорівнює 116. В менше за А на 3, але більше від С на 4. Чому дорівнює А?
9. З кожних100 осіб семеро не люблять їсти банани. Скільки осіб не люблять їсти банани з500?
10. Банкірпридбав 3 акції по 10 грн, а продав по 6 грн. По 6 грн він продав так самокожну з акцій, яку купив по 5. Якщо його прибуток становить 8 грн, скількиакцій він продав по 5 грн?
11. За якийчас літак пролетить відстань, що дорівнює 400 км, маючи швидкість 600 км за годину?
12. Якщо 6,5 м тканини коштують 26 грн, то скільки коштують 3,5 м тканини?
13. Якщопродуктів у супермаркеті вистачить для 300 покупців на 2 тижні, то на який часвистачить продуктів для 400 покупців?
14. Припустимо,що А, В, і С – числа. Д – сума цих чисел. Якщо від Д відняти А, чи буде цедорівнювати сумі В і С?
15. Припустимо,що А і В – числа. Д – різниця А і В. Якщо Д плюс А дорівнює В, то В більше заА?
16. 10 корівз’їдає за 10 днів 10 кг сіна. За скільки днів 1 корова з’їсть 1 кг сіна?
17. Продовжряд чисел: 1, 1, 2, 6,
18. Впишипропущені числа.
_ _ _ _
× 4
3 _ 3 2 _
19. Припустимо,що букви даного прикладу є числами. Якому числу відповідає кожна буква?
А 1 А
× 2 В
6 3 Д
О 2 О ч
О 8 Ю Д є
20. Припустимо,що букви даного прикладу є числами. Напиши відсутні букви.
5 Ж 4
× Ж 5 ж
2 К И Г
И К К 6 д
И И Ж 4 8 Г є
21. Серед 154рукавичок зелених на 3 менше, аніж жовтих, але при цьому зелених на 5 більше,аніж синіх. Якщо всі рукавички зелені, жовті й сині, то скільки жовтих?
Ключ: Своївідповіді порівняйте з запропованими відповідями. За кожну співпавшу відповідьотримали 1 бал.
Відповіді:
1) 8; 2) 16;3)55; 4) 80 копійок; 5) 8 год; 6 43; 7) на 1 хв 15 секунд; 8) 63; 9) 465; 10) 20акцій; 11) за 40 хв; 12) 14 грн; 13) на 10 днів; 14) так; 15) так; 16) 10; 17)24; 18) 7582·4=30 328; 19) А=2; Д=6; О=4; В=7; Ю=3; 20) Ж=4; Г=0; И=2; К=7; 21)55.