ЗМІСТ
Вступ
Розділ 1. Наочна концепція дробу
1.1 Особливості прийнятого способуознайомлення учнів з дробами
1.2 Історичний корінь наочної концепціїдробу
1.3 Вимірювання величин як предметнеджерело дробу
Розділ 2. Методика вивчення дробів
2.1 Ознайомлення з частками
2.2 Ознайомлення з дробами
Висновки
Список використаних джерел
ВСТУП
Особливостіформування поняття про дроби у молодших школярів являє особливий інтерес як дляпедагогічної психології навчання, так і для вікової психології. Дроби маютьшироке застосування в повсякденному житті. Це зумовлює потребу у викладанніуявлень про дроби уже в початковій школі. Разом з тим викладання дробів умолодших класах пов‘язане з певними труднощами, які з однієї сторони, змушуютьрізко обмежити об‘єм знань про дроби, з якими ознайомлюють молодших школярів, аз другої сторони, викликає тенденцію до такого способу введення дробів, який невідповідає поняттю про них.
В чому жполягають труднощі ознайомлення з дробами? Ось що пише з цього приводу методистІ.Н. Шевченко: «Звичайно, дроби дуже складні числа …», — і продовжує: «В силу того,що дріб – число більш складне, ніж ціле, вивчення дробів пов‘язане з деякимитруднощами. Щоб зрозуміти дроби і вивчити дії над ними, потрібно оволодітимеханізмом спільних дій не над одним, а над двома числами … Тут від учніввимагається трохи більше напруження їх розумових сил» [12; 80,86-87].
Як бачимо,труднощі дробів з точки зору вивчення полягає в тому, що тут дитина повинназасвоїти механізм дії зразу над двома числами. Як же ці числа пов‘язані міжсобою? І.Н. Шевченко пише: «Дріб – це число, яке являє собою сукупність двохчисел» [12; 86]. Тут не вказується характер особливостей, які властиві дробу,але по способах практичного його використання можна зробити висновок, що вінявляє собою відношення двох чисел. Поняття дробу припускає виділення цьоговідношення і вміння орієнтуватися на нього.
Засвоєннявідношення чисел якраз і пов‘язане з тими труднощами, які виділяють методисти іпсихологи. Цей момент, дуже важливий для вікової психології, у свій час бувспеціально виділений П.П. Блонським: «Шкільний курс арифметики ясно ділиться надві частини: цілі числа і дроби, причому іменовані числа являються частіше завсе переходом від першої частини до другої. Арифметика цілих чисел припадає намолодше дитинство, арифметика дробів – на старше. Якщо в молодшому дитинстві,вивчаючи арифметику цілих чисел, дитина ступає на першу сходинку абстрагуваннявід якісних ознак предмета, на сходинку кількості і величини, то, вивчаючиарифметику дробів, вона ступає на другу сходинку – кількісного відновлення; це– сходинка абстрактного мислення відношення предметів, позбавлених всіхвластивостей. Так за стадією мислення якісних абстракцій іде стадія мисленняабстрактних відношень» [6; 126].
Стадія мислення«абстрактних відношень» пов‘язана з вивченням арифметики дробів. Зрозуміло, щодітям молодшого шкільного віку ця друга сходинка абстракції дається важко і туту викладанні допускається тільки проподевтика дробів, а систематичний їх курсповинен даватися пізніше, за межами початкових класів, хоч і там залишаєтьсянайбільш трудною серед інших тем [12; 87].
І так, середінших причин, що суттєво ускладнюють зміст теми «Дроби» в молодших класах чивзагалі, які виходять за межі її початкового вивчення, не менш важливе значеннямають дані вікової психології, відповідно до яких розгорнуте засвоєнняарифметики дробів, пов‘язане з розумінням кількісних відношень, перевищує«максимум» інтелектуальних можливостей дітей молодшого шкільного віку(відповідно до висновків П.П. Блонського, цей «максимум» в молодшому шкільномувіці забезпечує тільки засвоєння арифметики цілих чисел, які приводять дітей доабстракції «кількості і величини» [6; 162-163]. Тому об‘єктом курсової роботиобрано процес вивчення дробів в початковій школі, а предметом – пошукефективних методичних прийомів, які враховують психологічні особливостімолодших школярів при вивченні теми «Дроби».
Мета –особливості вивчення теми «Дроби» в початковій школі.
Завдання курсовоїроботи:
1. розкритиособливості прийнятого способу ознайомлення учнів з дробами;
2. дослідитиісторичний корінь «наочної концепції дробу»;
3. розглянутивимірювання величин як предметне джерело дробу;
4. ознайомитися зметодикою викладання дробів в початкових класах.
РОЗДІЛ 1. “НАОЧНА КОНЦЕПЦІЯ ДРОБУ”
1.1 Особливостіприйнятого способу ознайомлення учнів з дробами
Формуванняпоняття про дроби рекомендується проводити по трьох основних етапах:
1) спочатку дітизасвоюють фактичне роздроблення (ділення) різноманітних конкретних предметів нарівні (“частки”), коли кожен предмет виступає як ціла одиниця; вони утворюютьрізні частини цих предметів (половину, чверть і т.д.), а із частин – дроби(одна друга, одна четверта, три четвертих);
2) потім цюж роботу діти проробляють уже на кресленнях (малюнки кругів, відрізків);
3) дітиоперують дробами по уявленню, без будь-яких інших зовнішніх опор, крім самихзаписів (/> і т.д.). Розглянемодетальніше зміст роботи на кожному з цих етапів.
На першомуз них знаходить своє вираження життєвий досвід самих дітей, що і створюєнадійну основу для успішної роботи по засвоєнню цього нового розділу арифметики[11; 325]. Ще вдошкільному віці дітям приходилося розламувати яблука, пряники – і вже тодівони говорили про половину чого-небудь, про чверть і про деякі другі частиницілого [12; 87]. В школі ж діти уже в 1 класі знайомлятьсяз розбиттям сукупності предметів на рівні частини, уточнюють зміст термінів«половина», «чверть» тощо, працюючи з кругами, квадратами, відрізками, а пізнішевідносять їх до таких мір, як кілограм, метр, літр. Завдяки цьому з 1 по 4клас, розширюються і удосконалюються уявлення про ціле і частини, прийомирозбиття окремих предметів і їх груп на рівні частини.
Дітипомічають зв‘язок між числом рівних частин і назвою кожної частини (щобполучити чверть круга, потрібно розділити його на чотири рівні частини тощо), апотім вже без наочних засобів вирішують, наприклад, такі задачі, як знаходженнясьомої, дев‘ятої частини числа. В 3 класі вони можуть пояснити графічно різнічастини даного відрізка (половину, третину, шосту частину тощо).
Приступаючидо спеціальної навчальної роботи над дробами, необхідно опиратися на ці знанняучнів, поновити їх і систематизувати. Перші кроки в цьому напрямі можуть бути“грубо наочними: береться яблуко і розламується на дві рівні частини, в кожнійруці буде половина яблука; береться стакан, наповнений водою, і половина водивиливається в кольорову банку, значить у стакані залишається півстакана води” [12;88]. Дальше можуть демонструватися частини одиниць виміру(наприклад, сантиметр – одна десята дециметра).
Вивченнячасток краще всього проводити з допомогою картонних чи фанерних кругів, цілих іподілених на сектори, так як частина круга, яка демонструє ту чи іншу частинуодиниці, значно відмінну від цілого круга – одиниці. Але і відрізки, іквадрати, і прямокутники, зроблені з картону чи фанери і розбити на частини,також повинні використовуватися як наочні засоби (на рис.1 показані зразкитаких засобів, взяті із праці А.С. Пчілки) [11; 326-327].
/>
/>/>
/>/>/>
/>/>/>/>/>
/>
/>/>
/>/>/>
/>/>/>/>/>
/>
/>/>
/>/>/>
/>/>/>/>/>
Рис. 1
З їхдопомогою виділяються наступні частини: половина, чверть, восьма, п‘ята ідесята, а потім демонструються дроби, які складаються з цих частин [11; 326].
На першихуроках цієї теми проводиться така робота:
Вчитель (показує згинання круга наполовину, а потім розрізає, отримуючи двірівних частини круга). Скільки отримали половин?
Учні. Дві половини.
Вчитель. Щоможна сказати про обидві половини? Які вони між собою за розміром?
Учні. Половини рівні.
Вчитель. Прикладіть до цілого круга половину. Скільки всього стало половин?
Учні. Три половини.
Вчитель. Ці три половини – дві з них демонструють цілий круг – утворюютьпівтора круга… Скільки половин буде в двох кругах?
Учні. В двох кругах чотири половини.
Вчитель. Тепер я покажу вам як записується половина. Пишеться вона
так: />. Щоб отримати половину миділимо круг на дві рівні частини. Число 2 пишеться під рискою. Таких частин мивзяли одну. Одиниця пишеться над рискою.
Учні (пишуть на кожній половині круга цифрами />)[11, с.327-328].
Подібнимспособом учні знайомляться з чвертю. (/>),а потім з трьома четвертими (/>).
Вчитель. Як можна получити чверть з цілого круга?
Учні. Цілий круг потрібно розділити на чотири рівних частини.
Вчитель. Як получити з цілого круга три чверті?
Учні. Потрібно цілий круг розділити на чотири рівних частини і взяти тритаких частини.
Вчитель. Одна четверта пишеться так: />, тричетвертих: />.
Потім дітиділять смужку паперу, прямокутники і повторюють ті висновки, які зроблені приділенні круга на чотири рівних частини [11; 329].
Нанаступних уроках вивчаються інші дроби: /> тощо.Вчитель просить, наприклад, утворити /> листкапаперу (квадрата паперу, круга). Учні відповідають: «Щоб отримати /> листка паперу, потрібноцілий листок розділити на 8 рівних частин і взяти три таких частини (одиницюрозділити на 8 рівних частин і таких частин взяли 3) [11,330-331].
Виділеннячастин і вивчення відповідних дробів можна проводити і на дерев‘яних моделяхкуба, допускається поділ на 2, на 4 і на 8 рівних частин
[12; 95].
Діленняпредметів, яке приводить до появи дробового числа, дітям можна показати і натакому прикладі потрібно розділити 3 яблука порівну між чотирма дітьми.Зрозуміло, що кожному дістанеться не ціле яблуко, а тільки деяка його частина.Розрізавши два яблука на половину, можна дати кожному по половині, а потім,розрізавши ще одне яблуко на чотири частини, дати кожному по його чверті.Спираючись на наочність, можна показати, що кожна дитина отримала по /> яблука [12; 94].
Нанаступних етапах ця робота проводиться уже на кресленнях (діти малюють круги,квадрати, відрізки прямої). Особливе значення має демонтстрація частин задопомогою відрізків. Намалювавши декілька відрізків однакової довжини, учніділять кожен з них на те чи інше число рівних частин ( на 2, 3, 4, …, 12частин). При цьому вони сприймають «на око довжину кожної з отриманих частин» іпомічають, що «при збільшенні знаменника частини зменшуються» [13; 89].
Задопомогою малюнків дітям легко розкрити зміст мішаних чисел. Так, учні (позразку, який дав вчитель) малюють у зошиті певну кількість цілих кругів і йогочастини, а потім позначають все це деяким мішаним числом (наприклад, 2/> , 3/>; рис.2) [11; 331].
Робота змалюнками дозволяє оперативно замінити одні частини другими, одну кількість –іншою, що створює сприятливі умови для переходу до вивчення властивостей самихдробів – до перетворення мішаного чи цілого числа у неправильний дріб і довиділення цілого числа із неправильного дробу, до перетворення одних частин уінші; до додавання і віднімання однойменних і кратних частин) [11; 327].
Поступовозвільняючись від опори на малюнок, діти переходять до третього етапу:перетворення дробів (наприклад, виділення цілого числа із неправильного дробуабо скорочення дробу і т.д.), маючи перед собою тільки його запис або лишеслуховий образ. На цьому етапі можна переходити до логічного обгрунтуванняправил дій з дробами. Правда, в межах початкового вивчення методистирекомендують залишатися на такому рівні, коли дії з дробами здійснюються не зацими правилами, а на основі роздумів, які випливають із наочного уявлення [11;325].
Описанівище конкретні рекомендації можуть отримати чітке теоретичне обгрунтування,наприклад, у праці І.К. Андронова. Тут говориться наступне: «В природі можнаспостерігати як елементи множин іноді розпадаються на нові елементи. Так,наприклад, горошина, прорастаючи, розпадається на дві частини, а якщо запельсина зняти шкірку, то він легко розділяється на 10 частин.
Можнапідібрати скільки завгодно прикладів подібного поділу елементів множин на рівнічастини, які в свою чергу стають елементами інших множин
[4; 7].Таке розбиття на частини допускають, наприклад, яблука, картопля, грядки, алевоно неможливе на інших предметах: чашку, наприклад, на рівні частинироз‘єднати не можна [4; 7]. Спостерігаючи випадки розбиття, легко дативідповідне визначення поняття «частина елемента» — це кожна із рівних частин
[4; 8].Звідси випливає і визначення дробового числа як пари натуральних чисел, одне зяких показує кількість частин, а інше – скільки таких частин взято
[4; 12].
Для всієїцієї лінії знайомства учнів з дробовим числом характерні наступні основніособливості:
1. Учнямдемонструють те, що деякі предмети (“одиниці”) можуть розпадатися, розбиватисяна рівні частини або останні можуть бути виділені на цих предметах самоюлюдиною. Кожна із частин, всі вони разом або деяка сукупність з них можуть бутиоб‘єктом прямого спостереження.
2. Учнівизначають за допомогою цілого числа ту чи іншу кількість частин самих по собі(“Три частинки апельсина”), але після цього вони вказують одночасно і всю тукількість частин, з яких виділена перша сукупність (“три частинки апельсина здесяти наявних” тощо).
1. В житті вироблені конкретні словесні вираження для подібногоодночасного вказування пари цілих чисел “одна з семи” або “одна сьома”, “три здесяти” або “три десятих”. Ця пара чисел і є дріб. Діти вчаться користуватисяцими вираженнями при спостереженні за відповідними ситуаціями або на вимогувчителя “взяти” ту чи іншу кількість частин із їх групи.
2. Таким чином, тут мова йде про виникнення дробу із деякої конкретноїреальності. Такою реальністю являється, як підкреслив І.Н. Шевченко, поділможливих речей. Це і є “наочна концепція дробу” [12; 94]
А.С. Пчілкапрямо говорить про “сприйняття дробових чисел”, про те, що завданняпропедевтики дробів “дати дітям наочне, цілком конкретне, образне уявлення прочастини [11; 325]. Звичайно, що, відповідно до цихнастанов, «при вивченні дробів процес навчання повинен проходити повільніше,ніж це було на множині цілих чисел» [11; 325]. Завдання пропедевтики полягає втому «щоб учень початкової школи ясно уявляв собі дріб як одну чи декількарівних частин цілого – круга, квадрата, одиниці».
«Наочнаконцепція дробу» являється тепер провідною в методиці викладання математики яку нас, так і за кордоном. Вона здається цілком логічною і життєвою, якаспирається на загальні уявлення про те, що числа являють собою своєрідневідображення реальності. Але тут є моменти, які так сказати «насторожують». Упраці А.С. Пчілки говориться: «Із всіх способів вивчення дробового числа на ційсходинці розглядається тільки один спосіб ділення предметів на рівні частини[11; 327].
Звичайно, єі другі способи вивчення дробів, які не розглядаються у початковій школі. Вониперелічуються у методичній праці І.Н. Шевченка. Тут вказуються два основнихджерела виникнення дробів. Вимірювання і ділення
[12; 81].Ділення у свою чергу має дві форми: ділення речей, предметів і величин іділення чисел. При цьому “фізичний акт ділення – прототип ділення виділенихчисел, і ми говоримо про ділення цілих чисел як про джерело виникнення дробів,опираючись на наочні уявлення і на особистий досвід школярів [12; 81].
Такимчином, ділення речей як способів вивчення дробів, прийнятий у початковій школі,і відповідна йому “наочна концепція дробу” направлені на наступне введеннядробів як часткового від ділення цілих чисел.
Ну, авимірювання? Як справа з його вивченням у школі? Вражаюче, але факт – упочаткових класах при вивченні дробів воно взагалі не застосовується [11; 302].Основний же акцент у викладанні робиться на введення дробів через діленняпредметів і частин. При цьому ні в теоретичному, ні в практичному плані тутнавіть не робиться спроб якось поєднати виділені два джерела вивчення дробівабо обґрунтувати домінуюче значення одного з них перед другим. Вимірюванняпросто ігнорується як важливе джерело цієї форми чисел, хоча зовні воно івказується.
1.2 Історичний корінь «Наочної концепції дробу»Як показує історія становлення основнихматематичних понять, зокрема
поняття числа, дійсна необхідність у дробах виникла привимірюванні величин за
допомогоюобраної одиниці [8; 239]. «...Історично дроби виникли у зв'язку з потребоювимірювати». Вимірювання різних величин за допомогою обраних мір (одиниць)показувало людям, що вираження його результату цілими числами найчастіше носитьнаближений характер. Для уточнення результатів вимірювання необхідно буловибирати інші, менші одиниці, які мали певне відношення до колишнього. «Такимчином, практика привела людину до необхідності використання різних одиниць, а звідношень одиниць цих конкретних мір виникло абстрактне поняття дробу» [8;240].
Дробові числа широко застосовувалисядревніми єгиптянами, вавилонянами, індусами, потім греками, а в середньовіччя — арабами. При цьому є підстави думати, що й у математиці як науці дроби спочаткурозглядалися у зв'язку із задачами виміру величин. Так, стародавні грекираціональний дріб виду /> навітьне називали числом — це було для них відношення, розгляд якого поклало початоктеорії звичайних дробів [8; 243]. Виклад звичайних дробів, даний СимономСтевином наприкінці XVI в.,супроводжувався виданням праці того ж автора про десяткові дроби [8; 245], якітрадиційно пов'язані з потребами саме вимірювання. Разом з тим уже з XIIст. у працях по арифметиці при описіділення чисел з остачею дроби розглядаються як частини чисел (ця точка зоруможе бути вловлена ще в єгиптян) [8; 255].
Аж до ХVП-ХVПІст. у математиці вироблялися самі правила дійіз дробовими числами. У підручники європейських шкіл викладання дробів сталопроникати в XVIIIст.При цьому Хр. Вольф у своєму керівництві впершевисловлює вимогу про те, щоб закони арифметичних дій, раніше встановлені приобігу із цілими числами, обґрунтовувалися й для дробів. Але методи цьогообґрунтування були розроблені тільки в XIX в. [8; 245-263].
Практика дій із самими дробами, вірніше з їх символами, наприкладз вираженням відношення />,поступово приводила до того, що усередині математики форма цих «нових» чиселусе більше й більше відділялась від їхньої першооснови, від вимірювання.«Останній, і самий істотний, крок, — пишуть Р. Курант іГ. Роббінс, торкаючись цього питання, — був зроблений уже усвідомлено, післябагатьох сторіч нагромадження окремих зусиль: символ />був звільнений від йогоконкретного зв'язку із процесом вимірювання й самих вимірюваних величин і ставрозглядатися як абстрактне число, самостійна сутність, зрівняна у своїх правахз натуральним числом».
Такий свідомий перехід до розгляду дробів як «самостійноїсутності» був зроблений при розв‘язуванні особливих пізнавальних задач,пов‘язаних із внутрішнім розвитком самої математики як теоретичної дисципліни.Справа, в тому, що в межах тільки натуральних чисел не завжди здійсненніоперації виділення й ділення. З розвитком математичного апарата виникаєтеоретична потреба в знятті цих обмежень. «Введення» дробових чисел усувалоперешкоди, що заважають виконувати ділення (подібно тому як негативні числа усувалиперешкоди для виділення), але без порушення основних арифметичних законів(асоціативного, комутативного й дистрибутивного). Подібне розширення областічисел (тут — побудова системи раціональних чисел) є одним із проявів основногоспособу утворення нових понять у сучасній алгебрі [9; 8]. Це — «одна з формхарактерного в математиці процесу узагальнення».
Ця форма узагальнення й відповідний їй алгебраїчний спосібутворення нових понять був розроблений в XIXст. («принцип сталостіформальних законів»). Потім в абстрактній формі цей спосіб розширення числовоїобласті застосовується в теорії пар, що використається, зокрема, і для введеннядробових чисел. Якщо операція над двома числами неможлива в області наявнихчисел, то вводиться новий символ у вигляді пари колишніх чисел (а, в, дляякої встановлюються визначення рівності, більше, менше й т.д. Якщо арифметичнідії над новими символами підкоряються законам дій над колишніми, тонові символивизнаються числами [8; 264].
Теорія пар прийнята в сучасній математиці, дозволяє логічнобездоганно будувати числові системи без якого-небудь звертання до «конкретноїдійсності», у випадку раціональних чисел — без звертання до вимірювання. Вонастала потужним знаряддям теоретичного дослідження й, природно, уважається єдиной справді науковою.
Ця установка в теорії числових систем поступово стала проникати йпоширюватися на викладання математики як у вищих, так й у середніх навчальнихзакладах. Цілком природне прагнення педагогів до відновлення курсу математикиприводило до того, що зазначений підхід до введення чисел став сприйматися якєдино сучасний і строгий. Створилася ситуація, що ще в 30-і роки була в такийспосіб охарактеризована А. Н. Колмогоровим: «… Дуже поширена думка, щонайбільш «науковим» підходом до введення раціональних чисел є підхід з бокудовільного розширення області цілих чисел для досягнення необмеженої реалізаціїдії ділення… Часто учням повідомляють помилкові твердження, що справдінаукова побудова раціональних чисел не повинна мати нічого загального з вимірюваннямвеличин. Часто говорять, що правила дії над дробами є лише «зручні угоди», щозберігають незмінними закони дій» [9; 8-9].
Однак зазначена думка, розповсюджена серед методистів, послужила причиною того положення речей, коли вимірювання величин як джерело дробівстало ігноруватися. Це відношення до реального вимірювання було б, видимо,правомірним, якби традиційний зміст шкільної математики змінився б настільки,що злився б з поняттями абстрактної алгебри як навчанні про операції. Але тоді,звичайно, це був би інший навчальний предмет, з іншими загальними освітнімицілями, у якому, до речі, різні види чисел мали б й іншу пізнавальну цінність,чим у нинішньому навчальному предметі. Однак так далеко ні в недалекомуминулому, ні в найближчому майбутньому перебудова курсу не зайшла й не зайде.Цей курс усе ще далекий від способів утворення понять у загальній (абстрактній)алгебрі, що у свій час саме й було відзначено А. Н. Колмогоровим: «Вся цяконцепція занадто абстрактна не тільки для того, щоб у явному виглядівикладатися в середній школі, але й для того, щоб служити опорою для вчителя вцьому викладанні». І потім він констатує справжнє положення речей: «Удійсності, звичайно, ніхто й не намагається викладати в школі ідеї сучасноїабстрактної алгебри» [ 9;9].
Іншими словами, хоча ідеї абстрактної алгебри в школі й невикладаються, однак їхній непрямий вплив на спосіб введення раціональних чиселу наявності. Варто мати на увазі, що такий вплив зовні виразився як негативно(ігнорування виміру), так і позитивно — через ідею про те, що одним із джерелдробів є ділення самих чисел. Оскільки ця дія загальноприйнята, а випадкиділення з остачею або при наявності діленого,, що менше дільника, часті, то впринципі неважко задачі такого ділення поставити у зв'язок з поняттям «числовоїпари», скористатися відсвітом алгебраїчного способу розширення числовоїобласті. Але саме його відсвітом, зовнішньою подібністю, а не суттю, що вимагаєінших підстав, чим ті, які можуть бути поки дані в школі.
Таким чином, поряд з вимірюванням у методиці булозазначеноще одне і справді математичне джерело дробів — ділення чисел. Переважнеположення цього джерела підкріплювалося ще тією загальною тенденцією, щовластива всьому викладанню математики і яку А. Н. Колмогоров описав так: «… Нарізних щаблях навчання з різним ступенем сміливості незмінно проявляється тасама тенденція: можливо скоріше справитися із введенням чисел і далі вжеговорити про числа й співвідношення між ними» [9; 10]. При наявності такоїтенденції співвідношення цілих чисел, наявні в діленні, були, звичайно, зручноюпідставою для знайомства учнів із дробами.
Але тут необхідно було враховувати й фактори психологічногохарактеру. П'ятикласникам, а тим більше молодшим школярам, не можна задати вчисто знаковому, символічному плані принцип того ділення, що приводить додробів. Потрібно було знайти його наочний корелят. У цій ролі й виступило такзване ділення самих речей, їхній поділ на частини, що у ході навчання може бутивідносно легко пов‘язане з термінами, характерними для визначення звичайнихдробів. Так цілком закономірно виникла «наочна концепція дробу», описана вище.Досить хитрими шляхами в історії викладання математики справжнє джерелоутворення дробів — вимірювання — було замінено у дидактичних цілях сурогатомділення чисел, так називаним «діленням речей». Подібна концепція одержалаширокий резонанс не тільки в середніх навчальних закладах, а й у молодшихкласах, тим більше що тут немудро було зв'язати виділення «часток» з життєвимдосвідом дитини в поділі предметів, наприклад у розламуванні яблук аборозрізуванні кавунів.
1.3 Вимірювання величин як предметне джерело дробу
Чи зберігає вимірювання не тільки історичне, але й актуальнедидактичне значення при введенні дробів? Багато чого промовляє на користь позитивноївідповіді на це питання. Так, розглянемо міркування, висловлені ще на початкустоліття найбільшим німецьким математиком Ф. Клейном, що спеціально зіставлявможливі шляхи введення дробів. Аналізуючи прийняту тоді в школі методикунавчання дробам, він підкреслював той момент, що в порівнянні із цілими числамитут насамперед міняється субстрат наочних образів, якими інтерпретуютьсядробові числа, а саме «від кількості предметів ми переходимо до вимірювання,від предметів, що підлягають рахунку, ми переходимо до предметів, що підлягаютьвимірюванню».
Далі Ф. Клейн шкільну методику порівнює з «новою» постановкоюпитання, з «сучасним викладом», у якому на перший план виступає «формальнасторона справи» і загальні властивості дробу як «числової пари». У цій новійпостановці, указує Ф. Клейн, ми «залишаємося цілком на ґрунті цілих чисел».Відомими передбачаються тільки цілі числа й дії над ними. Нові числа (дробові)визначаються як числові пари, а операції над ними — суть операції над цілимичислами. Ніяких принципово нових «наочних подань» тут не дається, і вони непотрібні. На противагу цьому «шкільний же виклад істотно опирається на новенаочне подання про вимірювані величини, що дають безпосереднє інтуїтивнеуявлення про дроби». Потім Ф. Клейн наводить гарний приклад, що пояснюєрозходження «шкільної» й «нової» постановки питання: «Уявимо собі істоту, щоволодіє тільки ідеєю про ціле число й зовсім не знає вимірювання. Для такоїістоти шкільний виклад здавався б зовсім незрозумілим.
Яка із цих точок зору краще? «Нова точка зору, безсумнівно,чистіше, але втой же час і бідніше», — відзначає Ф. Клейн. Вона даєтільки абстрактне, логічно точне введення дробів, але залишає відкритим не меншважливе питання: чи застосовна ця теоретична побудова «до вимірюваних величин,з якими нам доводиться мати справу”. Це питання в самій математиці можерозглядатися самостійно. «Уявляється, однак, сумнівним, — указує Ф. Клейн, — чиможна такий поділ вважати за доцільне й з педагогічної точки зору».
Отже, позицію Ф. Клейна можна охарактеризувати в такий спосіб.По-перше, з його погляду, підхід до дробів як до пар цілих чисел хоча логічно йбільше чистий, чим підхід з боку вимірювання, але й більш бідний, тому що незабезпечує застосування нових символів до вимірювання величин, «до зовнішньогосвіту». Саме цей недолік відсутній у шкільній традиції. По-друге, логічночистий підхід не виводить людини за межі поняття про ціле число, не формує внеї належних наочних уявлень, що лежать в основі своєрідності дробів. Опора навимірювання створює ці своєрідні уявлення, які досить істотні для практичноїдіяльності з величинами. По-третє, він захищає й підтримує педагогічну точкузору, відповідно до якої в основі переходу від цілих чисел до дробів повиннележати нове уявлення учнів про вимірювані величини.
Досить оригінальну позицію в проблемі введення чисел у школізаймав видатний французький математик А. Лебег. Він думав, що після натуральнихчисел на основі виміру потрібно відразу переходити до походження й природивсієї області дійсних чисел (до нескінченних десяткових дробів), минаючививчення звичайних і навіть кінцевих десяткових дробів [9; 27].
Зміст цих поглядів А. Лебега були докладно проаналізовані А.Н.Колмогоровим у передмові до книги «Про вимірювання величин», у якому він одночасносформулював і ряд власних ідей про спосіб введення чисел у школі. На мійпогляд, цей аналіз повчальний не тільки для викладачів математики й методистів,але й для психологів і дидактиків.
Тут важливий насамперед наступний висновок А. Н. Колмогорова:«Одне з основних завдань книги Лебега полягає в тому, щоб показати, що підхіддо побудови раціональних і дійсних чисел з погляду вимірювання величинанітрошки не менш науковий, чим, наприклад, введення раціональних чисел увигляді «пар». Для школи ж він має безсумнівні переваги. Першою перевагою євідповідність цього підходу історичному розвитку математики й наявному в учнівповсякденному досвіду. Другим же — та обставина, що він робить необхіднимвведення дійсних чисел» [9;9].
А. Н. Колмогоров вважає, що А. Лебег правий постановці йпринциповому рішенні цієї педагогічної задачі. Він також підтримує ідею А.Лебега про те, що для школи існує одна нероздільна задача — привести учнів доможливо більше ясного розуміння концепції дійсного числа. При її рішенніважливо зберегти єдність викладання математики на різних щаблях навчання. Дляцього необхідно, щоб у початковій школі учні знайомилися з операцієювимірювання одержуючи з неї кінцеві десяткові дроби. На прикладі періодичнихдробів, що виникають при діленні, можна закинути ідею про нескінченний дріб. Усередній школі докладніше розбирається питання про точність вимірів, а потімчерез ряд етапів формулюється загальне поняття дійсного числа [9;9-10;14-15].
Таким чином, і для А. Лебега, і для А. Н. Колмогорова введенняраціональних чисел на основі вимірювання величин не менш наукове ніж у вигляді«пар», крім того, воно відповідає історичному розвитку самої математики.Остання обставина особливо важливі. Справа в тому, що в математиці та й у їївикладанні, часто трапляються випадки забуття реального походження понять, щоведе до втрати їх первісного матеріального змісту. А. Лебег показав, як тісноці поняття пов'язані з аналізом реальних процесів вимірювання. Протягом всієїкниги він бореться за повернення математичним поняттям їхнього первісногозмісту, за з'ясування їхнього реального походження, що .є умовою продуктивноговивчення математики. «У цій боротьбі, — пише А. Н. Колмогоров, — я й бачуосновний інтерес книги Лебега» [9;11].
Саме операція вимірювання надає раціональному й дійсному числупервісний матеріальний зміст, тому що ці числа є «знаряддям виміру величин» [10;73].На основі цієї операції в учнів можна сформувати правильне поняттяпро раціональні дроби, а потім підготувати ґрунт для переходу до ірраціональнихчисел, тобто для роботи у всій області дійсних чисел. При цьому ті самі поняттяспочатку повинні будуватися на наочній базі, потім формулюватися вже більшчітко й, нарешті, піддаватися тонкому логічному аналізу (останнє характерно длястарших класів).
Як бачимо, загальна лінія, пов'язана із введенням дробів у школі,однакова у Ф. Клейна, А. Лебега й А. Н. Колмогорова. Відповідно до їхніхположень дроби по первісному походженню й матеріальному змісту мають тількиодне джерело вимірювання величин. У їхніх роботах взагалі немає мови про такіджерела, як ділення речей і чисел вимірювання величин й історично, і всучасному викладанні є цілком повноцінною й перспективною основою введеннядробових чисел.
РОЗДІЛ 2. МЕТОДИКА ВИВЧЕННЯ ДРОБІВ
2.1 Ознайомлення з частками
Ознайомити дітей з частками означає сформувати в них конкретніуявлення про частки, тобто навчити дітей утворювати частки практично.Наприклад, щоб дістати одну четверту частку круга, треба круг поділити начотири рівні частини І взяти одну таку частину. Щоб дістати одну п'яту часткувідрізка, треба поділити його на п'ять рівних частин і взяти одну таку частину.
Щоб сформувати правильні уявлення про частки, треба використатидостатню кількість різних наочних посібників. Як показав досвід, найзручнішимипосібниками є геометричні фігури, вирізані з паперу; можна використати рисункифігур., виконані на папері або в діапозитивах (круги, прямокутники, трикутники,бруски, відрізки тощо). Дуже важливо, щоб посібники були не тільки в учителя, ай у кожного учня. Правильні уявлення про частки, а пізніше про дроби будутьсформовані тоді, коли учні своїми руками діставатимуть, наприклад, половинукруга, квадрата тощо, чверть відрізка і т.д.
Покажемо, як можна ознайомити дітей з частками.
У кожного з учнів і в учителя є по кілька однакових кругів,прямокутників (квадратів).
Візьміть два однакові круги. Один з них поділіть на дві рівнічастини (показує, як треба перегнути і як розрізати круг). Це один круг, а це — половина круга, інакше кажучи, одна друга частка круга. Скільки других часток уцілому крузі? (2.) Покажіть їх. Візьміть квадрат. Як дістати одну другу частку,чи половину квадрата? (Поділити його на дві рівні частини і взяти одну такучастину.) Виконуйте.
Учні можуть це зробити різними способами, наприклад: розрізатиквадрат по діагоналі і дістати два рівні трикутники або розрізати квадрат посередині лінії, тоді утвориться два прямокутники. Деякі учні можутьзапропонувати й інші способи поділу квадрата на дві рівні частини (Рис. 2).
/>/>
/>/>
/>/>
Рис. 2
Як дістали одну другу частку круга? (Поділили круг на дві рівнічастини і взяли одну таку частину.) Як дістали одну Другу частку квадрата? Якінакше називають одну другу частку круга, квадрата? (Половина круга, половинаквадрата.) Скільки половин круга в цьому крузі? (2.)
Учні накладають половини круга на цілий круг.
Частки записують за допомогою двох чисел. Одну другу частку круга,квадрата позначають так: />. Число2 показує, що круг, квадрат або іншу фігуру (чи предмет) поділено на 2 рівнічастини, а число 1 показує, що взяли одну таку частину.)
Учні записують на половинах круга «/>»і пояснюють, що показує в цьому записі кожне число.
Так само утворюють частки /> та ін.
При цьому учні повинні усвідомити, що для того, щоб дістати,наприклад, /> відрізка (прямокутника,паперової смужки тощо), треба цей відрізок (прямокутник, смужку) поділити на 5рівних частин і взяти одну таку частину; що в цьому відрізку (прямокутнику,смужці) 5 п'ятих часток; що одну п'яту частку записують так: />; що в цьому записі число 5означає, на скільки рівних частин поділили відрізок (прямокутник, смужку), ачисло 1 показує, що взято одну таку частку. Для закріплення цих знань і уміньучням пропонують різні вправи.
Це насамперед вправи на називання і записування часток (рис. 3).Назвіть і запишіть, яку частку квадрата (круга) відрізано (розмальовано,заштриховано).
/>
/>
Рис. 3
Можнапропонувати самим дітям зобразити яку-небудь частку відрізка (круга, квадрата іт.д.) і записати цю частку.
У кожному випадку треба записувати, скільки всього часток уцілому. Наприклад, скільки четвертих часток круга у цілому крузі? Скількитретіх часток відрізка в усьому відрізку? І т.д.
Ефективною вправою для формування уявлень про частки є практичнепорівняння часток тієї самої величини за допомогою наочних посібників [1; 274].
Результатипорівняння часток записуються за допомогою знаків “ “.Наприклад, /> > />, що читається так: “Однадруга більше одної третьої”. Це можна записати і так: /> і прочитати: “Одна третяменше одної другої”.
Ознайомитидітей із частками кожної і у такий спосіб. Учитель записує, хто бачив половинухліба (кавуна, яблука тощо), ставить завдання показати половину кружечка,розділити навпіл смужку паперу. Перегинаючи круг, смужку паперу навпіл, дітироблять висновок, що половини одного і того самого круга чи тієї самої смужкипаперу рівні між собою. На цьому самому уроці вони розглядають малюнок.
Перша смужка поділена на 3 рівні частини, а друга — на 4.Знайдіть, чому дорівнює третя і четверта частини смужки. Третя частина щеназивається третина, а четверта — чверть. Покажіть на малюнках третю і четвертучастини круга.
/>
/>третя частина четверта частина
/>/>/>/>
/>
Учні знаходять половину числа 12, третину числа 15, чверть числа 8та ін.
Діти повинні усвідомити, що для знаходження половини числа йоготреба поділити на 2, для знаходження третини — поділити на 3, для знаходженнячверті — поділити на 4.
Наприкінці навчання у 2 класі і впродовж 3 класу учні знаходятьдовжини вказаних частин смужки, частини чисел (без позначення частин числацифрами). Приклади:
1. Знайдіть половину, третину і чверть числа 12.
2. Виміряйте довжину кожної смужки, а потім знайдіть довжинучетвертої частини першої смужки і шостої частини другої. Результати обчисленняперевірте вимірюваннями (рис. 4).
четверта частина
шоста частина
Рис. 4
3. Знайдіть п'яту частину 1дм, четверту частину 2дм, половину 1м.
4. Скільки хвилин становить одна шоста години? Одна четверта? Однатретя? Половина години?
У 3 класі дітей вчать позначати частини цифрами, їм потрібноспочатку показати поділ першого круга на дві рівні частини, другого — на чотирирівні частини. Тоді необхідно з'ясувати з ними, на скільки рівних частинподілені дані круги. Після цього слід розглянути малюнки в підручнику
/>
/>/>/>
/>/>/>/>/>/>
Рис. 5
Учитель пояснює, що частини записують за допомогою двох цифр.Наприклад, третю частину круга, смужки позначають так: 1/3. Число 3 показує, щокруг, смужку або іншу фігуру поділили на три рівні частини, а число 1 показує,що взяли одну таку частину. Терміни «чисельник», «знаменник» не вводять. Простокажуть, що число під рискою показує, на скільки рівних частин поділили круг(смужку), а число над рискою показує, що взяли одну таку частину.
Під час виконання вправ на знаходження частини смужки (круга,квадрата тощо) доцільно звертати увагу учнів, що в цілій смужці (крузі, квадраті)є дві половини, три третіх частини, чотири четвертих частини і т. ін.
В результаті ознайомлення з частками і їх отриманням діти повиннінавчитися з опорою на малюнок порівнювати частки і знати, наприклад, що вцілому відрізку дві половинки, три третіх частки, чотири четвертих частки іт.д.
Тільки після того, як вчитель переконається в тому, що кожен зучнів це уявляє, можна переходити до розв‘язування простих задач, де потрібнознайти частку числа [3; 270].
Розв‘язування задач на знаходження частки числа і числа за йогочасткою також сприяє формуванню уявлень про частки величини. У цьому їх основнепризначення. Тому задачі на знаходження частки числа і числа за його часткоюрозв‘язують на наочній основі.
Розглянемо, як можна ознайомити учнів з розв‘язуванням задачкожного виду.
Спочатку вводять задачі на знаходження частки числа. Дляознайомлення з розв‘язуванням задач краще пропонувати задачі, які легкоілюструвати. Наприклад, пропонують задачу: «Від смужки довжиною 15см відрізали /> її. Чому дорівнює довжинавідрізаної смужки?» Учні відрізують смужку довжиною 15см. Потім з‘ясовують, якзнайти одну третю частину смужки (поділити її на 3 рівні частини і взяти однутаку частину). Учні практично ділять смужку (перегинають її), а потімвідрізують одну третю частину. Розв‘язання записують так:
15: 3 = 5(см). Відповідь: 5см.
Під час розв‘язування інших задач досить скористатись кресленням:число зобразити відрізком, який учні ділять на задане число рівних частин,позначають частку, після чого розв‘язують усно або письмово.
Потім дають задачі на знаходження частки числа для усної таписьмової роботи. Треба більше давати завдань виду: скільки сантиметрів у />м., в />м., в />м.? Скільки хвилин в /> години; в /> години; в /> години і т.д.?
Вивчаючи тему «Час», треба пояснити дітям, чому кажуть: «половинана другу», «без чверті десята» тощо.
Задачі на знаходження числа за його часткою спочатку треба братитакі, щоб їх можна було безпосередньо ілюструвати, наприклад: «Сергійковідрізав від дротини 4см. Це /> всієїдротини. Яка довжина дротини?»
Зобразимо кусок дротини, який відрізав Сергійко (креслять відрізокдовжиною 4см.). Яку частину всієї дротини становить відрізаний кусок? (/>). Як зобразити всюдротину? (Взяти 3 рази по 4см.). Чому? (4см. – це /> дротини,а в усій дротині буде три треті). Накресліть. (Виконують). Якої довжини буладротина? (12см.). Як дізнатися? (4,3).
Запис розв‘язання: 4 ∙ 3 = 12. Відповідь: 12см.
Для задачі на знаходження числа за його часткою і задачі назнаходження частки числа вводять по черзі і пропонують як для усного, так і дляписьмового розв‘язування. Краще розв‘язувати задачі з конкретним змістом, а нез абстрактними числами (щоб учні конкретно уявляли частку величини (однутретину відра води, чверть кошика яблук, одну п‘яту частину сувою тканини, однусоту частину метра тощо) [1; 275-276].
Не варто формулювати спеціальні правила для розв‘язування задач,пов‘язаних зі знаходженням частки числа чи числа за його відомою часткою.Формальний підхід, як це показує практика, може привести до того, що дітипочинають плутати ці два різновиди задач, допускають помилку при виборі дії.
Добре засвоєння того, що дві половини, чи три третіх, чи чотиричетвертих частки утворює ціле, весь предмет, лежить в основі розв‘язуваннязадач на знаходження числа за його відомою часткою. Перші задачі такого типурозв‘язуються з опорою на реальні речі [10; 251].
2.2 Ознайомлення з дробами
Ознайомлення учнів з дробовими числами у формі звичайних дробівпроводиться у зв‘язку з вивченням множення і ділення багатоцифрових чисел іґрунтується на уявленнях, знаннях, вміннях і навичках, вироблених учнями приознайомленні з частками величин (числа). Методика ознайомлення з простимидробами ґрунтується в основному на конкретних образах часток величини, напрактичному отриманні тої чи іншої частки, а потім і дробу, шляхом діленняпредметів, геометричних фігур на потрібне число рівних частин тощо. Тут не допускаєтьсяспроба формально дати визначення цих понять.
В залежності від підготовки класу до вивчення теми «Дроби» можебути відведено 7-8 уроків. Причому до уроків, на яких діти знайомляться з новимдля них матеріалом – дробами, включається (50%) матеріал, пов‘язаний зоволодінням техніки обчислень, розв‘язуванням задач.
В результаті вивчення цієї теми учні повинні:
1) вміти називати і показувати частки з знаменниками, які неперебільшують числа 10, знати назви таких часток, як /> (половини, третини,чверті);
2) вміти читати і записувати звичайні дроби із знаменниками, якіне перевищують числа 10, вміти називати знаменник і чисельник дробу іпоказувати відповідний дріб відрізка (круга, прямокутника);
3) вміти порівняти (з опорою на малюнок) вказані вище дроби. Безопори на малюнок вміти порівняти дроби, у яких чисельник дорівнює 1 (/> і т.д.);
4) вміти розв‘язувати задачі на знаходження частки числа і числаза його часткою, а також на знаходження дробу числа.
Формування названих знань, умінь і навичок досягається в процесіпрактичної діяльності учнів при розв‘язуванні системи спеціально підібранихзадач і з застосуванням необхідного мінімуму навчального обладнання серед них:
1) набір (демонстраційний) кругів і прямокутників (паперових чикартонних), розділених на різне число часток;
2) таблиці;
3) набір паперових прямокутників (смужок) довжиною 10см чи 12см(на кожного учня по 8-10 смужок) для проведення практичних робіт;
4) карточки-завдання з математики, навчальні діафільми.
Перший з уроків, присвячених ознайомленню учнів із звичайнимидробами, починається короткою бесідою, в процесі якої (із застосуванням таблицьі набору паперових фігур) активізуються уявлення учнів про частки величини –одну із рівних частин, на які поділений відрізок.
На наступному уроці відведеного для подальшого ознайомлення учнівз дробами, опираючись вже на знання учнів, розглядають важливий факт, відусвідомлення якого у подальшому залежить розуміння основної властивості дробу,розуміння способу отримання дробів з іншими знаменниками, порівняння дробів зоднаковими чисельниками тощо [10; 327-328].
Як наочні посібники для ознайомлення з дробами можна використатитакі.
Поділіть круг на чотири рівні частини. Як назвати кожну такучастину? Запишіть. Покажіть три чверті частки. Ви дістали дріб – три чверті.Хто може записати цей дріб? Що показує число 4? (На скільки рівних частинподілили круг). Що показує число 3? (Скільки таких частин узяли). Аналогічноучні дістають і записують інші дроби, пояснюючи, що показує кожне число.
Для закріплення здобутих знань розв‘язують такі самі вправи, які іпід час знайомлення з частками за даними ілюстраціями називають і записують,які дроби зображені, або зображують дріб за допомогою креслення, рисунка.Засвоєнню конкретного змісту дробу допомагають вправи на порівняння дробів, атакож розв‘язування задач на знаходження дробу числа.
Для порівняння дробів звичайно використовують ілюстрації зоднаковими прямокутниками. 1
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Учням пропонують накреслити в зошиті прямокутник, довжина якого16см., а ширина 1см. Це один прямокутник. Запишемо (у першому прямокутникузаписують число 1). Накресліть під першим прямокутником такий самий другий і поділітьйого на дві рівні частини. (Виконують). Які частки дістали? (Другі, половини). Скількидругих часток у цілому прямокутнику?
Підпишіть. Нижче накресліть такий самий прямокутник і поділітьйого на 4 рівні частини. Як називається кожна частина? Скільки четвертих частоку цілому прямокутнику? Скільки четвертих часток у.половині? Що більше:одна друга чи одна четверта; одна друга чи дві четверті; одна четверта чи тричетверті; дві другі чи чотири четверті? Накресліть четвертий такий самий,прямокутник і поділіть його на 8 рівних частин. Як називаються утворені частки?Скільки восьмих часток у цілому? Скільки восьмих часток в одній чверті; уполовині прямокутника? Що більше: три восьмих чи одна четверта? Якому дробудорівнює одна друга? .......
Відповіді на всі такі запитання діти дають, користуючись рисунком:порівнюючи, наприклад, /> і />, вони з рисунка бачать, що/> більше, ніж /> того самого прямокутника.Таким самим способом порівнюють і інші дроби, але для порівняння їх використовуютьінші ілюстрації: наприклад, для порівняння дробів із знаменниками 3, 6 і 9однакові прямокутники ділять відповідно на З, 6 і 9 рівних частин, а дляпорівняння дробів із знаменниками 2, 5 і 10 однакові прямокутники ділятьвідповідно на 2, 5 і 10 рівних частин. Пропонують спеціальні вправи напорівняння дробів:
1) Вставте пропущений знак «>», «
/>; /> 1; />.
2) Підберіть таке число, щоб рівність (нерівність) була правильна:5 = ; 3 > ; 1 Виконуючи такі вправи, учні використовують відповідні ілюстрації зпрямокутниками або заново зображують дроби за допомогою, наприклад, відрізків.Так, порівн.юючи дроби /> і />, учень виконує рисунок(Рис. 6) і міркує так: «Зображу на відрізку дріб />;для цього відрізок поділю на 8 рівних частин і візьму 3 таких частини; зображуна такому самому відрізку дріб />; поділювідрізок на 4 рівні частини і візьму 3 таких частини; відразу видно, що /> відрізка більше, ніж /> його. Запишу: />>/>».
/>/>
/>