Формула Герона и героновы тетрады

Министерство образования РБ Городской отдел образования Средняя общеобразовательная школа 22 Научно-исследовательская работа на тему Формула Герона и героновы тетрады. Выполнил Зарубежнов Сергей ученик 10 А класса, СОШ 22 Н учитель математики СОШ 22 г. Октябрьский 2005г.

Сколько тайн, на формулах распятых, Нам раскроют завтрашние дни. В.Михановский. Да, много решено загадок От прадеда и до отца, И нам с тобой продолжить надо Тропу, которой нет конца. В.Ноздрев. Содержание. Введение. I. Теоретическая часть. Формула Герона и героновы тетрады. 1. Герон Александрийский и его формула.

2. Вывод формулы 1 I способ. 2 II способ. 3 III способ. 4 IV способ открытие. 3. Геронов определитель. 4. Задача Герона и е решение. 1 I способ. 2 II способ. 3 III способ. 4 IV способ. II. Практическая часть. Задачи. 1. Составить таблицу героновых тетрад. 2.

Найти в таблице пифагоровы триады. 3. Используя таблицу, найти а площадь треугольника б одну из высот треугольника в радиус вписанной в треугольник окружности г радиус описанной около треугольника окружности д объм пирамиды Заключение. Список литературы. Введение. С разнообразными геометрическими фигурами, с измерением длин, площадей и объмов людям приходилось иметь дело с незапамятных времн. В практических наблюдениях они подмечали различные геометрические закономерности.

Для наблюдательного человека даже простые срезы растений- красивые геометрические фигуры Геометрия трав. Математик, несбывшийся странник, оглядись, удивляясь стократ в травах - срез волчицы - пятигранник, а сеченье душицы квадрат. Вс на свете покажется внове под гольцом, чья вершина в снегу водосбор треуголен в основе на цветущем альпийском лугу Где же круг Возле иглистой розы, там, где луг поднебесный скалист, вижу, с ветром играет берзы треугольно-

ромбический лист. Равиль Бухараев. Познавать мир геометрических фигур, особенно треугольников занятие, приносящее высокое духовное удовлетворение. Треугольники являются как бы стержнем, вокруг которого формируется круг элементарной геометрии. Это не случайно. Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интересных свойств. Треугольникам уделяли внимание многие выдающиеся ученые

Пифагор, Герон, Торричелли, Эйлер, Гаусс и др. Многочисленные и самые разнообразные приложения формулы Герона сделали е чрезвычайно важным и интересным объектом исследования. Цель этой работы - изучение способов доказательства формулы Герона, составление таблицы героновых тетрад, решение задач с помощью этой таблицы. I. Теоретическая часть. Формула Герона и героновы тетрады.

1. Герон Александрийский и его формула. Формула Герона формула, выражающая площадь треугольникаS через его стороны a,b,c , где . Ученый, чь имя носит эта формула, работал в Александрии, вероятно, в 1 в. н. э. Его в основном интересовали практические приложения математики, поэтому большинство известных ему математических результатов он излагал, не доказывая и даже не формулируя, а прямо применяя их к решению конкретных задач. Но способ вычисления площади треугольника по его сторонам

он изложил с доказательством и даже не в одной, а в двух своих книгах Метрика и Диоптра. Его математические работы - своеобразная энциклопедия античной прикладной математики. 2. Вывод формулы Для произвольного треугольника верны следующие соотношения , теорема синусов теорема косинусов, Spr I способ. Приведем доказательство Герона в современном изложении и в современных обозначениях, но без каких- либо других существенных изменений.

В треугольник АВС впишем окружность с центром H, которая касается его сторон АВ, ВС и АС в точках D,Е и F. Площадь S треугольника АВС равна сумме площадей треугольников АНВ, ВНС и СНА, то есть . 4 Поскольку , и то , а значит, Spr, где p- полупериметр треугольника ABC, r - радиус его вписанной окружности. Отложим на луче

СВ точку G так, что CGp. Тогда BGAD. В результате получаем S2pr2CG2EH2. Рассмотрим теперь точку L, в которой пересекаются перпендикуляры, восставленные в точках В и H к прямым ВС и НС соответственно. Точки В и H лежат на окружности с диаметром СL, поэтому Выделим теперь пары равных углов BHE и BHD, СНЕ и СНF, АНD и АНF. Сумма всех этих углов равна 360.

Следовательно, Из равенств легко видеть, что углы AHD и CLB равны. Тогда треугольники AHD и CLB подобны. Поэтому ВСBL.ADDHBG HE, отсюда ВСBG BLНЕ. Из подобия треугольников BLK и EHK получаем BLHEВККЕ. Из двух последних пропорций имеем ВСBGВККЕ, или ВСВGВG ВККЕ КЕ, т. е. CG BGBЕ КЕ. Отсюда

СG2CGBGBEECKEEC или СG2BEECKEECCGBG Треугольник КСН прямоугольный, поэтому КЕЕСНЕ2. В итоге получаем S2CG2HE2CGBGBEECpp-ap-bp-c. 5 способ. В настоящее время формула Герона доказывается в несколько строк. При традиционных обозначениях имеем , a2b2-c22ab. Тогда . В. Прасколов Математика в школе 90. Способ.

Способ, в котором ключевой момент доказательства применение формулы площади треугольника Найдем сначала высоту AD треугольника ABC, проведенную к большей его стороне BC. Положим BCa, ACc, BAc, ADha, BDx, СВa-x. По теореме Пифагора AD2AB2-BD2 и AD2AC2-CD2. Поэтому AB2-BD2AC2-CD2, т.е. c2-x2b2-a-x2. Из этого уравнения получим, что 2axa2c2-b2. Поскольку

AD2AB2-BD2, то c2-x2 и . Разложим числитель на множители . Так как abc2p, то ab-c2p-2с, aс-b2p-2b, bc-a2p-2a. Окончательно . 6 Подставляя в формулу выражение для h , получим . А.Александров и др. Геометрия для 8-9 классов, IV.Способ.открытие. Пусть ABC-треугольник со сторонами a,b,c.

Известно, что , где R-радиус описанной около треугольника окружности. Найдем 4R . Так как , то По теореме косинусов имеем Из основного тригонометрического тождества находим . Если подставить это выражение в формулу получим Итак . Если a,b,c иррациональны, то вычислять площадь треугольника более удобно по формуле

S . Следствие. Если треугольник равнобедренный с основанием a и боковой стороной b, то . Доказательство. S . 7 3.Геронов определитель. Известна формула, выражающая площадь треугольника через координаты его вершин Ax1y1, Bx2y2, Cx3y3 . Так как длины сторон треугольника BCa, ACb, ABc связаны с координатами его вершин формулами a2x2-x32 y2-y32, b2x1-x32 y1-y32, c2x1-x22 y1-y22. то попробуем записать формулу Герона в виде определителя, элементами которого являются a, b,

c и, может быть, число. После некоторых поисков подходящей комбинации напишем по кругу по часовой стрелке величины a, b, c, 0 и составим из них определитель D . Структура его такова первая строка начинается с a, и элементы идут по часовой стрелке вторая строка начинается с b, и элементы идут против часовой стрелки третья строка начинается с c, и элементы идут опять по часовой стрелке четвертая строка начинается с нуля, и элементы идут против часовой стрелки.

Отметим также, что i-я строка определителя i1, 2, 3, 4 совпадает с его i-м столбцом. Легко получить, что Da4b4c4-2a2b2-2b2c2-2a2c2. Из формулы Герона S выводим 16S22a2b22a2c22b2c2-a4-b4-c4, Следовательно Площадь треугольника удобнее, конечно, вычислять по формуле Герона, записанной в традиционном виде. В.Дроздов Математика в школе 5.1995. 8 4.Задача

Герона. Треугольники, у которых длины сторон и площадь являются целыми числами, называются треугольниками Герона. Он рассматривал треугольники со сторонами 13,14,15 и 5,12,13, площади которых соответственно равны 84 и 30. Задача. Найти целочисленные стороны треугольника, чтобы площадь его была также целочисленна. Решение. I способ. Теорема. Если стороны треугольника a,b.c и amknl, bmlnk, cm-nkl или, cmnk-l а произведение целочисленных компонент m, n, k, l, является квадратом какого-либо числа q2mnkl , то площадь треугольника

целочисленна. Следствие 1. Если отношение компонент или , то треугольник прямоугольный. Следствие 2. Если компоненты mn или kl, то треугольник равнобедренный. Следствие 3. Если компоненты mn и kl, то решения нет, т. е. не существует равнобедренных прямоугольных треугольников с целочисленными площадью и сторонами. Следствие 4. Величины сторон треугольника ограничены снизу, верхнего ограничения величин сторон нет.

Наименьшие треугольники q2 прямоугольный со сторонами 3, 4. 5 равнобедренный со сторонами 5, 5, 6. 1. Число q представляется в виде произведения простых множителей. 2. Составляется спектр матриц по q2 3. Определяется по матрице вид треугольника прямоугольный, равнобедренный, косоугольный и проводится вычисление сторон и площади треугольника по формулам Ввиду того, что сторона выражена двумя равенствами, результатом решения фактически являются два косоугольных

треугольника с одинаковыми двумя сторонами и и разными третьими и . Например, а 15, b13, с 4 14, что соответствует паре треугольников со сторонами 4, 13, 15 и 14, 13, 15. Для прямоугольных треугольников с1с2, для равнобедренных с1с, с2 0 или наоборот. 9 Пример. 1. q2623222. 2. Спектр матриц по q2 3. Вычисление сторон 922120, 912213, 1, 7321 611 66 621 126, Треугольники . Площади 66 и 126. В результате решения всего спектра матриц получается группа треугольников

по q 6. Б.Потапов. Математика в школе 2,1995. способ. Далее используем иное строение ключевого параметра qn12- n22, n1,n2 произвольные натуральные числа. Любая пара m1, m2 возможных натуральных множителей числа q порождает одну или две героновые тетрады a1,b,c,S1 и a2,b,c,S2 по формулам и Пример. Пусть 5, 3. Тогда q25-9161618244. Для 16, 1 имеем a1 617 102, a21015150. b85-4540, c8545130.

Уменьшал пропорционально полученные размеры сторон, образуем две тетрады 51 20 65 408 и 15 4 13 24. Для 8, 2 и 4 получаем по одной тетраде 15 8 17 60 и 6 5 5 12. 10 способ. Имеются ещ формулы, производящие героновы тетрады и получающиеся из них выражения для p и S Параметрам где , можно придавать произвольные натуральные значения. Параметр играет роль коэффициента подобия. Так, например, при , формулы про изводят триаду и при 12

- геронову триаду из взаимно простых чисел abc5 5 8. Однако эти формулы все же не обеспечивают весь ряд героновых тетрад на множестве натуральных и даже рациональных значений . Так, тетраду 15 26 37156 можно получить только при иррациональных значениях параметров, например, при и . А теперь рассмотрим решение уравнения S . Предположим, что стороны а, b, с и площадь S косоугольного треугольника

АВС - рациональные числа, причем а b с вследствие чего, равно как и в случае ab, углы А и В - острые. Из теоремы косинусов и формулы площади следует, что косинусы и синусы углов такого треугольника также рациональны. Если, например то где m 1, n 1 - рациональные числа. Тогда по теореме синусов , откуда, например ,где t-коэффициент подобия. Далее, откуда и . Общность решений уравнения S в рациональных числах следует из того, что для любых

рациональных а, b, с и S, удовлетворяющих этому уравнению, всегда существуют такие рациональные значения m, n и t, при которых по формулам получаются именно эти числа а, b, с, и S. В самом деле, по заданным а,b, с и S однозначно определяются В то же время откуда 11 Пример. Дано а15, b26, c37, S156. Найти подходящие значения для n,m, и t. Вычисляем m6

Проверка. По формулам находим , аналогично b26, с37, S156. Теперь для получения формул, производящих все возможные героновы тетрады непосредственно при натуральных значениях параметров и соответствующем выборе коэффициента подобия, достаточно в 1 и 2 заменить m на mn, n на pq m,n,p,q и положить где коэффициент подобия . Тогда где mp nq. Б.Кордемский Математика в школе 4,1984.

IV Способ. Существует красивое геометрическое решение задачи Герона. Рассмотрим произвольный Геронов треугольник, в котором проведем высоту с основанием, принадлежащем стороне треугольника, а не е продолжению такая высота существует в любом треугольнике. Высота геронова треугольника, вообще говоря, число дробное, поэтому возьмем Геронов треугольник, подобный первоначальному, высота которого выражается натуральным числом.

Нетрудно доказать, что длины отрезков x и y, на которые высота разбивает сторону c натуральные числа. Из рисунка следует равенство Обозначив для краткости где и - натуральные числа, получим равенство . Уединим радикал и возведем последнее равенство в квадрат. В результате имеем . 12 Это равенство возможно только в том случае, если -квадрат натурального числа. Аналогично убеждаемся, что и -квадрат натурального числа.

Таким образом, геронов треугольник оказался разбитым на два пифагоровых. Учитывая, что - их общий катет, по формулам пифагоровых троек имеем Тогда и площадь . Формулы не определяют героновых треугольников с дробными высотами. Чтобы получить все героновы треугольники, введем в последние формулы рациональный коэффициент подобия что возможно, так как мы рассматриваем геронов треугольник, подобный первоначальному.

Итак, следующие формулы дают героновы тройки где m,n,p,q любые натуральные числа, удовлетворяющие условию mp nq, -все рациональные числа такие, что a,b,c-натуральные. Площадь геронова треугольника . Можно вывести и другие формулы, определяющие героновы треугольники. Если записать общий катет то причем . Если положить то имеем формулы при этом . Взяв, например, в последних формулах p3, q2, m2, n1, 1, найдем одну из бесконечного множества героновых

тетрад 39,25,56,420. Треугольники Герона используются в большом числе разнообразных задач. 13 II. Практическая часть. Задачи. 1.Составить таблицу героновых тетрад. Решение. Героновой тетрадой называют всякое решение задачи Герона стороны треугольника и его площадь натуральные числа. С помощью формул и найдем героновы тетрады. Их в этой таблице 360.

Героновы тетрады. 1. a3 b4 c5 s6. 2. a3 b25 c26 s36. 3. a4 b13 c15 s24. 4. a4 b51 c53 s90. 5. a5 b5 c6 s12. 6. a5 b5 c8 s12. 7. a5 b12 c13 s30. 8. a5 b29 c30 s72. 9. a5 b51 c52 s126. 10. a6 b8 c10 s24. 11. a6 b25 c29 s60. 12. a6 b50 c52 s144. 13. a7 b15 c20 s42. 14. a7 b24 c25 s84. 15. a7 b65 c68 s210. 16. a8 b15 c17 s60. 17. a8 b26 c30 s96. 18. a8 b29 c35 s84. 19. a9 b10 c17 s36. 20. a9 b12 c15 s54. 21. a9 b40 c41 s180. 22. a9 b65 c70 s252. 23. a9 b73 c80 s216. 24. a9 b75 c78 s324. 25. a10 b10 c12 s48. 26.

a10 b10 c16 s48. 27. a10 b13 c13 s60. 28. a10 b17 c21 s84. 29. a10 b24 c26 s120. 30. a10 b35 c39 s168. 31. a10 b58 c60 s288. 32. a10 b102 c104 s504. 33. a11 b13 c20 s66. 34. a11 b25 c30 s132. 35. a11 b60 c61 s330. 36. a11 b90 c97 s396. 37. a12 b16 c20 s96. 38. a12 b17 c25 s90. 39. a12 b35 c37 s210. 40. a12 b39 c45 s216. 41. a12 b50 c58 s240. 42. a12 b55 c65 s198. 43. a12 b100 c104 s576. 44. a13 b13 c24 s60. 45. a13 b14 c15 s84. 46. a13 b20 c21 s126. 47. a13 b30 c37 s180. 48. a13 b37 c40 s240. 49. a13 b40 c45 s252. 50.

a13 b40 c51 s156. 51. a13 b68 c75 s390. 52. a13 b84 c85 s546. 53. a14 b25 c25 s168. 54. a14 b30 c40 s168. 55. a14 b48 c50 s336. 56. a14 b61 c65 s420. 57. a15 b15 c18 s108. 58. a15 b15 c24 s108. 59. a15 b20 c25 s150. 60. a15 b26 c37 s156. 61. a15 b28 c41 s126. 62. a15 b34 c35 s252. 63. a15 b36 c39 s270. 64. a15 b37 c44 s264. 65. a15 b41 c52 s234. 66. a15 b52 c61 s336. 67. a15 b87 c90 s648. 68. a16 b17 c17 s120. 69. a16 b25 c39 s120. 70. a16 b30 c34 s240. 14 71. a16 b52 c60 s384. 72. a16 b58 c70 s336. 73.

a16 b63 c65 s504. 74. a17 b17 c30 s120. 75. a17 b25 c26 s204. 76. a17 b25 c28 s210. 77. a17 b28 c39 s210. 78. a17 b39 c44 s330. 79. a17 b40 c41 s336. 80. a17 b55 c60 s462. 81. a17 b65 c80 s288. 82. a17 b87 c100 s510. 83. a17 b89 c90 s756. 84. a18 b20 c34 s144. 85. a18 b24 c30 s216. 86. a18 b41 c41 s360. 87. a18 b75 c87 s540. 88. a18 b80 c82 s720. 89. a19 b20 c37 s114. 90. a19 b60 c73 s456. 91. a20 b20 c24 s192. 92. a20 b20 c32 s192. 93. a20 b21 c29 s210. 94. a20 b26 c26 s240. 95. a20 b34 c42 s336. 96. a20

b37 c51 s306. 97. a20 b48 c52 s480. 98. a20 b51 c65 s408. 99. a20 b53 c55 s528. 100. a20 b65 c75 s600. 101. a20 b70 c78 s672. 102. a20 b99 c101 s990. 103. a21 b28 c35 s294. 104. a21 b41 c50 s420. 105. a21 b45 c60 s378. 106. a21 b61 c68 s630. 107. a21 b72 c75 s756. 108. a21 b82 c89 s840. 109. a21 b85 c104 s420. 110. a22 b26 c40 s264. 111. a22 b50 c60 s528. 112. a22 b61 c61 s660. 113. a22 b85 c91 s924. 114. a24 b32 c40 s384. 115. a24 b34 c50 s360. 116. a24 b35 c53 s336. 117. a24 b37 c37 s420. 118. a24 b45 c51 s540. 119.

a24 b70 c74 s840. 120. a24 b78 c90 s864. 121. a24 b87 c105 s756. 122. a25 b25 c30 s300. 123. a25 b25 c40 s300. 124. a25 b25 c48 s168. 125. a25 b29 c36 s360. 126. a25 b33 c52 s330. 127. a25 b34 c39 s420. 128. a25 b38 c51 s456. 129. a25 b39 c40 s468. 130. a25 b39 c56 s420. 131. a25 b51 c52 s624. 132. a25 b51 c74 s300. 133. a25 b52 c63 s630. 134. a25 b60 c65 s750. 135. a25 b63 c74 s756. 136. a25 b74 c77 s924. 137. a25 b84 c101 s840. 138. a26 b26 c48 s240. 139. a26 b28 c30 s336. 140. a26 b35 c51 s420. 141. a26 b40

c42 s504. 142. a26 b51 c55 s660. 143. a26 b51 c73 s420. 144. a26 b60 c74 s720. 145. a26 b74 c80 s960. 146. a26 b75 c91 s840. 147. a26 b80 c90 s1008. 148. a26 b80 c102 s624. 149. a26 b85 c85 s1092. 150. a27 b29 c52 s270. 151. a27 b30 c51 s324. 152. a27 b36 c45 s486. 153. a28 b45 c53 s630. 154. a28 b50 c50 s672. 155. a28 b60 c80 s672. 156. a28 b65 c89 s546. 157. a28 b91 c105 s1176. 158. a28 b96 c100 s1344. 159. a29 b29 c40 s420. 160. a29 b29 c42 s420. 161. a29 b35 c48 s504. 162. a29 b52 c69 s690. 163. a29 b52 c75

s546. 164. a29 b60 c85 s522. 15 165. a29 b65 c68 s936. 166. a29 b75 c92 s966. 167. a29 b78 c101 s780. 168. a30 b30 c36 s432. 169. a30 b30 c48 s432. 170. a30 b39 c39 s540. 171. a30 b40 c50 s600. 172. a30 b51 c63 s756. 173. a30 b52 c74 s624. 174. a30 b56 c82 s504. 175. a30 b68 c70 s1008. 176. a30 b72 c78 s1080. 177. a30 b74 c88 s1056. 178. a30 b82 c104 s936. 179. a31 b68 c87 s930. 180. a32 b34 c34 s480. 181. a32 b50 c78 s480. 182. a32 b53 c75 s720. 183. a32 b60 c68 s960. 184. a32 b65 c65 s1008. 185. a33 b34 c65 s264. 186.

a33 b39 c60 s594. 187. a33 b41 c58 s660. 188. a33 b44 c55 s726. 189. a33 b56 c65 s924. 190. a33 b58 c85 s660. 191. a33 b75 c90 s1188. 192. a34 b34 c60 s480. 193. a34 b50 c52 s816. 194. a34 b50 c56 s840. 195. a34 b55 c87 s396. 196. a34 b61 c75 s1020. 197. a34 b65 c93 s744. 198. a34 b78 c88 s1320. 199. a34 b80 c82 s1344. 200. a35 b35 c42 s588. 201. a35 b35 c56 s588. 202. a35 b44 c75 s462. 203. a35 b52 c73 s840. 204. a35 b53 c66 s924. 205. a35 b65 c82 s1092. 206. a35 b73 c102 s840. 207. a35 b75 c100 s1050. 208. a35

b78 c97 s1260. 209. a35 b84 c91 s1470. 210. a36 b40 c68 s576. 211. a36 b48 c60 s864. 212. a36 b51 c75 s810. 213. a36 b61 c65 s1080. 214. a36 b77 c85 s1386. 215. a36 b82 c82 s1440. 216. a37 b37 c70 s420. 217. a37 b39 c52 s720. 218. a37 b72 c91 s1260. 219. a37 b91 c96 s1680. 220. a37 b100 c105 s1848. 221. a38 b40 c74 s456. 222. a38 b65 c87 s1140. 223. a39 b39 c72 s540. 224. a39 b41 c50 s780. 225. a39 b42 c45 s756. 226. a39 b52 c65 s1014. 227. a39 b55 c82 s924. 228. a39 b58 c95 s456. 229. a39 b60 c63 s1134. 230.

a39 b62 c85 s1116. 231. a39 b80 c89 s1560. 232. a39 b85 c92 s1656. 233. a40 b40 c48 s768. 234. a40 b40 c64 s768. 235. a40 b42 c58 s840. 236. a40 b51 c77 s924. 237. a40 b52 c52 s960. 238. a40 b68 c84 s1344. 239. a40 b74 c102 s1224. 240. a40 b75 c85 s1500. 241. a40 b96 c104 s1920. 242. a40 b101 c101 s1980. 243. a41 b41 c80 s360. 244. a41 b50 c73 s984. 245. a41 b50 c89 s420. 246. a41 b51 c58 s1020. 247. a41 b60 c95 s798. 248. a41 b66 c85 s1320. 249. a41 b84 c85 s1680. 250. a41 b87 c104 s1740. 251. a41 b104 c105

s2100. 252. a42 b56 c70 s1176. 253. a42 b75 c75 s1512. 254. a42 b82 c100 s1680. 255. a43 b61 c68 s1290. 256. a44 b52 c80 s1056. 257. a44 b65 c87 s1386. 258. a44 b75 c97 s1584. 16 259. a45 b45 c54 s972. 260. a45 b45 c72 s972. 261. a45 b50 c85 s900. 262. a45 b60 c75 s1350. 263. a45 b85 c104 s1872. 264. a45 b102 c105 s2268. 265. a48 b51 c51 s1080. 266. a48 b55 c73 s1320. 267. a48 b64 c80 s1536. 268. a48 b68 c100 s1440. 269. a48 b74 c74 s1680. 270. a48 b85 c91 s2016. 271. a48 b90 c102 s2160. 272. a50 b50 c60 s1200. 273.

a50 b50 c80 s1200. 274. a50 b50 c96 s672. 275. a50 b58 c72 s1440. 276. a50 b65 c65 s1500. 277. a50 b66 c104 s1320. 278. a50 b68 c78 s1680. 279. a50 b69 c73 s1656. 280. a50 b76 c102 s1824. 281. a50 b78 c80 s1872. 282. a50 b85 c105 s2100. 283. a50 b102 c104 s2496. 284. a51 b51 c90 s1080. 285. a51 b52 c53 s1170. 286. a51 b52 c97 s840. 287. a51 b52 c101 s510. 288. a51 b53 c100 s714. 289. a51 b68 c85 s1734. 290. a51 b75 c78 s1836. 291. a51 b75 c84 s1890. 292. a51 b91 c100 s2310. 293. a52 b52 c96 s960. 294. a52 b56 c60

s1344. 295. a52 b61 c87 s1560. 296. a52 b70 c102 s1680. 297. a52 b73 c75 s1800. 298. a52 b80 c84 s2016. 299. a53 b53 c56 s1260. 300. a53 b53 c90 s1260. 301. a53 b75 c88 s1980. 302. a53 b85 c104 s2244. 303. a54 b58 c104 s1080. 304. a54 b60 c102 s1296. 305. a54 b72 c90 s1944. 306. a55 b55 c66 s1452. 307. a55 b55 c88 s1452. 308. a55 b65 c100 s1650. 309. a55 b104 c105 s2772. 310. a56 b61 c75 s1680. 311. a56 b100 c100 s2688. 312. a57 b65 c68 s1710. 313. a57 b76 c95 s2166. 314. a57 b82 c89 s2280. 315. a58 b58 c80

s1680. 316. a58 b58 c84 s1680. 317. a58 b70 c96 s2016. 318. a60 b60 c72 s1728. 319. a60 b60 c96 s1728. 320. a60 b63 c87 s1890. 321. a60 b73 c91 s2184. 322. a60 b78 c78 s2160. 323. a60 b80 c100 s2400. 324. a61 b69 c100 s2070. 325. a61 b74 c87 s2220. 326. a61 b91 c100 s2730. 327. a63 b84 c105 s2646. 328. a64 b68 c68 s1920. 329. a65 b65 c66 s1848. 330. a65 b65 c78 s2028. 331. a65 b65 c104 s2028. 332. a65 b68 c101 s2184. 333. a65 b68 c105 s2142. 334. a65 b70 c75 s2100. 335. a65 b72 c97 s2340. 336. a65 b76 c87 s2394. 337.

a65 b87 c88 s2640. 338. a65 b100 c105 s3150. 339. a68 b75 c77 s2310. 340. a68 b87 c95 s2850. 341. a68 b100 c104 s3264. 342. a70 b70 c84 s2352. 343. a70 b91 c91 s2940. 344. a70 b95 c101 s3192. 345. a72 b85 c85 s2772. 346. a73 b73 c96 s2640. 347. a74 b78 c104 s2880. 348. a75 b75 c90 s2700. 349. a75 b86 c97 s3096. 350. a76 b85 c105 s3192. 351. a78 b82 c100 s3120. 352. a78 b84 c90 s3024. 17 353. a78 b95 c97 s3420. 354. a80 b80 c96 s3072. 355. a80 b85 c85 s3000. 356. a80 b104 c104 s3840. 357. a85 b85 c102 s3468. 358.

a89 b99 c100 s3960. 359. a91 b98 c105 s4116. 360. a96 b102 c102 s4320. 2. Используя таблицу найти пифагоровы триады. Пифагоровой триадой называется каждая тройка a,b,c натуральных чисел, которая удовлетворяет уравнению . Пифагоровы триады. 1. a5 b4 c3 2. a10 b8 c6 3. a10 b8 c6 4. a13 b12 c5 5. a13 b12 c5 6. a15 b12 c9 7. a15 b12 c9 8. a17 b15 c8 9. a17 b15 c8 10. a20 b16 c12 11. a20 b16 c12 12. a25 b20 c15 13. a25 b20 c15 14. a25 b24 c7 15.

a25 b24 c7 16. a26 b24 c10 17. a26 b24 c10 18. a29 b21 c20 19. a29 b21 c20 20. a30 b24 c18 21. a30 b24 c18 22. a34 b30 c16 23. a34 b30 c16 24. a35 b28 c21 25. a35 b28 c21 26. a37 b35 c12 27. a37 b35 c12 28. a39 b36 c15 29. a39 b36 c15 30. a40 b32 c24 31. a40 b32 c24 32. a41 b40 c9 33. a41 b40 c9 34. a45 b36 c27 35. a45 b36 c27 36. a50 b40 c30 37. a50 b40 c30 38. a50 b48 c14 39. a50 b48 c14 40. a51 b45 c24 41. a51 b45 c24 42. a52 b48 c20 43. a52 b48 c20 44. a53 b45 c28 45. a53 b45 c28 46. a55 b44 c33 47. a55

b44 c33 48. a58 b42 c40 49. a58 b42 c40 50. a60 b48 c36 51. a60 b48 c36 52. a61 b60 c11 53. a61 b60 c11 54. a65 b52 c39 55. a65 b52 c39 56. a65 b56 c33 57. a65 b56 c33 58. a65 b60 c25 59. a65 b60 c25 60. a65 b63 c16 61. a65 b63 c16 62. a68 b60 c32 63. a68 b60 c32 64. a70 b56 c42 65. a70 b56 c42 66. a73 b55 c48 67. a73 b55 c48 68. a74 b70 c24 69. a74 b70 c24 70. a75 b60 c45 71. a75 b60 c45 72. a75 b72 c21 18 73. a75 b72 c21 74. a78 b72 c30 75. a78 b72 c30 76. a80 b64 c48 77. a80 b64 c48 78. a82 b80 c18 79.

a82 b80 c18 80. a85 b68 c51 81. a85 b68 c51 82. a85 b75 c40 83. a85 b75 c40 84. a85 b77 c36 85. a85 b77 c36 86. a85 b84 c13 87. a85 b84 c13 88. a87 b63 c60 89. a87 b63 c60 90. a89 b80 c39 91. a89 b80 c39 92. a90 b72 c54 93. a90 b72 c54 94. a91 b84 c35 95. a91 b84 c35 96. a95 b76 c57 97. a95 b76 c57 98. a97 b72 c65 99. a97 b72 c65 100. a100 b80 c60 101. a100 b80 c60 102. a100 b96 c28 103. a100 b96 c28 104. a101 b99 c20 105. a101 b99 c20 106. a102 b90 c48 107. a102 b90 c48 3.

Используя таблицу, найти a площадь треугольника Стороны Ответ1. 2. 3. 4. 5. 6. 5 9 25 29 27 51 29 73 63 65 30 75 30 80 74 68 51 84 72 216 756 936 324 1890 б одну из высот треугольника Стороны Высота Ответ1. 2. 3. 4. 5. 6. 7 9 9 10 35 40 15 10 40 10 78 51 30 80 74 68 51 84большая большая средняя меньшая большая меньшая12 8 9 8 72 24 19 в радиус вписанной в треугольник окружности Стороны Ответ1. 2. 3. 4. 5. 6. 15 15 14 16 17 26 15 20 30 52 87 52 24 25 40 60 100 6312,5 12,5 25 32,5 72,5 32,5

г радиус описанной около треугольника окружности, Стороны Ответ1. 2. 3. 4. 5. 6. 8 10 10 11 11 13 26 17 35 13 90 37 30 21 39 20 97 303 3,5 4 3 4 4,5 д объм пирамиды. Стороны основания треугольной пирамиды равны 6 м, 8 м, 10 м, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Ответ 40 м. 20 Заключение. Пусть властно по своей орбите

Нас ритм сегодняшний кружит- Вернее будущее видит Лишь тот, кто прошлым дорожит. О.Дмитриев. Герон Александрийский около I века древнегреческий математик и механик дал систематическое изложение основных достижений античности в математике и механике. Общение, хотя и книжное, с великим Героном доставило мне радость от ощущения как бы сотворчества. Я наслаждался решением задач с помощью его формулы.

Какая радость, когда решение найдешь самостоятельно Ведь только в самостоятельном преодолении препятствий вырабатывается характер и появляется уверенность в собственных силах. И в наше время, как и в далком прошлом практика выдвигает перед математикой сложные задачи. Необходимо глубже и детальнее изучать явления окружающего нас мира и решать конкретные практические задачи. Для этого необходимо не только безукоризненно владеть теми знаниями, которые человечество приобрело

в прошлом, но и находить, открывать новые средства математического исследования. И если эта работа хотя бы в некоторой степени поможет кому-то в познании мира геометрических фигур, я буду считать, что писал е не напрасно. 21 Список литературы. 1. А.Д Александров и др. Геометрия для 8-9 классов. Москва, Просвещение, 1991. 2. Энциклопедический словарь юного математика.

Москва, Педагогика, 1985. 3. Математика в школе, 3, 1983. Математика в школе, 4, 1984. Математика в школе, 1, 1990. Математика в школе, 2, 1995. Математика в школе, 5, 1995. 4. Словарь античности, Москва, Прогресс, 1989. 5. Большая Советская энциклопедия, Москва, Современная энциклопедия,

1971. 6. Всемирная история 500 биографий, Москва, Современник, 2000. 7. Как решать задачу, Д.Пойа, Львов, Квантор, 1991.