Тризадачи по теории чисел
Задача1
Утверждение1
Пустьр1, р2 и р3 являются ненулевымирациональными числами, причем р1 + р2= р3. Тогда произведение р1* р2 * р3 не является точным кубом никакого(отличного от нуля) рационального числа, то есть р1* р2 * р3 ≠ R3, где R – некоторое рациональное число (R ≠ 0).
Доказательство
Положим
/> и />
Очевидно,что а (а≠0) и b — рациональныечисла, так как рациональными являются числа р1и р2.
(Еслиа=0, т.е. р1 = — р2, то р1 + р2 = р3= 0, чтопротиворечит нашему утверждению (р3/>0).
Еслиb=0, т.е. р1 = р2, то р3 = 2 р1 /> р1* р2 * р3 = р1*р1 * 2р1 =2р/>, т.е. /> р1*р2 * р3 = 2р/>≠ R3 и противоречие с нашим утверждением отсутствует.) />
/>Тогда имеем:
/>
Теперьнетрудно выразить старые переменные через новые:
(1)/>
Такимобразом, замена р1 и р2на a и b является обратимой (число Р3 в обоих случаяхявляется зависимой переменной).
Предположимтеперь, что Утверждение 1 неверно, и число />является точным кубом (R3) некоторого рационального числа R (R ≠ 0) .
Обозначим/> (2), гдеr/>0, т.к. при r = 0 либо р1=0, либор2=0, либо р3=0.
/>
гдеq/>0 (пояснение ниже).
Числаr и q являются рациональными числами, если рациональны числа a и b. Далее имеем:
/>
Пояснение
Приq=0 />, где r0/>0 — рациональное число (т.к. r/>0).
Из(2) следует />,откуда R не является рациональным числом, чтопротиворечит условию. Следовательно, q/>0.
Отсюдачисло /> являетсякубом некоторого ненулевого рационального числа, обозначим это число через /> (3), где С/>0 (С > 0).
Обозначим:/>, тогда:
/>
(сучетом (2) и (3))/>/> (4)
Таккак r, q – рациональные числа, то и числа A, B, (CR) -также рациональны числа.
Нотогда они будут рациональными решениями уравнения Ферма 3й степени,которое, как хорошо известно, неразрешимо в рациональных числах. Полученноепротиворечие доказывает наше утверждение. />
Примечание. А если А = 0, или В = 0? Ведь вэтом случае могут, наверно, появиться и ненулевые рациональные числа р1, р2, р3, R, удовлетворяющие условию нашего Утверждения! Покажем, чтоони не появятся.
ЕслиВ = r – q = 0, то r = q.
Отсюда,учитывая
/>
имеем/> /> />/>) = 0
откудаследует не только из
/> r = q (что ожидаемо), но и r = 0 /> r = q = 0 /> R=0, что противоречит условию нашего«Утверждения», ч.т.д.
ДляА = r + q = 0 рассуждения аналогичные.
Теперьсформулируем некоторое обобщение нашего Утверждения 1 на рациональные функции. Напомним,что рациональной функцией называется выражение вида />, где p(x) и q(x) – некоторые многочлены. Заметим, что и многочлены и дажечисла являются частным случаем рациональных функций при соответствующем выборекоэффициентов многочленов p(x) и q(x).
Утверждение2
Пусть/>являютсярациональными функциями с рациональными коэффициентами, причём /> для всех x. Тогда функция /> ни в одной рациональнойточке x не является кубом никакого (отличногоот нуля) рационального числа, то есть
либо />,где R – рациональное число (R ≠ 0);
либо />,где R(x) – рациональная функция, которая при каждом фиксированномрациональном x является рациональным числом.
Доказательство
Действительно,при каждом фиксированном рациональном x мы получаем утверждение для рациональных чисел, которое сформулировано впредыдущем Утверждении 1, что и требовалось доказать.
Утверждение3
Пусть/>являютсярациональными функциями с рациональными коэффициентами от нескольких переменныхx, y, z,…, причем /> для всех x, y, z,….
Тогдафункция /> нив одной из рациональных точек x, y, z,… не является кубом никакого (отличного от нуля)рационального числа, то есть либо:
/>
гдеR — рациональное число (R ≠ 0);
либо/>
гдеR(x,y,z,…) – рациональная функция, котораяпри каждом фиксированном рациональном x, y, z,… является рациональным числом.
Доказательство
Действительно,при каждом фиксированном рациональном x, y, z,… мы получаем утверждение для рациональных чисел, то есть Утверждение1, что и требовалось доказать.
Гдеи как можно использовать вышеприведенные утверждения?
Дляанализа неразрешимости некоторых уравнений в рациональных числах практически повнешнему виду.
Примеры:
1. /> - куб рациональнойфункции R(x) = 3x2, которая при рациональном x является рациональным числом.Следовательно, уравнение /> неразрешимо в рациональныхчислах.
2. /> - куб рациональнойфункции R(x) =/>неразрешимо в рациональныхчислах.
3. /> - куб рациональногочисла 3, отсюда /> неразрешимо в рациональных числах
4. /> - куб рациональнойфункции R(x,y) = /> не разрешимов рациональных числах
5. /> - куб рациональнойфункции R(x) = х37 => уравнение не разрешимо врациональных числах.
Следовательно,система уравнений /> неразрешима в ненулевыхрациональных числах x, y, z, где R –рациональное число (R≠0).
Задача2
Утверждение1
Пустьр1, р2,р3 и р4 являются рациональными ненулевыми числами, причем /> (1). Тогдапроизведение /> не может равным ни />, то есть не можетвыполняться соотношение
/>/> (2)
где/> = 1;2;3;4 и если /> - рациональное число.
Доказательство
Положим/>.Очевидно, x, y и z –это рациональные ненулевые числа, так как рациональными ненулевыми числамиявляются р1, р2,р3. Так как р1, р2, р3 в (1) и (2) равноправны, то за /> в (2) мы можемпринять любое из них, т.е. /> = 1;2;3. Пусть для определенности/> (3),тогда р4 на основании (1) принимает вид:
/> (4)
Такимобразом, замена р1, р2,р3 на x, y и z является обратимой (число р4 в обоих случаях является зависимойпеременной).
Предположимтеперь, что Утверждение 1 неверно, и число
/>
Тогдаимеем:
/> (5)
гдеx, y и z – ненулевыерациональные числа, а (5) равносильно
/> (6)
Действительно,можно из уравнения (6) получить (5):
/>, (6)
/>, />,
/>,
/> (5), что итребовалось доказать.
Обозначим/>. Тогда(6) примет вид: />. Так как x, y и z — рациональные числа, то и числа A, B и C также рациональные числа. Но тогдаони будут рациональными решениями уравнения Ферма 3-й степени />, которое, как хорошоизвестно, неразрешимо в рациональных числах.
Полученноепротиворечие доказывает наше утверждение.
Примечание:
1).Легко понять, что суммой P4 в (1) может быть являться любое изслагаемых (например: />), а произведение новых членовостается прежним, то есть
/>,
гдеi может принимать и значение 4, тогда впроизведении
/>
2).. А если А = 0, или В = 0? Ведь в этом случае могут, наверно, появиться иненулевые рациональные числа р1, р2, р3, R, удовлетворяющие условию нашего Утверждения! Покажем, чтоони не появятся.
Случаи,когда А=0, или В=0, противоречат нашему утверждению.
Действительно,если, например,
/>то из />/> В = С
/>/>=/>x = 0 /> x = 0 /> />х=0, что противоречит нашемуутверждению.
Аналогичныерассуждения и для В=0.
Утверждение2
Пусть/> являютсярациональными функциями с рациональными коэффициентами, причем /> для всех x. Тогда функция /> ни в одной рациональнойточке x не может быть равной ни />, то есть неможет выполняться соотношение />.
Доказательство
Действительно,при каждом фиксированном рациональном x мы получаем утверждение для рациональных чисел, которое сформировано впредыдущем Утверждении 1, что и требовалось доказать.
Утверждение3.
Пусть/> являютсярациональными функциями с рациональными коэффициентами от нескольких переменныхx, y, z, …, причем /> для всех x, y, z, …. Тогда функция /> ни в одной израциональных точек x, y, z, … не может быть равной ни
/>
тоесть не может выполняться соотношение
/>
гдеi=1;2;3;4
Доказательство
Действительно,при каждом фиксированном рациональном x, y, z, … мы получаем утверждение для рациональных чисел, то есть Утверждение1, что и требовалось доказать.
Гдеи как можно использовать вышеприведенные утверждения?
Дляанализа разрешимости некоторых уравнений в рациональных числах практически повнешнему виду.
Примеры
1. />
гдеx2 – второе слагаемое, которое при рациональном x является рациональным числом =>уравнение /> неразрешимо в рациональных числах.
2. />
гдеx – второе слагаемое, которое прирациональном x – рациональное число. /> не разрешимов рациональных числах.
3. />
гдеy – третье слагаемое, которое прирациональном y – рациональное число /> не разрешимо врациональных числах.
Следствие
Системауравнений
/>
неразрешимав рациональных числах, где /> - переменные (не равные 0).
Задача3
Утверждение (n=3) Уравнение
a3= b2 + cd2 (1)
где с = const,имеет следующее решение:
a = α2 +cβ2 b = α3 — 3cαβ2 d = 3α2β — cβ3
гдеα и β — произвольные числа.
Доказательство
Рассмотримтождество
(2)(x2+cy2)(u2+cυ2)≡(xu-cyυ)2+c(xυ+yu)2
гдес = const (некоторое число); x,y,u,υ — переменные (произвольные числа).
Еслиодин из 2x сомножителей в скобках левой частитождества (2) является квадратом другого (например: (x2+cy2)2=u2+cυ2), то тождество (2) можно записать не через четыре переменных x,y,u,υ, а только через две (α и β),где α и β-другие переменные.
Действительно,если (x2+cy2)2=u2+cυ2 (3), общий вид которого
(4) a12=u2+cυ2 (случай,когда(n=2)), а его решения (это специалистам известно):
(5)a1=α2+cβ2,
(6)u=α2-cβ2,
(7) υ=2αβ, где α и β-произвольныечисла ((эти решения специалистам известны).
(Действительно,если в (4) подставить его решения (5), (6) и (7), то получим тождество: (α2+cβ2)2 ≡(α2-cβ2)2+c(2αβ)2 (8). Следовательно, имеем следующее:
(9)x2+cy2=α2+cβ2
(6)u=α2-cβ2
(7) υ=2αβ
Уравнение (9) обращается в тождество при x=α(10) и y=β (11), значит
(10)и (11) являются решениями (9).
Учитывая (3), тождество (2) запишетсяв виде уравнения:
(x2+cy2)(x2+cy2)2=(xu-cyυ)2+c(xυ+yu)2=>
=>(12) (x2+cy2)3=(xu-cyυ)2+c(xυ+yu)2
Учитывая(6), (7), (10) и (11), уравнение (12) запишется:
(α2+сβ2)3=[α·(α2-cβ2)-cβ·2αβ]2+c[α·2αβ+β(α2-cβ2)]2=
=[α3-cαβ2-2cαβ2]2+c[2α2β+βα2-cβ3]2=(α3-3cαβ2)2+c(3α2β-cβ3)2=>
=>(13) (α2+cβ2)3≡(α3-3cαβ2)2+c(3α2β-cβ3)2
где α и β — произвольные.
Т.к. (13) — тождество, то решением уравнения (1) a3 = b2 + cd2 (случай, когда(n=3)), являются:
а= α2 + cβ2 b = α3 — 3cαβ2
d = 3α2β- cβ3, где α и β — произвольные числа, ч.т.д…
Утверждение2. (n = 2;3;4;5;6;7)
Уравнениеan=b2+cd2 (1), где c = const, имеет следующее решение:
a=α2+cβ2
b=αn-κ3cαn-2β2+κ5c2αn-4β4-κ7c3αn-6β6+…
d=nαn-1β-κ4cαn-3β3+κ6c2αn-5β5-κ8c3αn-7β7+…,
гдеκi- биноминальные коэффициенты степени n, где i = 3;4;5;6;7;8;…;
/>κ1=1 — первые два биноминальных коэффициентав
κ2=п биноме Ньютона при αn и αn-1β;
n — натуральнаястепень (n>1).
Доказательство
(методом анализа частных случаев,когда n = 2;3;4;5;6;7)
I этап
Рассмотримчастные случаи.
Намуже известны решения уравнения (1) an=b2+cd2 для степени n=2 и n=3 (смотридоказательствоУтверждение1).
n = 2
(2) a2 = b2 + cd2, где
/>a=α2+cβ2
b=α2-cβ2 (2') — приэтих значениях a, b и c уравнение (2) превращается вd=2αβ тождество (α2+cβ2)2≡ (α2-cβ2)2+c(2αβ)2 (2'').
n=3
(3)a3=b2+cd2,
где
a=α2+cβ2
b=α3-3cαβ2 (3') — при этихзначениях a,b и c уравнение (3) превращается вd=3α2β-cβ3 тождество (α2+сβ2)3≡ (α3-3сαβ2)2+с(3α2β-сβ3)2 (3'').
Пример:при α = β = 1 и c=2 имеем верное равенство:
(1+2·1)3= (1-3·2·1)2 + 2·(3-2·1)2/> 33 ≡ 52 +2·12
Напомню,что при нахождении решения уравнения (1) длястепени n = 3 мы в доказательстве Утверждения1опирались на тождество (2)
(x2+cy2)(u2+cυ2) ≡ (xu-cyυ)2+c(xυ+yu)2,
ина решение уравнения (1)второй степени, т.е.степени на единицу меньшую. Аналогичным методом можно найти решение уравнения (1) для других натуральных степеней n.
n=4
/>Пусть в тождестве (2) (x2+cy2)(u2+cυ2) ≡ (xu-cyυ)2+c(xυ+yu)2
a = x2+cy2
a3= u2+cυ2 (5)
тогдаимеем соотношение (x2+cy2)3 = u2+cυ2 (6), которое есть ничто иное, какуравнение (1) с n=3: a3= b2 + cd2 (3) (см. случай n=3).
Учитывая(3') и (6),получаем:
а =x2+cy2= α2+cβ2 (7')
u = α3-3cαβ2 (7) (7'')
υ = 3α2β-cβ3 (7''')
Учитываяформулы (10) и (11) в доказательстве Утверждения1 (x=α, y=β (8)) при нахождении решения уравнения (1) для n=3, автоматически распространим его ипри нахождении решения уравнения (1) дляn>3. Тогда, с учетом (5) тождество(2) принимает вид:
a4 = (xu-cyυ)2 + c(xυ+yu)2=> a4 = b2 + cd2 (9)
где
a = x2+cy2
b = xu-cyυ (10)
d = xυ+yu
Учитывая(8), (7'),…, (7'''), запишем a, b, d в системе (10) через α и β:
a = α2+cβ2
b =xu-cyυ=α(α3-3cαβ2)-cβ(3α2β-cβ3)=α4-3cα2β2-3cα2β2+c2β4 = α4-6cα2β2+c2β4
d = xυ+yu=α(3α2β-cβ3)+β(α3-3cαβ2)=3α3β-cαβ3+βα3-3cαβ3 = 4α3β-4cαβ3
Итак,уравнение (9) a4=b2+cd2 имеетследующее решение:
/>a = α2 + cβ2
b = α4-6cα2β2+c2β4 (11) и соответствующее тождество:
d = 4α3β — 4cαβ3
(12)(α2+сβ2)4≡(α4-6сα2β2+с2β4)2+с(4α3β-4сαβ3)2
Пример:
приα = β = 1 и с = 2=> 34 = (1-12+4)2+2·(4-8)2 => 81 ≡49 + 32.
n=5
Рассужденияаналогичны.
Пустьв тождестве (2) (x2+cy2)(u2+cυ2) ≡ (xu-cyυ)2+c(xυ+yu)2
a = x2+cy2 (13)
тогдаполучаем соотношение:
a4= u2+cυ2
(x2+cy2)4 = u2+cυ2 которое есть ничто иное, какуравнение (1) с n=4: (9)a4=b2+cd2) (см. случай n=4), решениекоторого есть система (11). Отсюда:
a =x2+cy2=α2+cβ2
u =α4-6cα2β2+c2β4 (14)
υ =4α3β-4cαβ3
Сучетом (13) тождество (2) принимает вид:
a5 = (xu-cyυ)2 + c(xυ+yu)2=> a5=b2+cd2 (15)
где
a = x2+cy2
b = xu-cyυ (16)
d = xυ+yu
Учитывая(8) (x=α, y=β) и (14), запишем a,b,d в системе (16) через переменныеα и β:
a = α2 +cβ2
b = xu-cyυ =α(α4-6cα2β2+c2β4)-cβ·(4α3β-4cαβ3)=
=α5-6cα3β2+αc2β4-4cα3β2+4c2αβ4 = α5-10cα3β2+5c2αβ4
d = xυ+yu =α(4α3β-4cαβ3)+β(α4-6cα2β2+c2β4)=
=4α4β-4cα2β3+α4β-6cα2β3+c2β5 = 5α4β-10cα2β3+c2β5
Итак,уравнение (15) a5=b2+cd2 имеетследующие решения:
/>a=α2+cβ2
d=5α4β-10cα2β3+c2β5 (17)
b=α5-10cα3β2+5c2αβ4
и соответствующеетождество:
(α2+cβ2)5=(α5-10cα3β2+5c2αβ4)2+c(5α4β-10cα2β3+c2β5)2 (18)
Пример:
приα=β=1 и с=2 =>
=>35 = (1-20+20)2+2·(5-20+4)2 = 12+2·112 => 35 =12 +2·112=243
n=6
Решениеуравнения a6=b2+cd2 (19) находятсяаналогично. Доказательство опирается на известные решения уравнения предыдущейстепени, т.е. n=5. Уравнение (19) имеетследующее решение:
a = α2 + cβ2
b = α6 — 15cα4β2 + 15c2α2β4 — c3β6 (20)
d = 6α5β- 20cα3β3 + 6c2α
исоответствующее тождество:
(α2 + cβ2)6 = (α6 — 15cα4β2 + 15c2α2β4 — c3β6)2 + c(6α5β — 20cα3β3 + 6c2αβ5)2 (21)
Пример:
приα = β = 1 и c = 2 имеем:
36=(1-30 + 60 — 8)2 + 2(6 – 40 + 24)2 =
=232 + 2 × (-10)2 => 36 ≡ 232+ 2 × (-10)2 ≡ 725.
n=7
Аналогичныерассуждения приводят к тому, что уравнение
(22)a7 = b2 + cd2 имеет следующее решение:
/>
a = α2+ cβ2
b = α7 — 21cα5β2+ 35c2α3β4 — 7c3αβ6 (23)
d = 7α6β- 35cα4β3+ 21c2α2β5 – c3β
асоответствующее тождество:
(24)(α2 + cβ2)7 ≡
≡(α7-21cα5β2 + 35c2α3β4-7c3α6β7)2 +24+ c(7α6β — 35cα4β3 + 21c2α2β5 – c3β7)
Пример:
приα = β = 1 и c = 2 имеем:
37= (1- 42 + 140 — 56)2 + 2(7 – 70 + 84 — 8)2 =
=432 + 2×132 => 37≡ 432+ 2×132 ≡ 2187.
ІІэтап
Получениеобщего решения уравнения
(1)an=b2 + cd2
(Напомним,доказательство не строгое, опирается на частные случаи)
Выпишемвсе тождества, полученные для каждой степени
n= 2; 3; 4; 5; 6; 7;
n= 2
(α2+cβ2)2= (α2 – cβ2)2 + c(2αβ)2
n= 3
(α2+cβ2)3= (α3 — 3cαβ2)2+c(3α2β– cβ3)2
n= 4
(α2+cβ2)4= (α4 — 6cα2β2+c2β4)2+c(4α3β – 4cαβ3)2
n = 5
(α2+cβ2)5= (α5 — 10cα3β2+5c2αβ4)2+c(5α4β – 10cα2β3+c2β5)2
n = 6
(α2+cβ2)6= (α6 — 15cα4β2+15c2α2β4-c3β6)2+c(6α5β – 20cα3β3+6c2αβ5)2
n = 7
(α2+cβ2)7= (α7 — 21cα5β2+35c2α3β4-7c3αβ6)2+c(7α6β –
-35cα4β3+21c2α2β5-c3β7)2
Анализируяэти тождества, приходим к общему тождеству общего уравнения
an = b2 + cd2 (1) :
(α2+ cβ2)n = (αn – k3cαn-2β2 + k5c2αn-4β4– k7c3αn-6β6+…)2 +
+ c(nαn-1β – k4cαn-3β3+ k6c2αn-5β5– k8c3αn-7β7)2 (25)
/>где в правой части тождества 25 вобеих скобках слагаемые представляют собой слагаемые бинома Ньютона
(α+ β)n, умноженных на ±cm, где m = 0,1,2,3…,
знак«+», если m-четное,
/>ki – биноминальныекоэффициенты, где i= 3,4,5,…,
k1= 1 — первые два биноминальных коэффициента при αn и αn-1β.
k2= n
Глядяна уравнение (1) и тождество (25), определяем, что решением уравнения (1) an = b2 + cd2 являются:
a = α2+ cβ2
b = αn – k3cαn-2β2 + k5c2αn-4β4 – k7c3αn-6β6 +…
d = nαn-1β – k4cαn-3β3 + k6c2αn-5β5 – k8c3αn-7β7+…, ч.т.д.
Утверждение. ( n>1-любое натуральное)
Уравнениеan = b2 + cd2 (1), где c = const, имеет следующее решение:
a = α2 + cβ2
(2) b = αn – k3cαn-2β2 + k5c2αn-4β4 – k7c3αn-6β6 +…
d = nαn-1β – k4cαn-3β3 + k6c2αn-5β5 – k8c3αn-7β7 +…,
ki– биноминальные коэффициенты степени n,
гдеi = 3; 4; 5; 6; 7; 8…,
/>k1 = 1 первые два биноминальных
k2= n коэффициента для степени n,
n– натуральная степень (n > 1)
Общеедоказательство
(Методматематической индукции)
Итак,нами доказана справедливость найденного решения (2)
уравнения(1) для степеней n = 2; 3; 4; 5; 6; 7.
Предположим,что решение (2) справедливо и для степени n–1.
Тогда,обозначив биноминальные коэффициенты для этой степени ki/n-1, где i= 1; 2; 3…, (k1/n-1 = 1, k2/n-1 = n-1), можно записатьтождество:
(3)(α2 +cβ2)n-1 ≡
≡/> (αn-1 – k3/n-1cαn-3β2+ k5/n-1c2αn-5β4 – k7/n-1c3αn-7β6+…)2 +
(первая скобка)
/>+ c(k2/n-1αn-2β– ck4/n-1αn-4β3 + c2k6/n-1αn-6β5– c3k8/n-1αn-8β7 + …)2⇒
(вторая скобка)
⇒ (α2 + cβ2)n-1 ≡ (перваяскобка)2 + c(вторая скобка)2 (3')
Принахождении решений уравнения (1) для частных случаев (n = 2; 3; 4; 5; 6; 7) мыиспользовали соотношение:
(4)an = (xu — cyυ)2 + c(xυ + yu)2,
где n = 2; 3;…7.
x = α
y = β
/>a = x2 + cy2 = α2+ cβ2
(5) b = xu – cyυ = αu – cβυ
d = xυ + yu = αυ + βu
где,в свою очередь
u= (первая скобка)
υ= (вторая скобка), для n = 2; 3; 4; 5; 6; 7 в соотношении (3) (или (3'))
Аналогичнорассуждая, попробуем доказать справедливость теоремы для произвольной степениn, предположив, что она справедлива для степени n – 1
Этозначит, что надо исследовать решение (5) уравнения (4) (или, что тоже, уравнения (1)) дляпроизвольной степени n.
Итак,пусть для произвольной степени n
a = α2+cβ2 (6)
b= αu – cβυ = α(первая скобка) – cβ(вторая скобка) =
= α(αn-1-k3/n-1cαn-3β2+ k5/n-1c2αn-5β4-k7/n-1c3αn-7β6+...)
— cβ(k2/n-1αn-2β– ck4/n-1αn-4β3 + c2k6/n-1αn-6β5–
– c3k8/n-1αn-8β7 +…) =
=(αn – ck3/n-1αn-2β2+ c2k5/n-1αn-4β4 – c3k7/n-1αn-6β6+…) +
+(-ck2/n-1αn-2β2 + c2k4/n-1αn-4β4 – c3k6/n-1αn-6β6 +
+ c4k8/n-1αn-8β8-…) =
= αn – c(k2/n-1 + k3/n-1)αn-2β2 + c2(k4/n-1 + k5/n-1) +
+ αn-4β4 — c3(k6/n-1 + k7/n-1)αn-6β6 +…=
=αn — ck3αn-2β2+ c2k5αn-4β4-c3k7αn-6β6 +…. /> />
/> b = αn-ck3αn-2β2 + c2k5αn-4β4-c3k7αn-6β6 +… (7)
где(8) kί = kί-1/n-1 + kί/n-1 – биноминальныекоэффициенты для степени n;
ί= 3;5;7;…;
k1= 1 – первый биноминальный
коэффициентпри αn в (7);
kί-1/n-1и kί/n-1 – два биноминальных последовательных
коэффициентадля степени n – 1.
Соотношение(8) — это одно из свойств биноминальных коэффициентов в «Треугольнике Паскаля»:
Каждыйиз биноминальных коэффициентов равен сумме двух биноминальных коэффициентов,стоящих над ним.
«ТреугольникПаскаля»
1
11
12 1
13 3 1
14 6 4 1
15 10 10 5 1
16 15 20 15 6 1
Теперьнайдем выражение для d:
d= αυ + βu = α(вторая скобка) + β(первая скобка) =
= α(k2/n-1αn-2β– ck4/n-1αn-4β3 + c2k6/n-1αn-6β5–
– c3k8/n-1αn-8β7 +…) +
+ β(αn-1-ck3/n-1cαn-3β2 + k5/n-1c2αn-5β4-k7/n-1c3αn-7β6+...)=
= k2/n-1αn-1β – ck4/n-1αn-3β3 + c2k6/n-1αn-5β5 –
– c3k8/n-1αn-7β7 +…+ αn-1β – ck3/n-1αn-3β3 + c2k5/n-1αn-5β5 –
– c3k7/n-1αn-7β7 +…=
=(1 + k2/n-1) αn-1β – c(k3/n-1 + k4/n-1) αn-3β3 + c2(k5/n-1 + k6/n-1) αn-5β5 – c3(k7/n-1 + k8/n-1) αn-7β7 +…=
= k2αn-1β – ck4αn-3β3 + c2k6αn-5β5 – c3k8αn-7β7 +…. />
/> d = k2αn-1β – ck4αn-3β3 + c2k6αn-5β5 – c3k8αn-7β7 +… (9),
где(8) kί = kί-1/n-1 + kί/n-1 — –биноминальные коэффициенты для степени n; (вышеупомянутое свойство
биноминальныхкоэффициентов(8));
ί= 2;4;6;8;…;
k2= n — второйбиноминальный
коэффициентдля степени n;
kί-1/n-1и kί/n-1 – два биноминальных последовательных коэффициента длястепени n – 1.
Итак,учитывая (5), (6), (7), (9),уравнение (4) принимает вид:
an = b2 + cd2 (1), где
a = α2 + cβ2
b = αn – c k3αn-2β2 + c2k5αn-4β4 – c3k7αn-6β6+…
d = nαn-1β – c k4αn-3β3 + c2k6αn-5β5– c3k8αn-7β7 +…,
являютсярешениями уравнения (1) при c = const;
ki– биноминальный коэффициент степени n;
i= 3; 4; 5; 6; 7; 8…;
k1= 1, k2 = n, n > 1 — натуральная степень.
Утверждениедоказано.
СкворцовАлександр Петрович, учитель, ветеран педагогического труда;
г.Колпашево Томской области, август 2009.
Перваязадача рецензирована в 1996 г. доктором физико математических наук.
Всетри задачи чуть позже рецензированы томским специалистом математиком ТимошенкоЕ. (к сожалению, ни имени, ни отчества его я не знаю), которого для этой целипо моей просьбе нашел ректор ТПУ Похолков Юрий Петрович, за что я им всем оченьи очень благодарен.
Отзывспециалистов о моей работе неплохой. Вот выдержка из «Рецензии на работуСкворцова А.П. «Несколько задач, теорем и утверждений по теории чисел»»Тимошенко Е.: «В данной работе особый интерес представляют доказательстванеразрешимости в рациональных ненулевых числах уравнения р1 + р2= р3, где р1* р2 * р3 = R3, где R –рациональное число (Задача1. Автор), и неразрешимости в рациональных ненулевых числах системы/>, /> (Задача 2. Автор).
Авторуказывает довольно широкое семейство решений уравнения an=b2+cd2 (1), зависящее от двух параметров /> и /> (Задача 3. Автор). Так, для уравнения (2) a3 = b2 + cd2 приводится решение а = α2 + cβ2, b = α3 — 3cαβ2, d = 3α2β- cβ3 (3).
Ксожалению, остается недоказанным, что это решение – общее, т.е. не ясно, любоели решение уравнения (2) может быть представлено в виде (3). То же самое можносказать и о решении уравнения (1). … ». К сожалению, этот вопрос для меня досих пор остается открытым. Хотя, если мое мнение кого-то интересует, интуициямне подсказывает, что найденное мною решение уравнения (1) — единственное.Однако я хорошо понимаю, что интуиция – это еще не факт.
Думаю,что специалистам данная Задача 3 и ее доказательство известны. Однако лично мнеона на глаза не попадалась. В дальнейшем в одной из очередных работ результатыэтой задачи мне очень пригодились.
Чтокасается первых двух задач, то они мне тоже нравятся, и, думаю, могут вызватьинтерес не только у специалистов, но и у студентов и школьников нафакультативных занятиях.
А.П.Скворцов.