Министерство образования и науки Украины
Министерство образования и науки АР Крым
Малая академия наук школьников Крыма «Искатель»
Секция математики
Керченский городской филиал
Производнаяи ее применение для решения прикладных задач
Работувыполнил:
КоваленкоАлександр,
учащийся 11-Бкласса
керченскогоучебно-воспитательного
комплексаобщеобразовательной
школы
I-II ступеней- морской технический лицей
Научныйруководитель:
ГерасимоваВалентина Леонидовна,
учительматематики,
учитель-методист
КУВК ош – МТЛ
Керчь 2008
Содержание
Введение
1. Производная и ее применение длярешения прикладных задач
1.1 Исторические сведения
1.2 Понятие производной, еегеометрический и физический смысл
1.3 Дифференциал
2. Перечень прикладных задач
3.Примеры решения прикладных задач
3.1 Исследование функций и построение их графиков.
3.2 Нахождениенаибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач (задач наоптимум).
3.3 Определениепериода функции
3.4 Нахождениеприближенных значений функции
3.5 Нахождениевеличины угла между прямыми и кривыми.
3.6 Разложение намножители и упрощение выражений.
3.7 Вычислениесуммы
3.8 Сравнениечисел и доказательство неравенств
3.9 Решениенеравенств
3.10Доказательство тождеств
3.11. Решениеуравнений
3.12 Решениесистем уравнений
3.13 Отбор кратныхкорней уравнения
3.14 Вычислениепределов функции с помощью правила Лопиталя
3.15 Решениефизических задач, связанных с нахождением скорости, ускорения и т.д.
3.16 Решениеэкономических задач
3.17 Разложениефункций в ряд с помощью формулы Тейлора
3.18 Задача олинеаризации функции
Заключение
Список литературы
Введение
Из всехтеоретических успехов знания вряд
ликакой-нибудь считается столь высоким три-
умфомчеловеческого духа, как изобретение ис-
числениябесконечно малых во второй половине
XVII века.
Ф. Энгельс
Темаисследовательской работы выбрана не случайно, поскольку применение производнойпозволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности.Применение производной для решения задач требует от учащихся нетрадиционногомышления. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решениязадач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можноуспешно применять также и в других сферах человеческой деятельность(вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.) Это доказываетактуальность данной работы.
Целью работыбыло: изучение применения производной для решения задач по алгебре и началаманализа, физике, экономике; углубление и расширение знаний по теме«Производная».При изучении изменяющихся величин очень часто возникает вопрос оскорости, о быстроте происходящего изменения. Так мы говорим о скоростидвижения самолета, поезда, автобуса, ракеты, о скорости падения камня, вращенияшкива и т.д. Можно говорить о скорости выполнения определенной работы, оскорости протекания химической реакции, о быстроте роста населения в данномгороде. О скорости можно говорить по отношению к любой величине, котораяизменяется с течением времени. Для всего этого используется понятиепроизводной.
Физическиепроизводные величины:
υ(t)= х/(t) –скорость
a (t)=υ/ (t)- ускорение
J(t) = q/(t) — сила тока
C(t) = Q/(t) — теплоемкость
d(l)=m/(l) - линейнаяплотность
K (t) = l/(t) — коэффициентлинейного расширения
ω (t)= φ/(t) — угловая скорость
а (t)= ω/(t) — угловое ускорение
N(t) = A/(t) — мощность
Дифференциальноеисчисление широко применяется для экономического анализа как математическийаппарат. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальноезначение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль,максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показательпредставляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом,нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремумафункции.
Производная вэкономических формулах:
П (t) = υ / (t) - производительностьтруда,
где υ (t) — объем продукции
J(x) = y / (x) - предельныеиздержки производства,
где y– издержкипроизводства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.
Вработе рассмотрены прикладные задачи, способы решения которых можноиспользовать для решения нестандартных задач по алгебре и началам анализа, приподготовке к государственной итоговой аттестации, внешнему независимомуоцениванию. Достаточно большое число задач раскрывают потенциальные возможностианализа бесконечно малых величин.
1. Производная и ееприменение для решения прикладных задач
1.1 Исторические сведения
Ряд задачдифференциального исчисления был решен еще в древности. Они встречались уЕвклида. Ряд таких задач был решен Архимедом, разработавшим способ проведениякасательной, примененный им к спирали, но применимый для других кривых.Основное понятие дифференциального исчисления – понятие производной – возниклов XVII в. В связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики иматематики. Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем наоснове двух задач: 1) о разыскании касательной к произвольной линии2) оразыскании скорости при произвольном законе движенияЕще раньше понятие производнойвстречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 — 1557 гг.)- здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия,при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке наоснове учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепцияпроизводной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта,французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большойвклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли,Лагранж, Эйлер, Гаусс.
1.2 Понятиепроизводной, ее геометрический и физический смысл
Понятие производной
Пусть y = f(x) есть непрерывнаяфункция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х0 — произвольная точка этого промежутка
Дадимаргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получитприращение ∆y = f(x + ∆x) — f(x). Предел, ккоторому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0,называется производной от функции f(x).
y'(x)=/>
Геометрический смыслпроизводной состоит в том, что она равна угловому коэффициенту касательной. Рассмотримграфик функции /> (рис.). Видно,
что />, т.е. это отношение равноугловому
коэффициентусекущей mm. Если />, тосекущая,
поворачиваясьвокруг точки М, в пределе переходит в
касательную/>, так как касательнаяявляется предельным
положениемсекущей, когда точки пересечения сливаются.
Такимобразом,/> />.
Уравнениекасательной
/>, где />-координаты точки касания, а />-текущие координаты точки касательной прямой.
Физическийсмысл производной заключается в скорости изменения функции.
Пусть s = s(t) — закон прямолинейногодвижения. Тогда v(t0) = s'(t0)выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0.Вторая производная a(t0) = s''(t0)выражает мгновенное ускорение в момент времени t0.Вообщепроизводная функции y = f(x) вточке x0выражает скоростьизменения функции в точке x0, тоесть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y= f(x).
13Дифференциал
Пусть данафункция /> и /> — внутренняя точка еёобласти определения. Придадим аргументу приращение /> ирассмотрим приращение функции/>
Если этоприращение /> можно представить в виде /> где величина /> не зависит от приращения/>, а /> - бесконечно малая при /> величина, имеющая большийпорядок малости, чем />, то произведение/> называется дифференциаломфункции /> в точке /> и обозначается />.
Перечень прикладныхзадач:
-составлениеуравнения касательной к графику функции;
-нахождениеугла между пересекающимися прямыми, между графиками функций;
-исследованиеи построение графиков функций;
-решениезадач на оптимум;
-преобразованиеалгебраических выражений;
-разложениемногочлена на множители;
-доказательствотождеств;
-вычислениесумм;
-решениеуравнений;
-приближенныевычисления и оценка погрешностей;
-доказательствонеравенств и тождеств;
-решениесистем уравнений;
-решениезадач с параметрами;
-отборкратных корней уравнения;
-сравнениевеличин;
-определениепериода функции;
-нахождениепределов функции с помощью правила Лопиталя;
-разложениефункций в ряд с помощью формулы Тейлора;
-приближенноерешение уравнений методом проб, хорд и касательных;
-линеаризацияалгебраических функций и многое другое.
3. Примерырешения прикладных задач
3.1 Исследованиефункций и построение их графиков
Пример 1
Исследовать и построить график функции
/>
Решение.
1. Функция существует для всех />.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной,
так как
/>/>
,
то есть /> и />.
3. Вточке х=0 функция имеет разрыв в точке х=0.
Приэтом />/>
4. Находимпроизводную: /> и приравниваемее к нулю:
/>. Точка /> будеткритической.
Проверимдостаточные условия экстремума в точке />.Так как знаменатель производной всегда положителен, то достаточно проследить зазнаком числителя. Получаем: /> при /> и /> при />. Следовательно, в точке /> функция имеет минимум, еезначение в точке />.
5. Точекпересечения с осью ОY нет, так как данная функция не определена при х=0.Чтобы найти точки пересечения кривой с осью ОХ, нужно решить уравнение />.
Тогда /> или />.
Получим,что при /> функция убывает; х=/> y=0; /> функция убывает; при /> функция убывает; при х=/> функция имеет минимум y=3; при /> функция возрастает.
Графикданной функции представлен на рисунке.
Кривая,рассмотренная в этой задаче называется «Трезубец Ньютона».
3.2 Нахождениенаибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач (задач наоптимум)
Пример 1
Избревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности.
Решение:
Составляемфункцию, выражающую необходимое условие.
Вданной задаче высота балки (представляющей собой прямоугольник, вписанный вокружность радиуса R и ширины х), равна />.Поэтому прочность такой балки равна />. Приэтом х изменяется от 0 до 2R.
Функция/> обращается в нуль при х=0и х=2R и положительна между этими значениями. Значит она имеетмаксимум, лежащий между 0 и 2R. Но производная этой функции /> обращается в нуль наотрезке /> лишь при />. Это и есть оптимальноезначение ширины b балки. Высота h балки такойширины равна /> и отношение /> равно />. Именно такое отношениевысоты вытесываемой балки к ее ширине предписывается правилами производствастроительных работ.
Пример2
Требуетсяпостроить открытый цилиндрический резервуар вместимостью />. Материал имеет толщину d. Какими должныбыть размеры резервуара (радиус основания и высота), чтобы расход материала былнаименьшим?
Решение.
Радиусоснования внутреннего цилиндра обозначим через х, высоту внутреннего цилиндрачерез h. Объем дна и стенки резервуара
/>
Сдругой стороны, по условию />, откуда/>
Подставляяв (*), находим
/>
Полученнуюфункцию /> нужно исследовать наэкстремум при х>0:
/>
Единственныйположительный корень производной – это точка /> Она и дает решение задачи. При этом />
3.3 Определение периодафункции
Пример 1.
Являетсяли периодической функция />?
Решение
Воспользуемсяследующим утверждением: если дифференцируемая в каждой точке числовой прямойфункция имеет период Т, то ее производная также имеет период Т.
Предположим,что данная функция /> являетсяпериодической с периодом Т. Применяя формулу
/>,
получаем
/> где />.
Имеем
/>
Посколькупо предположению функция /> имеетпериод Т, то функция />, аследовательно, и функция /> такжеимеют период Т.
Значит,и функция />
Такжеимеет период Т. Отсюда следует, что существует число />, />, такое, что Т=/>. Аналогично показывается,что существует число />, такое, что Т=/>.
Нотогда />
т.е.число /> является рациональным, чтоневерно. Следовательно данная функция НЕ является периодической.
3.4 Нахождениеприближенных значений функции
Пример 1.
Найтиприращение и дифференциал функции в точке х=2 при /> ипри />. Найдите абсолютную иотносительные погрешности, которые мы допускаем при замене приращения функцииее дифференциалом.
Решение
/>
Прих=2 и /> имеем
/>
Абсолютнаяпогрешность />
Относительнаяпогрешность /> то естьотносительная погрешность будет около 4%.
Прих=2 и /> имеем
/>
Абсолютнаяпогрешность /> а относительнаяпогрешность /> то естьотносительная погрешность будет уже около 0,4%.
Пример 2
Пользуясьпонятием дифференциала функции вычислите приближенно изменение, претерпеваемоефункцией /> при изменении х отзначения 5 к значению 5,01.
Решение.
Вданном случае будем считать х=5, а />.Изменение функции
/>
3.5 Нахождение величиныугла между прямыми и кривыми.
Угломмежду графиками функций /> и /> в точке их пересеченияназывается угол между касательными к их графикам в этой точке (рис.).
Пример 1.
Найтиугол между графиками функций /> и />
вточке их пересечения (с положительной абсциссой).
Решение.
Абсциссыточек пересечения данных графиков удовлетворяют уравнению
/>
И темсамым следующей системе: />
Отсюданаходим, что графики функций пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны0 и 2. Найдем тангенсы углов наклона касательных к обоим графикам функций вточке с абсциссой, равной 2. Имеем
/>
Отсюда/> и /> Так как />, то уравнения касательныхк графикам функций /> и /> в точке (2;2)соответственно имеют вид
/> и />
т.е.
/> и />
Следовательновеличина угла /> междукасательными удовлетворяют уравнению
/>
и темсамым графики функций /> и /> в точке с абсциссой х=2пересекаются под углом, равным />
3.6 Разложение намножители и упрощение выражений.
Пример 1.
Разложитьна множители выражение
/>.
Решение:
Считаях переменной величиной, рассмотрим функцию />.Имеем />.
Таккак />,
тоотсюда заключаем, что
/>.
Получаем/>, где С не зависит от х, нозависит от y и z.
Таккак последнее равенство верно при любом х, то, полагая, например, в нем х=0 иучитывая, что />, найдем />.
Такимобразом,
/>
Итак, />=/>.
Пример 2.
Упроститьвыражение
/>
Решение
Считаях переменной величиной, рассмотрим функцию
/>
Тогда,дифференцируя ее, имеем
/>.
Отсюданаходим, что />, где С независит от х, но может зависеть
от y и z. Полагая,например, х=0, получаем
/>.
Поскольку/>, то С=0.
Следовательно,/>.
3.7 Вычисление суммы
Пример 1.
Найтисумму
/>
Решение:
Пусть />.
Таккак
/>,
/>, то
/>.
Поскольку/>есть сумма первых /> членов геометрическойпрогрессии со знаменателем х, />, то
/>.
Таккак />, то
/>
/>
3.8 Сравнение чисел идоказательство неравенств
Придоказательстве неравенств или для сравнения двух чисел полезно перейти к общемуфункциональному неравенству.
Пример 1.
Сравнить/> и />.
Решение.
Рассмотримфункцию />.
Таккак
/>,
/>,
Тофункция /> возрастает на интервале />.
Такимобразом,
/>
И,следовательно, />.
Пример 2.
Какоеиз чисел больше: /> или />?
Решение.
Рассмотримфункцию /> Так как /> и /> при /> то функция /> возрастает на множествевсех действительных чисел. Поэтому />, т.е. />
Пример 3.
Докажите,что /> при />.
Доказательство:
Рассмотримфункцию /> при /> и />.
При />, />.
Находим/> и />:/>; />;
/>;
/>/>. В точке /> />=6, то есть /> имеет минимум, равный />. При /> функция /> убывает от /> до />, а при /> />, то есть функциявозрастает. При /> />, что и доказываетнеравенство.
3.9 Решение неравенств
Пример 1.
/>.
Решение
Найдемучастки возрастания и убывания функции />.Производная /> этой функции равна />. Так как дискриминантквадратного трехчлена /> являетсяотрицательным числом и коэффициент при /> этогоквадратного трехчлена больше нуля, то для каждого действительного х имеемнеравенство />.
Такимобразом, функция /> являетсянепрерывной и возрастающей на всей числовой прямой; поэтому ее график можетпересекать ось ОХ только в одной точке. Учитывая, что />, заключаем, что решениямиданного неравенства являются все числа х из промежутка />.
Пример 2.
Докажитенеравенство />(при />).
Доказательство.
Прих=0 неравенство справедливо.
Рассмотримфункцию /> и найдем ее производную:
/> Производная обращается в нуль при />
При /> то есть функция монотонноубывает. При /> то есть функциямонотонно возрастает. При /> функцияимеет минимум, равный нулю.
Такимобразом, при /> /> значит />.
Пример 3.
Доказать,что при /> имеет место неравенство />
Решение.
Найдемучастки возрастания и убывания функции
/>
Таккак />то
/> при />
/> при />
/> при />
Функция/> непрерывна на /> поэтому она возрастает наотрезке /> и убывает на промежутке /> Отсюда заключаем, чтоточка /> является точкой локальногомаксимума функции /> (рис.).
Таккак /> и /> то неравенство доказано.
3.10 Доказательствотождеств
Пример 1.
/>
Решение
Рассмотримфункцию
/>.
Прих=1 имеем />. Пусть />; тогда
/> и
/>
Поэтому/>следовательно, функция /> при /> является тождественноравной постоянной. Чтобы найти эту постоянную, вычислим, например, />; имеем:
/>.
Такимобразом, данное тождество доказано для всех />.
3.11. Решение уравнений
Пример 1.
/>
Решение
Переписавданное уравнение в виде
/>, заметим, что его корнями являютсяабсциссы точек пересечения или касания графиков функций /> и />.
Длявыяснения взаимного расположения графиков этих функций найдем их точкиэкстремумов.
Таккак />, то эта функция достигаетсвоего наименьшего значения, ровно 1, в точке х=1. Область существованияфункции /> состоит из всех х таких,что />. Так как
/>
то /> при />,
/> при />,
/> при />.
Таккак функция /> непрерывна на />, то отсюда заключаем, чтофункция /> возрастает на промежутке /> и убывает на промежутке />. Следовательно, точка х=1является наибольшим значением функции /> наее области существования.
Такимобразом, при любом />
/>,
/>.
Следовательноуравнение имеет один единственный корень х=1.
Взаимноерасположение графиков показано на рисунке.
3.12 Решение системуравнений
Пример 1.
Решитьсистему уравнений
/>
Решение.
Перепишемданную систему в виде
/>
Изпервого уравнения этой системы следует, что ее решениями могут быть такие парычисел (х,y), для каждого из которых y>0. Тогда этипары чисел должны удовлетворять неравенству х>y>0, что следуетиз второго уравнения системы. Пусть /> тогдаиз первого уравнения системы находим, что /> Подставляяво втором уравнении системы /> вместох и /> вместо y, получаем
/>
или
/>
Таккак
/>
тоуравнение /> имеет не более одногокорня. Нетрудно заметить, что число t=1 является корнем. Отсюда находим,что решением данной системы может быть только пара чисел х=2 и y=1.
3.13 Отбор кратных корнейуравнения
Применениепроизводной позволяет не только убедиться в существовании кратных корней (еслиони есть), но и дать способ отобрать все кратные корни, отделив их от простыхкорней. Имеет место следующее утверждение:
Наибольшийобщий делитель многочленов /> и /> имеет своими корнями лишькорни многочлена />, причем толькоте из них, которые имеют кратность не меньше 2. Каждый их этих кратных корнеймногочлена /> является корнемнаибольшего общего делителя кратности на единицу ниже. Простые корни многочлена/> не являются корняминаибольшего общего делителя многочленов /> и/>.
Отсюдавытекает следующее правило для нахождения кратных корней уравнения:
1.Находим />.
2.Находим наибольший общий делитель многочленов /> и/>.
3.Находим корни наибольшего общего делителя многочленов /> и />.
Каждыйиз найденных корней наибольшего общего делителя многочленов /> и /> является корнем многочлена/>, причем кратность этогокорня на единицу больше его кратности в наибольшем общем делителе.
Отметим,что если наибольший общий делитель многочленов /> и/> есть константа, тоуравнение />=0 не имеет кратных корней.
Пример 1.
Решитьуравнение
/>.
Решение.
Рассмотриммногочлен
/>
производнаякоторого равна
/>
Найдемнаибольший общий делитель многочленов /> и/>.
Имеем
/>
Рис.1.- наибольший общий делитель многочленов
Такимобразом, наибольший общий делитель многочленов /> и/> равен х-1 (с точностью допостоянного множителя).
Таккак х=1 является простым корнем наибольшего общего делителя, что число х=1будет двукратным корнем данного уравнения, и, значит, многочлен /> делится без остатка на /> Разделив /> на />, находим, что /> Следовательно, корниисходного уравнения- это числа /> и х=6 итолько они.
3.14 Вычисление пределовфункции с помощью правила Лопиталя
Раскрытиенеопределенностей типа /> и />. Пусть однозначные функции/> и /> дифференцируемы при /> причем производная /> не обращается в нуль.
Если /> и /> — обе бесконечно малые илибесконечно большие при />т.е. если частное/> представляет в точке х=/> неопределенность типа /> или />, то /> при условии, что пределотношения производных существует (правило Лопиталя). Правило применимо и вслучае, когда />.
Есличастное /> вновь даетнеопределенность в точке х=/> одногоиз двух упомянутых типов и /> и /> удовлетворяют всем требованиям,ранее сформулированным для /> и />, то можно перейти котношению вторых производных и т.д.
Пример 1.
/>
Пример 2.
Вычислить/> (неопределенность типа />
Приведядроби к общему знаменателю, получим:
/>(неопределенность типа />
Преждечем применить правило Лопиталя, заменим знаменатель последней дробиэквивалентной ему бесконечно малой />
Получим:
/> (неопределенность типа />
Поправилу Лопиталя
/>
Далее,элементарным путем находим:
/>
3.15 Решение физическихзадач, связанных с нахождением скорости, ускорения и т.д.
Пример 1.
Даноуравнение прямолинейного движения тела: />,где S- путь, пройденный телом, м; t- время, с.Найдите скорость тела в момент времени t=1 c.
Решение.
Скоростьэто производная пути по времени. Значит: />
Подставивзначение времени получим: />
Пример 2.
Точкадвижется по закону />. Найти скоростьи ускорение через 2 с после начала движения (движение считать прямолинейным).
Решение.
Скоростьэто производная пути по времени. Значит: />.
Подставивзначение времени получим />
Пример 3.
Телодвижется прямолинейно по закону /> Найтиего кинетическую энергию через 5 с после начала движения, если масса тела 3 кг.
Решение.
Формуланахождения кинетической энергии: />.
Найдемскорость тела. />, />.
Кинетическаяэнергия тела составит: />.
3.16 Решениеэкономических задач
Пример 1.
Выбратьоптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может бытьсмоделирована зависимостью:
π(q) = R(q) — C(q) = q2 — 8q + 10
Решение:
π'(q) = R'(q) — C'(q) = 2q — 8 = 0 → qextr = 4
При q
При q > qextr = 4 →π'(q) > 0 и прибыль возрастает
При q = 4 прибыльпринимает минимальное значение.
Какимже будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производитьза рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), тооптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход отсдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способнапроизводить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределесвоих производственных мощностей.
Пример 2.
Криваяспроса задана выражением />, где /> - объем продаж; /> - цена товара в условныхединицах. Объем продаж составляет 10 000. Определите, каким должно бытьизменение цены товара, чтобы объем продаж возрос на 1%.
Решение.
Определимцену />, соответствующую объемупродаж />
/>
Дляоценки изменения цены товара воспользуемся формулой приближенных вычислений /> По условию задачи /> составляет 1% от 10000 или10000/100=100. Найдем значение />
/>
Тогда /> Таким образом, дляувеличения объема продаж на 1% цена товара должна быть снижена приблизительнона 0,105 у.е.
3.17 Разложение функций вряд с помощью формулы Тейлора
1) Пустьфункция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ееокрестности производные порядка до (n+1) включительно.(Т.е. и всепредыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемыв этой окрестности).
2)Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х а.
Тогдамежду точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула:
/>
- этовыражение называется формулой Тейлора, а выражение:
/>
называетсяостаточным членом в форме Лагранжа.
При /> получаем формулуМаклорена:
/>
где />, />
Пример 1.
Многочлен/> разложить по целымположительным степеням бинома х-2.
Решение.
/>
Отсюда:/>
Следовательно,/> или
/>
Пример 2.
Функцию/> разложить по степенибинома х+1 до члена, содержащего />
Решение
/> для всех n, /> Следовательно ,
/> где />
Пример 3
Разложитьфункцию /> в ряд Маклорена.
Решение.
Какизвестно, этот интеграл нельзя выразить через элементарные функции. Дляотыскания разложения данного интеграла в ряд Маклорена необходимо разложитьподынтегральную функцию в степенной ряд, а затем почленно проинтегрировать(степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, лежащем внутри промежуткасходимости, поэтому его можно проинтегрировать почленно).
3.18 Задача олинеаризации функции
Повсей вероятности, исторически задача стояла так: «Написать уравнениекасательной к графику функции /> в точкес абсциссой />». Дело в том, что ученым(в частности вычислителям) надо было в случае довольно «громоздкой» зависимостимежду переменными заменить в окрестности некоторой точки эту зависимость болеепростой. А самой простой является линейная зависимость. Поэтому вместосформулированной выше задачи выдвинулись требования: «Заменить данную функциюлинейной функцией в окрестности точки />».Эта идея занимала Тейлора. В случае, если эта замена давала вычислителямбольшие погрешности, ставилась задача замены данной функции в окрестности точки/> квадратичной функцией,многочленом третьей степени, четвертой и т.д.- до тех пор, пока не получаласьнужная точность вычислений. Эта идея имеет простой геометрический смысл: призамене данной функции линейной в окрестности точки /> рассматриваетсякасательная />, при замене квадратичной-соприкасающаяся парабола, при замене многочленом третьей степени-соприкасающаяся кубическая парабола и т.д.
Заменаданной функции линейной получила название линеаризации. Поскольку не было явносформулировано понятие предела (это уже IX век), то наоснове интуиции бесконечно малые «более высоких порядков» просто отбрасывались.
Пример 1.
Заменитеданную функцию линейной вблизи нуля:
/>
Решение.
Если />, то /> так же стремятся к нулю,поэтому ими можно пренебречь, то есть отбросить. В результате получаем />
Пример 2.
Заменитеданную функцию линейной вблизи нуля:
/>
Решение.
Отбрасываемв числителе и знаменателе х в степени выше первой:/>
Умножимчислитель и знаменатель дроби на двучлен, сопряженный со знаменателем:
/>
Отбрасываемв числителе и знаменателе х в степени выше первой. Будем иметь
/> или />
Заключение
В ходенаписания работы были использованы такие ключевые понятия дифференциальногоисчисления как производная, дифференциал, геометрический и физический смыслпроизводной, касательная к графику функции и многое другое, которыеиспользуются для решения прикладных задач в математике, физике, экономике.
Цель данной работы — которые решаются с помощьюпроизводной.
Список использованнойлитературы:
1. ТерешинН.А., Терешина Т.Н. «2000 задач по алгебре и началам анализа. 10 кл./
-М.: Аквариум, К.:ГИППВ, 2000. 256 с. Стр.192-193; 216-217; 194; 200; 240.
2. Ф.Ф.Нагибин«Экстремумы»/- М. «Просвещение» 1966 г. Стр. 30-35.
3. Виленкин Н.Я.«Функция в природе и технике»: Кн. для внеклас. чтения IX-X кл. – 2-е изд.,испр. –М.: Просвещение, 1985. – 192 с. Стр.88; 94.
4. О.Н. Афанасьева«Сборник задач по математике для техникумов» — М.: Наука 1992.-208 с. Стр.84.
5. Н.В. Мирошин«Сборник задач с решениями для поступающих в вузы.» — М.: ООО «Издательство Астрель»2002.-832 с. Стр.496.
6. Вавилов В.В.«Задачи по математике. Начала анализа.»-М.: Наука.Гл. ред.физ.-мат.лит.,1990.-608 с. Стр. 411;412-413; 413-414; 416-417; 419-420; 432-433; 422; 423;424; 430; 365.
7. Мышкис А.Д.«Лекции по высшей математике» Изд. «Наука» 1967 г. Стр. 135.
8. Глейзер Г.И.«История математики в школе» — М.: Просвещение, 1983 г. Стр. 42.
9. ВолькенштейнВ.С. «Сборник задач по общему курсу физики» М., 1979 г.
10.«Математический энциклопедический словарь.»/Гл.ред. Ю.В.Прохоров.-М: Сов.энциклопедия,1988.-847 с.
11. «Задачник покурсу математического анализа». ч.II. Под ред. Н.Я.Виленкина.-М:«Просвещение», 1971.
12. «Задачи иупражнения по математическому анализу для втузов.»/Под ред. Б.П.Демидовича- М:Физматгиз, 1963 г. 472 стр.
13. «Элементывысшей математики»: сб. заданий для практ. занятий: Учеб. Пособие/С.В.Сочнев.-М: Высш.шк., 2003 г.- 192 с.