Введение
В настоящеевремя различные виды комплексных чисел изучаются довольно интенсивно. С учениемо комплексных числах связаны важные, не решённые до сегодняшнего дня задачи,над которыми работают учёные во многих странах.
Все системы самых общихкомплексных чисел фактически сводятся к следующим трём различным системам:обыкновенные комплексные числа, дуальные числа, двойные числа.
Обыкновенныекомплексные числа тесно связаны с вопросом о решении уравнений второй и высшихстепеней, они играют основную роль в алгебре и во многих разделахматематического анализа. Дуальные же и двойные числа не имеют никакогоотношения к теории квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и вообщесравнительно мало связаны с алгеброй. Основные применения эти числа находят вгеометрии (некоторые применения эти системы комплексных чисел находят также втеории чисел).
Основные применениядвойных чисел относятся к неевклидовой геометрии Лобачевского и к некоторымдругим геометриям, отличным от привычной геометрии Евклида (например, к такназываемой псевдоевклидовой геометрии, играющей фундаментальную роль вфизической теории относительности).
В нашей работе исследуютсядуальные и двойные числа, а также применение этих чисел в геометрии Евклида и вгеометрии Лобачевского.
Глава I. Определениедуальных и двойных чисел
1.1 Дуальные числа
Сложение, вычитание иумножение дуальных чисел определяется формулами:
/>(1)
Последняя из этих формулпоказывает, что произведение дуального числа /> надругое число /> будет вещественным лишь втом случае, когда />; если />, то последнее равенствоможно записать в виде />. Вещественным, вчастности, является произведение чисел /> и/>:
/>(2)
Число /> называют сопряжённым числу/> (и обратно, /> сопряжено />); корень квадратный /> из произведения /> (совпадающий с полусуммой /> сопряжённых чисел /> и />) называют модулемдуального числа /> и обозначаютчерез /> (отметим, что модульдуального числа может быть и отрицательным). Сумма /> двухсопряжённых чисел является вещественной; разность /> являетсячислом чисто мнимым (т.е. отличается от /> лишьвещественным множителем). Заметим ещё, что, в полной аналогии с обыкновеннымикомплексными числами, дуальное число /> тогда итолько тогда совпадает со своим сопряжённым />,когда оно является вещественным. Также и справедливые для комплексных чиселформулы (3)
/>, />,/>, /> (3)
полностью остаются в силедля дуальных чисел.
Правило деления надуальное число /> мы теперь можемзаписать так:
/>. (4)
Отсюда видно, что длявозможности деления на дуальное число /> необходимо,чтобы модуль /> этого числа был отличен отнуля; при этом, в противоположность обыкновенным комплексным числам, дуальноечисло нулевого модуля само может быть отличным от нуля. В тех случаях, когданевозможность деления на числа нулевого модуля явится для нас затруднением, мыбудем считать, что частные /> и /> являются числами новойприроды, которые условимся обозначать через /> и/>; введём также врассмотрение всевозможные числа вида />, где />/> вещественно. Тогда любоедуальное число будет иметь обратное:
/> при />;/>.
Правила действий надсимволом /> определяются следующимиформулами:
/>, />,/>, />, />, (5)
здесь /> — произвольное число,причём в среднем равенстве />, а вовтором и в двух последних />(/> в этих формулах может бытьи числом вида />); правиладействий над числами /> определяютсятак:
/>(6)
Положим ещё
/>, />;(6а)
тогда для расширенного(введением чисел />, />) множества дуальных чиселсохраняет силу равенство /> и всеправила (3).
Число /> нулевого модуля можнохарактеризовать тем, что существует отличное от нуля дуальное число />, равное />, произведение которого начисло /> равняется нулю:
/>. (7)
Поэтому эти числаназывают делителями нуля.
Дуальные числа ненулевогомодуля /> можно также записать вформе, близкой к тригонометрической форме комплексного числа:
/>. (8)
Здесь /> есть модуль числа />, а отношение /> называется аргументомэтого числа и обозначается через Argz(rможет быть произвольным вещественнымчислом, отличным от нуля; />-произвольным вещественным числом). Очевидно, что вещественные числа /> характеризуются равенствомнулю их аргумента; сопряжённые дуальные числа /> и/> имеют одинаковый модуль r и противоположные аргументы /> и />.
Форма (8)записи дуальных чисел очень удобна в тех случаях, когда эти числа приходитсяперемножать или делить. Действительно,
/>; (9)
следовательно, модуль произведениядвух дуальных чисел равен произведению модулей сомножителей[1],а аргумент произведения — сумме аргументов. Отсюда вытекает, что модульчастного двух дуальных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргументчастного – разности соответствующих аргументов:
/>. (10)
Наконец, из этих правил выводятсятакже и законы, позволяющие возвышать дуальное число в любую степень иизвлекать из него корень:
/> (11)
(из последней формулы вытекает, чтокорень нечётной степени из дуального числа при /> определяетсяоднозначно; корень же чётной степени не существует, если rr>0[2]).
1.2 Двойные числа
В полной аналогии со всем изложеннымвыше назовём двойные числа /> и /> сопряжёнными, если ониимеют вид
/> и />.
Сумма/> ипроизведение /> сопряжённых двойных чиселвещественны; корень квадратный из числа />,знак которого совпадает со знаком большего по абсолютной величине извещественных чисел aи b, называется модулем числа /> и обозначается через />. Легко проверить, что длядвойных чисел остаются в силе все формулы (3); кроме того, ясно, что равенство /> характеризует вещественныечисла />, а равенство /> - чисто мнимые числа />.
Сложение, вычитание, умножение иделение двойных чисел определяются формулами
/> (12)
Отсюда следует, что и здесь делениена /> возможно лишь в техслучаях, когда />. Двойные числа />, модуль которых равеннулю, называются делителями нуля (заметим, что />).В некоторых случаях оказывается удобным считать частные />, /> и /> числами новой природы; приэтом оказывается необходимым ещё расширить понятие двойного числа, введядополнительно произведения /> и /> новых чисел /> и /> на всевозможныевещественные числа cи частные /> и />. Правила действия надсимволами />, />, />, /> и /> определяются формулами (5)и рядом соотношений, родственных (6), например:
/> (13)
и т. д. Естественно также положить
/>, />,/>, />, (13а)
что обеспечит выполнение длярасширенного указанным образом множества двойных чисел равенства /> и всех соотношений (3).
Двойные числа ненулевого модуля можнотакже записать в форме, аналогичной форме (8) записи дуальных чисел. Пусть /> - модуль /> двойного числа; далее
/>.
Из определения модуля следует, что /> и что большая (поабсолютной величине) из дробей /> и /> положительна. Отсюдавытекает, что
/>, /> или/>, />, (14)
где /> естьнекоторое число (определённое формулами (14)), а /> и/> – гиперболический косинуси гиперболический синус аргумента />.
Таким образом, имеем
/> или />.(15)
величина /> называетсяаргументом двойного числа zи обозначается через Argz[3].
Форма (15) записи двойных чисел оченьудобна в тех случаях, когда приходится перемножать два или несколько двойныхчисел. Действительно, из формул сложения гиперболических функций следует, что
/> (16)
Таким образом, модуль произведениядвух двойных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргументпроизведения – сумме аргументов; при этом произведение имеет первую или вторуюиз форм (15) в зависимости от того, имеют ли сомножители одну и ту же илиразные формы. Из формул (16) сразу вытекают правила деления двойных чисел:
/>;
/>. (17)
Из формул (16) получаются такжеправила, позволяющие возводить двойное число в любую целую положительнуюстепень n и извлекать из него корень степени n:
/>,
/>
при
n нечётном,
при n чётном;
/>/>/>/>
/>/>/>
Глава II.
2.1 Дуальные числа какориентированные прямые плоскости.
Две ориентированные прямые будем называтьпараллельными лишь в том случае, если они параллельны в обычном смысле инаправления этих прямых совпадают (рис. 1, а); параллельные прямыепротивоположных направлений будем называть противопараллельными (рис. 1, б).
/>
а б
Рис. 1
Под расстоянием от прямой a до не пересекающей её прямой bбудем понимать ориентированное расстояние{a,b} от aдо b, т.е. ориентированное расстояние отпроизвольной точки прямой aдо прямой b; очевидно, что {a,b}=-{b,a}, если aиb параллельны, и {a,b}={b,a}, если a и bпротивопараллельны.
Полярные координаты точек плоскостиопределяются заданием некоторой точки O (полюса системы координат) и проходящей через O ориентированной прямойo (полярной оси); координатами точки M служат расстояние r=OM этой точки от полюса и угол />={o,m}, образованный с oориентированной прямой m, соединяющей OиM. Аналогичноэтому можно определить полярные координаты ориентированных прямых плоскости,для задания которых надо также указать некоторую ориентированную прямую o (полярную ось) и лежащую на o точку O (полюс); координатами прямой l служат угол />={o,l}, образованный l с полярной осью o, и ориентированное расстояние s={O,L} от O до точки L пересечения lиo (рис. 2, а). Очевидно, что координатаs ориентированной прямой lможет иметь любое значение,заключённое между /> и />; координата /> – любое значение,заключённое между 0 и 2/>. Естественносчитать, что />=0 для прямых, параллельныхполярной оси o, и />=/> для прямых,противопараллельных o;если прямая не пересекает оси o,то координаты sона не имеет (можносчитать, что в этом случае />).
/>/>/>/>
/>
Условимся сопоставлятьориентированной прямой lс полярными координатами /> и sдуальное число
/>, />,/> (19)
(рис. 2). При этом параллельным o прямым, для которых />=0, естественно относитьчисла нулевого модуля, т.е. делители нуля />.Чтобы установить точное соответствие между параллельными o прямыми и делителями нуля, заметим,что расстояние d={O,l} не параллельной o прямой l от полюса O равно
/> (20)
(рис. 2, а). Чтобы формула (20)сохранила силу и для параллельной o прямой m, отстоящейот o на расстоянии {o,m}=d, то этой прямой нужно сопоставить число
/> (т.е. />,где u=0 и />).
Двум пересекающим o прямым lи l/>, отличающимся только направлением и,следовательно, имеющим полярные координаты (/>)и (/>), отвечают дуальные числа
/>
и
/>.
Считая, что это соотношение сохраняетсилу и для прямых, не пересекающих o, условимся относить противопараллельной o прямой m/>, отстоящей от o на расстоянии {o,m/>}=d/>, число
/>
(заметим, что если расстояние {o,m} от oдо параллельной o прямой m, совпадающей по положению наплоскости с прямой m/>, равно d, то d=-d/>). Прямой o/>, отличающейся только направлением отполярной оси o(противооси), мы сопоставим число />.
Тем самым мы устанавливаем полноесоответствие между ориентированными прямыми плоскости и дуальными числами,включая сюда также и числа вида w/>, где w/>0 вещественно, и число />.
Очевидно, что вещественным числам /> отвечают проходящие черезполюс O прямые; числам модуля 1 –перпендикулярные o прямые;чисто мнимым числам v/> (числам нулевого модуля) и числам бесконечного модуляw/> отвечают параллельные ипротивопараллельные оси oпрямые. Сопряжённым числам /> и /> отвечают прямыесимметричные относительно полюса O; противоположным числам /> и /> – прямые, симметричныеотносительно полярной оси o (т.е.прямые, пересекающие oв одной и той же точке Lи образующие сoравные углы />{o,z}=/>{-z,o}; см. рис. 2, б); числам z и /> отвечаютпрямые, отличающиеся только направлением. Таким образом, равенства
/> (а), /> (б),/>(в) (21)
можно понимать как записиопределённых преобразований в множестве ориентированных прямых плоскости:симметрии относительно точки O,симметрии относительно прямой oи переориентации (изменения направления всех прямых плоскости напротивоположное).
Выясним теперь, как записываются спомощью дуальных чисел произвольные движения (к числу которых отнесём ипереориентацию, также не меняющую расстояний между точками плоскости).
/>
Параллельный перенос вдоль o на расстояние t переводит прямую, которой отвечаетдуальное число
/>,
в прямую, которой отвечает число
/>
(рис. 3, а). Отсюда вытекает, чтоэтот параллельный перенос можно записать так:
/>, где />,/> (22)
(т.к. />).
Параллельный перенос на расстояние t/> в направлении, перпендикулярном o, переводит прямую
/>
в прямую
/>
(рис. 3, б). Но
/>
/>.
Последнюю формулу можно записать вболее изящном виде. Заметим, что
/>;
таким образом, рассматриваемыйпараллельный перенос записывается формулой
/>, где />,/>. (22, а)
Отсюда вытекает, что произвольныйпараллельный перенос, т.е. перенос на расстояние t/> в направлении o и на расстояние t/> в направлении l/>o, записывается формулой
/>, />,/>,
или, если ввести обозначение /> (т.е. />) и воспользоваться тем,что />, />, />, формулой
/>, (23)
где />,/>, />, />.
Перейдём теперь к вращениямплоскости. Очевидно, что поворот вокруг O на угол /> переводитпрямую /> в прямую />, где /> (рис. 4). Таким образом,
/>
/> (24)
(здесь используется то, что если z/> иz/>– дуальные числа, то />,/> и />). Далее, если dиd′– расстояния прямых zиz′ отполюса, то
/>
поэтому
/>.
С другой стороны, поскольку />, то
/>/>
/>
/>. (24а)
Из (24) и (24а) следует, что нашевращение записывается формулой
/>, (25)
где />,/>.
Наконец, самое общее движениепредставляет собой поворот (25) вокруг O на некоторый угол />,причём это вращение может сопровождаться ещё параллельным переносом (33):
/>.
В другом виде это преобразованиеможно записать так:
/>, (26а)
где />,/>.
Возможно, также, что исходноедвижение представляет собой симметрию (21б) относительно прямой o, сопровождаемую преобразованием(36а) (вращением вокруг Oи параллельным переносом):
/>. (26б)
Наконец, движение может представлятьсобой переориентацию (21в), сопровождаемую одним из преобразований (36а) или(36б):
/>, (26в)
где />,/>, или
/>, (26г)
где />,/>.
Очевидно, что ориентированный угол />{/>} между прямыми /> и /> равен /> (рис. 5, а)
/>
Это можно записать так:
/>.
Полученный результат можно такжепредставить в следующей симметричной форме:
/>. (27)
Найдём теперь ориентированноерасстояние d={[/>],[/>]} между точками [/>] и [/>] пересечения определённойпрямой /> с двумя другими прямыми /> и /> (рис. 5, б). Очевидно, чторасстояние d/> между точками пересечения прямой o с прямыми /> и /> равно
/>.
Пример движения, переводящего даннуюпрямую /> в прямую o, даётся формулой
/>;
это движение переводит прямые /> и /> в прямые /> и />. Отсюда получаем
/>.(28)
Условием того, что прямые />, /> и /> пересекаются в однойточке, является равенство нулю расстояния между точками пересечения /> и /> с />, т.е., в силу формулы(28), вещественность отношения />.
Это условие можно переписать ещё так:
/>. (29)
Следовательно, “уравнение точки”,т.е. условие, которому удовлетворяют прямые />,проходящие через одну точку [/>], имеетвид
/>,
или
/>, A– чисто мнимое (30)
(здесь />, />).
Найдём теперь условие того, чточетыре ориентированные точки />, />, /> и /> принадлежат однойориентированной окружности. При этом под ориентированной окружностью мы здесьпонимаем совокупность всех ориентированных прямых l, ориентированное расстояние {O,l} которых от данной точки O (центра окружности) имеет фиксированное значение r. Число r называется радиусом окружности; таким образом, радиусориентированной окружности может быть как положительным, так и отрицательным.Из определения ориентированного расстояния {O,l} от точки O до прямой l следует, что радиус ориентированной окружности будетположительным, если направление обхода противоположно направлению вращениячасовой стрелки, и отрицательным в противном случае.
Можно показать, что четыреориентированные прямые />, />, /> и /> в том и только в томслучае принадлежат одной ориентированной окружности или проходят через однуточку, если
{[/>/>],[/>/>]}/>{[/>/>],[/>/>]}={[/>/>],[/>/>]}/>{[/>/>],[/>/>]}.(31)
Чтобы убедиться в этом, рассмотримрис. 33, на котором изображены четыре ориентированные касательные />, />, /> и /> ориентированной окружностиS, касающиеся S соответственно в точках M,N,PиQ; точки [/>/>], [/>/>], [/>/>]и [/>/>] обозначены через A, B, CиD. При этом, очевидно, имеем
{A,B}/>{C,D}={A,P}/>{P,B}/>{C,Q}/>{Q,D}
и
{D,A}/>{B,C}={D,M}/>{M,A}/>{B,N}/>{N,C}
В силу известного свойствакасательных к окружности
{A,P}={M,A}, {P,B}={B,N},{C,Q}={N,C}, {Q,D}={D,M},
значит, во всех случаях выполняетсяусловие (31)
{A,B}/>{C,D}={D,A}/>{B,C}.
Нетрудно убедиться и в том, что еслиравенство (31) имеет место, то четыре прямые />,/>, /> и /> принадлежат однойориентированной окружности или проходят через одну точку.
Воспользовавшись теперь формулой(28), мы можем переписать условие (31) следующим образом:
/>
/>,
или, несколько упростив левую частьпоследнего равенства и преобразовав правую,
/>
/>.
Но
/>/>
и
/>/>
(т.к. /> и />)
Таким образом, равенство (31) можнопереписать в следующей простой форме:
/>/>. (32)
Дуальное число /> естественно называтьдвойным отношением четырёх прямых />, />, /> и />; обозначать его будемсимволом W(/>,/>,/>,/>). Таким образом, условиемтого, что четыре прямые />, />, /> и /> принадлежат однойориентированной окружности (ненулевого радиуса или окружности радиуса нуль –точке), является вещественность двойного отношения W(/>,/>,/>,/>)=/> этих четырёх прямых.
Последнему условию можно придать вид:
/>=/>, (33)
откуда вытекает, что уравнениеориентированной окружности (которая в частном случае может оказаться и точкой),определяемой тремя данными прямыми />, />, /> и />, имеет вид
/>=/>. (34)
Таким образом, уравнение каждойориентированной окружности (или точки) можно записать в форме (35):
/>, A иC – чисто мнимые. (35)
Нетрудно проверить, что и, обратно,уравнение (35) всегда выражает окружность (или точку).
Прямую уравнение (35) выражает при
/>. (36)
2.2 Двойные числакак ориентированные прямые плоскости Лобачевского
В полной аналогии с пунктом 2.1ориентированным прямым плоскости Лобачевского можно сопоставить двойные числа.А именно, введём, как в пункте 2.1, полярную систему координат для прямых иотнесём каждой пересекающей полярную ось o ориентированной прямой l, имеющей полярные координаты />, s, двойное число
/>, (37)
а расходящейся с oпрямой m, направленной в ту же сторону, что и o от их общего перпендикуляра PQ, – число
/>, (37а)
где d={m,o}={P,Q}– кратчайшее ориентированное расстояние между прямыми mи o, т.е. ориентированное расстояние от o проекции P на прямую m общего перпендикуляра прямых mи o, s’={O,Q} – ориентированное расстояние от полюса O системы координат до проекции Q общего перпендикуляра на o (рис. 6).
/>
Далее, так как из формулы (37)вытекает, что двум пересекающим o прямым lи l/>, отличающимся только направлением,соответствуют двойные числа
/>
и
/>,
то прямой m/>, отличающейся только направлением ототвечающей числу (37а) расходящейся с o прямой m, сопоставим число
/>. (37б)
Прямые, параллельные оси o, можно рассматривать как предельныйслучай пересекающих oпрямых, отвечающий равенству нулю угла />,или как предельный случай расходящихся с o прямых, отвечающий равенству нулю расстояний d. Так как из формул (37) и (37а) следует, что />, соответственно />, то естественно отнестипараллельным o прямым,направленным в ту же сторону, что и o, делители нуля, т.е. числа вида />. При этом прямым,параллельным o вположительном или отрицательном направлении, отвечают числа />, для которых /> или />, т.к. из (37) и (37а)вытекает, что соотношение /> равносильноравенству /> или />, а соотношение /> – равенству /> или />. Из формул неевклидовойтригонометрии следует, что ориентированное расстояние p={O,l}от полюса O до пересекающей o прямой l (рис. 6), отвечающей двойному числу />, находится из соотношения
/>. (38)
Поэтому двум параллельным o прямым n иn',удалённым от O нарасстояние {O, n}={O, n'}=p, надо отнести числа /> (где />), для которых />, т.е. числа
/> и />.
Наконец, исходя из соотношения />, связывающего двойныечисла zи z/>, отвечающие пересекающим ось o или расходящимся с o прямым, отличающимся одна от другойлишь направлением, сопоставим противопараллельным o прямым n/> и n/> (т.е. прямым, параллельным o и противоположно направленным),удалённым от O нарасстояние {O, n/>}={O,n/>}=p/>, числа
/> и />,
где /> и/> – числа, обратныеделителям нуля: />, /> (если n и n/> – две прямые, отличающиеся тольконаправлением, то p={O, n}=–{O, n/>}=–p/>). Полярной оси o и противооси o/> (т.е. прямой, отличающейся от o только направлением) сопоставимчисла 0 и ∞.
Пока у нас не отвечают никаким прямымтакие двойные числа z,что /> (т.к. /> и /> ни при каком d).
Чтобы распространить соответствиемежду прямыми плоскости Лобачевского и двойными числами на все числа, введём врассмотрение бесконечно удалённые прямые плоскости Лобачевского, которые можнопредставить, как касательные к абсолюту /> моделиКлейна (рис. 7). Эти прямые не имеют ориентации.
/>
Такая прямая k, не параллельная o (т.е. отличная от касательных к /> в точках пересечения /> с o), характеризуется тем, что d={k,o}=/>; при этом следует считать,что d=/>,если отвечающая k бесконечноудалённая точка S плоскостиЛобачевского расположена справа от o, и d=–/> впротивном случае. Общим перпендикуляром k и oестественно считать прямую SQ,перпендикулярную o; при этомвеличина s'={O,Q} может принимать любое значение исоответственно этому каждому двойному числу />,такому, что />, можно сопоставитьопределённую бесконечно удалённую прямую k. Бесконечно удалённым прямым i/> и i/>, параллельным o (рис. 7), сопоставим числа /> и />.
Таким образом, установлено взаимнооднозначное соответствие между множеством ориентированных и бесконечноудалённых прямых плоскости Лобачевского и множеством двойных чисел (дополненнымчислами />, />, />, /> и />). При этом прямые l, пересекающие полярную ось o, отвечают двойным числам />, для которых />, т.е. числам, изображаемымна (u,v)‑плоскости точками области, помеченной на рис.8 цифрой I. Прямые m, расходящиеся с o и направленные в ту же сторону, что и o, от общего перпендикуляра o и m, отвечают числам z, для которых />,т.е. числам, изображаемым на рис. 8 точками области II. Расходящиеся с o прямые m/>, направленные в противоположную посравнению с o сторону отобщего перпендикуляра m/> и o, отвечают числам z, для которых />,т.е. числам, изображаемым точками области III. Наконец, параллельные o прямые n отвечают числам нулевого модуля, изображаемым двумя прямыми />, а противопараллельные o прямые n/> отвечают числам />, /> (эти числа не имеютизображений на (u,v)‑плоскости); бесконечноудалённые прямые k отвечаюттаким числам z, что />, т.е. числам, изображаемым точками гиперболы />, и ещё двум числам />, />.
Очевидно, что как и в случаеевклидовой плоскости, соотношения
/> (а), /> (б),/>(в) (21)
выражают симметрию относительно точкиO, симметрию относительно прямой o и переориентацию (изменениенаправлений всех прямых на обратное). Произвольные движения, как можнопоказать, выражаются здесь теми же формулами, что и в евклидовом случае:
/>, или />,или />, или />;
только в качестве переменных z', zикоэффициентов P, Q здесь фигурируют не дуальные, адвойные числа, в связи с чем следует дополнительно потребовать, чтобы выражение/> было положительно (если P и Q – дуальные числа, то последнее условие выполняетсяавтоматически, т.к. произведения /> и /> не могут бытьотрицательны). Также и ориентированный угол />{z/>, z/>} между прямыми z/> и z/> и ориентированное расстояние d={[z/> z/>],[z/> z/>]} между точками пересечения прямых z/> и z/> с прямой z/> определяются формулами (27) и (28):
/>, (27)
/>. (28)
Из (28) следует, что условием того,что три прямые z/>, z/> и z/> пересекаются в одной точке, являетсявещественность отношения />.Отсюда вытекает, что уравнение точки неевклидовой геометрии Лобачевского имеетвид
/>, A– чисто мнимое. (30)
Циклом множества ориентированных ибесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского следует называть:
а)–в) совокупность прямых, касающихсяориентированного цикла, т.е. окружности, предельной линии или эквидистанты;
г) пучок равного наклона, т.е. пучоквсех ориентированных прямых, образующих постоянный ориентированный угол сфиксированной осью пучка;
д) параллельный пучок, т.е. пучоквсех прямых, параллельных в обоих направлениях фиксированной оси пучка;
е) неориентированную бесконечноудалённую окружность />.
При таком понимании термина цикл мыполучаем, что необходимым и достаточным условием того, что четыреориентированные прямые z/>, z/>, z/> и z/> плоскости Лобачевского принадлежатодному циклу, является вещественность двойного отношения /> этих четырёх прямых.Отсюда снова вытекает, что уравнение каждого цикла можно записать в форме:
/>, A иC – чисто мнимые. (35)
Чтобы решить, является ли цикл (35)окружностью, предельной линией, эквидистантой, параллельным пучком или пучкомпостоянного наклона, надо выяснить, сколько общих прямых имеет этот цикл сбесконечно удалённой окружностью (абсолютом) /> (т.е.сколько решений имеет система />, />) и будет ли вещественнымили мнимым угол (27) между двумя соседними прямыми цикла. Воспользовавшисьэтим, получаем:
цикл (35) является окружностью, если
/>, /> (39а)
цикл (35) является предельной линией,если
/>, />,/> (39б)
является эквидистантой, если
/>, /> (39в)
параллельным пучком, если
/> (39г)
пучком равного наклона, если
/> (39д)
цикл (35) представляет собой абсолют />, если
/>, /> (39е)
Точку (обыкновенную, бесконечноудалённую или идеальную) уравнение (35) выражает в том случае, если имеет местосоотношение:
/>. (36)
Заключение
дуальное число модульсопряженный
В нашей работе мы определили операциисложения, вычитания и умножения для дуальных чисел, дали определение модуля исопряжённого числа, вывели правило деления на дуальное число, расширивмножество дуальных чисел, ввели определение делителя нуля, представили записьдуального числа в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа,и вывели законы, позволяющие возводить дуальное число в любую целуюположительную степень n и извлекать из него корень степени n. Аналогичным образом определилидвойные числа и действия над ними. Введя на плоскости полярную систему координат,установили полное соответствие между ориентированными прямыми плоскости идуальными числами, с помощью дуальных чисел записали все виды движений, нашлиусловие того, что четыре ориентированные точки принадлежат однойориентированной окружности, и, пользуясь этим условием, вывели уравнениеориентированной окружности. В полной аналогии с изложенным выше установиливзаимно однозначное соответствие между множеством ориентированных и бесконечноудалённых прямых плоскости Лобачевского и множеством двойных чисел и вывелиформулы для записи движений. Также мы дали определение цикла множестваориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и получилинеобходимое и достаточное условие принадлежности одному циклу четырёх прямыхплоскости Лобачевского.
Эти результаты могут быть приложены кдоказательству многих теорем евклидовой геометрии и неевклидовой геометрииЛобачевского. При этом использование дуальных и двойных чисел во многомупрощает доказательство различных теорем.
Литература
Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. –М.: Физматгиз, 1963
Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения.– М.: Наука, 1979