Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф.Скорины»
Математический факультет
Дипломная работа
Максимальные факторизации симплектических групп
Исполнитель:
Студенткагруппы М-32
МакаренкоЛ.А.
Научныйруководитель:
Канд.физ-мат. наук, доцент
СафоновВ.Г.
Гомель 2006
Оглавление
Введение
Перечень условных обозначений
Основные понятия
Изометрии
Проективные преобразования
Структурные теоремы. Порядкисимплектических групп
Центры
Коммутанты
Теоремы о простоте
Основные результаты
Заключение
Список использованных источников
Введение
Говорят,что конечная группа /> допускаетфакторизацию, если /> для некоторыхподгрупп /> и /> группы />. При этом возникают двезадачи: какие факторизации допускает заданная группа /> и как строение сомножителей/> и /> влияет на строение самойгруппы />. Естественно, что изучениеконечных групп, обладающих факторизацией, дает возможность глубже понятьстроение конечной группы. Данная тематика изучалась такими видными математикамикак Ф. Холл, С.А. Чунихин, Х. Виландт, Л.С. Казарин, Д.И. Зайцев, С.А. Сыскин идр. Ими был доказан ряд глубоких результатов в теории конечных групп.Аналогичные задачи возникают и в других разделах математики (например, валгебрах Ли).
Послезавершения классификации конечных простых неабелевых групп актуальной сталазадача получения факторизаций конкретных простых неабелевых групп и, вчастности, простых групп лиевского типа малого лиевского ранга. Данные вопросырассматривались Н. Ито, который получил все факторизации линейных групплиевского ранга 1 над конечным полем Галуа, а также С. Блаумом, описавшимфакторизации линейных и унитарных групп размерности 3.
Вдипломной работе рассмотрены факторизации четырехмерных симплектических групп.Для таких групп найдены все максимальные факторизации.
Перечень условныхобозначений
Вработе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Буквами /> обозначаются простыечисла.
Будемразличать знак включения множеств /> и знакстрогого включения />;
/> и /> - соответственно знакипересечения и объединения множеств;
/> - мощностьмножества />;
/> - пустоемножество;
/> - множествовсех простых чисел;
/> - некотороемножество простых чисел, т.е. />;
/> - дополнение к /> во множестве всех простыхчисел; в частности, />;
Пусть/> - группа. Тогда:
/> - порядокгруппы />;
/> - порядокэлемента /> группы />;
/> - единичныйэлемент и единичная подгруппа группы />;
/> - множествовсех простых делителей порядка группы />;
/> - множествовсех различных простых делителей натурального числа />;
/>-группа — группа/>, для которой />;
/>-группа — группа/>, для которой />;
/> - подгруппаФраттини группы />, т.е.пересечение всех максимальных подгрупп />;
/> - наибольшаянормальная разрешимая подгруппа группы />;
/> - наибольшаянормальная />--подгруппа группы />;
/> - наибольшаянормальная />--подгруппа группы />;
/> - />--холловская подгруппагруппы />;
/> - силовская />--подгруппа группы />;
/> - дополнение ксиловской />--подгруппе в группе />, т.е. />--холловская подгруппагруппы />;
/> - /> является подгруппой группы/>;
/> - /> является собственнойподгруппой группы />;
/> - /> является максимальнойподгруппой группы />;
/> - /> является нормальнойподгруппой группы />;
/> - /> является минимальнойнормальной подгруппой группы />;
/> - индексподгруппы /> в группе />;
/>;
/> - централизаторподгруппы /> в группе />;
/> - нормализаторподгруппы /> в группе />;
/> - центр группы />;
/> - циклическаягруппа порядка />;
Если/>, то />.
Если/>, />, то />.
Классыгрупп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов,обозначаются прописными готическими буквами. За некоторыми классами закрепленыстандартные обозначения:
/> - класс всехсверхразрешимых групп;
/> - класс всехразрешимых групп.
Основные понятия
Группойназывается непустое множество /> сбинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующимтребованием:
1)операция определена на />, т.е. /> для всех />;
2)операция ассоциативна, т.е. /> длялюбых />;
3)в /> существует единичныйэлемент, т.е. такой элемент />, что /> для всех />, что /> для всех />;
4)каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого /> существуеттакой элемент />, что />.
Болеекратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным,называется группой.
Группус коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.Если /> - конечное множество,являющиеся группой, то /> называют конечнойгруппой, а число /> элементов в /> - порядком группы />.
Подмножество/> группы /> называется подгруппой,если /> - группа относительно тойже операции, которая определена на />. Запись/> означает, что /> - подгруппа группы />, а /> - что /> - собственная подгруппагруппы />, т.е. /> и />.
Теорема Непустоеподмножество /> группы /> будет подгруппой тогда итолько тогда, когда /> и /> для всех />.
Пусть/> - непустое подмножествогруппы />. Совокупность всехэлементов группы />, перестановочныхс каждым элементом множества />,называется централизатором множества /> вгруппе /> и обозначается через />.
Лемма 1.Если /> - подмножество группы />, то централизатор /> является подгруппой.
2.Если /> и /> - подмножество группы /> и />, то />.
3.Если /> - подмножество группы /> и />, то />.
Центромгруппы /> называетсясовокупность всех элементов из />,перестановочных с каждым элементом группы. Центр обозначается через />. Ясно, что />, т.е. центр группы /> совпадает сцентрализатором подмножества /> вгруппе />. Кроме того, />.
Зафиксируемв группе /> элемент />. Пересечение всех подгруппгруппы />, содержащих элемент />, назовем циклическойподгруппой, порожденной элементом />, иобозначим через />.
Теорема Циклическаяподгрупппа />, порожденная элементом />, состоит из всевозможныхцелых степеней элемента />, т.е. />.
Следствие Циклическаяподгруппа абелева.
Пусть/> - элемент группы />. Если все степени элемента/> различны, т.е. /> для всех целых />, то говорят, что элемента /> имеет бесконечныйпорядок.
Если/> - непустое подмножествогруппы /> и /> то /> и />. Элемент /> называется перестановочнымс подмножеством />, если />. Равенство /> означает, что для любогоэлемента /> существует такой элемент />, что />. Если элемент /> перестановочен сподмножеством />, то /> и />. Совокупность всехэлементов группы />, перестановочныхс подмножеством />, называется нормализаторомподмножества /> в группе /> и обозначается через />. Итак,
/>
ЛеммаПусть/> - непустое подмножествогруппы />, /> - произвольный элементгруппы />. Тогда:
1)/>;
2)/>;
3)/>;
4)/>;
5)если /> - подгруппа группы />, то />.
Подгруппа/> называется нормальнойподгруппой группы />, если /> для всех />. Запись /> читается: "/> - нормальная подгруппа группы/>". Равенство /> означает, что для любогоэлемента /> существует элемент /> такой, что />.
Теорема Дляподгруппы /> группы /> следующие утвержденияэквивалентны:
1)/> - нормальная подгруппа;
2)подгруппа /> вместе с каждым своимэлементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. /> для всех />;
3)подгруппа /> совпадает с каждой своейсопряженной подгруппой, т.е. /> длявсех />.
Лемма Пусть/> - подгруппа группы />. Тогда:
1)/>;
2)если /> и />, то />;
3)/> - наибольшая подгруппагруппы />, в которой /> нормальна;
4)если />, то />. Обратно, если />, то />;
5)/> для любого непустогоподмножества /> группы />.
Вкаждой группе /> тривиальныеподгруппы (единичная подгруппа /> и самагруппа />) являются нормальнымиподгруппами. Если в неединичной группе /> нетдругих нормальных подгрупп, то группа /> называетсяпростой. Единичную группу /> считаютнепростой.
ИзометрииЗнакопеременные пространства
Векторноепространство /> над полем /> называется знакопеременным,если на нем задана знакопеременная билинейная форма />, т. е. отображение /> со следующими свойствами:
/>
/>
/>
/>
длявсех />, />, /> из /> и всех /> из />. Отметим следствие этихсоотношений:
/>
Если/> - знакопеременная форма и /> - произвольный элемент из />, то отображение />, определенное формулой />, также знакопеременно, исложный объект, являющийся исходным векторным пространством /> с этой новой формой />, будет знакопеременнымпространством, которое мы обозначим через />.
Представлениезнакопеременного пространства /> взнакопеременное пространство /> (обанад полем /> и с формами, обозначаемымичерез />) есть по определениюлинейное преобразование /> пространства/> в />, такое, что /> для всех />, />. Инъективное представлениеназывается изометрией /> в />. Пространства /> и /> называются изометричными,если существует изометрия /> на />. Пусть /> обозначает представление, /> - изометрию ``в'', а /> или /> - изометрию ``на''.Очевидно, что композиция двух изометрии — изометрия и преобразование, обратноек изометрии, — также изометрия. В частности, множество изометрий пространства /> на себя являетсяподгруппой общей линейной группы /> абстрактноговекторного пространства />; онаназывается симплектической группой знакопеременного пространства /> и обозначается через />. Для любого ненулевогоэлемента /> из /> имеем />.
Предложение Пусть/> - линейное преобразованиезнакопеременного пространства /> взнакопеременное пространство />.Предположим, что существует база /> пространства/>, такая, что /> для всех />, />. Тогда /> — представление.
Доказательство.Это тривиально следует из определений.
Каждомузнакопеременному пространству /> сознакопеременной формой /> сопоставимотображения /> и /> пространства /> в сопряженное пространство/> (/> рассматривается какабстрактное векторное пространство над />).По определению отображение /> сопоставляетпроизвольному элементу /> из /> линейный функционал />, определенный формулой />, а /> переводит /> в />. Легко проверяется, что /> и /> являются линейнымипреобразованиями.
/> - матрица /> над /> называется кососимметрической,если />, и знакопеременной,если /> и на главной диагоналистоят нули. Таким образом, знакопеременные матрицы являютсякососимметрическими. Обратно, кососимметрические матрицы являютсязнакопеременными, если характеристика поля /> неравна />. Рассмотримзнакопеременное пространство />. Мыможем ассоциировать с базой /> пространства/> матрицу, у которой наместе /> стоит />. Назовем /> матрицейзнакопеременного пространства /> в базе /> и будем писать
/>
Еслисуществует хотя бы одна база, в которой /> имеетматрицу />, то будем писать />. Матрица />, ассоциированная сознакопеременным пространством /> указаннымспособом, является, очевидно, знакопеременной. Что происходит при изменениибазы? Предположим, что /> в базе /> и /> - матрица перехода отпервой базы ко второй, т. е.
/>
Тогда
/>
откудавидно, что изменение матрицы пространства /> приизменении базы описывается соотношением />.
Если/> - абстрактное векторноепространство с базой /> и /> - произвольнаязнакопеременная />-матрица над />, то существуетединственный способ превратить /> взнакопеременное пространство, такое, что /> в/>, а именно, положить
/>
где/> - элемент, стоящий вматрице /> на месте />.
ПредложениеПредположим,что /> - знакопеременноепространство, /> - его база и /> в />. Тогда матричныйизоморфизм, определенный базой />,отображает /> на группу всех обратимых />-матриц /> над />, удовлетворяющихсоотношению
/>
Дискриминантом/> векторов /> в знакопеременномпространстве /> называется определитель
/>
Вчастности, если /> - базапространства /> и /> в этой базе, то
/>
Если/> - другая база, тосоотношение /> показывает, что
/>
длянекоторого /> из />. Следовательно,канонический образ элемента /> в /> не зависит от базы; онназывается дискриминантом знакопеременного пространства /> и обозначается через />. Здесь множество /> определяется очевиднымобразом: берем факторгруппу />,присоединяем к ней нуль 0 и полагаем, что произведение нуля и любого другогоэлемента равно нулю. Запись />, где />, будет обозначать, что /> равно каноническому образуэлемента /> в /> или, другими словами, что /> обладает базой />, для которой />. Если />, то полагаем />.
ПримерРассмотримзнакопеременное пространство /> сознакопеременной формой />. Пусть /> - его база, а /> - сопряженная базасопряженного пространства />. Пусть /> в />. Тогда />. Легко видеть, что матрицалинейного преобразования />,определенного ранее, относительно баз /> и/> равна />; действительно, если />, то
/>
Аналогичноматрица преобразования /> относительно баз/> и /> равна />.
Предложение Любые/> векторов /> знакопеременногопространства />, такие, что />, линейно независимы.
Доказательство.Зависимость /> влечет за собой /> для />. Это означает зависимостьмежду строками матрицы />, что невозможно,так как дискриминант не равен 0.
ПредложениеСледующие утверждения для знакопеременного пространства /> равносильны:
•/>,
•/>,
•/>,
•/> биективно,
•/> биективно.
Доказательство.Можно считать, что />. Зафиксируембазу /> пространства />, и пусть /> - сопряженная база. Пусть /> в />. Ввиду (??)
/>
/>
/> обратима />
/> биективно,
поэтому(3) равносильно (5). Аналогично (3) равносильно (4). Далее
/> биективно
/>
/>
/>
/>
/>,
такчто (5) равносильно (2). Наконец, очевидно, что (2) равносильно (1).
ОпределениеЗнакопеременноепространство /> называется регулярным,если оно удовлетворяет одному из пяти равносильных условий (??).Знакопеременное пространство /> называетсявырожденным, если оно не является регулярным. Наконец, оно называется вполневырожденным, если />.
Если/>, то /> регулярно. Если />, то ввиду (??) и (??)
/>
Предложение Пусть/> - представлениезнакопеременных пространств. Если /> регулярно,то /> - изометрия.
Доказательство.Возьмем /> из ядра представления />. Тогда />. Отсюда ввиду регулярностипространства /> получаем, что />.
ПредложениеКаждойбазе /> регулярногознакопеременного пространства /> соответствуетединственная база /> этогопространства, называемая сопряженной к /> относительно/> и такая, что /> для всех />, />. Если /> в /> и /> в />, то />.
Доказательство.1) Положим /> для />, где /> - сопряженная к /> база сопряженногопространства />. Тогда /> - база, так как /> биективно. Кроме того,
/>
Этимдоказано существование базы />.Единственность непосредственно следует из регулярности.
2)Пусть />. Тогда /> и
/>
Отсюда/>, так что /> и />.
Рассмотримзнакопеременное пространство /> сознакопеременной формой />. Будем говорить,что /> имеет ортогональноеразложение
/>
наподпространства /> если оноявляется прямой суммой /> спопарно ортогональными />, т. е. /> при />. Назовем /> компонентами этогоортогонального разложения. Будем говорить, что подпространство /> расщепляет /> или что /> является компонентойпространства />, если существуетподпространство /> пространства />, такое, что />. Имеем
/>
гдепроизведение берется в />.
Рассмотримдва знакопеременных пространства /> и /> над одним и тем же полем /> и предположим, что имеетсяортогональное разложение />, а /> - сумма пространств />, />, причем /> при />. Пусть для каждого />, />, задано представление />. Тогда, как известно излинейной алгебры, существует единственное линейное преобразование />, согласующееся с каждым /> на />. На самом деле легкопроверить, что /> - представление.Мы будем записывать его в виде
/>
Важнымявляется случай, когда />, /> для всех /> и /> для всех />; тогда
/>
Еслидано еще одно такое представление />, то
/>
/>
/>
Рассмотримзнакопеременное пространство /> надполем />. Под ортогональнымдополнением подпространства /> пространства/> в /> понимается подпространство
/>
совпадающеетакже с
/>
Определимрадикал пространства /> какподпространство />. Очевидно,
/>
ПредложениеПусть /> - знакопеременноепространство, являющееся суммой попарно ортогональных подпространств, т. е. />, где /> при />. Тогда
•/>,
•/> регулярно /> каждое /> регулярно,
•/> регулярно />.
Доказательство.(1) Возьмем в /> произвольныйэлемент /> и запишем его в виде />, />. Тогда
/>
такчто />, откуда />. Обратно, если />, где />, то
/>
откуда/>.
(2)Это следует из (1) и того, что знакопеременное пространство регулярно тогда итолько тогда, когда его радикал равен />.
(3)Если />, />, то
/>
откуда/>. Следовательно, /> и, значит, />.
Предложение Если/> - подпространствознакопеременного пространства />, то /> - аннулятор пространства /> в />, т. е. />. В частности, />.
Доказательствонепосредственно следует из определений.
Предложение Пусть/> - регулярноеподпространство знакопеременного пространства />.Тогда /> расщепляет />, точнее, />. Если /> - другое расщепление, />.
Доказательство.Так как /> регулярно, то />. Следовательно, ввиду (??)
/>
Поэтому/> и, значит, />. Далее, если />, то />, откуда />. Сравнивая размерности,получаем />.
Предложение Если/> и /> - произвольныеподпространства регулярного знакопеременного пространства /> размерности />, то
•/>,
•/>,
•/>,
•/>,
•/>.
Доказательство.Так как /> регулярно, то ввиду (??)отображение /> биективно. Следовательно, />, откуда ввиду (??) />. Этим доказано (1). Далее,/>, поэтому сравнениеразмерностей дает />. Этим доказано(2). Докажем теперь (3):
/>
Аналогичнодоказывается (4). Наконец, утверждение (5) тривиально.
Рассмотримрадикал /> знакопеременногопространства />, и пусть /> - подпространствопространства />, такое, что />. Назовем всякое такоеразложение радикальным разложением пространства />. Очевидно, /> определяется неединственным образом, за исключением случаев, когда /> регулярноили вполне вырождено. Из соотношений
/>
следуетравенство />, поэтому /> регулярно.
Теорема Если/> - регулярноезнакопеременное пространство размерности />,то
/>
Вчастности, регулярное знакопеременное пространство имеет четную размерность идискриминант />. Кроме того, регулярныезнакопеременные пространства одинаковой размерности над одним и тем же полем /> изометричны.
Доказательство.Ввиду регулярности пространства /> существуютвекторы /> и />, удовлетворяющие условию />. Так как />, то эти векторы должныбыть независимыми; поэтому /> -плоскость. Очевидно,
/>
Вчастности, /> регулярно, так какдискриминант отличен от нуля. Следовательно, ввиду (??) />. Но /> - также регулярноезнакопеременное пространство. Первое утверждение следует теперь из соображенийиндукции. Второе тривиально следует из первого. Для доказательства третьегоутверждения применяем (??). Теорема доказана.
База/> регулярногознакопеременного пространства /> называетсягиперболической, если
/>
исимплектической, если
/>
Если
/>
-гиперболическая база пространства />, топерестановка
/>
-симплектическая база, и наоборот. По теореме (??) ненулевое регулярноезнакопеременное пространство имеет гиперболическую базу, а потому исимплектическую базу.
Предложение Пусть/> - регулярноезнакопеременное пространство, /> -вполне вырожденное подпространство и /> - базаподпространства />. Тогдасуществует регулярное подпространство /> пространства/> вида />, где /> - регулярные плоскости и />, />.
Доказательство.Случай /> очевиден. При /> применяем индукцию по />. Положим /> и />. Тогда />, откуда /> ввиду (??). Выберем /> и положим />. Тогда />, />, и, следовательно, />. Значит, /> - регулярная плоскость,содержащая />. В силу (??) можнозаписать />. Тогда />, так как /> и /> следовательно, />. Остается применитьпредположение индукции к /> рассматриваемомукак подпространство знакопеременного пространства />.
Предложение Если/> - максимальное вполневырожденное подпространство регулярного знакопеременного пространства />, то />.
Доказательство.Так как /> вполне вырождено, то />, поэтому ввиду (??) />, откуда />. Если допустить, что />, то несложное применениеутверждений (??) и (??) даст вполне вырожденное подпространство, строго содержащее/> в противоречие смаксимальностью />. Поэтому />.
Предложение Если/> и /> - максимальные вполневырожденные подпространства регулярного знакопеременного пространства />, удовлетворяющие условию />, то для каждой базы /> пространства М существуеттакая база /> пространства />, что /> - симплектическая базапространства />.
Доказательство.Разумеется, /> (ввиду (??)). Пусть />, — база подпространства />. Тогда /> - база пространства />. Пусть /> - сопряженная к ней базаотносительно /> (см. (??)). Поскольку />, то элементы /> лежат в />. Значит, /> - база пространства />, а
/>
-симплектическая база в />.
Предложение Пусть/> - регулярноезнакопеременное пространство и
/>
-его симплектическая база. Пусть /> -максимальное вполне вырожденное пространство />.Тогда матричный изоморфизм, ассоциированный с />,отображает группу линейных преобразований
/>
нагруппу матриц вида
/>
где/> - обратимая />-матрица, а />-матрица /> удовлетворяет соотношению />.
Доказательство.Это легко проверяется надлежащим применением утверждения (??).
ТеоремаТеорема Витта Пусть /> и/> - изометричные регулярныезнакопеременные пространства над одним и тем же полем />. Если /> - произвольноеподпространство пространства /> и /> - изометрия /> в />, то ее можно продолжить доизометрии пространства /> на />.
Доказательство.Возьмем радикальное разложение />, ипусть /> - база подпространства /> (имеется в виду, что />, если />). Применяя (??) крегулярному знакопеременному пространству />,мы видим, что в нем существует подпространство /> вида
/>
где/> - регулярные плоскости и />, />. Так как /> регулярно, то онорасщепляет />; следовательно, существуетрегулярное подпространство /> пространства/>, такое, что
/>
Положим/>, /> и /> для />. Тогда
/>
Крометого,
/>
-радикальное разложение. Мы можем повторить предыдущие рассуждения и получитьразложение
/>
вкотором
/>
где/> - регулярная плоскость и /> для />. С помощью (??) найдемизометрию пространства /> на />, согласованную с /> на каждом />, а следовательно, на />. Кроме того, данное /> отображает /> на />. Значит, существуетпродолжение изометрии /> до изометриипространства /> на />. Далее />, так как /> изометрично />, поэтому /> и, следовательно, потеореме (??) существует изометрия пространства /> на/>. Таким образом, существуетпродолжение изометрии /> до изометриипространства /> на />.Проективныепреобразования
Геометрическоепреобразование /> абстрактноговекторного пространства /> наабстрактное векторное пространство /> - этобиекция /> со следующим свойством:подмножество /> пространства /> тогда и только тогдаявляется подпространством в />, когда /> - подпространство в />.
Очевидно,что композиция геометрических преобразований — геометрическое преобразование ипреобразование, обратное к геометрическому, — также геометрическое.Геометрическое преобразование сохраняет включение, объединение и пересечениеподпространств, а также ряды Жордана — Гёльдера, поэтому справедливо следующеепредложение.
Предложение Если/> - геометрическоепреобразование пространства /> на />, то для любыхподпространств />, /> пространства /> выполняются соотношения
/>
/>
/>
Подпроективным пространством /> пространства/> мы будем понимать множествовсех подпространств пространства />. Такимобразом, /> состоит из элементовмножества />, являющихсяподпространствами в />; /> - это частичноупорядоченное множество, отношение порядка в котором индуцируетсятеоретико-множественным включением в />. Любыедва элемента /> и /> из /> имеют объединение ипересечение, а именно /> и />, так что /> - решетка; она имеетнаибольший элемент /> и наименьшийэлемент />. Каждому элементу /> пространства /> сопоставляется число />. Каждое /> из /> обладает рядом Жордана — Гёльдера />, и все такие ряды имеютдлину />. Положим
/>
иназовем />, />, /> множествами прямых,плоскостей и гиперплоскостей пространства /> соответственно.
Проективность/> пространства /> на /> - это биекция /> со следующим свойством:для любых />, /> из /> включение /> имеет место тогда и толькотогда, когда />.
Очевидно,что композиция проективностей — проективность и отображение, обратное кпроективности, — также проективность. Проективность пространства /> на /> сохраняет порядок,объединения, пересечения и ряды Жордана — Гёльдера для элементов пространств /> и />, поэтому справедливоследующее предложение.
Предложение Если/> - проективностьпространства /> на />, то для любых элементов />, /> из /> выполняются соотношения
/>
/>
/>
Вчастности, /> отображает /> на /> и определяется своимизначениями на />, т. е. напрямых.
Если/> - геометрическоепреобразование, то отображение />,полученное из /> сужением,является проективностью пространства /> на />. Всякая проективность />, имеющая вид /> для некоторого такого />, будет называться проективнымгеометрическим преобразованием пространства /> на/>. Черту мы будем всегдаиспользовать для обозначения проективного геометрического преобразования />, полученного описаннымспособом из геометрического преобразования />.Таким образом, /> переводитподпространство /> пространства />, т.е. точку /> из />, в подпространство /> пространства />. Имеем
/>
Вчастности, композиция проективных геометрических преобразований ипреобразование, обратное к проективному геометрическому, сами являютсяпроективными геометрическими.
Геометрическоепреобразование пространства /> естьпо определению геометрическое преобразование пространства /> на себя. Множествогеометрических преобразований пространства /> являетсяподгруппой группы подстановок множества />.Она будет обозначаться через /> иназываться общей геометрической группой пространства />. Под группойгеометрических преобразований пространства /> мыбудем понимать произвольную подгруппу группы />.Общая линейная группа /> и специальнаялинейная группа /> являются,следовательно, группами геометрических преобразований. Под группой линейныхпреобразований будем понимать любую подгруппу группы />.
Проективностьпространства /> естьпо определению проективность этого пространства на себя. Множествопроективностей пространства /> - подгруппагруппы подстановок множества />,которую мы будем называть общей группой проективностей пространства />. Применение чертыиндуцирует гомоморфизм
/>
Иногдамы будем использовать /> вместо />, полагая
/>
дляобраза /> подмножества /> из /> при />. В частности, /> и /> - подгруппы группыпроективностей пространства />, ониназываются проективной общей линейной группой и проективнойспециальной линейной группой пространства />.Было доказано, что /> совпадает сгруппой всех проективностей пространства />,поэтому мы используем это обозначение для обеих групп. Под группойпроективностей пространства /> будемпонимать любую подгруппу группы />, а под проективнойгруппой линейных преобразований пространства /> -любую подгруппу группы />.
Длякаждого ненулевого элемента /> из /> определим линейноепреобразование />, полагая
/>
Ясно,что />. Преобразование /> из /> вида /> для некоторого /> будем называть растяжениемпространства />. Множество растяженийпространства /> является нормальнойподгруппой группы />, которая будетобозначаться через />. Очевидно, имеетместо изоморфизм />. Имеют местоследующие два предложения.
Предложение Элемент/> группы /> тогда и только тогдапринадлежит группе />, когда /> для всех прямых /> из />. В частности,
/>
и
/>
Предложение Централизаторв /> любого элемента из />, не являющегосярастяжением, абелев.
Пустьтеперь /> - регулярноезнакопеременное пространство. Тогда /> будет,конечно, группой геометрических преобразований пространства />. Под группойсимплектических преобразований знакопеременного пространства /> мы будем пониматьпроизвольную подгруппу из />. Группа/>, получаемая из /> применением гомоморфизма />, называется проективнойсимплектической группой знакопеременного пространства />. Под проективнойгруппой симплектических преобразований пространства /> будем понимать любуюподгруппу группы />.
Предложение Если/> - ненулевое регулярноезнакопеременное пространство, то
/>
/>
/>
Доказательствоявляется легким упражнением и потому опускается.
Предложение Если/> - регулярноезнакопеременное пространство и />, то />.
Доказательство.Взяв симплектическую базу пространства />,с помощью (??) без труда убеждаемся, что элемент /> из/> тогда и только тогда лежитв />, когда />.
Полярностьюабстрактного векторного пространства /> надполем /> называется биекция />, />, такая, что
1)/>,
2)/>
длявсех />, /> из />. Если /> - регулярноезнакопеременное пространство над />, то,очевидно, /> - полярность; онаназывается полярностью, определенной знакопеременной формой />, имеющейся на />.
Предложение Пусть/> - абстрактное векторноепространство над полем /> и />. Предположим, что /> - регулярноезнакопеременное пространство относительно каждой из двух знакопеременных форм /> и />. Формы /> и /> тогда и только тогдаопределяют одну и ту же полярность, когда найдется такой ненулевой элемент /> из />, что />.
Доказательство.Если />, то утверждение очевидно.Остается доказать обратное утверждение. Так как /> регулярноотносительно /> и />, то ввиду (??) и (??)ассоциированные линейные отображения /> и /> биективны, т. е. /> и />. Из (??) и предположения отом, что /> и /> определяют одну и ту жеполярность, следует, что /> длявсех подпространств /> из />. Следовательно, /> - элемент группы />, относительно которогоинвариантны все подпространства из />, Вчастности, относительно него инвариантны все прямые из />. Значит, ввиду (??) />. Другими словами, найдетсятакой ненулевой элемент /> из />, что /> для всех /> из />. Но тогда /> для всех /> из />. Поэтому />.Структурные теоремы. Порядки симплектических групп
Предложение Еслиполе /> бесконечно, то группы />, /> над /> также бесконечны.
Доказательство.Число трансвекций /> из /> бесконечно.
Теорема Порядокгруппы /> равен
/>
Порядокгруппы /> равен
/>
Доказательство.Второе утверждение следует из первого, так как группа /> изоморфна группе />. Докажем первоеутверждение индукцией по />. Если />, то /> и можно считать />.
Подпарой будем понимать упорядоченную пару векторов />,/>, такую, что />. Если /> фиксирован, то существуетединственная пара />, где /> принадлежит данной прямой,не ортогональной к />. Поэтому числопар с /> на первом месте равночислу прямых, не лежащих в />, т. е.
/>
Такимобразом, имеется /> пар с /> на первом месте, а всего /> пар.
Зафиксируемкакую-нибудь пару />. По теоремеВитта для каждой пары /> найдется покрайней мере один элемент группы />,переводящий /> в />. Следовательно, имеетсяточно
/>
элементовиз />, переводящих пару /> в пару />. По предположению индукцииэто число равно
/>
Далее,каждый элемент группы /> переводит /> точно в одну пару.Следовательно, группа /> содержит
/>
элементов,что и требовалось доказать.
ПредложениеЕсли/>, то число максимальныхвполне вырожденных подпространств пространства /> равно
/>
Доказательство.1) Покажем сначала, что подгруппа /> группы />, оставляющая на местепроизвольное максимальное вполне вырожденное подпространство /> пространства />, имеет порядок
/>
Чтобыубедиться в этом, зафиксируем симплектическую базу
/>
пространства/>, в которой векторы /> порождают />. Из (??) следует, чтоматрица произвольного преобразования /> имеетвид
/>
где/>, а /> - симметрическая матрицапорядка /> над />; эти /> и /> определяютсяпреобразованием /> однозначно.Кроме того, любые такие /> и /> соответствуют некоторому /> из />. Наше утверждениеполучается теперь, если умножить порядок группы /> начисло симметрических матриц порядка /> надполем />, т. е. />.
2)Зафиксируем максимальное вполне вырожденное подпространство /> пространства />. По теореме Витта всемаксимальные вполне вырожденные подпространства пространства /> даются формулой />, где /> пробегает группу />. Из замечания 1) легкоследует, что в этом процессе каждое максимальное вполне вырожденноеподпространство повторяется точно
/>
раз,поэтому общее число таких подпространств равно порядку группы />, деленному на указаннуювеличину. Очевидно, это и есть требуемое число.
Предложение Если/>, то число регулярныхплоскостей в пространстве /> равно
/>
Доказательство.Поступая, как при доказательстве утверждения (??), убедимся, что /> должно содержать
/>
регулярныхплоскостей. Это число совпадает с указанным выше (применить теорему (??)).
Предложение Группа/> изоморфна симметрическойгруппе />.
Доказательство.Будем называть конфигурацией произвольное подмножество /> из /> элементов в />-мерном регулярномзнакопеременном пространстве /> надполем />, обладающее тем свойством,что любые два его различных элемента не ортогональны. Каждый ненулевой вектор /> из /> принадлежит ровно двумконфигурациям /> и />, так что они пересекаютсяпо />. Чтобы убедиться в этом,возьмем симплектическую базу /> пространства/>, в которой />. Ясно, что
/>
и
/>
— две различные конфигурации, пересекающиеся по множеству />. Легкая проверка переборомпоказывает, что других конфигураций, содержащих элемент />, нет. Если теперь выписатьвсе различные конфигурации /> впространстве />, то каждый вектор /> из /> появится точно в двух изних, откуда /> и />. Пусть /> - Множество всехконфигураций в />.
Если/> - произвольный элемент из />, то /> тогда и только тогдаявляется конфигурацией, когда /> -конфигурация, поэтому /> индуцируетотображение />. Ясно, что это отображениена и, значит, перестановка на />.Очевидно, что /> есть гомоморфноеотображение />. Чтобы найти его ядро,возьмем в /> элемент />. Пусть /> таков, что />. Пусть /> и /> - две конфигурации,содержащие />. Тогда /> не принадлежит одной изних, скажем, />. Отсюда /> и />. Другими словами, ядротривиально, и мы имеем инъективный гомоморфизм />.По теореме (??) группа /> состоит из /> элементов, поэтому />.
Центры
Заметим,что группа /> неабелева. Чтобы убедитьсяв этом, достаточно взять нетривиальные проективные трансвекции из /> с неортогональнымивычетными прямыми. Следовательно, группа /> такженеабелева.
Предложение Группа/> имеет тривиальный центр, а/>.
Доказательство.Рассмотрим произвольный элемент /> изцентра группы />. Пусть /> - произвольная прямая из />. Пусть /> - проективная трансвекцияиз /> с вычетной прямой />. Тогда вычетной прямойпреобразования /> является />. Но />, так как /> лежит в центре.Следовательно, /> для всех />. Поэтому /> и, значит, группа /> действительно не имеетцентра. Второе утверждение следует из первого, если применить гомоморфизм />.Коммутанты
Предложение Если/>, /> - произвольные прямые из />, то множество трансвекцийиз /> с вычетной прямой /> и множество трансвекций свычетной прямой /> сопряженыотносительно />.
Доказательство.По теореме Витта в группе /> существуеттакой элемент />, что />. Тогда сопряжениеэлементом /> отображает множествотрансвекций из /> с вычетнойпрямой /> на множество трансвекцийиз /> с вычетной прямой />.
Пример Дветрансвекций из /> не обязательносопряжены в />. Например, трансвекций свычетной прямой />, сопряженные с />, имеют вид />, где /> пробегает />.
Замечание Пусть/> - симплектическая базапространства />. Если /> - произвольнаясимметрическая матрица порядка />2 над /> и /> - линейное преобразование,определенное матрицей
/>
томы знаем, что /> принадлежитгруппе />. Если преобразовать /> в />, производя 1) прибавлениекратного одного столбца к другому с последующим аналогичным преобразованиемсоответствующих строк или 2) перестановку двух столбцов с последующейперестановкой соответствующих строк, то линейное преобразование /> с матрицей
/>
сновабудет принадлежать группе />, таккак /> тоже будет симметрической.В действительности /> и /> сопряжены в />. Чтобы убедиться в этом,заметим, что /> при подходящей матрице /> из />. Преобразование />, определенное матрицей
/>
принадлежитгруппе />, и />, так как
/>
Предложение Предположим,что />, />, /> и пусть /> - нормальная подгруппагруппы />, содержащая регулярныйэлемент /> с вычетом />, представимый в видепроизведения двух трансвекций из />. Тогда />.
Доказательство.Имеем разложение />, где /> - регулярная плоскость.Рассмотрим группу
/>
Тогда/>. Кроме того, />. Это очевидно, если />; если же />, то применяем 2.1.12 итеорему 2.1.11 [??]. Поэтому /> -нормальная подгруппа в />, не содержащаясяв />. Отсюда следует, что />. В частности, если /> - фиксированная прямая в />, то /> содержит все трансвекцииплоскости /> с вычетной прямой />. Следовательно, /> содержит все трансвекциииз /> с вычетной прямой />, а потому в силу (??)вообще все трансвекции из /> и />.
Предложение Предположим,что />, /> или />, />, и пусть /> - нормальная подгруппагруппы />, содержащая вырожденныйэлемент /> с вычетом 2, представимыйв виде произведения двух трансвекций из />.Тогда />.
Доказательство.1) Модификация рассуждений, использованных при доказательстве утверждения (??),позволяет считать, что />, если />, и />, если />.
2)Рассмотрим сначала случай />, />. Тогда /> имеет вид />, причем />, а звездочки равны />. Далее эти трансвекцииперестановочны, так как />,поэтому мы можем, если нужно, заменить /> на/> и считать, что на самомделе />. Можно считать, что этановая /> есть />. В самом деле, если />, то с помощью теоремыВитта выберем такое />, что />, />. Тогда
/>
Заменимтеперь /> на
/>
Итак,можно считать, что />. Дополним /> до симплектической базы
/>
пространства/> и заметим, что
/>
Подходящимсопряжением мы можем найти в /> линейныепреобразования с матрицами
/>
вбазе />. Произведение этихпреобразований равно элементу из /> сматрицей
/>
Следовательно,группа /> содержит />. Таким образом, онасодержит все (= обе) трансвекции из /> свычетной прямой />. Ввиду (??)отсюда следует, что /> содержит всетрансвекции из /> и, значит, />.
3)Пусть теперь />, />. Тогда /> и />. Дополним /> до симплектической базы
/>
Тогда
/>
Сопряжениедает нам в /> линейные преобразования сматрицами
/>
апотому и с матрицами
/>
азначит, и с матрицей
/>
Другимисловами, /> содержит /> и, следовательно, всетрансвекции из />, откуда />.
Предложение Если/>, то /> за одним исключением: />.
Доказательство.Пусть />, для некоторого />. По теореме Виттасуществует такое />, что /> - плоскость и
/>
Положим
/>
Осталосьприменить (??) и (??). В исключительном случае применяем (??) и хорошоизвестные свойства группы />.
Предложение Если/>, то /> за одним исключением: />. Теоремы о простоте
Теорема Длялюбого четного числа /> и любого поля /> группа /> проста за исключениемгруппы />, которая простой неявляется.
Доказательство.1) Исключительное поведение группы /> следуетиз (??). Будем предполагать поэтому, что /> вобщем случае и /> при />. Вместо проективной группымы будем иметь дело с группой />.Достаточно рассмотреть нормальную подгруппу /> группы/>, не содержащуюся вподгруппе />, и доказать, что />.
2)Сначала покажем, что имеются />, />, такие, что /> - регулярная плоскость.Для этого возьмем в группе /> элемент/>. /> сдвигает по крайней мереодну прямую из />, т. е.существует такая прямая /> из />, что />. Пусть /> - нетривиальнаятрансвекция из /> с вычетнойпрямой />. Тогда элемент
/>
принадлежитгруппе /> и является произведениемдвух трансвекции из /> с различнымивычетными прямыми /> и />. Поэтому вычетноепространство преобразования /> естьплоскость />, в частности, />. Если /> - гиперболическоепреобразование, то /> - инволюция.Применим теперь утверждение 1.18, если характеристика равна />, и утверждение 1.13, еслихарактеристика не равна />. Тогда,в частности, мы получим, что /> неявляется произведением /> трансвекции из />, что противоречит допущению.Итак, /> не может бытьгиперболическим. Значит, существует такой вектор />,что />, т. е. /> - регулярная плоскость.
3)Можно также показать, что имеются вектор /> ипреобразование />, такие, что /> - вырожденная плоскость. Всамом деле, возьмем в /> элемент />. Существует такой вектор />, что />. Если />, то цель достигнута,поэтому будем считать, что />.Выберем /> так, чтобы было
/>
Потеореме Витта в /> найдетсяпреобразование />, такое, что />, />. Тогда преобразование /> принадлежит /> и переводит /> в />, поэтому /> - вырожденная плоскость.
4)Возьмем />, /> так, чтобы плоскость /> была регулярной при /> и вырожденной при />. Тогда преобразование
/>
принадлежитгруппе />, является произведениемдвух трансвекций из /> и его вычетноепространство есть плоскость />.Поэтому />.
Предложение Если/> и /> - нормальная подгруппагруппы />, то /> или />, за исключением группы />, которая, очевидно, необладает этим свойством.
Доказательство.По поводу исключения см. (??). Далее, применяя к /> теорему(??), получим, что /> или />. Допустим последнее. Тогда
/>
Предложениедоказано.
Теоремуо простоте можно также доказать, используя группы подстановок. Напомним, чтогруппой подстановок непустого множества /> называетсяподгруппа /> группы всех подстановокмножества />. Далее, /> называется транзитивной,если для любых />, /> существует такаяподстановка /> из />, что />. Напомним, что разбиениеммножества /> называется множество /> попарно непересекающихсяподмножеств, объединение которых равно />.Тривиальными называются два разбиения, состоящие соответственно изсамого /> и из всех одноэлементныхподмножеств. Транзитивная группа /> подстановокмножества /> называется импримитивной,если существует такое нетривиальное разбиение /> множества/>, что /> для всех />, />. В противном случае группаназывается примитивной. Следующий результат является здесь ключевым.
Предложение Примитивнаягруппа подстановок /> множества /> проста, если выполненыследующие условия:
1)/>,
2)для некоторого /> стабилизатор /> содержит такую нормальнуюабелеву подгруппу />, что /> порождается подгруппами />, />.
Длядоказательства теоремы (??) с использованием этого результата рассмотрим /> как группу подстановокмножества прямых /> пространства />. Это возможно ввиду того,что />, будучи подгруппой группыпроективностей пространства />, точнодействует на /> и, значит, /> естественно изоморфнагруппе подстановок множества />. Мызнаем, что группа /> транзитивна(теорема Витта), /> (см. (??)) и,наконец, множество проективных трансвекций из /> свычетной прямой /> вместе стождественным преобразованием образует нормальную абелеву подгруппустабилизатора прямой /> в />, которая вместе со своимисопряженными в /> порождает группу/>. Поэтому все, что осталосьсделать, прежде чем сослаться на (??), — это проверить, что группа /> примитивна.
Предложение При/> группа /> подстановок множества /> прямых пространства /> примитивна.
Доказательство.1) Рассмотрим разбиение /> множества/>, содержащее по крайнеймере два подмножества, одно из которых, скажем />,содержит не менее двух прямых. Нам нужно найти элемент группы />, не сохраняющий эторазбиение. Допустим, что такого элемента не существует.
2)Пусть сначала /> содержит дверазличные не ортогональные прямые />, />. Тогда каждые дверазличные прямые />, /> из /> должны быть неортогональны. В самом деле, если это не так, то найдутся различные />, /> из />, такие, что />. Возьмем прямую /> из />, не принадлежащуюподмножеству />. Если />, то по теореме Виттасуществует такое преобразование /> из />, что />, />, и, следовательно, ононарушает разбиение. Если />, тоснова по теореме Витта имеется такое />, что />, /> и, значит, /> опять нарушает разбиение.Итак, никакие две различные прямые из /> неявляется ортогональными. Только что проведенные рассуждения показывают, чтоесли /> - произвольная прямая из />, то /> содержит все прямые из />, не ортогональные к />. Теперь очевидно, чтоможно найти в /> прямую />, не ортогональную к />, но ортогональную к /> тогда первое условиевлечет за собой, что />, а второе — что />, — противоречие.
3)Мы можем, таким образом, считать, что все прямые из /> попарноортогональны. Рассуждения, использованные в п. 2), показывают тогда, что если /> - произвольная прямая из />, то /> содержит все прямые,ортогональные к />, а этоневозможно. Предложение доказано.
Основные результаты
Пусть/> - конечная группа, /> и /> - подгруппы группы />. Будем говорить, чтогруппа /> допускает факторизацию/>, если для всякого /> имеет место равенство />, где />, />. Факторизация называется максимальной,если /> и /> максимальные подгруппы вгруппе />. Мы рассмотриммаксимальные факторизации симплектической группы />,определенной над конечным полем />.
Пусть/> и /> - целые числа, />, />. Если /> - простое число, делящее /> и не делящее числа /> для />, то /> называют примитивнымпростым делителем числа />.
Хорошоизвестно, что при />, /> и /> всегда есть примитивныйпростой делитель числа />. Пусть />, где /> - простое число, /> - целое положительноечисло. Обозначим /> наибольшийпримитивный простой делитель числа /> (так,что /> делит /> и не делит /> для />). Определим /> как произведение всехпримитивных простых делителей />. Мыбудем рассматривать максимальные факторизации группы />. Отметим, что
/>
ТеоремаПусть/>, где /> - нечетное число. Если />, где /> и /> - максимальные подгруппыгруппы />, тогда />, где /> - максимальнаяпараболическая подгруппа группы />,изоморфная /> и имеющая порядок
/>
Доказательство.Предположим, что /> делит />. Из [??] следует, что /> является одной изследующих групп />, />, /> или />. Пусть сначала />. В этом случае />. Из [??] следует, что /> это в точностимаксимальная параболическая подгруппа группы /> /> и />. Из сравнения порядковгруппы /> и произведения /> получаем следующуюмаксимальную факторизацию:
/>
Пустьтеперь /> является одной изследующих групп />, /> или />. Из сказанного вышеследует, что /> не изоморфна />. Из пункта 2.4 [??]получим, что /> есть /> или />. По теореме 2.4D [??] /> есть 3 или 7. Если />, тогда 5 делит />. В этом случае из [??]следует, что /> одна из групп />, />, />. Поскольку />, то /> делит />. Однако /> не делится на />. Противоречие с тем, что />. Следовательно, /> и />. Так как 27 делит />, то /> является параболическойподгруппой группы /> и имеет местофакторизация:
/>
Теорема(??) доказана.
Пусть/>, где /> - положительное число.Тогда ортогональная группа /> и />. /> обозначает сплетениегруппы /> с группой />, т.е. />, где />. Очевидно, что />; /> - максимальнаяпараболическая подгруппа в /> порядка/>; /> - группа Судзуки порядка />, где />.
Лемма Пусть/>. Тогда
/>
Доказательство.Из [??] следует, что /> являетсямаксимальной подгруппой в />. Пусть /> и />. Обозначим
/>
где/> матрица в каноническомбазисе симплектического пространства />, />, />, />. Тогда /> - диэдральная группа,которая фиксирует разложение:
/>
Из[??] следует, что стабилизатор этого разложения />,/> и
/>
Леммадоказана.
Вприведенных обозначениях с учетом таблицы 1 [??] и леммы (??) получим:
Теорема Пусть/>, где />. Если />, где /> и /> - максимальные подгруппы вгруппе />. Тогда
1)/>,
2)/>,
3)/>,
4)/>,
5)/>.
Заключение
Вдипломной работе найдены максимальные факторизации симплектических групп />. Доказаны следующиетеоремы.
Теорема1.Пусть />, где /> - нечетное число. Если />, где /> и /> - максимальные подгруппыгруппы />, тогда />, где /> - максимальнаяпараболическая подгруппа группы />,изоморфная /> и имеющая порядок
/>
Теорема2.Пусть />, где />. Если />, где /> и /> - максимальные подгруппы вгруппе />. Тогда
1)/>,
2)/>,
3)/>,
4)/>,
5)/>.
Список использованныхисточников
[1]Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов, Гомель: Гомельскийгосударственный университет им. Ф.Скорины, 2003. — 320 с.
[2]Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И., Основы теории групп, М., 1982.
[3]Холл Ф., Теория групп, М., 1962.
[4]Горенстейн Д., Конечные простые группы: введение в их классификацию., М., 1985.
[5]Казарин Л.С., Факторизации конечных групп разрешимыми подгруппами //Укр. мат.журн. 1991. Т.43, N 7 — 8. С. 947 — 950.
[6]Mitchel H.H., Determination of the finite quaternary linear groups. Trans.Amer. Math. Soc. V. 14, 1913. p.123--142.
[7]Liebek M.W., Praeqer C.E., Saxl J., The maximal factorizations of the finitesimple groups and their automorphism groups. Mem. Amer. Math. Soc. V. 86, N.432. p. 1--151.
[8]Suzuki M., A new type of simple groups of finite order. Proc. Nat. Acad. Sci.US 46, 1960. p. 868--870.