Курсовая работа
«Конечные группы с заданными />-перестановочными подгруппами»
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1. Необходимые определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Определения, примеры и общие свойства />-перестановочныхподгрупп
4. Конечные группы с заданными />-перестановочнымиподгруппами
Заключение
Список использованных источников
Перечень условных обозначений
/> – знак строгоговключения множеств;
/> – знак включениямножеств;
/> – принадлежностьэлемента множеству;
/> – объединениемножеств;
/> – пересечениемножеств;
/> – /> является подгруппойгруппы />;
/> – /> является собственнойподгруппой группы />;
/> – /> является максимальнойподгруппой группы />;
/> – /> является нормальнойподгруппой группы />;
/> – /> является субнормальнойподгруппой группы />;
/> – /> является минимальнойнормальной подгруппой группы />;
Скобки /> применяются дляобозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
/> – подгруппа,сопряжённая подгрупп /> посредством элемента />;
/> – циклическая группапорядка />;
/> – симметрическаягруппа степени />;
/> – ядро подгруппы /> в группе />, т.е. пересечение всехподгрупп, сопряжённых с /> в />;
/> – подгруппа,порожденная всеми подгруппами, сопряженными с подгруппой /> из /> элементами /> из />, то есть />;
/> – централизатормножества T в группе G;
/> – центр группы G;
/> – нормализаторподгруппы /> в группе />;
/> – наибольшаянормальная подгруппа нечетного порядка группы />;
/> – наибольшаянормальная />–подгруппа группы />;
/> – />–холловская подгруппагруппы />;
/> – силовская />–подгруппа группы />;
/> – дополнение ксиловской />–подгруппе в группе />, т.е. />–холловская подгруппагруппы />;
/> – группа G изоморфнагруппе />;
Пусть /> – группа, /> и />, тогда:
/> – правый смежныйкласс,
/> – левый смежный класс;
/> – правая трансверсальподгруппы />
в группе />;
/> – левая трансверсальподгруппы />
в группе />;
/> – индекс подгруппы /> в группе />;
/> – порядок группы G;
Пусть />и /> – подгруппы группы /> и />, тогда:
/> – двойной смежныйкласс группы /> по подгруппам
/> и />;
/> – факторгруппа группы /> по подгруппе />;
/> – прямое произведениеподгрупп A и B;
/> – цоколь группы />;
/> – коммутатор элементов/> и />;
/> – коммутант группы G;
/> – множество всехпростых чисел;
/> – дополнение к /> во множестве />, где /> – некоторое множествопростых чисел;
/>–/>-длина группы />.
Введение
Напомним, что подгруппа /> группы /> перестановочна сподгруппой />, если />. Если /> перестановочна совсеми подгруппами группы />, то она называется перестановочной[6] или квазинормальной в /> [7].
Так как для двух перестановочных подгрупп /> и /> произведение /> также являетсяподгруппой в />, то понятиеперестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятиянормальных подгрупп.
Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Какизвестно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей[8] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечнойпорождённой группе />, то /> субнормальна в /> [8].
Но фактически эти два результата были получены как обобщенияследующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группыявляется субнормальной [7].
Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждойперестановочной подгруппы /> конечной группы />, /> – нильпотентна [9].
Немного позже было доказано, что при таких условиях, /> [18].
При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией,когда некоторые подгруппы /> и /> группы /> неперестановочны, носуществует подгруппа /> такая, что /> для некоторого />.
Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.
Определение 1 Пусть />, /> – подгруппы группы /> и />. Тогда мы говорим,что:
(1) /> является />-перестановочной с />, если для некоторого /> имеем />.
(2)/> является наследственно/>-перестановочной с />, если /> для некоторого />.
Заметим, что /> – перестановочныеподгруппы также являются перестановочными подгруппами. Во втором приведённомслучае мы имеем дело с />-перестановочнымиподгруппами, которые были исследованы и использованы в [].
Определение 2 Подгруппа /> группы /> называется(наследственно) />-перестановочной,если она (наследственно) перестановочна со всеми подгруппами группы />.
Целью данной работы является изложение некоторых известныхразделов теории перестановочных подгрупп, изучение и применение некоторыхсвойств />-перестановочныхподгрупп.
1. Необходимые определения и обозначения
Бинарной алгебраической операцией на множестве /> называют отображениедекартова квадрата /> во множество />. Если />– бинарная операция на />, то каждойупорядоченной паре /> элементов из /> соответствуетоднозначно определенный элемент />. Бинарную операцию на /> обозначают одним изсимволов:/> и т.д. Если, например,вместо /> условимся писать />, то вместо /> пишем />.
Говорят, что на множестве X определена бинарная операция(умножение), если /> для всех />.
Если /> для всех />, то операцияназывается ассоциативной.
Если /> для всех />, то операцияназывается коммутативной.
Элемент /> называется единичным,если /> для всех />.
Обратным к элементу /> называется такойэлемент />, что />.
Полугруппой называется непустоемножество /> с бинарнойалгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на />, т.е. /> для всех /> и />;
(2) операция ассоциативна, т.е. /> для любых />.
Группой называется непустоемножество /> с бинарнойалгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на />, т.е. /> для всех /> и />;
(2) операция ассоциативна, т.е. /> для любых />;
(3) в /> существует единичныйэлемент, т.е. такой элемент />, что /> для всех />;
(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого /> существует такойэлемент />, что />.
Группу с коммутативной операцией называют коммутативной илиабелевой.
Если G – конечное множество, являющееся группой, то G называют конечнойгруппой, а число /> элементов в /> – порядком группы/>.
Также группой называется непустое множество /> с бинарнойалгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на />;
(2) операция ассоциативна;
(3) уравнения />, /> имеют решения длялюбых элементов />.
Подмножество /> группы /> называется подгруппой,если /> – группа относительнотой же операции, которая определена на группе />. Для подгруппыиспользуется следующее обозначение: />. Запись /> читается так: /> – подгруппа группы />.
Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы.Непустое подмножество /> конечной группы /> называется подгруппой,если /> для всех /> и />
Каждая группа /> обладает единичнойподгруппой />. Сама группа /> также считаетсяподгруппой в />. Эти подгруппыназывают тривиальными подгруппами. Нетривиальная подгруппа группы/> это такая подгруппа /> из />, которая отлична от /> и отлична от единичнойподгруппы />.
Собственной называется подгруппа,отличная от группы.
Пусть /> – подмножество группы /> и />. Через
/>
обозначим подмножество всех элементов группы /> вида />, где /> пробегает все элементымножества />. Подмножество /> называетсяподмножеством, сопряженным подмножеству /> посредством элемента />.
Подгруппа /> называется подгруппой,сопряженной подгруппе /> посредством элемента />.
Пусть /> – непустоеподмножество группы />. Совокупность всехэлементов группы />, перестановочных скаждым элементом множества />, называется централизатороммножества /> в группе /> и обозначается через />. Таким образом,
/>
Центром группы /> называетсясовокупность всех элементов группы />, перестановочных скаждым элементом группы />. Центр группы /> обозначается через />. Ясно, что />, т.е. центр группы /> совпадает сцентрализатором подмножества /> в группе />. Кроме того,
/>
Зафиксируем элемент /> в группе />. Пересечение всехподгрупп группы />, содержащих элемент />, назовем циклическойподгруппой, порожденной элементом />, и обозначим через />. Таким образом,
/>
Для элемента /> имеются следующие двевозможности.
Все степени элемента /> различны, т.е. /> для целых />. В этом случаеговорят, что элемент /> имеет бесконечныйпорядок.
Имеются совпадения /> при />. Если, например, />, то /> и />, т.е. существуютнатуральные степени элемента />, равные единичномуэлементу. Наименьшее натуральное число />, при котором /> называют порядкомэлемента /> и пишут />
Если группа /> совпадает с одной изсвоих циклических подгрупп, то группу /> называют циклическойгруппой. В этом случае в группе /> имеется элемент /> такой, что />, все элементы в группе/> являются целымистепенями элемента />:
/>
Если элемент /> имеет бесконечныйпорядок, то все эти элементы в группе /> попарно различны и /> – бесконечнаяциклическая группа.
Если элемент /> имеет конечный порядок/>, то />, т.е. циклическаягруппа />, порожденная элементом/> порядка />, состоит из /> элементов. В этомслучае /> – конечнаяциклическая группа порядка />.
Две группы /> и /> называются изоморфными,если существует биекция /> такая, что /> для всех />. Факт изоморфизмазаписывают так: />.
Пусть /> – группа, /> и />. Правым смежнымклассом группы /> по подгруппе /> называется множество
/>
всех элементов группы /> вида />, где /> пробегает все элементыподгруппы />.
Аналогично определяется левый смежный класс
/>
Пусть /> – подгруппа группы />. Подмножество /> элементов группы /> называется правойтрансверсалью подгруппы /> в группе />, если /> содержит точно одинэлемент из каждого правого смежного класса группы /> по подгруппе />. Итак, если
/>
– правая трансверсаль подгруппы /> в группе />, то
/>
/> – конечная группа, точисло различных правых смежных классов по подгруппе /> также будет конечно,оно называется индексом подгруппы /> в группе /> и обозначается через />. Ясно, что индексподгруппы /> в конечной группе /> совпадает с числомэлементов в правой трансверсали /> подгруппы />, т.е.
/>
Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы /> в группе />. Если
/>
– левая трансверсаль подгруппы /> в группе />, то
/>
Ясно, что индекс подгруппы /> в конечной группе /> совпадает с числомэлементов в левой трансверсали /> подгруппы />, т.е. />.
Пусть /> и /> – подгруппы группы /> и />. Множество
/>
называется двойным смежным классом группы /> по подгруппам /> и />.
При /> двойной смежный класс
/>
превращается в произведение подгрупп /> и />. В общем случае /> не являетсяподгруппой.
Говорят, что подгруппы /> и /> перестановочны,если />. Равенство /> означает, что длялюбых /> существуют /> такие, что />.
Если />, то говорят, чтогруппа /> есть произведениесвоих подгрупп /> и />, либо группа /> факторизуемаподгруппами /> и />. В этом случае каждый элемент /> представим в виде />, где />.
Подгруппа /> называется нормальнойподгруппой группы />, если /> для всех />.
Запись /> читается так: /> – нормальная подгруппагруппы /> Равенство /> означает, что длялюбого элемента /> существует элемент /> такой, что />.
В каждой группе /> тривиальные подгруппы(единичная подгруппа /> и сама группа />) являются нормальнымиподгруппами. Если в неединичной группе /> нет других нормальныхподгрупп, то группа /> называется простой.Единичную группу /> считают непростойгруппой.
Пусть /> – нормальная подгруппагруппы />. Обозначим через /> совокупность всехлевых смежных классов группы /> по подгруппе />, т.е.
/>
Группа /> называется факторгруппойгруппы /> по подгруппе /> и обозначается через />.
Пусть /> – простое число. p-группойназывают конечную группу, порядок которой есть простого степень числа />. Ясно, что подгруппы ифакторгруппы любой />-группы также являются />-группами. Конечнаягруппа называется примарной, если она является />-группой для некоторогопростого />.
Силовской p-подгруппой конечнойгруппы /> называют такую />-подгруппу, индекскоторой не делится на />.
Каждая нормальная подгруппа /> группы /> определяет цепочку />. Обобщая эту ситуацию,цепочку
/>
вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы /> называют нормальнымрядом в />.
Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабоеусловие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена,т.е. /> для />
Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами(если подгруппа /> субнормальна в />, то пишут (/>).
Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.
Пусть /> – группа, /> и /> – ее подгруппы.Напомним, что произведение /> определяется какмножество элементов />, где />, />. Если />, то говорят, чтогруппа /> является произведениемсвоих подгрупп /> и />. В этом случае каждыйэлемент /> представим в виде />, где />, />.
Произведение /> называется прямым,если подгруппы /> и /> нормальны в /> и />. Прямое произведениеобозначают так: />. Итак, группа /> является прямымпроизведением своих подгрупп, если выполняются следующие требования:
/>
Можно дать следующее определение прямого произведения,эквивалентное начальному. Группа /> является прямымпроизведением своих подгрупп /> и />, если:
– каждый элемент /> единственным образомпредставим в виде />, где />, />;
– каждый элемент подгруппы /> перестановочен скаждым элементом подгруппы />.
Определение прямого произведения сформулировано для двух подгрупп.Для большего числа сомножителей определение выглядит так.
Минимальной нормальной подгруппой группы /> называют такуюнормальную подгруппу /> группы />, что /> и в /> нет нетривиальныхнормальных подгрупп группы />. Запись /> означает, что /> – минимальнаянормальная подгруппа группы />. Таким образом, если />, то /> и из условий /> следует, что /> или />. Очевидно, что вкаждой неединичной конечной группе имеется минимальная нормальная подгруппа.
Группа называется сверхразрешимой, если она обладаетнормальным рядом с циклическими факторами.
Цоколем группы G называетсяподгруппа, являющаяся произведением всех минимальных нормальных подгрупп группыG. Цоколь группы G обозначают через />. Таким образом,
/>
Группа называется нильпотентной, если все ее силовскиеподгруппы нормальны.
Элементарной абелевой p-группойназывают группу, являющуюся прямым произведением подгрупп порядка />.
Собственная подгруппа /> неединичной группы /> называется максимальнойподгруппой, если /> не содержится ни вкакой другой подгруппе, отличной от всей группы />, т.е. если из условия /> следует, что /> или />. Для максимальнойподгруппы /> неединичной группы /> используется запись />
В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группанеабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы /> и />, что />. Поэтому естественнорассмотреть элемент />, для которого />. Отсюда />.
Коммутатором элементов /> и /> называют элемент />, который обозначаютчерез />. Ясно, что />.
Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы />, называется коммутантомгруппы /> и обозначается через />. Таким образом,
/>
Для любой неединичной подгруппы /> можно построитьцепочку коммутантов
/>
Если существует номер /> такой, что />, то группа /> называется разрешимой.
Говорят, что подгруппа /> группы /> дополняема в />, если существует такаяподгруппа />, что /> и />. В этом случаеподгруппу /> называют дополнениемк подгруппе /> в группе />.
Пусть /> – множество всехпростых чисел, а /> – некоторое множествопростых чисел, т.е. />. Дополнение к /> во множестве /> обозначим через />, т.е. />.
Зафиксируем множество простых чисел />. Если />, то число /> называется />-числом.
Подгруппа /> группы /> называется />-подгруппой, если /> есть />-число. Подгруппа /> называется />-холловой подгруппой, если /> есть />-число, а индекс /> есть />-число. Таким образом, />-холлова подгруппа –это такая />-подгруппа, индекскоторой не делится на простые числа из />.
Подгруппа /> группы /> называется холловойподгруппой, если /> – />-холлова подгруппа длянекоторого множества />. Другими словами, /> – холлова подгруппа тогдаи только тогда, когда
/>
/>-Холлову подгруппу,если она существует в группе />, называют />-дополнением.
Подгруппа /> разрешимой группы /> называется картеровойподгруппой группы />, если /> нильпотентна и />.
Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы /> называют подгруппойФиттинга группы /> и обозначают через />.
Силовская система группы /> полностью задаётся /> силовскими />-подгруппами группы /> для любого />, удовлетворяющего /> для всех />, />.
Две силовские системы /> и /> из /> называютсясопряженными, если там существует элемент /> такой, что /> для всех />.
Напомним, что подгруппа /> группы /> называется абнормальнойесли /> и /> сопряжены в в /> для любого />.
2. Используемые результаты
Теорема 2.1 Конечная группа /> тогда и толькотогда непроста, когда она содержит такие подгруппы /> и />, />, что /> перестановочна скаждой сопряжённой с /> в /> подгруппой />, и, кроме того, />. /> или /> тогда содержаться внекотором собственном нормальном делителе группы />.
Теорема 2.2 (Бернсайда) Группа /> порядка /> разрешима для любых/>.
Теорема 2.3 (Томпсона – Фейта) Группынечётного порядка разрешимы.
Теорема 2.4 (Теорема о соответствии) Пусть /> – нормальнаяподгруппа группы />. Тогда:
(1) если /> – подгруппа группы /> и />, то /> – подгруппафакторгруппы />;
(2) каждая подгруппа факторгруппы /> имеет вид />, где /> – подгруппа группы /> и />;
(3) отображение /> является биекциеймножества S/> на множество S/>;
(4) если /> S/>, то /> – нормальная подгруппагруппы /> тогда и только тогда,когда /> – нормальная подгруппафакторгруппы />.
Теорема 2.5 (Силов) Пустьконечная группа /> имеет порядок />, где /> – простое число и /> не делит />. Тогда справедливыследующие утверждения:
(1) в группе /> существует подгруппапорядка /> для каждого />;
(2) если /> – />-подгруппа группы /> и /> – подгруппа порядка />, то существует такойэлемент />, что />;
(3) любые две подгруппы порядка /> сопряжены в группе />;
(4) число подгрупп порядка /> в группе /> сравнимо с единицей помодулю /> и делит />.
Лемма 2.6 Пусть конечнаягруппа /> имеет порядок />, где /> – простое число и /> не делит />. Тогда:
(1) существует силовская />-подгруппа и её порядокравен />;
(2) каждая />-подгруппа содержится внекоторой силовской />-подгруппе;
(3) любые две силовские />-подгруппы сопряжены;
(4) число силовских />-подгрупп сравнимо сединицей по модулю /> и делит />.
Теорема 2.7 Для конечной группы/> и её силовской />-подгруппы /> справедливыследующие утверждения:
(1) если />, то /> – силовская />-подгруппа в />, а /> – силовская />-подгруппа в />;
(2) />;
(3) если /> и />, то
/>
и
/>
(4) пусть /> – все простые делителипорядка группы /> /> при />, и пусть /> – соответствующие имсиловские подгруппы. Тогда
/>
а если />, то />.
Теорема 2.8 Пусть группа /> является прямымпроизведением своих подгрупп /> и />. Тогда:
(1) каждый элемент /> единственным образомпредставим в виде />, где />, />;
(2) каждый элемент подгруппы /> перестановочен скаждым элементом подгруппы />.
Обратно, если выполняются требования (1) и (2), то />, подгруппы /> и /> нормальны в />, и />.
Теорема 2.9
(1) В каждой группе минимальная нормальная подгруппахарактеристически простая.
(2) Характеристически простая группа является прямым произведениемизоморфных простых групп.
Теорема 2.10 Для группы /> следующиетребования эквивалентны:
(1) /> – нильпотентнаягруппа;
(2) /> – прямое произведениесвоих силовских подгрупп;
(3) каждая собственная подгруппа отлична от своего нормализатора;
(4) все максимальные подгруппы нормальны;
(5) все подгруппы группы /> субнормальны.
Теорема 2.11
(1) В разрешимой неединичной группе минимальная нормальнаяподгруппа является элементарной абелевой />-подгруппой длянекоторого простого />.
(2) В разрешимой неединичной группе максимальные подгруппы имеютпримарные индексы.
(3) Главные факторы разрешимой неединичной группы являютсяэлементарными абелевыми примарными группами.
(4) Композиционные факторы разрешимой неединичной группы имеютпростые порядки.
Теорема 2.12
(1) Если группа /> содержит нормальнуюциклическую подгруппу /> и факторгруппа /> сверхразрешима, тогруппа /> сверхразрешима.
(2) Если факторгруппа /> сверхразрешима, тогруппа /> сверхразрешима.
(3) Нильпотентная группа сверхразрешима.
Лемма 2.13 Пусть /> – разрешимаягруппа. Тогда имеют место следующие утверждения:
(1) /> имеет силовскиесистемы и всякие две силовские системы группы /> сопряжены в />.
(2) Если /> и /> будет силовскойсистемой в />, тогда существуетсиловская система />, такая что /> для всех />.
(3) Если /> – силовская система в /> и />. Тогда /> покрывает каждыйцентральный главный ряд группы />.
Лемма 2.14 Пусть /> разрешимая группа,тогда:
(1) /> имеет картеровуподгруппу и любые две картеровы подгруппы из /> сопряжены;
(2) />;
(3) если /> и цоколь /> – минимальнаянормальная подгруппа группы />, тогда
/>
где />.
Лемма 2.15 Пусть /> – группа, />. Тогда справедливыследующие утверждения:
(1) Если /> сверхразрешима, то /> и /> является />-замкнутой, где /> – наибольший общийделитель />;
(2) Если />, /> сверхразрешимы, то /> являетсясверхразрешимой;
(3) /> сверхразрешима, тогдаи только тогда, когда /> является простым длякаждой максимальной подгруппы /> группы />.
Лемма 2.16 Если /> и /> – абнормальнаяподгруппа группы />. То справедливыследующие утверждения:
(1) /> абнормальна в />.
(2) Если />, то /> абнормальна в />.
Лемма 2.17. Если /> и /> – простое число, тосуществует такие силовские />-подгруппы />, /> и /> в />, /> и /> соответственно, длякоторых />.
Лемма 2.18. Пусть />, /> подгруппы группы /> и />. Тогда /> для всех />.
3. Определения, примеры и общие свойства />-перестановочных подгрупп
Напомним, что подгруппа /> группы /> перестановочна сподгруппой />, если />. Если /> перестановочна совсеми подгруппами группы />, то она называется перестановочной[] или квазинормальной в /> [].
Так как для двух перестановочных подгрупп /> и /> произведение /> также являетсяподгруппой в />, то понятиеперестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятиянормальных подгрупп.
Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Какизвестно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей []и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечнойпорождённой группе />, то /> субнормальна в /> [].
Но фактически эти два результата были получены как обобщенияследующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группыявляется субнормальной [].
Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждойперестановочной подгруппы /> конечной группы />, /> – нильпотентна [].
Немного позже было доказано, что при таких условиях,
/> [].
При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией,когда некоторые подгруппы /> и /> группы /> неперестановочны, носуществует подгруппа /> такая, что /> для некоторого />.
Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.
Определение 3.1 Пусть />, /> – подгруппы группы /> и />. Тогда мы говорим,что:
(1) /> является />-перестановочной с />, если для некоторого /> имеем />.
(2)/> является наследственно/>-перестановочной с />, если /> для некоторого />.
Заметим, что />-перестановочныеподгруппы будут являются просто перестановочными подгруппами. Во второмприведённом случае мы имеем дело с />-перестановочнымиподгруппами, которые были исследованы и использованы в [].
Рассмотрим следующих три основных примера:
Пример 3.2 Пусть /> – конечная группа, /> – силовская />-подгруппа />, /> – силовская />-подгруппа />. Тогда в общем случае />, но существует /> такой, что /> – силовская />-подгруппа группы />.
Подгруппа /> конечной группы /> называется нормальнопогружённой, если каждая её силовская подгруппа является силовскойподгруппой в некоторой нормальной подгруппе группы />.
Пример 3.3 Пусть /> – конечная разрешимаягруппа, /> и /> – нормальнопогружённые подгруппы группы />. Тогда /> является />-перестановочной с />.
Определение 3.4 Подгруппа/> группы /> называется(наследственно) />-перестановочной,если она (наследственно) />-перестановочна совсеми подгруппами группы />.
Пример 3.5. Пусть />, где /> и /> – симметричная группаиз 3 символов. Ясно, что /> не являетсяперестановочной (/> для всех нетождественных элементов />). В тоже время /> – наследственно />-перестановочна.
Рассмотрим теперь общие свойства />-перестановочных подгрупп,изложенные в следующей теореме.
Теорема 3.6 Пусть />, />, /> подгруппы группы /> и />. Тогда справедливыследующие утверждения:
(1) Если /> (наследственно) />-перестановочна с />, то /> (наследственно) />-перестановочна с />;
(2) Если /> (наследственно) />-перестановочна с />, то /> (наследственно) />-перестановочна с /> для всех />;
(3) Если /> и /> (наследственно)
/>-перестановочна с />, тогда /> (наследственно) />-перестановочна с /> в />;
(4) Если /> и /> (наследственно)
/>-перестановочна с /> в />, тогда /> (наследственно) />-перестановочна с />;
(5) Если />, /> наследственно
/>-перестановочна с />, то /> наследственно />-перестановочна;
(6) Если /> (наследственно) />-перестановочна с /> и />, то /> (наследственно) />-перестановочна с />;
(7) Если /> />-перестановочна с /> и />, то /> />-перестановочна с />.
Доказательство:
Утверждения (1), (2), (5), (6) и (7) очевидны.
(3) Пусть /> – элемент из /> (элемент />) такой что />. Тогда
/>
в /> и если />, тогда
/>
Таким образом подгруппа /> – (наследственно) />-перестановочна с /> в />.
Аналогично можно доказать утверждение (4).
Ч.т.д.
4. Конечные группы с заданными />-перестановочнымиподгруппами
Используя понятие /> – перестановочности мырассмотрим новые характеристики классов сверхразрешимых, нильпотентных иразрешимых групп.
Далее мы докажем р-разрешимость конечных групп, в которыхсобственные подгруппы фиксированного порядка некоторой силовской р-подгруппыперестановочные с каждой силовской подгруппой, порядок которой взаимно прост ср.
Используем следующие обозначения:
/> – силовскаяр-подгруппа группы /> и />.
/> – подгруппа из /> и />, где /> – натуральное число.
/> – максимальнаяподгруппа силовской р-подгруппы />.
Остальные обозначения и определения смотри в />.
Теорема 4.1. />, силовская />-подгруппа />, />-перестановочна скаждой силовской подгруппой из />, порядок которойвзаимно прост с />. Тогда /> />-разрешима.
Доказательство: Для доказательства леммы применим индукцию попорядку группы />.
Пусть /> – силовская />-подгруппа группы />,
/>-перестановочная совсеми силовскими подгруппами /> группы />, порядки которыхвзаимно просты с />.
Предположим />. Применяя теорему 3.6видим, что условие данной теоремы переносится на фактор-группы. Значит мы можемсчитать, что /> – разрешимая группа,что влечёт разрешимость группы />. Пусть теперь /> тогда, по теореме 2.1группа /> непроста.
Докажем, что любая инвариантная в /> подгруппа />
/>-разрешима.
Возьмём подгруппу />, инвариантную в />, и будем рассматриватьподгруппу />. Имеем два случая:
1) />.
В этом случае />. Тогда все />-подгруппы для /> содержатся в />. Подгруппа /> />-силовская в />. Следовательно, имеем
/>
и, согласно индукции, /> />-разрешима.
2) Пусть />.
В этом случае подгруппы /> являются
/>-силовскими в />, а /> – />-силовскими в />.
Из /> по индукции имеем, что/> />-разрешима и,следовательно, /> />-разрешима.
Так как для /> условия теоремывыполняются, то по индукции имеем />-разрешимость /> и />.
Теорема доказана.
Теорема 4.2. Пусть /> – силовская />-подгруппа />, /> и каждаямаксимальная подгруппа /> из /> перестановочна скаждой силовской подгруппой из />, порядок которойвзаимно прост с />. Тогда /> />-разрешима.
Доказательство: проведём методом индукции по порядку группы />.
Если р-силовская подгруппа /> группы /> не являетсяциклической, то она содержит две различные максимальные подгруппы /> и />. Тогда, используяусловия теоремы, имеем
/>
Отсюда, согласно теореме 4.1, /> p-разрешима.
Пусть /> – циклическаяподгруппа и /> – максимальнаяподгруппа из />.
Предположим />. Применяя теорему 3.6видим, что условие данной теоремы переносится на фактор-группы. Значит мы можемсчитать, что /> – разрешимая группа,что влечёт разрешимость группы />. Пусть теперь />, тогда по теореме 2.1группа /> непроста.
Пусть /> – инвариантнаяподгруппа />, тогда /> для /> и
/>
Подгруппа /> перестановочна сподгруппой />.
Действительно,
/>
Если /> является силовскойр-подгруппой в />, то по теореме 4.1 /> p-разрешима, аследовательно, и /> p-разрешима.
Если /> не является силовскойв />, то она максимальная всиловской подгруппе />. В том случае, когда />, по индукции /> и /> p-разрешимы.
Когда />. По подсчёту порядковимеем
/>
и /> – максимальнаяподгруппа в силовской р-подгруппе из />.
Если />, то выполняются дляподгруппы /> условия теоремы в виду
/>
следовательно, по индукции /> p-разрешима.
В случае /> имеем
/>
и из факторизации /> следует />, что для циклической /> невозможно.
Мы показали, что существует р-разрешимая инвариантная подгруппагруппы />. Тогда минимальнаяинвариантная подгруппа /> группы /> – либо р-подгруппа,либо />-подгруппа.
Пусть /> – />-подгруппа, тогда,согласно индукции, теорема верна.
Если /> – />-подгруппа, то /> будет порядка /> ввиду цикличности />. Централизатор /> содержит />. Как ранее показано,любая инвариантная подгруппа группы /> p-разрешима, поэтомуиз р-разрешимости /> и /> следует р-разрешимостьгруппы />.
Если />, т.е. /> единственная значит /> является p-разрешимой.
Теорема доказана.
Теорема 4.3Пусть в группе G P – силовскаяр-подгруппа, /> />. Если длянекоторого фиксированного натурального числа /> подгруппа /> /> с каждой силовскойподгруппой из G, порядок которой взаимно прост с р, то G p-разрешима с />.
Доказательство:
Докажем теорему методом индукции по порядку группы G. Пусть G – минимальныйконтрпример, т.е. для всех групп порядков меньше /> теорема верна. Покажемсправедливость её для группы G.
Вначале покажем, что в группе G нет инвариантных />-подгрупп.Действительно, пусть N – такая подгруппа, то, так как для /> условия теоремывыполняются, /> и G будут р-разрешимы.
По теореме 2.1 группа G непроста.
Покажем, что любая инвариантная в G подгруппа N р-разрешима. ПустьN – инвариантная подгруппа группы G, индекс которой в G равен степени р. Тогда /> для любой силовскойподгруппы Q, порядок которой взаимно прост с р. Выберем в P такую максимальнуюподгруппу />, чтобы />, и рассмотримподгруппу />.
Если />, то для подгруппы /> условия теоремывыполняются.
Действительно, возьмём подгруппу />, имеем
/>
и
/>
Следовательно, подгруппа />, а также подгруппа /> р-разрешимы.
Если />, то по Теореме 4.2сама группа />
p-разрешима.
Пусть индекс подгруппы /> в группе /> не равен степени р,тогда
/>
Рассмотрим подгруппу />. Для /> условия теоремывыполняются. Пусть /> – подгруппа порядка /> из Р, тогда имеем
/>
и
/>
Итак, подгруппа /> р-разрешима и,следовательно,
/> p-разрешима.
Так как в группе G отсутствуют инвариантные />-подгруппы, то Gсодержит инвариантную р-подгруппу.
Возьмём в группе G минимальную инвариантную подгруппу /> с />. Если />, то пусть /> – инвариантная в /> подгруппа порядка /> и />. Тогда /> инвариантна в /> для любой силовскойподгруппы /> группы /> порядка, взаимнопростого с р, и /> инвариантна в />, что противоречитминимальности подгруппы />. Таким образом, />. В том случае, когда /> для />, условия теоремывыполняются и />, а следовательно, и /> p-разрешимы.Следовательно, />.
В том случае, когда />, по Теореме 4.2 имеемр-разрешимость />. Следовательно, можнопредположить, что />.
Предположим, что />. В этом случае всякаяподгруппа /> группы />, содержащая />, не являетсяциклической и, следовательно содержит две различные максимальные подгруппы /> и /> порядка />. В связи с тем, что /> перестановочна совсякой силовской подгруппой />, для />, т.е.
/>
подгруппы /> группы /> перестановочны с />.
Таким образом, для подгрупп порядка р условия теоремы для /> выполняются и поиндукции получаем р-разрешимость /> и />.
Итак, имеем /> и, следовательно />. Отсюда следует, что /> циклическая.
Если />, то, так как /> инвариантна в группе />, она р-разрешима итакже /> p-разрешима. Такимобразом, />, т.е.
/>.
Группа /> не содержитинвариантных />-подгрупп,следовательно, /> является р-группой.Если все подгруппы порядка р содержатся в />, то /> p-разрешима. Тогдаможно предположить, что в /> содержится подгруппа />, не принадлежащая />.
Пусть имеются /> такие, что />. Тогда, так как /> перестановочна с любой/> порядка, взаимнопростого с p, по Теореме 4.1 /> p-разрешима.
Следовательно />, /> и /> перестановочна совсеми сопряжёнными подгруппами с />. Рассмотрим фактор-группу/>. Согласно Теореме 2.1группа /> содержит собственнуюинвариантную подгруппу.
Если /> минимальнаяинвариантная подгруппа группы />, то, так как /> p-разрешима, /> либо />-группа, либо р-группа.
Пусть /> – />-группа, тогда /> и /> являетсяхарактеристической подгруппой в /> и поэтому инвариантнав группе />. Получилипротиворечие, так как в группе /> нет инвариантных />-подгрупп.Следовательно, /> – элементарная абилевар-группа.
Из /> следует, что />. Группы
/>
циклические. Отсюда следует, что в группе /> все силовские q-подгруппыдля /> циклические.
Так как />, то /> имеет циклическуюсиловскую 2-подгруппу и по теореме Бернсайда /> имеет инвариантное 2-дополнение,а по теореме Томпсона-Фейта /> будет разрешимой.
Из р-разрешимости /> следует р-разрешимость/>. Из р-разрешимостиследует существование в /> p-дополнения />.
Из условия теоремы следует, что подгруппы /> из силовскойр-подгруппы /> перестановочны с />. По Теореме 2.1 />.
Теорема доказана.
Теорема 4.4 Группа /> сверхразрешиматогда и только тогда, когда каждая её циклическая подгруппа />-перестановочна скаждой максимальной подгруппой группы />.
Теорема 4.5 Группа /> являетсянильпотентной тогда и только тогда /> имеет нильпотентнуюабнормальную подгруппа /> такую, что каждыедве силовские подгруппы группы /> – />-перестановочны.
Доказательство:
Предположим, что утверждение ложно и пусть группа /> имеет минимальныйпорядок. Тогда
(1) /> – нильпотентна длянормальной подгруппы /> группы />.
Пусть /> И /> силовская />-подгруппы в /> и силовская />-подгруппа в /> соответственно. Пусть /> силовская />-подгруппа в /> и /> силовская />-подгруппа в />. Тогда /> и /> – силовские подгруппыгруппы />. Следовательно попредположению, что /> и /> – />-перестановочные, атакже по Теореме 3.6 /> – />-перестановочна с />. /> является нильпотентнойподгруппой в /> и по Лемме 2.16 /> абнормальна в />. Таким образом, нашепредположение верно для />. Поскольку />, /> – нильпотентная повыбору группы />.
(2) /> для каждой силовскойподгруппы /> группы />.
Для любого /> существует элемент /> такой, что />, а также />. Следовательно, />.
(3) /> является разрешимой.
Пусть /> – простой делитель /> и /> силовская />-подгруппа в />. Пусть /> силовская />-подгруппа в />. Тогда по второмупункту доказательства />, где />, тогда по Лемме 2.17 />, и следовательно />. Так как /> – нильпотентная, то />, а также />. Таким образом, /> имеет абелевуминимальную нормальную подгруппу. По (1) /> – сверхразрешима,отсюда получаем (3).
(4) />, где /> – нильпотентнаямаксимальная подгруппа группы /> и /> является максимальнойнормальной подгруппой в />, где />.
В виду (1) и Леммы 2.15 /> имеет уникальнуюминимальную нормальную подгруппу /> и />. Теперь используяЛемму 2.14 мы получаем (4).
(5) Конечное противоречие.
По предположению /> абнормальна в />, таким образом /> по Лемме 2.16 /> – картерова подгруппав />. Ясно, что /> также являетсякартеровой подгруппой в />. Следовательно, поЛемме 2.14 получаем />, для некоторого />. Теперь предположим,что /> – силовская />-подгруппа в />, где /> – простой делитель />, отличный от />. Тогда />, и по (2), />, что противоречитЛемме 2.18.
Теорема доказана.
Заключение
Таким образом, в данной работе мы изучили конечные группы сзаданными />-перестановочнымиподгруппами, в частности доказали следующие три новых признака p-разрешимостиконечных групп
Теорема />, силовская />-подгруппа />, />-перестановочна скаждой силовской подгруппой из />, порядок которойвзаимно прост с />. Тогда /> />-разрешима.
Теорема Пусть /> – силовская />-подгруппа />, /> и каждаямаксимальная подгруппа /> из /> перестановочна скаждой силовской подгруппой из />, порядок которойвзаимно прост с />. Тогда /> />-разрешима.
Теорема Пусть в группе G P – силовскаяр-подгруппа, /> и />. Если длянекоторого фиксированного натурального числа /> каждая подгруппа/> порядка /> перестановочна скаждой силовской подгруппой из G, порядок которой взаимно прост с р, то G p-разрешимас />.
Список использованных источников
Скиба А.Н.«Решётки и универсальные алгебры». Гомель 2003 год.
Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. «Основы теории групп».М.: наука: 1972 год.
Холл Ф.«Теория групп». М.: ИЛ, 1962 год.
Селькин М.В.«Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп». Мн.: Беларускаянавука. 1997 год.
Монахов В.С.«Введение в теорию групп и их классов». Гомель 2003 год.
K. Doerkand T. Hawkes, «Finite soluble grousp», Walter de gruyter, Berlin/New York,1992.
O. Ore,Contributions in the theory of groups of finite order. Duke Math. J. 1939.
S.E. Stonehewer,Permutable subgroups in Infinite Groups, Math. Z., 1972.
N. Ito andJ. Szйp, Uber dieQuasinormalteiler von endlichen Gruppen. Act. Sci. Math. 1962.
J. Buckley,Finite groups whose minimal subgroups are normal, Math. Z. 116, 1970, 15–17.
P. Hanck,A. Martinez-Pastor and M.D. Perez-Ramos, Fitting classes and products oftotally permutable groups. J. Algebra 252,2002, 114–126.
O.H. Kegel,Producte nilpotenter Gruppen, Arch. Math. (Basel), 12, 1961, 90–93.
O.H. Kegel.Sylow-Gruppen and Subnormalteiler endlicher Gruppen, Math. Z., 87, 1962,205–221.
RudolfMaier, A completeness property of certain formations, Bull. London Math. Soc., 24,1992, 540–544.
GouWenbin, Shum K.P., Skiba A.N. On Primitive Subgroups. – 2003. – (Препринт/ ГГУ им. Ф. Скорины; №51)
Боровиков М.Т.О р-разрешимости конечной группы. Мн.: Наука и техника, 1986.