Линейная алгебра
Основные определения
Определение.Матрицей размера m´n, где m — число строк, n — число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i — номер строки, а j — номер столбца.
А = />
Сложение и вычитаниематриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:
Определение.Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.
cij= aij±bij
С = А + В = В + А.
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
/>
a(А+В) =aА ±aВ
А(a±b) = aА ±bА
Пример.Даны матрицы А = />; B= />, найти 2А + В.
2А = />, 2А + В = />.
Операция умножения матриц
Определение:Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:
A×B= C;
/>.
Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.
Свойства операции умножения матриц
1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.
Самым характерным примером может служить единичнаяматрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.
Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.А×Е = Е×А = А
Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:
A×O= O; O×A= O,
где О – нулевая матрица.
2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).
3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:А(В + С) = АВ + АС
(А + В)С = АС + ВС.
4) Если произведение АВ определено, то для любого числа aверно соотношение:
a(AB) = (aA)B= A(aB).
5) Если определено произведение АВ, то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство:
(АВ)Т = ВТАТ, где
индексом Т обозначается транспонированная матрица.
6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.
Пример. Найти произведение матриц А = /> и В = />.
АВ = />×/> = />.
ВА = />×/> = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Пример. Найти произведение матриц А=/>, В = />
АВ = />×/>= />= />.
Определители (детерминанты)
Определение.Определителем квадратной матрицы А=/> называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:
detA= />, где
М1к– детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k– го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.
Предыдущая формулапозволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:
det A= />
Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:
detA= />, i= 1,2,…,n.
Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.
Определитель единичной матрицы равен 1.
Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.
Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Пример. Вычислить определитель матрицы А = />
/>
= -5 + 18 + 6 = 19.
Пример:. Даны матрицы А = />, В = />. Найтиdet (AB).
1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13;
det (AB) = det A ×det B = -26.
2- й способ: AB= />,
det(AB) = 7×18 — 8×19 = 126 – 152 = -26.
Миноры
Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено sстрок и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.
Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.
Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.
Алгебраические дополнения
Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.
В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.
Теорема Лапласа. Если выбрано sстрок матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.
Обратная матрица
Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.
Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:
XA = AX = E,
где Е — единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.
Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.
Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.
Исходя из определения произведения матриц, можно записать:
AX = E Þ/>, i=(1,n), j=(1,n),
eij = 0, i ¹j,
eij = 1, i = j .
Таким образом, получаем систему уравнений:
/>,
Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.
Пример. Дана матрица А = />, найти А-1.
/>
/> />
Таким образом, А-1=/>.
Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:
/>,
где Мji — дополнительный минорэлемента аji матрицы А.
Пример. Дана матрица А = />, найти А-1.
det A = 4 — 6 = -2.
M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1
x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2
Таким образом, А-1=/>.
Пример. Дана матрица А = />, найти А3.
А2 = АА = />/> = />; A3= />/>= />.
Отметим, что матрицы /> и /> являются перестановочными.
Пример. Вычислить определитель />.
/> = -1/>
/> = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.
/> = />= 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.
/>= /> = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.
Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.
Базисный минор матрицы
Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.
В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.
Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.
Пример. Определить ранг матрицы.
/>~/>~/>, /> RgA= 2.
Пример: Определить ранг матрицы.
/>~/>~/>~/>, /> Rg= 2.
Пример.Определить ранг матрицы.
/>~/>, />ÞRg= 2.
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
/>
Составим матрицы: A= />; B= />; X= />.
Систему уравнений можно записать:
A×X= B.
Сделаем следующее преобразование: A-1×A×X= A-1×B,
т.к. А-1×А = Е, то Е×Х = А-1×В
Х = А-1×В
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.
Пример.Решить систему уравнений:
/>
Х =