Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования
Определение динамических свойствобъектов с помощью дифференциальных уравнений может быть пока успешно выполненатолько для сравнительно простых объектов. Как правило, в редких случаях можнопри небольшой затрате времени составить достаточно точное дифференциальноеуравнение объекта.
В настоящие время присоставлении дифференциальных уравнений элементов и систем регулирования принятопользоваться безразмерными переменными величинами. Для этого отклонения величинотносят к каким-либо постоянным (базовым) значениям величин, например кмаксимальным или средним (номинальным). Выражая входную и выходную величиныэлемента (или системы) в долях от этих базовых величин, вводят безразмерныекоординаты.
Например, уравнение
(С*d(DQ) /СC*dt) + DQ= 2*I0*R*DI/ СC*F (1)
DI/I= XВХхарактеризует относительноеотклонение входной величины от базового значения, а DQ/ Q0= Хвыхотносительное отклонениевыходной величины. Для перехода от размерной формы записи дифференциальногоуравнения к безразмерной производят замену абсолютных координат относительными.Так, например, уравнение (1) можно записать в безразмерной форме, заменив:
DQ = Q0*Хвых и DI =I *XВХ
Тогда
С* Q0*d Хвых / СC* F* dt + Q0Хвых = 2* I02*R* XВХ/СC*F
Разделив обе части уравнения на Q0, получим:
С* dХвых / СC* F* dt + Хвых = 2* I02*R* XВХ/СC*F* Q0
Обозначим:
С/ СC* F= Т2* I02*R/ СC*F*Q0= R
Коэффициенты при производных отвыходной величины называются постоянными времени и имеют размерность времени
В самом деле,
С[дж/град]/ СC[вт/см2*град]* F[ см ]= С/ СC* F[дж*см2*град/град*вт*см2]
Коэффициент К при XВХ называется коэффициентом усиления, иестественно должен быть безразмерным:
2* I02[А2]* R[Ом]/ СC[ вт/см2*град ]*F[ см ]* Q0[град]=
= 2* I02*R/ СC*F* Q0[А2*Ом*см2*град/Вт*см2*град] =
= 2* I02*R/ СC*F*Q0[]= К
Уравнение (1) с учетом введённыхобозначений будет иметь в безразмерной форме следующий вид:
Т* Х/ вых + Х вых= К* Х вх (2)
Определим для примера уравнениекривой разгона термической печи, дифференциальное уравнение которой быловведено ранее:
Т* Х/ вых + Х вых= К* Х вх
Будем искать решение этогоуравнения в виде
Х вых = С*еrt + K* Х вх 0
Где r иС подлежат определению
Подставляя значения Х вых и Х/вых в уравнение (2). Получим
Т* С*r*еrt + С*еrt = 0
Сокращая на С*еrtбудем иметь:
Т*r+ 1 = 0
Откуда r= — 1/Т и решение примет вид
Х вых = К* Х вх 0(1-е-t/T)
При t= 0 Х вых = 0 следовательно С = К* Х вх 0. тогдауравнение кривой разгона будет:
Х вых = К* Х вх 0 (1-е-t/T)
График кривой разгона:
При t= ¥ выходная величина Х вых достигает предельногозначения
Х вых. уст = К* Х вх 0
Коэффициент усиления К определяет отношениеустановившихся значений выходной величины к входной:
К = Х вых. уст/ Х вх 0
Коэффициент усиления может бытьнепосредственно найден из графика переходной функции; постоянная времени Тхарактеризует инерционность процесса.
Таким образом, кривые разгонадают наглядное представление о характере протекания переходных процессов всистеме или объекте.