Задача 1. В партии из 60 изделий 10 – бракованных. Определить вероятностьтого, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными:
а) ровно 2 изделия;
б) не более2 изделий.
Решение.
А)
Используяклассическое определение вероятности:
/>
Р(А) –вероятность события А, где А – событие, когда среди выбранных наудачу изделийдля проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия;
m – кол-во благоприятных исходов событияА;
n – количество всех возможных исходов;
/>
/>
/>
Б)
Р(А’) –вероятность события А’, где А’ – событие, когда среди выбранных наудачу изделийдля проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий,
/>;
/>
/>
/>
/> – кол-во благоприятных исходов события />;
/> – кол-во благоприятных исходов события />;
/> – кол-во благоприятных исходов события />;
n’ – количество всех возможных исходов;
/>
/>
/>
/>
/>
Ответ:вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутсябракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%.
Задача 2. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первыйавтомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. Определить вероятностьпопадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цехпоступило соответственно 20, 10, 20 деталей.
Решение.
По формулеполной вероятности:
/>
где А –взятие хорошей детали, /> – взятиедетали из первого (второго / третьего) автомата, /> – вероятностьвзятия детали из первого (второго / третьего) автомата, /> – вероятностьвзятия хорошей детали из первого (второго / третьего) автомата, /> –вероятность попадания на сборку небракованной детали.
/>
/>
/>
/>
/>; (т. к. />) = 1% = 0.01)
/>;
/>;
/>
/>
Ответ:Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%.
Задача 3. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первыйавтомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. С каждого автомата поступило насборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказаласьбракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата.
Решение.
По формулеполной вероятности:
/>
где А’ –взятие бракованной детали, /> – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, /> – вероятностьвзятия детали из первого (второго / третьего) автомата, /> – вероятностьвзятия бракованной детали из первого (второго / третьего) автомата, /> –вероятность попадания на сборку бракованной детали.
/>
/>
/>
/>
/>; (согласно условию)
/>;
/>;
/>
/>
Согласноформуле Байеса:
/>
Ответ:Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%.
Задача 4. Рабочий обслуживает 18 станков. Вероятность выхода станкаиз строя за смену равна />.Какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков? Каковонаивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену?
Решение.
Используяформулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придетсяремонтировать 5 станков:
/>
где n – кол-во станков, m – кол-во станков, которые придётсячинить, p – вероятность выхода станка из строя за смену, q =1-р – вероятность, не выхождениястанка из строя за смену.
/>
/>
/>
/>
/>.
Ответ:Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков равна 15%.Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3.
Задача 5. В двух магазинах, продающих товары одного вида, товарооборот (втыс. грн.) за 6 месяцев представлен в таблице. Можно ли считать, чтотоварооборот в первом магазине больше, чем во втором? Принять />= 0,05.
Всепромежуточные вычисления поместить в таблице.Магазин №1 Магазин №2 20,35 20,01 20,60 23,55 32,94 25,36 37,56 30,68 40,01 35,34 25,45 23,20
Пусть, a1 – товарооборот в 1 магазине, a2 – товарооборот во 2 магазине.
Формулируемгипотезы Н0и Н1:
Н0: a1 = a2
Н1:a1 ≠ a2 xi xi-a1
(xi-a1)2 yi yi-a2
(yi-a2)2 20,35 -9,135 83,44823 20,01 -6,35 40,32 20,6 -8,885 78,94323 23,55 -2,81 7,896 32,94 3,455 11,93703 25,36 -1 1 37,56 8,075 65,20563 30,68 18,66 40,01 10,525 110,7756 35,34 4,32 80,64 25,45 -4,035 16,28123 23,20 8,98 9,98 ∑ 176,91 366,591 158,14 -3,16 158,496
a1 = /> = /> = 29,485, a2 = /> = />
/> 1 = /> = /> 73.32
/> 2 = /> = />
n 1 = n 2 = n =6
Вычислювыборочное значение статистики:
ZВ = /> */>= />
Пусть />=0,05. Определяем необходимый квантиль распределения Стьюдента: />(n1+n2-2)= 2.228.
Следовательно,так как ZВ=0,74=2,228,то мы не станем отвергать гипотезу Н0, потому что это значит, что нетвероятности того, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором.
Задача 6.По данному статистическомуряду:
1. Построить гистограмму частот.
2. Сформулировать гипотезу о виде распределения.
3. Найти оценки параметров распределения.
4. На уровне значимости /> = 0,05 проверить гипотезу ораспределении случайной величины.
Всепромежуточные вычисления помещать в соответствующие таблицы.Интервал Частота случайной величины 1 – 2 5 2 – 3 8 3 – 4 19 4 – 5 42 5 – 6 68 6 -7 44 7 – 8 21 8 – 9 9 9 – 10 4
1. Гистограмма частот:
/>
2.Предположим, что моя выборка статистического ряда имеет нормальноераспределение.
3. Дляоценки параметров распределения произведем предварительные расчеты, занесем их втаблицу:№ Интервалы
Частота,
mi
Середина
Интервала, xi
xi*mi
xi2*mi 1 1–2 5 4,5 7,5 112,5 2 2–3 8 2,5 20 50 3 3–4 19 3,5 66,5 232,75 4 4–5 42 4,5 189 350,5 5 5–6 68 5,5 374 2057 6 6–7 44 6,5 286 1859 7 7–8 21 7,5 157,5 1181,25 8 8–9 9 8,5 76,5 650,25 9 9–10 4 9,5 38 361 ∑ n=220 1215 7354,25
Найдемоценки параметров распределения:
/> = /> = 5,523
/>2= /> 2 = 2,925/> = /> = 1,71
4. всевычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы.№ Интервалы Частоты, mi
t1
t2
Ф(t1)
Ф(t2)
pi 1 -∞ – 2 5 -∞ -2,06 0,0197 0,0197 2 2–3 8 -2,06 -1,47 0,0197 0,0708 0,0511 3 3–4 19 -1,47 -0,89 0,0708 0,1867 0,1159 4 4–5 42 -0,89 -0,31 0,1867 0,3783 0,1916 5 5–6 68 -0,31 0,28 0,3783 0,6103 0,232 6 6–7 44 0,28 0,86 0,6103 0,8051 0,1948 7 7–8 21 0,86 1,45 0,8051 0,9265 0,1214 8 8–9 9 1,45 2,03 0,9265 0,9788 0,0523 9 9-∞ 4 2,03 ∞ 0,9788 1 0,0212
Где: t1= />, t2 = />, ai, bi– границы интервала, Ф(t) – Функция распределения /> нормальногозакона.
pi= Ф(t2) – Ф(t1)
Так как проверкагипотезы о распределении производится по критерию />, составляем еще однутаблицу для вычислений:№ интервала
pi mi
n* pi
/>
1
2 0,0708 13 15,57 0,4242 3 0,1159 19 25,5 1,6569 4 0,1916 42 42,15 0,0005 5 0,232 68 51,04 5,6336 6 0,1948 44 42,86 0,0303 7 0,1214 21 26,71 1,2207
8
9 0,0735 13 16,17 0,6214 ∑ 9,5876
Согласнорасчетам, />= /> =9,5876
Выбираемуровень значимости /> = 0,05 и вычисляем />1-α (k-r-1), где k – число подмножеств, r – число параметров в распределении.
/>0,95(7–2–1) = />0,95(4) = 9,49.
Сравнивполученное значение с расчетным можно сделать вывод, что так как расчетноезначение больше, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборкистатистического ряда не принимается.
Задача 7.По данным выборки вычислить:
а)выборочное значение коэффициента корреляции;
б) науровне значимости /> = 0,05 проверить гипотезу означимости коэффициента корреляции.
Решение
Формулируемгипотезы Н0и Н1:
Н0:a1 = a2
Н1:a1 ≠ a2 xi xi-a1
(xi-a1)2 yi yi-a2
(yi-а2)2 xi*yi 4,40 -0,476 0,2266 3,27 -0,47 0,2209 14,388 5,08 0,204 0,0416 4,15 0,41 0,1681 21,082 4,01 -0,866 0,7499 2,95 -0,79 0,6241 11,829 3,61 -1,266 1,6027 1,96 -1,78 3,1684 7,075 6,49 1,614 2,605 5,78 2,04 4,1616 37,512 4,23 -0,646 0,4173 3,06 -0,68 0,4824 12,944 5,79 0,914 0,8354 4,45 0,71 0,5041 25,765 5,52 0,644 0,4147 4,23 0,49 0,2401 23,349 4,68 -0,196 0,0384 3,54 -0,2 0,04 16,567 4,95 0,074 0,0055 4,01 0,27 0,0729 19,849 ∑ 48,76 - 6,9371 37,4 - 9,6626 190,36
a1 = /> =4,876, a2 = /> =3,74
/> 1 = /> = 0,7708
/> 2 = /> = 1,0736
n 1 = n 2 = n =6
а) Вычислимвыборочное значение коэффициента корреляции
/>=/>
б) Проверимна уровне значимости />=0,05 гипотезу означимости коэффициента корреляции:
/>(n-2)=2,306
Вычислимвеличину
/>=/>
получаем,что />>0.6319 т.е. попадает вкритическую область, следовательно, коэффициент корреляции можно считатьзначимым.
Задача 8. По данным выборки найти:
а) точечныеоценки математического ожидания и дисперсии;
б) сдоверительной вероятностью р =1-/>найти доверительные интервалы для математического ожидания идисперсии.α x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 0.01 3,85 8,87 21,26 6,72 0,29 15,48 7,48 0,33 0,34 1,37
Решение
а) Вычислимматематическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу.
xi
mi
mixi
mixi2 3,85 1 3,85 14,822 8,87 1 8,87 78,677 21,26 1 21,26 451,987 6,72 1 6,72 45,158 0,29 1 0,29 0,0840 15,48 1 15,48 239,630 7,48 1 7,48 55,950 0,33 1 0,33 0,109 0,34 1 0,34 0,115 1,37 1 1,37 1,877 ∑65,99 10 65,99 888,409
Математическоеожидание:
m=/>=/>
Дисперсия:
δ2=/>=/>
б) с доверительной вероятностью р =1-/>найти доверительные интервалы для математического ожидания идисперсии, считая, что выборка получена из нормальной совокупности.
/>
Определимиз таблиц значение />, где />; />
/>
Доверительныйинтервал для математического ожидания имеет вид:
/>
/>
/>
Подставивполученные значения, найдем доверительный интервал для математическогоожидания:
0,271
Доверительныйинтервал для дисперсии имеет вид:
/>
/>
/>
/>
/>
Доверительныйинтервал для дисперсии равен: 23,192