--PAGE_BREAK--при понижении цены до
(26)
Распределение прибыли будет не в пользу второй фирмы:
(27)
(28)
Первая фирма также окажется в проигрыше, поскольку вдвое уменьшит свою прибыль по сравнению с монопольной.
Уже на третьем шагепервая фирма осознает, что конкурент реагирует на её действия, и уменьшает свой выпуск на величину выпуска соперника, т.е. вдвое, ориентируясь на цель достижения монопольного выпуска отрасли при монопольной цене.
На четвертом шагевторая фирма принимает условия, предложенные конкурентом, поскольку выгоднее продавать тот же объем выпуска, что и раньше, но по более высокой монопольной цене. Значит, вторая фирма оставит свой уровень выпуска без изменения. При этом дуополисты поделят рынок поровну:
(29)
и получат одинаковую прибыль
(30)
разделив монопольную прибыль между собой.
При введенных предпосылках об однородности продукции и о равных условиях по издержкам равновесие в модели Чемберлина соответствует решению задачи максимизации прибыли отдельного дуополиста при условии молчаливого раздела рынка между конкурентами.
Функция спроса примет вид:
(31)
где q1=q2= q
Функции прибыли дуополистов идентичны (как и условия по издержкам):
(32)
Необходимое условие экстремума
(33)
определит равновесные уровни выпуска фирм (29). Они будут соответствовать максимуму прибыли, что следует из достаточного условия экстремума:
(34)
Таким образом, не вступая в прямой сговор, дуополисты Чемберлина могут установить на рынке монопольную цену.
2.3 Модель Стэкльберга
Решение проблемы асимметричной конкуренции в условиях количественной олигополии было предложено Г. фон Стэкльбергом в 1934 г. Модель Стэкльберга анализирует стратегическое взаимодействие фирм по принципу «лидер-последователь».
Если фирма первой принимает решение об уровне выпуска, то она считается лидером по объему выпуска. Лидер в модели Стэкльберга информирован о поведении последователя. Последователь осознает лидерство конкурента, рассматривая уровень выпуска лидера как заданный, и, следовательно, принимает решение об уровне своего выпуска при предпосылках модели Курно.
Пусть для определенности в модели количественной дуополии первая фирма является лидером, а вторая — последователем. При введенных предпосылках (1)- (3)решения модели для лидера и последователя не изменяется, если фирмы поменяются ролями.
Задача максимизации прибыли фирмы-последователя аналогична ситуации принятия решений в модели Курно см. (6), (8), (11), что определяет вид реакции второй фирмы, соответствующий условию (13):
(35)
Последователь рассматривает уровень выпуска лидера в качестве экзогенного параметра, т.е. принимает решение при нулевой предполагаемой вариации:
Итак, мы получили функцию, которая показывает, как фирма-последователь будет определять уровень своего выпуска в зависимости от выбора фирмы-лидера. Лидер осознает, что оказывает влияние на принятие решений конкурента, и поэтому учитывает реакцию последователя при решении задачи на максимум прибыли.
Аналитическая версия модели Стэкльберга предполагает, что последователь реагирует на изменение объема выпуска фирмы-лидера в соответствии с линией реакции Курно, которая определяет значение предполагаемой вариации в рассматриваемой нами модели:
(36)
Необходимое условие максимизации прибыли первой фирмы-лидера см. (5), (7) при такой предпосылке примет вид:
(37)
Уравнение (37)задает линию реакции лидера по Стэкльбергу и может быть переписано в виде:
(38)
Зная, что фирма-последователь будет выбирать уровень выпуска, фирма-лидер отдает предпочтение такой комбинации уровней выпуска конкурентов, которая обеспечит ей максимально возможную прибыль.[1, 25]
Равновесные уровни выпуска дуополистов Стэкльберга можно получить в результате решения системы уравнений (35), (38):
(39)
(40)
Достаточное условие максимизации прибылей дуополистов Стэкльберга показывает, что частные производные второго порядка функций прибыли отрицательны:
(41)
(42)
Значит, равновесные объемы выпуска q1*и q2*обеспечивают максимум прибыли как для лидера, так ж дня последователя при принятых, условиях их стратегического взаимодействия.
Решение модели Стэкльберга можно найти, используя другой алгоритм.
Поставив функцию зависимости q2от q1из уравнения (35)в функцию прибыли фирмы-лидера (7), получим:
(43)
Таким образом, лидер решает задачу максимизации прибыли на безусловный экстремум, где в процессе принятия решений он осознает, что отраслевой выпуск составит q1+q2(q1), т.е. учитывает реакцию последователя.
Необходимое условие экстремума:
(44)
позволяет однозначно определить наилучшее решение фирмы-лидера (достаточное условие экстремума подтверждает принятие наилучшего решения). Подставив найденный уровень выпуска первой фирмы в уравнение реакции (35)фирмы-последователя, получим равновесный уровень выпуска второй фирмы. Учитывая, что линия реакции представляет наилучший ответ на действия конкурента, равновесный уровень выпуска фирмы-последователя обеспечит ей максимум прибыли при заданных условиях взаимодействия.
Равновесные уровни выпуска дуополистов Стэкльберга обеспечивают удовлетворение рыночного спроса в объеме
(45)
при равновесной цене
(46)
При этом в соответствии с предпосылками рассматриваемой модели лидер получает прибыль в размере
(47)
что в два раза превышает уровень прибыли последователя.
2.4 Картельное соглашение
Один из примеров кооперированной олигополии — сговор между фирмами-конкурентами. Картель -это объединение олигополистов, вступающих в сговор с целью совместного принятия решения относительно уровня рыночной цены и объемов выпускаемой продукции. Образующие картель фирмы ведут себя на рынке как единый монополист, максимизируя совокупную прибыль отрасли.
Рассмотрим картель, максимизирующий прибыль при предпосылках (1)- (3).Задача максимизации прибыли для двух фирм заключается в выборе таких уровней выпуска продукции q1и q2, которые бы максимизировали совокупную прибыль отрасли П, где
(48)
Необходимое условие экстремума имеет вид:
(49)
Оно определяет систему двух одинаковых уравнений с двумя неизвестными (q1и q2), которая имеет бесконечно много решений. Любая комбинация объемов выпуска фирм (q1,q2), которая обеспечивает рыночный спрос в размере
(50)
Удовлетворяет системе уравнений (49).
Таким образом, необходимое условие экстремума задает лишь совокупный объем производства картеля. Достаточное условие экстремума с учетом вида функции (48)и знака вторых частных производных
(51)
указывает на то, что будет обеспечен максимально возможный уровень совокупной прибыли отрасли в размере
(52)
при монопольной цене
(53)
Распределение рыночных долей с точки зрения максимизации совокупной прибыли отрасли значения не имеет. Однако существует проблема согласования решений между членами картеля. Поскольку в нашей модели фирмы идентичны по издержкам производства, логично предположить, что их рыночные доли будут одинаковыми, т.е.
(54)
При этом члены картеля получают одинаковую прибыль в размере
(55)
В принципе переговоры относительно распределения рыночных долей могут быть проведены на множестве комбинаций объемов выпуска фирм. В случае максимизации совокупной прибыли отрасли предельная прибыль от производства дополнительной единицы продукции будет одинаковая (вне зависимости от того, кто из членов картеля произведет эту дополнительную единицу).
Основная проблема любого картельного соглашения — соблазн обмануть конкурента, т.е. нарушить соглашение и увеличить собственную прибыль.
Пусть в нашей модели вторая фирма честно соблюдает соглашение, в то время как первая фирма решила его нарушить. Для аналитической версии модели это означает, что первая фирма будет максимизировать свою прибыль (7) при нулевой предполагаемой вариации и фактически будет выбирать уровень своего выпуска в соответствии с линией реакции Курно (12).
Ориентируясь на уровень выпуска конкурента (54),соответствующий заключенному картельному соглашению, первая фирма выберет на линии реакции точку N,увеличив уровень своего выпуска до
(56)
Действительно, даже при понижении рыночной цены до уровня
(57)
увеличение объема выпуска первой фирмы обеспечивает ей прибыль в размере
(58)
что превышает равновесный уровень прибыли картелированной фирмы (55). В то же время, вторая фирма, честно соблюдавшая соглашение, окажется в проигрыше, уменьшив размер своей прибыли до уровня
(59)
Таким образом, в нашей модели после нарушения картельного соглашения фирма-нарушитель получит прибыль в полтора раза большую, чем ее конкурент, и можно с уверенностью сказать, что картель неустойчив.
З. Модели олигополии
3.1 Модель олигополии Курно
Стратегическое взаимодействие фирм в условиях олигополии Курно можно проиллюстрировать, если обобщить аналитическую версию дуополии Курно для случая п фирм в отрасли.
Пусть п фирм предполагают на рынке однородную продукцию в объемах продолжение
--PAGE_BREAK--q1,q2..qnпри предпосылках (1) — (3),где рыночный спрос Qскладывается из объемов предложения всех фирм в отрасли, т.е.
(3.1)
Каждый олигополист решает задачу на максимум прибыли
(3.2)
при нулевых предполагаемых вариациях. Тогда необходимое условие экстремума примет вид:
(3.3)
Оно задает функцию реакции i-го олигополиста. Совокупность функций реакции образует систему из пуравнений с пнеизвестными, в результате решения которой можно найти равновесные уровни выпуска олигополистов по аналогии со случаем дуополии Курно.[2, 121]
Однако можно поступить проще. Ведь при введенных предпосылках фирмы работают в одинаковых условиях, а значит, в условиях равновесия предлагают на рынок равные объемы производства q. Условия равновесия определяются прежде всего необходимым условием экстремума, поэтому можно просто подставить переменную qв уравнение (3.3)вместо каждой переменной qi(или qj— в зависимости от формы записи объема выпуска олигополиста). Условие (3.3)примет вид:
(3.3)
откуда легко определить равновесный уровень выпуска олигополиста Курно:
(3.4)
При этом олигополисты Курно обеспечивают рыночный спрос в объеме
(3.5)
при равновесной цене
(3.6)
что позволяет каждому из них получить максимальную прибыль в размере
(3.7)
Анализ параметров рыночного равновесия в модели олигополии Курно показывает, что решение задачи для пфирм в отрасли обобщает отдельные случаи рыночного равновесия. Так, при п = 1 одна фирма контролирует рынок, получая монопольную прибыль при монопольной цене .
При п = 2параметры равновесия соответствуют случаю дуополии Курно см. (14), (17) — (19). Очевидно, что с увеличением числа фирм на рынке отраслевой спрос удовлетворяется все в большем объеме при более низкой цене. При этом снижается уровень производства каждого отдельного олигополиста. Вместе с понижением цены это приводит к уменьшению объема получаемой прибыли.
В результате при значительном увеличении числа фирм на рынке (при) цена фактически опускается до уровня средних предельных издержек (), а уровень выпуска отдельной фирмы становится очень маленьким по сравнению с размерами рынка. Рынок олигополии Курно по всем параметрам превращается в рынок совершенной конкуренции, где фирмы не могут обеспечить себе положительную прибыль ().
Если не вводить предпосылки (2),(3), относительно издержек производства, то решение модели Курно в общем виде может быть затруднено. Важно то, что алгоритм решения останется прежним. Будут изменяться характеристики рыночного равновесия, но основные свойства сохранятся. Объемы выпуска олигополистов Курно будут в большинстве случаев различны, но цена останется выше предельных и средних издержек, и фирмы смогут обеспечить себе положительную прибыль.
Однако следует сделать существенную оговорку. Алгоритм поиска рыночного равновесия в модели олигополии Курно включает поиск решения системы из пуравнений с пнеизвестными, которая в большинстве случаев не будет линейной. Система уравнений далеко не всегда имеет решение. С другой стороны, она может иметь более одного решения.[5,78]
Таким образом, возникает проблема существования и единственности равновесного состояния на рынке олигополии. Эта проблема в той или иной степени затрагивает все модели олигополии по мере их усложнения. Кроме того, с усложнением моделей возрастают трудности поиска равновесного решения.
3.2 Модель олигополии Бертрана
Обобщение модели Бертрана для случая п фирм в отрасли фактически не изменяет основные характеристики равновесия на рынке. Логика процесса принятия решений при предпосылках (1)-(3)остается прежней.
Таким образом, ценовая война будет продолжаться до тех пор, пока цена не снизится до уровня предельных и средних издержек. Олигополисты независимо друг от друга вынуждены будут установить одну и ту же цену () обеспечивая рыночный спрос на уровне предложения на рынке совершенной конкуренции. Олигополисты Бертрана по-прежнему не смогут получить положительную прибыль и, следуя предпосылкам модели, в условиях равновесия разделяет рынок между собой. Доля предложения каждой фирмы на рынке составит п-ючасть рыночного спроса:
(3.8)
Очевидно, что при одинаковом количестве фирм на рынке олигополист Бертрана в условиях равновесия предлагает на рынок больше продукции, чем олигополист Курно (достаточно сравнить (3.4)и (3.8)), а рыночный спрос удовлетворяется в большем объеме при более низкой цене.
С увеличением числа фирм на рынке изменяется только один параметр рыночного равновесия: уменьшается доля предложения каждой отдельной фирмы. В результате при значительном увеличении числа фирм на рынке (при ) уровень выпуска отдельной фирмы становится слишком мал по сравнению с размерами рынка. В этом крайнем случае рынок олигополии Бертрана, как и рынок Курно, трансформируется в рынок совершенной конкуренции.
Пусть две фирмы на рынке предлагают однородную продукцию, зная функцию рыночного спроса (1), но имеют неравные условия по издержкам производства:
(3.9)
где с1, с2 — положительные константы.
Пусть для определенности c1меньше с2. Таким образом, у обеих фирм предельные издержки по-прежнему равны средним, но у первой фирмы из уровень меньше (c1
При данных предпосылках ценовая война неизбежна. Предположим, что ценовая война привела к понижению цены до уровня средних издержек второй фирмы (c2).Равновесие на рынке при такой цене не может быть достигнуто, поскольку первая фирма ещё способна получить выгоду от снижения цены.
Допустим, что первая фирма назначит цену на уровне
(3.10)
где .
Верхняя граница изменения существует, поскольку фирме невыгодно устанавливать цену ниже уровня средних и предельных издержек. Если цена, назначенная первой фирмой, выше её средних издержек (с1), но ниже средних издержек фирмы-конкурента (с2), то первая фирма сможет привлечь покупателей боле низкой ценой и получить положительную прибыль.
Производственная деятельность второй фирмы окажется убыточной. Продолжение ценовой войны будет увеличивать убытки второй фирмы.
Обобщая модель для случая nфирм в отрасли, можно сделать следующие выводы. При заданных условиях стратегического взаимодействия в выигрышной ситуации окажутся те фирмы, чей уровень средних и предельных издержек будет ниже. Следовательно, число фирм на рынке может сократиться.
Равновесие на рынке олигополии Бертрана также не будет единственным и, в частности, может быть достигнуто, если одна или несколько фирм смогут наладить безубыточное производство при одном и том же уровне рыночной цены.
3.3 Модель олигополии Стэкльберга
При предпосылках (1) — (3)стратегическое взаимодействие по принципу «лидер-последователь» не выгодно для обеих фирм: характеристики равновесия во многом неудовлетворительны даже для лидера, и вряд ли кто-то из конкурентов захочет быть последователем. Обобщение модели дуополии Стэкльберга при таких предпосылках не поможет ответить на вопрос, почему из множества идентичных фирм только одна окажется лидером по объему выпуска.
Пусть фирмы, как и ранее, производят однородную продукцию, зная линейную функцию рыночного спроса (1). Пусть только одна фирма (условно -первая фирма) имеет преимущество в издержках над всеми конкурентами. Сохраним предпосылку, что у всех фирм на рынке предельные издержки постоянны и равны средним издержкам.
При таких предпосылках введем обозначения. Пусть cL— предельные и средние издержки первой фирмы (лидера); cf— предельные и средние издержки каждой фирмы-последователя, где cLcf. Пусть на рынке олигополии взаимодействуют одна фирма-лидер и п фирм-последователей, т.е. рыночный спрос обеспечивают (п+ 1) фирм:
(3.11)
Последователи вынуждены признать преимущество фирмы-лидера, ибо при значительном возрастании объема предложения рыночная цена может опуститься ниже уровня средних издержек фирмы-последователя, оставаясь при этом выше уровня средних издержек фирмы-лидера (cLpcf). Значит, увеличив масштабы производства, фирма-лидер при определенных условиях может получать положительную прибыль, в то время как ее конкуренты будут иметь убытки.
Таким образом, каждый последователь осознает лидерство первой фирмы, рассматривает уровень ее выпуска как заданный и решает задачу на максимум прибыли при нулевых предполагаемых вариациях. Учитывая условие (3.11), функцию прибыли олигополиста (3.2)можно записать для фирмы-последователя в виде:
(3.12)
Необходимое условие экстремума (3.3) примет вид:
(3.13)
Обратим внимание на то, что в модели олигополии Стэкльберга последователь рассматривает уровень выпуска любого конкурента как постоянный, последователи ведут себя как олигополисты Курно.
Используем для фирм-последователей тот же алгоритм решения модели, который упростил решение задачи при анализе модели олигополии Курно. Все фирмы-последователи находятся в одинаковых условиях. Следовательно, при достижении равновесия будут предлагать на рынок равные объемы производства qf. Условие (3.13)запишем в более удобном виде:
(3.14)
откуда легко получить функцию реакции любой фирмы-последователя:
(3.15)
Фирма-лидер информирована о поведении последователей. Она осознает, что каждый последователь реагирует на изменение объема выпуска фирмы-лидера в соответствии со своей функцией реакции (3.15). Функция реакции определяет значение предполагаемой вариации:
(3.16)
Учитывая возможную реакцию последователей, первая фирма решает задачу на максимум прибыли:
(3.17)
Необходимое условие экстремума примет вид:
(3.18)
где в точке равновесия ,
делав необходимые преобразования, получим функцию реакции фирмы-лидера:
(3.19)
которая показывает, каким должен быть наилучший ответ на действия последователя.
Если на рынке олигополии Стэкльберга более одного последователя, то Предположим, что фирма-последователь уменьшит объем выпуска на единицу. Предполагаемая вариация указывает, что тогда фирма-лидер может поставлять на рынок объем товара, больший единицы. Тем самым увеличится доля рыночного спроса, удовлетворяемая с меньшими издержками производства.
Решая систему уравнений (3.15), (3.19),можно рассчитать равновесные уровни выпуска фирмы-л ид ера и фирмы-последователя:
(3.20)
(3.21)
В условиях равновесия олигополисты Стэкльберга удовлетворяют рыночный спрос в объеме
(3.22)
при рыночной цене
(3.23)
Посмотрим, что произойдет на рынке олигополии Стэкльберга при изменении двух параметров: числа фирм-последователей (п) и размера преимущества фирмы-лидера в издержках (cf-cL). Очевидно, сто рост обоих
параметров оказывает одинаковое влияние на объем предложения фирм на рынке см. (3.20), (3.21).Объем предложения лидера увеличивается, а объем предложения каждого последователя уменьшается.
Как следствие, должно произойти увеличение доли лидера на рынке. Однако, как показывает исследование, прослеживается достаточно сложная функциональная зависимость доли лидера от числа фирм-последователей и размера преимущества лидера в издержках. Только в конечном итоге большое число конкурентов увеличивает значение преимущества лидера, и его доля на рынке начинает расти.
Интересно, что с ростом числа последователей, когда коэффициент продолжение
--PAGE_BREAK--