--PAGE_BREAK--При расчете средней по интервальному вариационному ряду необходимо сначала найти середину интервалов. Это и будут значения xi, а количество единиц совокупности в каждой группе fi (таблица 2).
Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 2
Возраст рабочего, лет
Число рабочих, чел (fi)
Середина возрастного интервала, лет (xi)
20-30
30-40
40-50
50-60
60 и более
7
13
48
32
6
25
35
45
55
65
Итого
106
Х
Средний возраст рабочих цеха будет равен лет.
В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.
Средняя арифметическая обладает рядом свойств:
1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в п раз величина средней арифметической не изменится.
Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится.
2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней:
3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:
4. Если х = с, где с — постоянная величина, то .
5. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю:
Средняя гармоническая Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей.
Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле , т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.
Например, бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй — 15 мин., третий — 11, четвертый — 16 и пятый — 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.
На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:
Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:
все затраченное время
Среднее время, затраченное = —
на одну деталь число деталей
Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:
Это же решение можно представить иначе:
Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:
Средняя гармоническая взвешенная:
, где Mi=xi*fi (по содержанию).
Например, необходимо определить среднюю урожайность всех технических культур на основании следующих данных (таблица 3):
Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 3
Валовой сбор и урожайность технических культур по одному из районов во всех категориях хозяйств.
Культуры
Валовой сбор, ц (Mi)
Урожайность, ц/га (xi)
Хлопчатник
Сахарная свекла
Подсолнечник
Льноволокно
97,2
601,2
46,3
2,6
30,4
467,0
11,0
2,9
Итого
743,3
Х
Здесь в исходной информации веса (площадь под культурами) не заданы, но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на площадь Mi=xi*fi, поэтому , а средняя урожайность будет равна .
Средняя геометрическая Средняя геометрическаяприменяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.
Средняя геометрическаяисчисляется извлечением корня степени и из произведений отдельных значений — вариантов признака х:
где n — число вариантов; П — знак произведения.
Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.
Средняя квадратическая и средняя кубическая В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).
Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:
,
где x1,x2,…xn — значения признака, n- их число.
Средняя квадратическая взвешенная:
,
где f-веса.
Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы кубов отдельных значений признака на их число:
,
где x1,x2,…xn — значения признака, n- их число.
Средняя кубическая взвешенная:
,
где f-веса.
Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов x, и из их отклонений от средней (х — ) при расчете показателей вариации.
Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для «лучших» (например, для показателей выше или ниже сред- них индивидуальных).
Структурные средние. Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической практике мода и медиана.
Мода – значение случайной величины встречающейся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду это вариант имеющий наибольшую частоту.
В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:
44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;
Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.
В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле
,
где - начальное значение интервала, содержащего моду;
- величина модального интервала;
- частота модального интервала;
- частота интервала, предшествующего модальному;
- частота интервала, следующего за модальным.
Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте (таблица 4)
Распределение предприятий по численности промышленно — производственного персонала характеризуется следующими данными:
Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 4
Группы предприятий по числу работающих, чел
Число предприятий
100 — 200
1
200 — 300
3
300 — 400
7
400 — 500
30
500 — 600
19
600 — 700
15
700 — 800
5
ИТОГО
80
В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.
Введем следующие обозначения:
=400, =100, =30, =7, =19
Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:
Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др.
Медиана — это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.
В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности — это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у 14-го, если они выстроятся по росту. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.
В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:
, где
x0 — нижняя гранича медианного интервала;
iMe — величина медианного интервала;
Sme-1 — сумма накопленных частот до медианного интервала;
fMe — частота медианного интервала.
Распределение предприятий по численности промышленно — производственного персонала характеризуется следующими данными:
Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 5
Группы предприятий по числу рабочих, чел.
Число предприятий
Сумма накопительных частот
100 — 200
1
1
200 — 300
3
4 (1+3)
300 — 400
7
11 (4+7)
400 — 500
30
41 (11+30)
500 — 600
19
—
600 — 700
15
—
700 — 800
5
—
ИТОГО
80
Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 — 500. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.
Известно, что:
Следовательно,
.
Cоотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если M0 имеет место правосторонняя асимметрия. Если же чел. Из соотношения этих показателей следует сделать вывод о правосторонней асимметрии распределения предприятий по численности промышленно — производственного персонала.
Мода и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.
Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.
Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.
Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части — квартели, на пять равных частей — квинтели, на десять частей — децели, на сто частей — перцентели.
Расчетная часть Задание:
1. Определите, по первичным данным таблицы №7(в методическом указании №5.2) среднегодовую стоимость основных производственных фондов в расчете на одно предприятие.
2. Постройте статистический ряд распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав четыре группы предприятий с равными интервалами, охарактеризовав их числом предприятий и их удельным весом.
По ряду распределения (п.2) рассчитайте среднегодовую стоимость основных производственных фондов, взвешивая варианты признака:
а) по числу предприятий;
б) по удельному весу предприятий.
Сравните полученную среднюю с п.1, поясните их расхождение.
3. Имеются данные о финансовых показателях предприятий фирмы за отчетный период (таблица №6):
Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 6
Предприятия
Получено прибыли, тыс.руб.
Акционерный капитал, тыс.руб.
Рентабельность акционерного капитала, %
Удельный вес акционерного капитала в общем объеме, %
A
1
2
3
4
1
1512
5040
30
42
2
528
1320
40
11
3
1410
5640
25
47
Определите средний процент рентабельности акционерного капитала фирмы, используя показатели:
а) гр.1 и гр. 2; в) гр.1 и гр.3;
б) гр.2 и гр. 3; г) гр.3 и гр.4.
Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 7
№ п/п
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.
Выпуск продукции, млн. руб.
А
1
2
1
27
21
2
46
27
3
33
41
4
35
30
5
41
47
6
42
42
7
53
34
8
55
57
9
60
46
10
46
48
11
39
45
12
45
43
13
57
48
14
56
60
15
36
35
16
47
40
17
20
24
18
29
36
19
26
19
20
49
39
21
38
35
22
37
34
23
56
61
24
49
50
25
37
38
26
33
30
27
55
51
28
44
46
29
41
38
30
28
35
Решение:
1. Для определения среднегодовой стоимости основных производственных фондов в расчете на одно предприятие воспользуемся формулой средней арифметической простой (т.к. имеются индивидуальные несгруппированные значения признака),
где x1,x2,…xn — среднегодовая стоимость основных производственных фондов; n – число предприятий.
=42 (млн.руб.),
где x1=27,x2=46,…x30=28 — среднегодовая стоимость основных производственных фондов; n =30 – число предприятий.
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов в расчете на одно предприятие равна 42 млн.руб.
2. Для построения статистического ряда распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов с выделением 4 групп найдем величину равного интервала:
Величина равного интервала определяется по формуле:
,
где xmaxи xmin– максимальное и минимальное значение признака, n – число групп.
где xmax=60, xmin=20 — максимальное и минимальное значение среднегодовой стоимости основных производственных фондов (млн. руб.)
n=4 – группы предприятий.
Путем прибавления величины интервала к минимальному значению признака в группе получим следующие группы предприятий по значению среднегодовой стоимости основных производственных фондов (табл. 8)
Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 8
продолжение
--PAGE_BREAK--