Полуточка: модель скорости
Каратаев Евгений Анатольевич
Настоящая статья строит модель скорости в рамках модели полуточки и приводит две простых иллюстрации, демонстрирующие и иллюстрирующие модель скорости в общеизвестных случаях поступательной и вращательной скорости. В статье приводится в основном модель скорости, и разбор отдельных случаев скорости и её видов представляется либо темой отдельной статьи, либо большой работы о кинематике, выраженной на языке гиперкомплексных чисел.
Для понимания предлагаемой модели скорости частично повторим основные положения модели полуточки и модели миров.
Точка пространства испытывает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой:
/>
(1)
Считается, что точка />принадлежит миру с временем />:
/>
(2)
В этой статье понятия системы координат и системы отсчёта полагаются совпадающими. Полагается, что положение точки и её состояние измеряются в некоторой идеальной системе, выбираемой наблюдателем по его усмотрению.
Состояния точки в два различных момента времени могут быть определены относительно одной и той же системы координат. Будем полагать, что из первого состояния во второе можно попасть, совершив преобразование системы координат:
/>
(3)
Здесь величина />определяет преобразование, которое следует совершить для такого перехода. При этом />есть разность времён этих двух миров:
/>
(4)
Также будем полагать, что эти два состояния разделены друг от друга бесконечно малым расстоянием во времени:
/>
(5)
Под скоростью будем понимать величину, определенную классическим способом: Если величина />зависит от величины />, и с течением />величина />испытывает изменение, то скоростью называется предел отношения приращений величин />и />:
/>
(6)
Ещё одно небольшое отступление нужно сделать для описания и выбора точной модели преобразования Пуанкаре. Дело в том, что пока рассматриваются лишь пространственно-временные преобразования, им в действительности удовлетворяет два различных преобразования:
/>
(7)
и
/>
(8)
Здесь в первом случае используется скалярно-векторное сопряжение, во втором — скалярно-алгебраическое. Для того, чтобы выявить, в чем они различаются с точки зрения группы Пуанкаре, распишем их операторное представление:
/>
(9)
/>
(10)
/>
(11)
Видно, что эти два оператора отличаются псевдоскалярной частью параметра. В силу того, что её можно вынести из оператора преобразования, оба варианта могут быть представлены как:
/>
(12)
/>
(13)
где через />обозначен оператор />с вынесенной псевдоскалярной составляющей из его параметров:
/>
(14)
Таким образом, предстоит сделать выбор между двумя вариантами преобразований: 1) использовать скалярно-векторное сопряжение или 2) использовать скалярно-алгебраическое сопряжение. Выберем вариант 1 с отбрасыванием рассмотрения псевдоскалярной составляющей параметра преобразований в силу того, что пока в наши цели не входит рассмотрение псевдоскалярных преобразований и в силу того, что векторное сопряжение удобнее в силу его линейности.
А именно:
/>
(15)
/>
(16)
Поэтому мы можем выполнить дальнейший вывод более наглядно.
В силу того, что величина />и её приращение являются скалярами, имеем:
/>
(17)
И в случае когда />мало, имеем:
/>
(18)
/>
(19)
Используя это соотношение для преобразования полуточки, распишем выражение для преобразования точки:
/>
/>
(20)
Оставив члены первого порядка малости по />:
/>
(21)
Используя определение полуточки
/>
получим:
/>
(22)
Положив точку функцией величины />и сравнив с разложением её в ряд Тейлора в окрестности />, получим:
/>
(23)
Это выражение и является определением скорости точки />, если она движется во времени />, испытывая в каждый его момент преобразование Пуанкаре:
/>
(24)
Выражение (23) является скалярно-векторно сопряжённым самому себе:
/>
(25)
То есть абсолютное приращение точки />выполняется несмотря на произвольность величины />так, что точка />остается сама себе скалярно-векторно сопряжённой.
Отметим также, что в силу свойства точки />верно равенство:
/>
(26)
Далее…
Придерживаясь модели полной группы Пуанкере, мы должны считать величины />и />дуальными бикватернионами, имеющими 16 компонент. В силу требования скалярно-векторной сопряжённости самой себе точка часть компонентов имеет нулевыми.
Для понимания дальнейшего вывода представим величины />и />в виде, явно содержащем разделение на главную и дуальную части:
/>
/>
(27)
Здесь индексом />обозначены главные части, а индексом /> — дуальные. Пользуясь введенным обозначением, распишем выражение скорости:
/>
Сгруппировав главные и дуальные части, получим:
/>
(28)
Используя это разложение в главных и дуальных частях и задавая различные частные случаи величин />, />, />и />, оценим характер вклада в скорость точки />отдельных величин />и />. А также найдём их сопоставление отдельным общеизвестным скоростям.
Случай 1.
Зададим точку />как дуальный вектор с единичной главной частью:
/>
(29)
а величину />как дуальный вектор с нулевой главной частью:
/>
(30)
Тогда, используя разложение (29), найдем скорость точки при таком преобразовании:
/>
(31)
В силу того, что выбрано условие />, имеем:
/>
(32)
Таким образом, в приведённых выше условиях величина />является линейной скоростью приращения дуальной части />. В силу того, что в состав величины />входит как полярная, так и дуальная части, то есть:
/>
(33)
то в силу свойств функций />и />, определённых как
/>
(34)
/>
(35)
И имеющих свойства сопрягаться:
/>
(36)
/>
(37)
Имеем равенство для первого случая:
/>
(38)
Или: величина />является линейной скоростью изменения вектора />.
Случай 2. Выберем величины />и />такими, что выполняются следующие условия:
/>
(39)
Используя выражение (29) с этими условиями, получим:
/>
(40)
В силу выбора />и свойства (38) имеем:
/>
(41)
И, также в силу свойства (38), в выражении скорости остаются члены:
/>
(42)
Переведя величины />и />в векторную запись и раскрыв произведение по правилу произведения кватернионов, получим:
/>
(43)
где с помощью скобок [] обозначено традиционное векторное произведение 3-х мерных векторов />и />.
Или: величина />является угловой скоростью вращения вектора />.
Таким образом, величины />и />имеют всем хорошо известные механические кинематические интерпретации.
Целью настоящей работы было дать модель скорости и её иллюстрация в частных случаях. Поэтому полный разбор сочетаний />и />здесь не рассматривается и автор полагает, что такое рассмотрение должно стать темой отдельной работы, посвящённой именно этому вопросу.
К будущим исследованиям могут быть отнесены: величины />и />, а также отдельное исследование главной части точки />. В данной работе рассматривалась лишь её дуальная составляющая. Но общая модель преобразования Пуанкаре потребовала объединения в одну величину дуальной и главной частей вектора />, существенно увеличив его размерность. Автор полагает, что будущие исследования покажут оправданность такого объединения. Кроме того, остаётся совершенно нерассмотренной возможность замены скалярно-векторного сопряжения на скалярно-алгебраическое в преобразовании Пуанкаре и следствия такой замены. --PAGE_BREAK--Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта karataev.nm.ru/