--PAGE_BREAK--ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.
Пусть требуется решить систему уравнений
(1)
где— заданные, нелинейные (среди них могут быть и линейные)
вещественнозначные функции п вещественных переменных . Обозначив
, ,
данную систему (2.1) можно записать одним уравнением
(2)
относительно векторной функции F
векторного аргумента х. Таким образом, исходную задачу можно рассматривать как задачу о нулях нелинейного отображения В этой постановке она является прямым обобщением основной задачи предыдущей главы — задачи построения методов нахождения нулей одномерных нелинейных отображений. Фактически это та же задача, только в пространствах большей размерности. Поэтому можно как заново строить методы ее решения на основе разработанных выше подходов, так и осуществлять формальный перенос выведенных для скалярного случая расчетных формул. В любом случае следует позаботиться о правомочности тех или иных операций над векторными переменными и векторными функциями, а также о сходимости получаемых таким способом итерационных процессов. Часто теоремы сходимости для этих процессов являются тривиальными обобщениями соответствующих результатов, полученных для методов решения скалярных уравнений. Однако не все результаты и не все методы можно перенести со случая п = 1 на случай п ≥2. Например, здесь уже не будут работать методы дихотомии, поскольку множество векторов не упорядочено. В то же время, переход от n= 1 до n
≥2 вносит в задачу нахождения нулей нелинейного отображения свою специфику, учет которой приводит к новым методам и к различным модификациям уже имеющихся. В частности, большая вариативность методов решения нелинейных систем связана с разнообразием способов, которыми можно решать линейные алгебраические задачи, возникающие при пошаговой линеаризации данной нелинейной вектор-функции F
(
x
).
2) Метод линеаризации.
С наиболее общих позиций метод Ньютона можно рассматривать как итерационный метод, использующий специальную линеаризацию задачи и позволяющий свести решение исходного нелинейного уравнения к решению последовательности линейных уравнений.
Пусть приближение уже получено. Представим функцию в окрестности точки по формуле Тейлора:
. (1.4)
Здесь — некоторая точка, расположенная между и . Заменяя в уравнении функцию главной линейной частью разложений (1.4), получим линейное уравнение:
. (1.5)
Принимая решение уравнения (5) за новое приближение , приходим к формуле (1.3).
--PAGE_BREAK--1.3. КРИТЕРИЙ ОКОНЧАНИЯ.
На практике предпочтительнее использование простой апостериорной оценки:
, (1.8)
справедливость которой обосновывается следующим утверждением.
Теорема 2.
Пусть выполнены условия теоремы 1 и . Тогда для всех верна оценка (8).
Из оценки (1.7) следует, что . Поэтому, применяя неравенство (6), получим цепочку неравенств:
,
из которой вытекает оценка (1.8).
Наличие оценки (1.8) позволяет сформулировать следующий практический критерий окончания итерации метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не окажется выполнимым равенство:
. (1.9)
Пример 1.
Используя метод Ньютона, найдём с точностью положительный корень уравнения .
Для имеем . Очевидно, что , т.е. -простой корень. Возьмём начальное приближение и будем выполнять итерации метода Ньютона по формуле:
.
Результаты первых итераций с 10 знаками мантиссы приведены в табл. 1.
Табл. 1
При вычисления следует прекратить, и после округления получим .
Сравнение результатов итераций со значением показывает, что приближения содержат 1, 3, 6 верных значащих цифр соответственно. Это подтверждает отмеченный ранее факт, что при каждой итерации метода Ньютона число верных значащих цифр примерно удваивается.
Пример 2.
Используя метод Ньютона, укажем итерационный процесс вычисления , где , — натуральное число.
По определению, — это неотрицательная величина, удовлетворяющая равенству . Таким образом, задача сводится к вычислению положительного корня уравнения , где . Итерационная формула метода Ньютона имеет вид:
. (1.10)
--PAGE_BREAK--2. МЕТОД НЬЮТОНА И ЕГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 2.1. ОПИСАНИЕ МЕТОДА.
Обобщим метод Ньютона, изложенный в пункте 1 для решения одного нелинейного уравнения, на решение систем нелинейных уравнений. При этом будем исходить из трактовки метода Ньютона как метода линеаризации.
Предположим, что исходя из начального приближения к решению построены приближения . Заменим в системе
(*)
каждую из функций линейной частью её разложения по формуле Тейлора в точке :
.
В результате придём к системе линейных алгебраических уравнений:
,
,
. . . . . . . . . . . . . . .
,
имеющей в матричной форме записи вид:
. (2.1)
Здесь — матрица Якоби. .
Предположим, что матрица невырожденная, т.е. существует обратная матрица . Тогда система (2.1) имеет единственное решение, которое принимается за очередное приближение к решению . Таким образом, приближение удовлетворяет равенству:
, (2.2)
выражая из которого , выводим итерационную формулу метода Ньютона:
. (2.3)
Замечание.
Формула (2.3) предполагает использование трудоёмкой операции обращения матрицы, поэтому непосредственное её использование для вычисления в большинстве случаев нецелесообразно. Обычно вместо этого решают эквивалентную системе (2.2) систему линейных алгебраических уравнений:
(2.4)
относительно поправки . Затем полагают:
(2.5)
2.2. СХОДИМОСТЬ МЕТОДА.
Сформулируем основную теорему о сходимости метода Ньютона.
Теорема 3.
Пусть в некоторой окрестности решения системы (*) функции дважды непрерывно дифференцируемы и матрица невырождена. Тогда найдётся такая малая — окрестность решения , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка:
, .
Эта оценка означает, что метод сходится с квадратичной скоростью.
Квадратичная скорость сходимости метода Ньютона позволяет использовать простой практический критерий окончания:
. (2.6)
Пример 3.
Используя метод Ньютона, найдём с точностью решение , системы .
Возьмём , и будем вести вычисления по формулам (2.4), (2.5), в которых
, .
Результаты вычислений с шестью знаками мантиссы приведены в табл. 2.
Табл. 2
При критерий окончания выполняется и можно положить , .
продолжение
--PAGE_BREAK--2.3. ТРУДНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ.
Трудности использования метода Ньютона не только сохраняются, но и усугубляются. Во-первых, возникает проблема вычисления на каждой итерации матрицы из частных производных, что само по себе может оказаться весьма сложным делом. Во-вторых, обостряется проблема нахождения хорошего начального приближения. Её решить в многомерном случае гораздо труднее, чем в одномерном.
--PAGE_BREAK--