ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПООБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА кафедра экономики КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Экономико –математические методы в управлении»
вариант №30
КАЛИНИНГРАД
2008
Задание
Задание 1.2.
Смесь можно составить из nпродуктов Сj(j=1,n). В каждом из продуктовсодержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-гокомпонента в смеси выражается величиной bi (i=1,3).Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной аij. Цена единицыj-го продукта равна сj. Составитьсмесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболеерациональный способ.
C1
C2
C3
bi
cj 9 6 7
a1j 7 5 8 70
a2j 8 2 3 40
a3j 9 6 7 50
Задание 2.2.
Найти графоаналитическим методом оптимальноерешение задачи нелинейного программирования.
/>maxZ = 3.6x1 – 0.2x12+ 0.8x2 – 0.2x22
2x1 + x2 ≥10
x12 -10x1+ x2 ≤ 75
x2 ≥ 0
Задание 3.1.
После нескольких лет эксплуатацииоборудование может оказаться в одном из трех состояний:
1) требуется профилактический ремонт;
2) требуется замена отдельных деталейи узлов;
3) требуется капитальный ремонт.
В зависимости отситуации руководство предприятия может принять следующие решения:
1) отремонтировать оборудованиесвоими силами, что потребует затрат а;
2) вызвать специальную бригадуремонтников, расходы в этом случае составят b;
3) заменить оборудование новым,реализовав устаревшее по остаточной стоимости… Совокупные затраты на этомероприятие составят с.
Требуется найтиоптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетомследующих предположений:
а) на основеобобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятностинаступления соответствующих состояний – q;
б) имеющийся опытсвидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;
в) о вероятностяхнаступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.
П1
П2
П3
a 13 9 15
b 20 12 11
c 18 10 14
q 0.3 0.45 0.25
λ = 0.7
Задание 1.2.
Смесь можно составить из n продуктовСj(j=1,n). В каждом из продуктов содержится mкомпонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смесивыражается величиной bi (i=1,3). Содержание i-гокомпонента в единице j-го продукта выражается величиной аij. Цена единицыj-го продукта равна сj. Составитьсмесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболеерациональный способ. C1 C2 C3 bi cj 9 6 7 a1j 7 5 8 70 a2j 8 2 3 40 a3j 9 6 7 50
/>Смесь, минимальная по стоимости:
7x1 + 5x2 + 8x3 ≥70
8x1 + 2x2 + 3x3 ≥40
9x1 + 6x2 + 7x3 ≥50
x1 ≥ 0; x2 ≥0; x3 ≥ 0
F = 9x1 + 6x2 + 7x3→ min
После транспонирования матрицы элементов aij, cсимметричная двойственная задача будет иметь вид:
S(y1,y2,y3) = 70y1 + 40y2 + 50y3 → max,при ограничениях:
/>7y1 + 8y2 + 9y3 ≥9
5y1 + 2y2 + 6y3 ≥6
8y1 + 3y2 + 7y3 ≥7
y1 ≥ 0; y2 ≥ 0; y3 ≥ 0
Для решения двойственной задачи линейногопрограммирования симплекс – методом, приведём систему неравенств к виду системыуравнений:
/>7y1 + 8y2 + 9y3 + y4 ≥ 9
5y1 + 2y2 + 6y3 + y5 ≥ 6
8y1 + 3y2 + 7y3 + y6 ≥ 7
y1≥0;y2≥0;y3≥0;y1≥0;y2≥0;y3≥0
S(y1,y2,y3) = 70y1 + 40y2 + 50y3 → max
По правилу соответствия переменных, базиснымпеременным прямой задачи соответствуют свободные переменные двойственнойзадачи:
/>/>/>/>/>/>x1 x2 x3 x4 x5 x6
y1 y2 y3 y4 y5 y6
Первая симплексная таблица:Базис Сб А0
y1
70
y2
40
y3
50
y4
y5
y6 y4 9 7 8 9 1 y5 6 5 2 6 1 y6 7 8 3 7 1 -70 -40 -50
Вторая симплексная таблица:Базис Сб А0
y1
70
y2
40
y3
50
y4
y5
y6 y4 23/8 43/8 23/8 1 -7/8 y5 13/8 1/8 13/8 1 -5/8 y1 70 7/8 1 3/8 7/8 1/8 245/4 -55/4 45/4 35/4
Третья симплексная таблица:Базис Сб А0
y1
70
y2
40
y3
50
y4
y5
y6 Y2 40 23/43 1 23/43 8/43 -7/43 y5 67/43 67/43 -1/43 1 -26/43 y1 70 29/43 1 29/43 -3/43 8/43 2950/43 800/43 110/43 280/43
В последней таблице в строке Δ нет отрицательныхэлементов. В соответствии с критерием оптимальности точка максимума Smax = 2950/43 достигнута при значениях: y1 = 29/43; y2 = 23/43; y3 = 0.
По теореме двойственности: Fmin= Smax = 2950/43.
На основании правила соответствия между переменными,оптимальное решение прямой задачи:
/>/>/>y4 x1 = 110/43 y5 x2 = 0 y6 x3 = 280/43
Ответ: Всмесь минимальной стоимости 2950/43 целесообразно включить 110/43 единицпродукта C1, 280/43единиц продукта C3, апродукт C2 невключать.
Задание 2.2.
Найти графоаналитическим методомоптимальное решение задачи нелинейного программирования.
maxZ = 3.6x1 – 0.2x12+ 0.8x2 – 0.2x22
/>2x1 + x2 ≥ 10
x12 -10x1 + x2≤ 75
x2 ≥0
В данной задаче имеется нелинейная целевая функция снелинейной системой ограничений. Графическая схема позволит определитьположение точки оптимума.
Сначала необходимо преобразовать формулу целевойфункции так, чтобы получить её графическое отображение. Воспользуемся методомвыделения полного квадрата двучлена относительно x1 и x2,разделив левую и правую части формулы на -0.2:
-5Z =x12 -18x1 + x22 – 4x2
Добавим к левой и правой частям уравнения числа,необходимые для выделения полных квадратов двучлена в правой части выражения:
92 и 22 в сумме составляют 85:
85 – 5Z = (x1 – 9)2+ (x2 – 2)2
В результате получилась формула, позволяющаяграфически изобразить целевую функцию в виде линии уровня на плоскости X1OX2. Данные линии уровняпредставляют собой окружности с общим центром в точке O (9;2). Даннаяточка является точкой абсолютного экстремума целевой функции.
Для определения характера экстремума нужно провестианализ целевой функции на выпуклость/вогнутость. Для этого необходимоопределить вторые частные производные и составить из них матрицу:/> /> /> /> /> /> />
Z”x1x1 Z”x1x2 = -0.4 0
Z”x2x1 Z”x2x2 0 -0.4
Определим знаки главных миноров данной матрицы.
Главный минор первого порядка -0.4
Главный минор второго порядка 0.16 > 0.
Т.к. знаки миноров чередуются, функция Z — строго вогнута. Экстремум вогнутых функций – max,следовательно в точке О у целевой функции находится абсолютный максимум.
Для построения области допустимых значений преобразуемвторое неравенство системы ограничений:
x12 – 10x1 + x2 ≤75
x12 – 10x1 + 25 + x2 ≤ 100
(x1 – 5)2+ x2 ≤100
(x1 – 5)2≤ 100 – x2
Уравнение (x1 – 5)2 = 100 – x2 выразим через переменные x1* и x2*:
/>x1* = x1 – 5
x2* = 100 – x2
Уравнение примет вид: x1*2 = x2*.
В системе координат X1*O*X2* данноеуравнение является каноническим уравнением параболы.
/>
На рисунке область допустимых значений – ограниченнаячасть плоскости ABCD. Из полученного графика видно, что точка абсолютногомаксимума Z лежит внутри ОДР. Следовательно, целевая функцияпринимает максимальное значение в этой точке:
max Z = Z(O) = Z(9;2) = 17
Задание 3.1
После нескольких лет эксплуатацииоборудование может оказаться в одном из трех состояний:
1) требуется профилактический ремонт;
2) требуется замена отдельных деталей иузлов;
3) требуется капитальный ремонт.
В зависимости отситуации руководство предприятия может принять следующие решения:
1) отремонтировать оборудованиесвоими силами, что потребует затрат а;
2) вызвать специальную бригадуремонтников, расходы в этом случае составят b;
3) заменить оборудование новым,реализовав устаревшее по остаточной стоимости… Совокупные затраты на этомероприятие составят с.
Требуется найтиоптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетомследующих предположений:
а) на основеобобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятностинаступления соответствующих состояний – q;
б) имеющийся опытсвидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;
в) о вероятностяхнаступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя. П1 П2 П3 a 13 9 15 b 20 12 11 c 18 10 14 q 0.3 0.45 0.25
λ = 0.7
Составим платёжнуюматрицу, в которой Пj – состояния оборудования, Аi – альтернативы принятия решений: П1 П2 П3 А1 -13 -9 -15 А2 -20 -12 -11 А3 -18 -10 -14
Для принятияоптимального решения в случае а). воспользуемся критерием Байеса; в случае б).критерием Лапласа; в случае в). критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица.
а). на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичногооборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний: q1= 0.3; q2 =0.45; q3 =0.25
Критерий Байеса.
Для каждойальтернативы найдём средний выигрыш: `ai= ∑aij×qj
`a1 = -11.7 `a2 = -14.15 `a3 = -13.4 П1 П2 П3 `ai А1 -13 -9 -15 -11.7 А2 -20 -12 -11 -14.15 А3 -18 -10 -14 -13.4 qj 0.3 0.45 0.25
Из средних выигрышейвыбираем максимальный: maxai= `a1=-11.7 – первая альтернативаоптимальна в случае известных вероятностей наступления событий при выборерешения по критерию Байеса.
б). имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятностинаступления соответствующих состояний;
Критерий Лапласа.
Для каждойальтернативы найдём средний выигрыш: `ai= 1/3∑aij
`a1 = -12.3 `a2 = -14.3 `a3 = -14 П1 П2 П3 `ai А1 -13 -9 -15 -12.3 А2 -20 -12 -11 -14.3 А3 -18 -10 -14 -14
Из средних выигрышейвыбираем максимальный: maxai= `a1=-12.3 – первая альтернативаоптимальна в случае равной вероятности наступления событий при выборе решенияпо критерию Лапласа.
в). о вероятностях наступления соответствующих состоянийничего определенного сказать нельзя.
Критерий Вальда.
Для каждой альтернативы определимнаихудший исход. di – минимальный элемент строки. Из наихудших исходоввыбираем наилучший, т.е. максимальный di. П1 П2 П3 di А1 -13 -9 -15 -15 А2 -20 -12 -11 -20 А3 -18 -10 -14 -18
maxdi= d1=-15 – первая альтернатива оптимальнапо критерию Вальда.
Критерий Сэвиджа.
Для каждого столбца находим максимальныйэлемент βj.
П1
П2
П3
А1 -13 -9 -15
А2 -20 -12 -11
А3 -18 -10 -14
βj -13 -9 -11
Построим матрицу рисков, элементы которой:rij= βj— aij max ri 4 4 7 3 7 5 1 3 5
В матрице рисков в каждой строке найдёммаксимальный риск, и из них выберем минимальный: minr= r1= 4 –первая альтернатива оптимальна по критерию Сэвиджа.
Критерий Гурвица.
Для каждой строки находим минимальный di и максимальный βj. П1 П2 П3 di βj χi А1 -13 -9 -15 -15 -9 -13.2 А2 -20 -12 -11 -20 -11 -17.3 А3 -18 -10 -14 -18 -10 -15.6
χi= λ × di + (1 – λ) ×βj λ = 0.7
Максимальный из элементов последнегостолбца:maxχi=χ1 = -13.2 – перваяальтернатива оптимальна по критерию Гурвица.