ЗАДАЧА 1
По исходным даннымвычислить основные аналитические показатели рядов динамики (по цепной ибазисной схемам):
а) средний уровеньряда динамики;
б) абсолютныйприрост;
в) темп роста;
г) темп прироста;
д) абсолютноезначение 1% прироста;
е) средний темпроста и средний темп прироста.
Средний уровеньинтервального ряда определим по формуле:
/>
где Yi– значение грузооборота;
n – число значений в динамическомряду.
Абсолютный приростотносительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:
ΔYi=Yi-Y0
Абсолютный приростгрузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:
ΔYi=Yi-Yi-1
Темп роста относительнобазисного уровня грузооборота определим по формуле:
/>
Темп роста грузооборотаотносительно предшествующего года определим по формуле:
/>
Темп приростаотносительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:
/>
Темп прироста грузооборотаотносительно предшествующего года определим по формуле:
/>
Средний темп ростагрузооборота определим по формуле:
/>
Средний темп приростагрузооборота определим по формуле:
/>
Абсолютное значениеодного процента прироста определим по формуле:
/>
Результаты расчётааналитических показателей ряда динамики представим в таблице 1.1
Таблица 1 – Основныеаналитические показатели ряда динамикиПоказатель Схема счета Периоды 1 2 3 4 5 6 7 8 Уровень ряда 1199 1253 1573 1385 1276 1385 1266 1358 Средний уровень ряда 1336,875 Абсолютный прирост Базисная 100 54,0 374,0 186,0 77,0 186 67 159 Цепная 100 54,0 320,0 -188,0 -109,0 109,0 -119,0 92,0 Темп роста Базисная 100 104,5 131,2 115,5 106,4 115,5 105,6 113,3 Цепная 100 104,5 125,5 88,0 92,1 108,5 91,4 107,3 Темп прироста Базисная 100 4,5 31,2 15,5 6,4 15,5 5,6 13,3 Цепная 100 4,5 25,5 -12,0 -7,9 8,5 -8,6 7,3 Абсолютное значение 1% прироста 11,99 12,53 15,73 13,85 12,76 13,85 12,66 Средний темп роста 101,79 Средний темп прироста 1,79
Произведем сглаживаниеданных за три года при помощи двенадцатимесячной скользящей средней,централизованной на седьмой месяц. Рассчитаем коэффициент сезонности по даннымтрех лет, и построим график сезонной волны.
Сглаживание рядовдинамики производится с помощью простых средних, скользящей средней, методамианалитического выравнивания. Скользящие средние рассчитываются по формулам:
/>;
/> и т.д. — нецентрализованная
/> - централизованная
Коэффициент сезонностиопределяется как отношение уровней ряда к их среднему уровню по формуле:
/>
Средний коэффициентсезонности за рассматриваемый период находим по формуле:
/>
где n – количество рассчитанныхкоэффициентов сезонности по одноименным месяцам.
Расчет скользящей среднейи коэффициента сезонности приведем в таблице 1.2.
Простроим график сезоннойволны по средним коэффициентам сезонности. График приведен на рисунке 1.
/>
Рисунок 1 – Графиксезонной волны
Таблица 2 – Расчеткоэффициента сезонностиГод Месяц Уровень ряда Скользящая средняя Коэффициент сезонности Средний коэффициент сезонности нецентрированная центрированная 1994 1 21,1 2 22,8 3 23,9 4 23,8 5 24,5 6 24,6 23,550 7 25,9 23,492 23,521 104,016 8 25,7 23,617 23,554 103,213 9 24,2 23,783 23,700 97,189 10 25,5 23,942 23,863 102,410 11 22,3 24,067 24,004 89,558 12 18,3 24,217 24,142 73,494 1995 1 20,4 24,308 24,263 81,928 81,53 2 24,3 24,408 24,358 97,590 97,39 3 25,9 24,500 24,454 104,016 107,23 4 25,7 24,592 24,546 103,213 107,03 5 26 24,608 24,600 104,418 107,83 6 26,4 24,750 24,679 106,024 110,84 7 27 24,733 24,742 108,434 106,22 8 26,9 24,725 24,729 108,032 105,62 9 25,3 24,858 24,792 101,606 99,40 10 26,6 25,017 24,938 106,827 104,62 11 22,5 25,158 25,088 90,361 89,96 12 20 25,358 25,258 80,321 76,91 1996 1 20,2 25,517 25,438 81,124 2 24,2 25,942 25,729 97,189 3 27,5 26,325 26,133 110,442 4 27,6 26,367 26,346 110,843 5 27,7 26,467 26,417 111,245 6 28,8 26,400 26,433 115,663 7 28,9 8 32 9 29,9 10 27,1 11 23,7 12 19,2 Итого: 896,4 Средняя: 24,90
Из графика видно, чтокоэффициент сезонности в начале года увеличивается, а в конце — уменьшается. Наибольшееотклонение наблюдается в начале года 2-ой и 10 -ой месяц.
ЗАДАЧА 2
Произвести аналитическоевыравнивание рядов динамики по данным задачи 1 о размерах грузооборота по родамгрузов:
а) при равномерномразвитии y = a0+ a1t ;
б) при развитии спеременным ускорением (замедлением) yt = a0+ a1t + a2t2 + a3t3 ;
в) при изучениисезонных колебаний по данным об отправлении грузов yt = a0+ (ak cosRt +bk sinRt) .
Результаты расчётовпредставить в виде таблиц и графиков.
1. Способ отсчета времениот условного начала, когда ∑t=0, дает возможность определить параметры математической функции поформулам:
/> />
Результаты вычисленийприведем в таблице 3:
Таблица 3 – Вычислениепараметров функции y=a0+a1t и y=a0+a1t+a2t2+a3t3Год t y t² ty
t4
t6 t²y t³y Yti* Yt (Yti*-y)² (Yt-y)² 1 -4 1199 16 256 4096 -4796 19184 -76736 1324,2 1175,2 15677,13 566,75 2 -3 1253 9 81 729 -3759 11277 -33831 1327,4 1354,3 5531,64 10254,93 3 -2 1573 4 16 64 -3146 6292 -12584 1330,5 1432,5 58786,04 19730,33 4 -1 1385 1 1 1 -1385 1385 -1385 1333,7 1438,1 2630,84 2817,52 5 1 1276 1 1 1 1276 1276 1276 1340,0 1343,3 4101,34 4532,35 6 2 1385 4 16 64 2770 5540 11080 1343,2 1299,2 1746,54 7364,77 7 3 1266 9 81 729 3798 11394 34182 1346,4 1294,6 6460,14 820,27 8 4 1358 16 256 4096 5432 21728 86912 1349,5 1357,8 71,54 0,05 итого 10695 60 708 9780 190 78076 8914 10695,0 10695,0 95005,21 46086,98
Тогда:
/> />
Уравнение при равномерномразвитии:
y = 1336,88 — 3,17 ∙ t
2. Для вычисленияпараметров функции y=a0+a1t+a2t2+a3t3:
/> />
/> />
Тогда:
/> />
/> />
Уравнение при развитии спеременным ускорением (замедлением):
yt= 1398,98 — 52,06 t — 8,28 t2 + 4,68 t3;
3. По рассмотренныммоделям определим теоретические уровни тренда. Фактические и теоретическиеуровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 2.
/>
Рисунок 2 – Графикфактических и теоретических уровней ряда
Рассчитаем стандартизированнуюошибку аппроксимации – />
/> /> />
4. При изучении сезонныхколебаний по данным об отправлении грузов /> необходиморассчитать параметры:
/> /> />
Результаты расчётовсведём в таблицу 4
Таблица 4 – Выравниваниеряда динамики y=a0+(aкcosRt+ bкsinRt), 1998 годМесяц
ti
yi
cos ti
sin ti
yi∙cos ti
yi∙sin ti
yti 1 21,10 1 21,1 21,21 2 (1:6)π 22,80 0,86616 0,5 19,748 11,4 21,66 3 (1:3) π 23,90 0,5 0,866 11,95 20,6974 22,62 4 (1:2) π 23,80 1 23,8 23,82 5 (2:3) π 24,50 -0,5 0,866 -12,25 21,217 24,96 6 (5:6) π 24,60 -0,866 0,5 -21,3 12,3 25,71 7 π 25,90 -1 -25,9 25,89 8 (7:6) π 25,70 -0,866 -0,5 -22,26 -12,85 25,44 9 (4:3) π 24,20 -0,5 -0,866 -12,1 -20,9572 24,48 10 (3:2) π 25,50 -1 -25,5 23,28 11 (5:3) π 22,30 0,5 -0,866 11,15 -19,3118 22,14 12 (11:6) π 18,30 0,866 -0,5 15,848 -9,15 21,39 - 282,6 -14,01 1,6454 282,60
/> /> />
/>
Фактические итеоретические уровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 3.
/>
Рисунок 3 – Графикфактических и теоретических уровней ряда выравнивания
Фактические итеоретические уровни ряда близки по значению, а кривая ряда (рисунок 3) похожана гармоническую функцию.
Поэтому функцию /> можно использовать длявыравнивания ряда динамики.
ЗАДАЧА 3
По данным таблицыопределить:
1) выполнение нормудельного расхода топлива по отделениям и дороге в целом;
2) сводный индекс расходатоплива на дороге;
3) изменение среднегоудельного расхода топлива на дороге за счет изменения удельного расхода топливана 10000 т/км брутто на отделениях и за счет изменения структуры грузооборотапо отделениям, а также за счет того и другого фактора одновременно;
4) абсолютный размерэкономии (перерасхода) топлива за счет изменения грузооборота на отделениях, засчет изменения удельного расхода топлива на отделениях.
Таблица 10 – Грузообороти удельный расход топлива по отделениям железной дорогиОтделение Удельный расход топлива, кг/10000 т·км брутто. Грузооборот брутто, млн. т·км Выполнение норм удельного расхода топлива, % Расход топлива, тонн Норма Факти-чески Норма Факти-чески % выпол-нения План Факт Отчетного по удельному расходу базисного 1 50 47 200 113 56,5 94,0 10000 5311 5650 2 55 57 320 102 31,9 103,6 17600 5814 5610 3 48 45 400 101 25,3 93,8 19200 4545 4848 920 316 113,6 46800 15670 16108
1) выполнение норм удельного расхода топлива поотделениям и дороги в целом
Iи=∑и1q1 / ∑и0q1=15670 / 16108 = 0,973
2) Сводный индекс расхода топлива
Iиq=∑и1q1 / ∑и0q0=15670 / 46800 = 0,335
3) Индекс удельного расхода топлива переменного состава
Iи = ∑и1q1/∑q1: ∑и0q0/∑q0= ∑и1q1/∑и0q1= 15670/316: 46800/920= 0,975
Индекс удельного расхода топлива постоянного состава
Iи=∑и1q1/∑q1: ∑и0q1/∑q1= ∑и1q1/∑и0q1 = 15670 / 16108 = 0,973
Индекс структурных сдвигов
Iстр= ∑и0q1/∑q1: ∑и0q0/∑q0= 16108/316: 46800/920 = 1,002
4) Экономия топлива за счет изменения удельного расхода
Δиq=∑и1q1-∑и0q1=15670 — 16108 = -438 кг за счет изменения грузооборота
Δиqq=∑и0q1-∑и0q0=16108 — 46800 = -30692 кг
ЗАДАЧА 4
№ 1. Для изученияпроизводительности труда токарей на машиностроительном заводе было проведено10%-ное выборочное обследование 100 рабочих методом случайного бесповторногоотбора. В результате обследования получены данные о часовой выработке рабочих:Часовая выработка, шт. 18-20 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30 Число рабочих 2 8 24 50 12 4
С вероятностью 0,997определите пределы, в которых находится среднее время обработки одной деталитокарями завода.
Рассчитаем среднюю ошибкувыборки по формуле:
/>
Дисперсия
/>
где хi — часовая выработка
/> - средняя часовая выработка повсем рабочим выборки;
fi — сумма всех частотЧасовая выработка, шт. 18-20 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30 Число рабочих 2 8 24 50 12 4 100
/> 40 176 576 1300 288 120 2500
(xi — />)2 -10 -24 -24 50 36 20 48
/>
/>
∆х = ± t · μx ∆х = ± 3 · 0,66 = 2 шт.
Ответ: с вероятностью 0,997можно утверждать, что доля лиц, которая одобрит составит 54% — 66%.
Литература
1. Быченко О.Г.Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 1 с методическимиуказаниями. – Гомель: БелГУТ, 2000. – 30 с.
2. Быченко О.Г.Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 2 с методическимиуказаниями. – Гомель: БелГУТ, 2000. – 31 с.
3. Общая теориястатистики: Учебник/Т.В. Рябушкин, М.Р. Ефимова, Н.И. Яковлева. – М.: Финансы истатистика, 1981. – 279 с., ил.