Изображение токов и напряжений комплексными числами

ИЗОБРАЖЕНИЯ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ Рассмотрим мгновенное значение тока . Покажем, что вращающийся вектор на комплексной плоскости соответствует этому току. Вектор, изображённый на комплексной плоскости, записывается аналитически – - формула Эйлера, где - оператор поворота на угол  - оператор вращения со скоростью щ. Следовательно Произведение обозначается и называется комплексной амплитудой тока.

Аналогично мгновенные значения напряжения и ЭДС будут – Здесь и комплексные амплитуды напряжения и ЭДС. В расчёте можно оперировать и действующими значениями величин – ; ; . Символический метод, основанный на изображении векторов комплексными числами введён Штейнмецом. ЗАКОНЫ КИРХГОФА ДЛЯ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ КОМПЛЕКСНЫМИ АМПЛИТУДАМИ Теперь объединим рассмотренные элементы в последовательную

цепь с заданным током. Тогда ЭДС, приложенная к этой цепи, будет – Это соотношение представляет собой второй закон Кирхгофа для комплексных амплитуд напряжения и тока. Соединяя те же элементы в параллельную цепь с известной ЭДС, определяем ток источника – Полученное равенство представляет собой первый закон Кирхгофа для комплексных амплитуд напряжения и тока.

Законы Кирхгофа в комплексной форме записи представлены алгебраическими уравнениями, поэтому для расчёта цепей переменного тока методом комплексных амплитуд можно применять все методы обоснованные ранее – метод контурных токов, узловых потенциалов, наложения и эквивалентного генератора. Расчёт цепи переменного тока так же, как и расчёт цепи постоянного тока, иногда удаётся значительно упростить, применив преобразование соединения трёхлучевой звезды в соединение треугольник и наоборот.

Ввиду особой важности этого преобразования, весьма часто применяемого при расчёте трёхфазных цепей, приведём формулы для перехода от одного вида преобразования к другому и наоборот.