*** Замечательноеуравнение кинематики. ***
Резюме.
В предлагаемойстатье рассмотрена возможность расширения сферы применения кинематическихуравнений для решения задач механики. Показана возможность переноса метода составления простейших уравнений движения,на основе дифференциальных определений физических величин, в других разделахфизики. Рассматриваются зависимости времени от координат, скоростей, ускорений,то есть обратные задачи кинематики, которые редко встречаются в учебникахмеханики.
* В большинствеучебников по механике раздел кинематики ограничивается определениямитраектории, системы координат,перемещения, скорости v=dx/dt, ускорения a=dv/dt и выводом формул пути длясредней, мгновенной скорости, пути для равноускоренного движения X=Xo+v*t+a*t^2/2.
Оказывается: изформул, определяющих скорость v=dx/dt и ускорение a=dv/dt, получаетсязамечательная пропорция
-------- v*dv = a*dx -------,
то есть дифференциальное уравнение сразделяемыми переменными. Область ее применения оказывается неожиданнообширной. По аналогии с выводом этого уравнения, можно вывести, подобные ему,дифференциальные уравнения вращательногодвижения, движения по кругу и другихфизических процессов, для которых даны определения физической величины Y(x), еепервой y'(x) и второй y''(x) производных. Из определений мгновенных скорости иускорения получаются следствия: dv/dx = a/v, dt = dx/v(x), x(t) = 1/t(x),применение которых редко встречается в примерах решения задач по механике.
— Вывод законасохранения механической энергии. --
Умножим обе частиуравнения на постоянную величину m, то есть массу и проинтегрируем уравнение.Получим m*v^2/2 = m*a*x. Выразив уравнение в определенных интегралах, получимполную формулу закона сохранения энергии. Кстати, получили в левой частиформулу кинетической энергии, в правой — потенциальной. Для вращательногодвижения, аналогично — из определений угловой скорости w=df/dt и угловогоускорения e=dw/dt получаем пропорцию, умножив на постоянные массу, радиус вквадрате и проинтегрировав, получаемформулу закона сохранения m*(w*R)^2/2 = m*e*R^2*f.
***Алгоритмырешения задач на основе уравнения.***
* Если известна зависимость ускорения откоординат a(x), то уравнение примет вид v^2(x)=2*Integr(a(x)*dx). Например:
a(x)= K*x --->v^2(x)= 2*K*Integr(x*dx)
a(x)= G/x^2---> v^2(x)= 2*G*Integr(dx/x^2)
1. Находимскорость v(x)=(2*Integr(a(x)*dx))^0,5
2. Находим времяt(x)=Integr(dx/v(x))
3. Находимформулу пути, как обратную функцию x(t)=1/t(x).
* Если известна зависимость ускорения отскорости a(v), то она переносится в левую часть уравнения. Например:
a(v)=g-k*v---> dv/g-kv= dx
a(v)=g-k*v^2---> dv/g-kv^2= dx
1. Находимзависимость x(v), обратную функцию v(x)=1/x(v)
2. Находимзависимости t(x)=Integr(dx/v(x))
3. Находимформулу пути, как обратную функцию x(t)=1/t(x).
* Усли известна зависимость v(x), то,интегрируя, находим t(x)=Integr(dx/v(x)), если известназависимость v(t), находим из нее первообразную — X(t) и производную — a(t).
* Заметим — мы не прибегаем здесь к теориидифференциальных уравнений, где даются в виде решений готовые функции длякаждого вида уравнения, а сами, прямым интегрированием, находим эти функции.
* Заметим — это замечательное уравнениеявляется шаблоном для подстановки в него известных функций при решенииконкретных задач. При этом нужно решать полученные уравнения в определенныхинтегралах, чтобы учесть заданные начальные условия. В теоретической механике существуют похожиешаблоны в виде уравнений Лагранжа, уравнений Гамильтона и т.д.
****Примерырешения задач.****
* Найти времяпадения тела от состояния покоя, на расстоянии 6371 км от поверхности Земли, до ее поверхности. Даназависимость а(х)=g/x^2, где x=(h+R)/R, g=10м/с^2, R=6371км. сопротивлениеатмосферы не учитывать.
Решение:
находим v^2(x)=2*Integr(g*dx/x^2)=(2*g*R*(1/x-1/Xo))^0,5,
находимt(x)=Int(dx/v(x))=
(R/2g)^0,5*Xo^3/2*(pi/2-arcsin((x/Xo)^0,5)+(x/Xo)*(Xo/x-1)*0,5)
Ответ: времяпадения t=2072c.
Заметим: вучебниках чаще приводится сложный вывод времени через эллиптическую формулу,исходя из законов Кеплера.
* Найти периодколебаний пружинного маятника, если известна зависимость a(x)=k*x/m.
Решение:
находимv^2(x)=2*Integr(k/m)*x*dx=(k/m)*(Xo^2-x^2)
находим T=4*t(x)=4*Integr(dx/v(x))=2*Pi*(m/k)
Заметим: вучебниках чаще приводится вывод времени, исходя из готовой функции x=A*sin(w*t), определяющей гармоническиеколебания.
Заключение.
Статья написана вкратком стиле, в предположении, чточитателю знакомы условные обозначения использованных в формулах физическихвеличин. Длина обозначена символом «х» для удобства восприятия ее какнезависимой переменной. Возможны некоторые ошибки, пусть читатель-рецензор ихисправит, если статья покажется ему полезной.
Ю. Архипов.Тарту-2006.